奥数：3-2-1火车问题-题库

火车问题

教学目标

1、会熟练解决基本的火车过桥问题.

2、掌握人和火车、火车与火车的相遇追及问题与火车过桥的区别与联系. 3、掌握火车与多人多次相遇与追及问题

知识精讲

火车过桥常见题型及解题方法

（一）、行程问题基本公式：路程?速度?时间

总路程?平均速度?总时间；

（二）、相遇、追及问题：速度和?相遇时间?相遇路程

速度差?追及时间?追及路程；

（三）、火车过桥问题

1、火车过桥（隧道）：一个有长度、有速度，一个有长度、但没速度，

解法：火车车长＋桥(隧道)长度(总路程) ＝火车速度×通过的时间； 2、火车＋树(电线杆)：一个有长度、有速度，一个没长度、没速度，

解法：火车车长(总路程)＝火车速度×通过时间；

2、火车＋人：一个有长度、有速度，一个没长度、但有速度， （1）、火车＋迎面行走的人：相当于相遇问题，

解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度＋人的速度)×迎面错过的时间； （2）火车＋同向行走的人：相当于追及问题，

解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度—人的速度) ×追及的时间；

（3）火车＋坐在火车上的人：火车与人的相遇和追及问题

解法：火车车长(总路程) ＝(火车速度?人的速度) ×迎面错过的时间（追及的时间）；

4、火车＋火车：一个有长度、有速度，一个也有长度、有速度， （1）错车问题：相当于相遇问题，

解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度＋慢车速度) ×错车时间； （2）超车问题：相当于追及问题，

解法：快车车长＋慢车车长(总路程) ＝ (快车速度—慢车速度) ×错车时间；

老师提醒学生注意：对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行。

模块一、火车过桥（隧道、树）问题

【例 1】 一列火车长200米，以60米每秒的速度前进，它通过一座220米长的大桥用时多少？

【解析】 分析：（1）如右图所示，学生们可以发现火车走过的路程为：200+220=420（米），所以用时420

÷60=7（秒）.

【巩固】 一列火车长360米，每秒钟行驶16米，全车通过一条隧道需要90秒钟，求这条隧道长多少米？

火车隧道长？火车行驶路程火车

【解析】 已知列车速度是每秒钟行驶16米和全车通过隧道需要90秒钟．根据速度?时间?路程的关系，

可以求出列车行驶的全路程．全路程正好是列车本身长度与隧道长度之和，即可求出隧道的长度．列车90秒钟行驶：16?90?1440(米)，隧道长：1440?360?1080(米)．

【巩固】 一列火车经过南京长江大桥，大桥长6700米，这列火车长100米，火车每分钟行400米，这列

客车经过长江大桥需要多少分钟？

火车行驶路程火车桥火车

【解析】 建议教师帮助学生画图分析．从火车头上桥，到火车尾离桥，这是火车通过这座大桥的全过程，

也就是过桥的路程?桥长?车长．通过“过桥的路程”和“车速”就可以求出火车过桥的时间．所以过桥路程为：6700?100?6800(米)，过桥时间为：6800?400?17(分钟)．

