第3章-第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

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第二节

同角三角函数的基本关系与诱导公式1.理解同角三角函数的基本关系式： sin2x+

考纲传真2

高 考 体 验 · 明 考 情

典 例 探 究 · 提 知 能

sin x cos x=1, =tan x.2.能利用单位圆中的三角函数线推导 cos x π 出 ± α,π±α 的正弦、余弦、正切的诱导公式. 2课 时 作 业

菜

单

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高 考 体 验 · 明 考 情

1.同角三角函数的基本关系典 例 探 究 · 提 知 能

sin2α+cos2α=1 (1)平方关系：

.课 时 作 业

sin α π tan α= (α≠ +kπ,k∈Z) cos α 2 (2)商数关系： .

菜

单

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2.六组诱导公式组 数 角 一 2kπ+ α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sinα -cosα tanα 三 -α -sinα cosα -tanα 四 π-α sinα -cosα -tanα 函数名改变 符号看象限 五π -α 2

六π +α 2

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典 例 探 究 · 提 知 能

正 弦 余 弦 正 切 口 诀

cosα sinα

cosα -sinα课 时 作 业

函数名不变符号看象限

菜

单

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1.(固基升华)判断下列结论的正误.(正确的打“√”, 错误的打“×”) (1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是角 α 是锐角( )

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典 例 探 究 · 提 知 能

1 1 (2)cos(nπ-θ)= (n∈Z),则 cos θ= ( 3 3

) ) )课 时 作 业

π kπ 1 (3)若 α≠ (k∈Z),则 tan 2+α =- ( 2 tan α

(4)若 sin α+cos α=1,那么有 sinnα+cosnα=1(

菜

单

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【解析】

由诱导公式，知(1)(2)不正确.

当

π sin 2+α π kπ α≠ 时，tan 2+α = 2 π cos 2+α

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cos α 1 = =- ,(3)正确. tan α -sin α π 由 sin α+cos α=1,知 α=2kπ 或 α=2kπ+ (k∈Z), 2 ∴sinnα+cosnα=1,(4)正确.【答案】菜 单 课 时 作 业

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

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5 2.(人教 A 版教材习题改编)已知 cos(α-π)=- ,且 α 13 是第四象限角，则 sin α=( 12 A.- 13 12 B. 13 ) 5 C. 12 12 D.± 13

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【解析】典 例 探 究 · 提 知 能

5 ∵cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- , 13课 时 作 业

5 ∴cos α= ,又 α 是第四象限角， 13 12 ∴sin α<0,则 sin α=- 1-cos α=- . 132

【答案】菜 单

A

高

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π 3.已知 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ),|θ|< ,则 θ 等于 2 ( π A.- 6 π B.- 3 π C. 6 π D. 3 )

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【解析】典 例 探 究 · 提 知 能

由 sin(π+θ)=- 3cos(2π-θ)得

-sin θ=- 3cos θ,∴tan θ= 3, π π 又|θ|< ,∴θ= . 2 3【答案】菜 单 课 时 作 业

D

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4.(2013· 广东高考改编)已知 ________.

5π 1 sin 2 +α = ,则 5

sin α=

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【解析】典 例 探 究 · 提 知 能

由

5π sin 2 +α =cos 2

1 α= , 5课 时 作 业

2 ∴sin α=± 1-cos α=± 6. 5

【答案】

2 ± 6 5

菜

单

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5 .已 知 tan θ = 2 ,则 sin2θ + sin θcos θ - 2cos2θ = ________.【解析】 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ

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sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ = sin2θ+cos2θ tan2θ+tan θ-2 4+2-2 4 = = = . 5 tan2θ+1 4+1课 时 作 业

【答案】

4 5

菜

单

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考向 1 【例 1】 =________.

同角三角函数关系式的应用

3 (1)已知 α 为第二象限角，sin α= ,则 sin 2α 5

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sin α+3cos α (2)已知 =5,则 sin2α-sin αcos α 的值是 3cos α-sin α ( 2 A. 5 2 B.- 5 C.-2 D.2 )课 时 作 业

菜

单

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【思路点拨】 (1)由平方关系，求 cos α,进而利用二倍 角公式求值.

