概率论与数理统计试题库及答案 必做题

<概率论>试题

一、填空题

1．设 A、B、C是三个随机事件。试用 A、B、C分别表示事件 1）A、B、C 至少有一个发生 2）A、B、C 中恰有一个发生 3）A、B、C不多于一个发生

2．设 A、B为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(BA)=0.8。则P(B3．若事件A和事件B相互独立, P(A)=?,P(B)=0.3，P(AA)＝

B)=0.7,则??

4. 将C,C,E,E,I,N,S等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE的概率为

5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为

6.设离散型随机变量X分布律为P{X?k}?5A(1/2)A=______________

7. 已知随机变量X的密度为f(x)??k(k?1,2,???)则

?ax?b,0?x?1,且P{x?1/2}?5/8,则

0,其它?a?________ b?________

2

8. 设X～N(2,?),且P{2?x?4}?0.3,则P{x?0}? _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为中率为_________

10.若随机变量?在（1，6）上服从均匀分布，则方程x+?x+1=0有实根的概率是

2

80，则该射手的命8111.设P{X?0,Y?0}?34，P{X?0}?P{Y?0}?，则P{max{X,Y}?0}? 7712.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{a?X?b,Y?c}? 13.用（X,Y）的联合分布函数F（x,y）表示P{X?a,Y?b}?

1

14.设平面区域D由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D上服从均匀分布，则（x,y）关于X的边缘概率密度在x = 1 处的值为 。

215.已知X~N(?2,0.4)，则E(X?3)＝ 216.设X~N(10,0.6),Y~N(1,2)，且X与Y相互独立，则17.设X的概率密度为f(x)?D(3X?Y)?

1?e?x，则D(X)＝

218.设随机变量X1，X2，X3相互独立，其中X1在[0，6]上服从均匀分布，X2服从正态分布N（0，2），X3服从参数为?=3的泊松分布，记Y=X1－2X2+3X3，则D（Y）=

2

19.设D(X)?25,D?Y??36,?xy?0.4，则D(X?Y)? 20.设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且均值为?,方差为?,那么当n充分大时,近似有X～ 或 n2

X???～ 。特别是，当同为正态分布时，

对于任意的n，都精确有X～ 或nX???～ .

DXi??2(i?1,2,???) 21.设X1,X2,???,Xn,???是独立同分布的随机变量序列,且EXi??，

1n2那么?Xi依概率收敛于 .

ni?122222.设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y?(X1?X2)?(X3?X4),

则当C? 时CY～?(2)。

23.设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

24.设X1,X2,…Xn为来自正态总体?2N(?,?2)的一个简单随机样本，则样本均值

1n????i服从

ni?12

二、选择题

1. 设A,B为两随机事件，且B?A，则下列式子正确的是

（A）P (A+B) = P (A); （B）P(AB)?P(A); （C）P(B|A)?P(B); （D）P(B?A)?P(B)?P(A) 2. 以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销” （C）“甲种产品滞销”； （D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 3. 袋中有50个乒乓球，其中20个黄的，30个白的，现在两个人不放回地依次从袋中随机各取一球。则第二人取到黄球的概率是

（A）1/5 （B）2/5 （C）3/5 （D）4/5 4. 对于事件A，B，下列命题正确的是 （A）若A，B互不相容，则A与B也互不相容。 （B）若A，B相容，那么A与B也相容。

（C）若A，B互不相容，且概率都大于零，则A，B也相互独立。 （D）若A，B相互独立，那么A与B也相互独立。

5. 若P(BA)?1，那么下列命题中正确的是

（A）A?B （B）B?A （C）A?B?? （D）P(A?B)?0 6． 设X～N(?,?),那么当?增大时，P{X????}? A）增大 B）减少 C）不变 D）增减不定。

7．设X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，且f(x)?f(?x)。那么对任意给定的a都有 A）f(?a)?1?2?a0f(x)dx B） F(?a)?a1??f(x)dx 20 C）F(a)?F(?a) D） F(?a)?2F(a)?1 8．下列函数中，可作为某一随机变量的分布函数是

3

A）F(x)?1?111 B） F(x)??arctanx x22??1?xx???(1?e),x?0 C）F(x)??2 D） F(x)??f(t)dt，其中?f(t)dt?1

?????0,x?0?9． 假设随机变量X的分布函数为F(x),密度函数为f(x).若X与-X有相同的分布函数，则下列各式中正确的是

A）F(x) = F(-x); B) F(x) = - F(-x); C) f (x) = f (-x); D) f (x) = - f (-x).

