偏微分方程数值解期末试题及答案

偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一（10分）、设矩阵A对称，定义J(x)?1(Ax,x)?(b,x)(x?Rn)，2?(?)?J(x0??x).若?'(0)?0,则称称x0是J(x)的驻点（或稳定点）.矩阵A对

称（不必正定），求证x0是J(x)的驻点的充要条件是：x0是方程组 Ax?b的解 解: 设x0?Rn是J(x)的驻点,对于任意的x?Rn,令

?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)??22(Ax,x), (3分)

?'(0)?0,即对于任意的x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有

(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b. (3分) 反

之

,若

x0?Rn满足

Ax0?b,则对于任意的

1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分)

2评分标准:?(?)的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

ddu??Lu??(p)?qu?f二（10分）、 对于两点边值问题：?dxdx'??u(a)?0,u(b)?0x?[a,b]x?(a,b)

其中p?C1([a,b]),p(x)?minp(x)?pmin?0,q?C([a,b]),q?0,f?H0([a,b]) 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和

Galerkin形式的变分方程。

1解: 设HE?{u|u?H1(a,b),u(a)?0}为求解函数空间,检验函数空间.取1v?HE(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分)

bdudv1 a(u,v)??(p.?quv)dx??fvdx?f(v),?v?HE(a,b)

aadxdx即变分问题的Galerkin形式. (3分)

11bdu 令J(u)?a(u,u)?(f,u)??[p()2?qu2?fu]dx,则变分问题的Ritz形式

22adxb1为求u*?HEJ(u) (4分) (a,b),使J(u*)?min1u?HE评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分, 三（20分）、对于边值问题

??2u?2u?2?0,(x,y)?G?(0,1)?(0,1)?2 ?y??x?u|x?0?1,u|x?1?0,u|y?0?u|y?1?1?x?（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。

（2）取h?1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解） （3）就h?1/5和h?1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解: (1) 区域离散xj?jh,yk?kh,差分格式为

uj?1,k?2ujk?uj?1,kh2?uj,k?1?2ujk?uj,k?1h2?0 (5分)

h2?4u?4u应用Tayloy展开得到,截断误差为[4?4]jk?O(h4),其阶为O(h2) (3分)

12?x?y(2) 未知量为U?(u11,u12,u21,u22)T,矩阵形式为AU?F,其中

?4?1?10??1?2/3??5/3?????????140?1??1/3??1/3?A??,F??1?2/3???5/3? (4分) ?104?1????????0?1?14??1/3??1/3???????求解得到解为 (3分)

???? ?52/15??A=[4,-1,-1,0;-1,4,0,-1;-1,0,4,-1;0,-1,-1,4] L =

2.0000 -0.5000 -0.5000 0 0 1.9365 -0.1291 -0.5164 0 0 1.9322 -0.5521 0 0 0 1.8516 u= 0.6667 0.3333 0.6667 0.3333 ?2?15/2??1/2L??1/2015/2??0?2/15?2/15??B?I??4?1???????IB?I???14?1?(3) 矩阵为?, (5分) B????????????????IB??14????评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2) 7分,方程4分,解3分.(3)5分, 形式3分,B的形式2分

??u?2u??a2?bu,0?x?1,0?t?T?x??t四（20分）、对于初边值问题? u(x,0)??(x),0?x?1?u(0,t)?u(1,t)?0,0?t?T??（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶; （2）写出差分格式的矩阵形式（即AUk?1?BUk??F的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性

（3）建立六点对称格式(Crank?Nicolson格式) 并写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。

?1kuk?ujj解:(1) 区域离散,格式为

??a12kk?u?buxjj , (5分) 2h1?2ukah2?4uk(4)j?O(?2?h4),阶为应用Taylor展开得到,误差主项为(2)j??2?t12?xO(??h2) (3分) (2) A?E,B?diag{r,1?2r,r}, (4分) 稳定条件为r?1/2 (3分) (3) 格式为