【巩固】 长150米的火车以18米/秒的速度穿越一条300米的隧道．那么火车穿越隧道(进入隧道直至完全

离开)要多长时间？

【解析】 火车穿越隧道经过的路程为300?150?450(米)，已知火车的速度，那么火车穿越隧道所需时间

为450?18?25(秒)．

【巩固】 一列长240米的火车以每秒30米的速度过一座桥，从车头上桥到车尾离桥用了1分钟，求这座桥

长多少米？

【解析】 火车过桥时间为1分钟?60秒，所走路程为桥长加上火车长为60?30?1800(米)，即桥长为

1800?240?1560(米)．

【巩固】 一列火车长160米，全车通过一座桥需要30秒钟，这列火车每秒行20米，求这座桥的长度．

火车桥火车行驶路程火车

【解析】 建议教师帮助学生画图分析．由图知，全车通过桥是指从火车车头上桥直到火车车尾离桥，即火

车行驶的路程是桥的长度与火车的长度之和，已知火车的速度以及过桥时间，所以这列车30秒钟走过:20?30?600(米)，桥的长度为：600?160?440(米)．

【例 2】 (2009年第七届“希望杯”六年级一试)四、五、六3个年级各有100名学生去春游，都分成2

列(竖排)并列行进．四、五、六年级的学生相邻两行之间的距离分别是1米、2米、3米，年级

之间相距5米．他们每分钟都行走90米，整个队伍通过某座桥用4分钟，那么这座桥长 米．

【解析】 100名学生分成2列，每列50人，应该产生49个间距，所以队伍长为

49?1?49?2?49?3?5?2?304(米)，那么桥长为90?4?304?56(米)．

【巩固】 一个车队以 6米/秒的速度缓缓通过一座长 250 米的大桥，共用152秒．已知每辆车长 6米，

两车间隔10米．问：这个车队共有多少辆车？

【解析】 由“路程 ? 时间 ? 速度”可求出车队 152 秒行的路程为 6 152 912? ? (米 )，故车队长度为

912－ 250= 662(米)．再由植树问题可得车队共有车 (662 －6) ÷(6 ＋10) ＋1 =42(辆)．

【巩固】 一个车队以4米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用115秒。已知每辆车长5米，两

车间隔10米。问：这个车队共有多少辆车?

【解析】 求车队有多少辆车，需要先求出车队的长度，而车队的长度等于车队115秒行的路程减去大桥的

长度（此处要问问同学们为什么，最好老师能够画图说明，行程问题里面最重要的一种方法就是画图）。由“路程=时间×速度”可求出车队115秒行的路程为4×115=460（米）。故车队长度为460-200=260（米）。再由植树问题可得车队共有车（260-5）÷（5+10）+1=18（辆）。

【巩固】 一个车队以５米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两

车间隔８米.问：这个车队共有多少辆车？

【解析】 分析：由“路程=时间×速度”可求出车队145秒行的路程为5×145=725（米），故车队长度为

725-200=525（米）.再由植树问题可得车队共有车（525-5）÷（5+8）+1=41（辆）.

【巩固】 一列火车长450米，铁路沿线的绿化带每两棵树之间相隔3米，这列火车从车头到第1棵树到车

尾离开第101棵树用了0.5分钟．这列火车每分钟行多少米？

【解析】 第1棵树到第101棵树之间共有100个间隔，所以第1棵树与第101棵树相距3?100?300(米)，火

车经过的总路程为：450?300?750(米)，这列火车每分钟行750?0.5?1500(米)．

【例 3】 小红站在铁路旁，一列火车从她身边开过用了 21秒．这列火车长 630米，以同样的速度通过

一座大桥，用了1.5 分钟．这座大桥长多少米？

【解析】 因为小红站在铁路旁边没动，因此这列火车从她身边开过所行的路程就是车长，所以，这列火车

的速度为： 630 ÷21= 30(米/秒)，大桥的长度为： 30 ×(1.5× 60)－ 630 =2070(米)．

【巩固】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛）小胖用两个秒表测一列火车的车速。他发现这列

火车通过一座660米的大桥需要40秒，以同样速度从他身边开过需要10秒，请你根据小胖提供的数据算出火车的车身长是 米。

【解析】 火车40秒走过的路程是660米?车身长，火车10秒走过一个车身长，则火车30 秒走660米，所

以火车车长为660?3?220（米）。

【巩固】 以同一速度行驶的一列火车，经过一根有信号灯的电线杆用了9秒，通过一座468米长的铁桥

用了35秒，这列火车长多少米？

【解析】 火车行驶一个车身长的路程用时9秒，行驶468米长的路程用时35-9=26(秒)，所以火车长468

÷26×9=162(米)．

【巩固】 (“希望杯”全国数学邀请赛)一座铁路桥长1200米，一列火车开过大桥需要75秒，火车开过路

旁一信号杆需要15秒，求火车的速度和车身长

【解析】 火车开过大桥是说火车从车头上桥到车尾离桥，车头所走的距离是1200米加上车身之长，火车开

过信号杆，可以把信号灯看作没有速度而没有车身长(长度是零)的火车，所以火车所走的距离是火车车身的长，也就是经过火车车身的长所需的时间为15秒，所以火车头从上桥到离桥只用了：75?15?60(秒)，于是可以求出火车的速度是1200?60?20(米/秒)，车身长为20?15?300(米)．

【巩固】 小英和小敏为了测量飞驶而过的火车速度和车身长,他们拿了两块跑表.小英用一块表记下了火

车从她面前通过所花的时间是15秒;小敏用另一块表记下了从车头过第一根电线杆到车尾过第二根电线杆所花的时间是20秒.已知两电线杆之间的距离是100米.你能帮助小英和小敏算出火车的全长和时速吗?