?Ae?x,x??10．已知随机变量X的密度函数f(x)=?(?>0,A为常数)，则概率P{??X

x??0,?（a>0）的值

A）与a无关，随?的增大而增大 B）与a无关，随?的增大而减小 C）与?无关，随a的增大而增大 D）与?无关，随a的增大而减小

11．X1,X2独立,且分布率为 (i?1,2),那么下列结论正确的是 A）X1?X2 Ｂ）P{X1?X2}?1 C）P{X1?X2}?12?

12．设离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 (X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3) 且X,Y相互独立，则

P1/61/91/181/3? A） ??2/9,??1/9 B） ??1/9,??2/9 C） ??1/6,??1/6 D） ??8/15,??1/18 13．若X～(?1,?1)，Y～(?2,?2)那么(X,Y)的联合分布为

A） 二维正态，且??0 B）二维正态，且?不定 C） 未必是二维正态 D）以上都不对

14．设X，Y是相互独立的两个随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y),则Z = max {X,Y} 的分布函数是

A）FZ（z）= max { FX(x),FY(y)}; B) FZ（z）= max { |FX(x)|,|FY(y)|} C) FZ（z）= FX（x）·FY(y) D)都不是

15．下列二无函数中， 可以作为连续型随机变量的联合概率密度。

4

22

<数理统计>试题

一、填空题

221．设X1,X2,?,X16 是来自总体X~N(4,?) 的简单随机样本，?已知，令

4X?16116X??Xi，则统计量服从分布为 （必须写出分布的参数）。

16i?1?2．设X~N(?,?)，而1.70，1.75，1.70，1.65，1.75是从总体X中抽取的样本，则?的矩估计值为 。

3．设X~U[a,1]，X1,?,Xn是从总体X中抽取的样本，求a的矩估计为 。 4．已知F0.1(8,20)?2，则F0.9(20,8)? 。

2?都是参数a的无偏估计，如果有 成立 ，则称??有效的估计。?和??是比?5．?

6．设样本的频数分布为

X 0 1 2 3 4 频数 1 3 2 1 2

则样本方差s2=_____________________。

7．设总体X~N（μ，σ2），X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D（X）＝________________________。

8．设总体X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，…，Xn为其样本。若假设

检验问题为H0：?2＝1?H1：?2?1，则采用的检验统计量应________________。 9．设某个假设检验问题的拒绝域为W，且当原假设H0成立时，样本值（x1,x2, …，xn）落

入W的概率为0.15，则犯第一类错误的概率为_____________________。

10．设样本X1，X2，…，Xn来自正态总体N（μ，1），假设检验问题为： H0：?＝0?H1：??0，则在H0成立的条件下，对显著水平α，拒绝域W应为______________________。

10

11．设总体服从正态分布N(?,1)，且?未知，设

X1,,Xn为来自该总体的一个样本，记

1nX??Xini?1，则?的置信水平为1??的置信区间公式是 ；若已知1???0.95，

则要使上面这个置信区间长度小于等于0.2，则样本容量n至少要取__ __。

22X,X,?,XN(?,?)的一个简单随机样本，12n12．设为来自正态总体其中参数?和?均

n1n2X??XiQ??(Xi?X)2Hni?1i?1未知，记，，则假设0：??0的t检验使用的统计

量是 。（用X和Q表示）

2X,X,X13．设总体X~N(?,?)，且?已知、?未知，设123是来自该总体的一个样本，

21(X1?X2?X3)??2X?2?X?3?X222X?X?X??，X(1)?2?中是统计1231233则，，

量的有 。

14．设总体X的分布函数F(x)，设则

X1,X2,?,Xn为来自该总体的一个简单随机样本，

X1,X2,?,Xn的联合分布函数 。

,Xn是

X,15．设总体X服从参数为p的两点分布，p（0?p?1）未知。设1来自该总体的一个样本，则的有 。

?X,?(Xii?1i?1nni?X)2,Xn?6,max{Xi},Xn?pX11?i?n中是统计量

16．设总体服从正态分布N(?,1)，且?未知，设

X1,,Xn为来自该总体的一个样本，记

1nX??Xini?1，则?的置信水平为1??的置信区间公式是 。

22Y~N(?,?)，且X与Y相互独立，设X1,X~N(?,?)YYXX17．设，

,Xm为来自总体

X的一个样本；设Y1,22,Yn为来自总体Y的一个样本；SXSY和分别是其无偏样本方差，

22SX/?X22S/?YY则服从的分布是 。

18．设X?N??,0.3?，容量n?9，均值X?5，则未知参数?的置信度为0.95的置信

22区间是 (查表Z0.025?1.96）

19．设总体X～N(?,?)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，X为样本均值，则D

11

（X）＝________________________。

20．设总体X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ未知，X1，X2，…，Xn为其样本。若假设