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(2)先根据已知条件求得 tan α,再将待求式变形为分子、 分母关于“弦函数”的二次齐次求解.课 时 作 业

菜

单

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【尝试解答】

3 (1)∵α 为第二象限角且 sin α= , 52

4 ∴cos α=- 1-sin α=- , 5 3 4 24 ∴sin 2α=2sin α· cos α=2× ×(- )=- . 5 5 25 sin α+3cos α tan α+3 (2)由 =5,得 =5,解之得 tan α=2. 3cos α-sin α 3-tan α sin α-sin αcos α tan α-tan α 2 所以 sin α-sin αcos α= = = . 5 sin2α+cos2α tan2α+12 2 2

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课 时 作 业

【答案】菜

24 (1)- 25单

(2)A

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规律方法 1 1.利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正 sin α 弦、 余弦的互化， 利用 =tan α 可

以实现角 α 的弦切互化. cos α 2.注意公式逆用及变形应用：1=sin2α+cos2α,sin2α=

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1-cos2α,cos2α=1-sin2α.课 时 作 业

菜

单

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变式训练 1 (2013· 课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角， 若自 主 落 实 · 固 基 础

π 1 tan θ+4 = ,则 2

sin θ+cos θ=________.θ 1 = , θ 2

【解析】

1+tan π 1 ∵tan θ+4 = ,∴ 1-tan 2

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1 解得 tan θ=- . 3典 例 探 究 · 提 知 能

2 2 sin θ + cos θ+2sin θ· cos θ 2 ∴(sin θ+cos θ) = sin2θ+cos2θ

1 2 tan2θ+2tan θ+1 9-3+1 2 = = = . 1 5 tan2θ+1 +1 9菜 单

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1 ∵θ 为第二象限角，tan θ=- , 3 3π ∴2kπ+ <θ<2kπ+π,∴sin θ+cos θ<0, 4 10 ∴sin θ+cos θ=- . 5 10 【答案】 - 5

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菜

单

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考向 2

诱导公式的应用 3π π sin α-2 · cos 2 +α · tan π-α 高 考 体 验 · 明 考 情

【例 2】

已知 f(α)=

tan -α-π · sin -α-π

,

(1)化简 f(α); 3π 1 (2)若 cos(α- )= ,且 α 是第三象限角，求 f(α)的值. 2 5

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【思路点拨】

(1)直接利用诱导公式化简约分.

(2) 利用 α 在第三象限及同角三角函数关系的变形式得 f(α).

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菜

单

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【尝试解答】

π 3π sin α- · cos +α · tan π-α 2 2 (1)f(α)= tan -α-π · sin -α-π

-cos α · sin α· -tan α = =-cos α. -tan α · sin α 3π 3π (2)∵cos α- 2 =cos 2 -α =-sin

1 α,∴-sin α= ,即 5

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1 sin α=- . 5 2 6 又 α 为第三象限角，∴cos α=- 1-sin α=- , 52课 时 作 业

2 6 ∴f(α)=-cos α= . 5菜 单

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规律方法 2

1.利用诱导公式应注意已知角或函数名称

与所求角或函数名称之间存在的关系，选择恰当的公式，向 所求角和三角函数进行化归.

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2.诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐 求值.课 时 作 业

菜

单

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)

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变式训练 2 π 2sin α-2 ,则

(2014· 郑州质检)已知

π cos 2+α =

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sin3 π-α +cos α+π 5π 7π 的值为________. 5cos 2 -α +3sin 2 -α 课 时 作 业

菜

单

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【解析】自 主 落 实 · 固 基 础

π π ∵cos 2+α =2sin α-2

∴-sin α=-2cos α,则 sin α=2cos α, 1 代入 sin α+cos α=1,得 cos α= . 52 2 2

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sin3 π-α +cos α+π sin3α-cos α 5 7 =5sin α-3cos α 5cos 2π-α +3sin 2π-α 8cos3α-cos α 8 2 1 3 = = cos α- = . 7cos α 7 7 35课 时 作 业

【答案】

3 35

菜

单

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考向 3自 主 落 实 · 固 基 础

sin α± cos α 与 sin α· cos α 的关系 (2014· 扬州模拟)已知-π<x<0,sin x+cos x高 考 体 验 · 明 考 情

【例 3】 1 = . 5

(1)求 sin x-cos x 的值； sin 2x+2sin2x (2)求 的值. 1-tan x【思路点拨】 (1)利用平方关系，设法沟通 sin x-cos x 与 sin x+cos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为 角 x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来.菜 单

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f651.html