【解析】 火车的时速是:100÷(20-15)×60×60=72000(米/小时)，车身长是:20×15=300(米)

【巩固】 一条隧道长360米，某列火车从车头入洞到全车进洞用了8秒钟，从车头入洞到全车出洞共用

了20秒钟。这列火车长多少米？.

【解析】 火车8秒钟行的路程是火车的全长，20秒钟行的路程是隧道长加火车长。因此，火车行隧道长（360

米）所用的时间是（20-8）秒钟，即可求出火车的速度。解火车的速度是360÷（20-8）=30（米/秒）。火车长30×8=240（米）.

【例 4】 已知某铁路桥长960米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用100秒，

整列火车完全在桥上的时间为60秒，求火车的速度和长度？

【解析】 完全在桥上，60秒钟火车所走的路程＝桥长—车长；通过桥，100秒火车走的路程＝桥长＋车长，

由和差关系可得：火车速度为960?2??100?60??12（米/秒），火车长：960?12?60?240（米）。

【巩固】 已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，

整列火车完全在桥上的时间为80秒，求火车的速度和长度？

【解析】 教师可画图帮助学生分析解决．从火车上桥到下桥用120秒走的路程?桥长?火车长，完全在桥

上80秒走的路程?桥长?火车长，可知120秒比80秒多40秒，走的路程多两个火车长，即一个车长用时间为40?2?20(秒)．则走一个桥长1000米所用时间为：120?20?100(秒)，所以车速：1000?100?10(米/秒)，火车长：10?20?200(米)．

【巩固】 已知一列长200米火车，穿过一个隧道，测得火车从开始进入隧道到完全出来共用60秒，整列

火车完全在隧道里面的时间为40秒，求火车的速度？

【解析】 建议教师画图帮助学生分析解决．从火车进隧道到完全出来用60秒走的路程?桥长?火车长，完

全在隧道中的时间40秒走的路程?桥长?火车长，可知60秒比40秒多20秒，走的路程多两个火车长，即一个车长用时间为20?2?10(秒)．车长为200米，所以车速：200?10?20(米/秒)．

【例 5】 一列火车通过一座长540米的大桥需要35秒。以同样的速度通过一座846米的大桥需要53秒。

这列火车的速度是多少？车身长多少米？

【解析】 火车用35秒走了——540米＋车长；53秒走了——846米＋车长，根据差不变的原则火车速度是：

(846?540)?(53?35)?17(米/秒)，车身长是:17?35?540?55(米)

【巩固】 (2008年四中考题)一列火车通过396米的大桥需要26秒，通过252米的隧道需要18秒，这列

火车车身长是多少米？

【解析】 火车的速度为：?396?252???26?18??18(米/秒)，火车的车长为：18?18?252?72(米)

【巩固】 一列火车驶过长900米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用1分25秒钟，紧接着列车又穿过

一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒钟，求火车的速度及车身的长度？

【解析】 车长+900米=85×车速，车长+1800米=160×车速，列车多行使1800-900=900米 ，需要160-85=75

秒，说明列车速度为12米/秒，车身长12×85-900=120米.

【巩固】 某列火车通过360米的第一个隧道用了24秒钟，接着通过第二个长216米的隧道用了16秒钟，

求这列火车的长度？

【解析】 火车通过第一个隧道比通过第二个隧道多用了8秒，为什么多用8秒呢？原因是第一个隧道比第

?14二个隧道长360?216(4米)，这144米正好和8秒相对应，这样可以求出车速为：

144?8?18(米)．则火车24秒行进的路程为：18?24?432(米)，这个路程包括隧道长和火车长，所以火车长为：432?360?72(米)．

【巩固】 一列火车长200米，通过一条长430米的隧道用了42秒，这列火车以同样的速度通过某站台用

了25秒钟，那么这个站台长多少米？

（200?430）?42?15(米/秒)，通过某站台行进的路程为：15?25?375(米)，已知【解析】 火车速度为：

火车长，所以站台长为375?200?175(米)．

【巩固】 一列火车通过440米的桥需要40秒,以同样的速度穿过310米的隧道需要30秒.这列火车的速

度和车身长各是多少?