检验问题为H0：?2＝1?H1：?2?1，则采用的检验统计量应________________。

221．设X1,X2,???,Xn是来自正态总体N(?,?)的简单随机样本，?和?均未知，记n1n2X??Xi,???(Xi?X)2,则假设H0:??0的t检验使用统计量Tni?1i?12＝ 。

1m1n2222．设X??Xi和Y??Yi分别来自两个正态总体N(?1,?1)和N(?2,?2)的样本

mi?1ni?122均值，参数?1，?2未知，两正态总体相互独立，欲检验H0:?1??2 ，应用 检验法，其检验统计量是 。

223．设总体X～N(?,?)，?,?为未知参数，从X中抽取的容量为n的样本均值记为X，

2修正样本标准差为Sn，在显著性水平?下，检验假设H0:??80，H1:??80的拒绝域

222为 ，在显著性水平?下，检验假设H0:???0（?0已知），H1:?1??0的

*拒绝域为 。

24．设总体X～b(n,p),0?p?1,X1,X2,???,Xn为其子样，n及p的矩估计分别是 。

25．设总体X～U?0,??,(X1,X2,???,Xn)是来自X的样本，则?的最大似然估计量是 。

26．设总体X～N(?,0.9)，X1,X2,???,X9是容量为9的简单随机样本，均值x?5，则未知参数?的置信水平为0.95的置信区间是 。

27．测得自动车床加工的10个零件的尺寸与规定尺寸的偏差（微米）如下： +2，+1，-2，+3，+2，+4，-2，+5，+3，+4 则零件尺寸偏差的数学期望的无偏估计量是

22228．设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令Y?(X1?X2)?(X3?X4),

212

则当C? 时CY～?(2)。

29．设容量n = 10 的样本的观察值为（8，7，6，9，8，7，5，9，6），则样本均值= ，样本方差=

30．设X1,X2,…Xn为来自正态总体?2N(?,?2)的一个简单随机样本，则样本均值

1n????i服从

ni?1二、选择题

1.

X1,X2,?,X16是来自总体X~N(0，1）的一部分样本，设：

2222Z?X1???X8Y?X9???X16，则

Z~（ ） Y(A)N(0,1) (B)t(16) (C)?2(16) (D)F(8,8)

2.已知X1,X2,?,Xn是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）

1n12(A)X?X +A (B)(C)X?aX +10 (D)X?aX1+5 ?in?1i?133.设X1,?,X8和Y1,?,Y10分别来自两个相互独立的正态总体N(?1,2)和N(2,5)的样本,

2S12和S22分别是其样本方差，则下列服从F(7,9)的统计量是( )

2S124S125S125S12 (B) (C) (D) (A)22224S25S25S22S21n24.设总体X~N(?,?)，X1,?,Xn为抽取样本，则?(Xi?X)是（ ）

ni?12(A)?的无偏估计 (B)?2的无偏估计 (C)?的矩估计 (D) ?2的矩估计

5、设X1,?,Xn是来自总体X的样本，且EX??，则下列是?的无偏估计的是（ ）

1n?11n1n?11nXi Xi (D)(A)?Xi (B)?Xi (C)n??n?1i?1ni?1n?1i?2i?12X,X,?,XN(?,?)的一个样本，若进行假设检验，当__ 12n6．设为来自正态总体__时，

13

t?一般采用统计量

X??0S/n 2222?未知，检验?＝??已知，检验?＝?00(A) (B)

22?未知，检验?＝??已知，检验?＝?0 0(C) (D)

7．在单因子方差分析中，设因子A有r个水平，每个水平测得一个容量为列说法正确的是___ __

(A)方差分析的目的是检验方差是否相等 (B)方差分析中的假设检验是双边检验

mi的样本，则下

(C)方差分析中

Se???(yij?yi.)2i?1j?1rrmi包含了随机误差外,还包含效应间的差异

(D)方差分析中

SA??mi(yi.?y)2i?1包含了随机误差外,还包含效应间的差异

8．在一次假设检验中，下列说法正确的是______ (A)既可能犯第一类错误也可能犯第二类错误

(B)如果备择假设是正确的，但作出的决策是拒绝备择假设，则犯了第一类错误 (C)增大样本容量，则犯两类错误的概率都不变

(D)如果原假设是错误的，但作出的决策是接受备择假设，则犯了第二类错误

2X~N(?,?)的均值?和作区间估计，得到置信度为95%的置信区间，意义是指9．对总体

这个区间

(A)平均含总体95%的值 (B)平均含样本95%的值

(C)有95%的机会含样本的值 (D)有95%的机会的机会含?的值 10．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (A)在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (B)在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 (C)在H00成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 (D)在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 11. 设总体X服从正态分布N??,??,X,X,212,Xn是来自X的样本，则?2的最大似然

14

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