?1uk?ukjj??a2bk?1k?1k?(?u?(1??)u)?(uj?ukxjjj), (3分) 22h低阶项归入O(?)中,格式是无条件稳定的. (2分)

?1?1nun?unun?u?ujjj?1?uj?1??0的三层差分格式五（10分）、逼近??0 ?t?x2?2h分析格式的稳定性

?1nn?1解:计算形式为un??r(unjj?1?uj?1)?uj (2分)

?1此为三层格式,化为两层格式.令vn?unjj,则有

n?1nnn??uj??r(uj?1?uj?1)?vj ?n?1 (4分) n?uj??vjni?jhnni?jh令un,代入格式,消去公因子,得到 ?we,v?wj1j2e?w1n?1???2irsin?h1??w1n??n?1????n? (2分) ???w???10???2???w2???2rsin?hi?1??2rsin?hi1???放大矩阵为G?? ?,特征方程为|?E?G|?10?1????2rsin?h?4?4r2sin2?h?i

2???2rsin?hi??1?0,?1,22?1?2?1,max{|?1|,|?2|}?1的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根,即

??4?4r2sin2?h?0.考虑到?的变化,稳定条件为r?1 (2分)

2?2u2?u六（10分）、建立波动方程2?a的初值问题的显格式，推导截断误差,2?t?x推导格式稳定的必要条件.

?1n?1un?2unjj?uj解:差分格式为

?2?a212n?xuj, (3分) 2h41??4u?22??u?24422???截断误差为?,阶为??ah?O(??h)O(??h) (3分) 4?4???12??t?j??x?jnn分析稳定性必要条件 (4分)

?u?2u?2u七（10分）、对于二维抛物型方程?a(2?2)建立Crank?Nicolson差分

?t?x?y格式，指出截断误差阶，分析格式的稳定性。 解: 差分格式为

?1nunjk?ujk??a2n?12n?1(?xujk??yujk) (4分) 2h误差阶为O(??h2) (3分)

1,恒稳定. (3分)

?h?h1?4rsin2?4rsin222八.用Ritz?Galerkin方法求边值问题 放大因子为G(?,?,?)???u\?u?x20?x?1 ??u(0)?0,u(1)?1的第n次近似un(x),基函数?i(x)?sin(i?x),i?1,2,...,n

解:(1)边界条件齐次化:令u0?x,w?u?u0,则w满足齐次边界条件,且

Lw?Lu?Lu0?x2?xw(0)?0,w(1)?0n (3分)

第n次近似wn取为wn??ci?i,其中ci(i?1,2,...n)满足的Ritz?Galerkin方程为

i?1n?a(?,?)ciji?1i?(x2?x,?j)j?1,2,...,n (3分)

又

a(?i,?j)??(?i'?'j??i?j)dx?ij?2?cos(i?x)cos(j?x)dx0011ij???sin(i?x)sin(j?x)dx?021??sinixsinjx ???2?由三角函数的正交性,得到

1??cos(ix)cos(jx)dx??

?i2?21?a(?i,?j)??2?2,i?j

?i?j?0,而(x?x,?j)??x(x?1)sin(j?x)dx?0212(j?)3[(?1)j?1]

于是得到

最后得到

(x2?x,??cj)??8a(?j?)3(1?j2?2)j为奇数j???(j,?j)??0j为偶数[n?1u2]n(x)?x???8sin[(2k?1)?x]332 (4k?1(2k?1)?[1?(2k?1)]

分)

?i2?21?a(?i,?j)??2?2,i?j

?i?j?0,而(x?x,?j)??x(x?1)sin(j?x)dx?0212(j?)3[(?1)j?1]

于是得到

最后得到

(x2?x,??cj)??8a(?j?)3(1?j2?2)j为奇数j???(j,?j)??0j为偶数[n?1u2]n(x)?x???8sin[(2k?1)?x]332 (4k?1(2k?1)?[1?(2k?1)]

分)

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