【解析】 火车的速度是:(440?310)?(40?30)?13(米/秒)车身长是:13?30?310?80(米)此题也可以列

方程来解，这样也可以复习前面的列方程解应用题.

【巩固】 一列火车通过530米的桥需40秒钟,以同样的速度穿过380米的山洞需30秒钟.求这列火车的速

度是______米/秒,全长是_____米.

【解析】 速度为(530?280)?(40?30)?15米/秒,全长40?15?530?170（米）

【巩固】 小明坐在火车的窗口位置，火车从大桥的南端驶向北端，小明测得共用时间80秒．爸爸问小明

这座桥有多长，于是小明马上从铁路旁的某一根电线杆计时，到第10根电线杆用时25秒．根据路旁每两根电线杆的间隔为50米，小明算出了大桥的长度．请你算一算，大桥的长为多少米？

【解析】 从第1根电线杆到第10根电线杆的距离为：50?(10?1)?450(米)，火车速度为：450?25?18(米

/秒)，大桥的长为：18?80?1440(米)．

【例 6】 一列火车的长度是800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧

洞用2分钟；通过第二个隧洞用3分钟；通过这两座隧洞共用6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？

【解析】 注意单位换算.火车速度60×1000÷60＝1000（米/分钟）.第一个隧洞长1000×2－800＝1200

（米），第二个隧洞长1000×3－800＝2200（米），两个隧洞相距1000×6－1200－2200－800＝1800（米）.

【巩固】 一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用80秒钟，桥长

150米，火车通过隧道用时30秒，问桥和隧道之间有多少米？

【解析】 隧道长为：30?15?240?210（米），火车连续通过隧道和桥所走路程为：80?15?1200（米），1200

米包含了隧道，大桥、火车以及隧道和桥之间的距离，所以隧道和桥之间的距离为：1200?210?150?240?600（米）

【例 7】 一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提

1，结果用了1分36秒.求通过大桥时的速度及车身的长度 . 411【解析】 速度提高用时96秒，如果以原速行驶，则用时96×（1＋）=120秒，（864－320）÷（120-52）

44高

=8米/秒 ，车身长：52×8－320=96米 .

【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)一列火车通过一座长430米的大桥用了30秒，它通过一条长2180

米长的隧道时，速度提高了一倍，结果只用了50秒，这列火车长 米．

0，所以火车原来的速度为【解析】 如果通过隧道时速度没有提高，那么将需要50?2?10秒

??2180

43???010?0?3?0(米2/5秒)．火车的长度为25?30?430?320(米)．

模块二、火车与人的相遇与追及问题

【例 8】 (2009年四中入学测试题)一列火车长152米，它的速度是每小时63.36公里，一个人与火车相

向而行，全列火车从他身边开过用8秒钟，这个人的步行速度是每秒 米．

【解析】 根据题意可知火车与人的速度和为152?8?19米/秒，而火车速度为63.36?1000?3600?17.6米/

秒，所以这个人的步行速度是19?17.6?1.4米/秒．

【巩固】 柯南以3米/秒的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长147米的火车，它的行驶速度是18米/秒，

问：火车经过柯南身旁的时间是多少？

【解析】 把柯南看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车．根据相遇问题的数量关系式，(A的车身

长?B的车身长)?(A的车速?B的车速)=两车从车头相遇到车尾离开的时间，所以火车经过柯

（18?3）?7(秒)． 南身旁的时间是：147?

【巩固】 小李在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5 米/秒，这时迎面开来一列火车，

从车头到车尾经过他身旁共用了 20秒．已知火车全长 390米，求火车的速度．

【解析】 本题是小李和火车的相遇问题，相遇路程为车长390米：相遇时间为20秒，所以根据相遇问题

的公式算出速度和为：390?20?19.5（米/秒），所以小李速度为：19.5?1.5?18（米/秒）。

【巩固】 方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，一列长252米的货车从对面而来，从他身边通过用了

12秒钟，求列车的速度?

【解析】 方方以每分钟60米的速度沿铁路边步行，单位换算后方方速度是：60米/分钟＝1米/秒，可以

把火车就看成两点，头和尾，头遇到人的时候实际上尾和人相距252米，用时12秒，所以速度和为：252?12?21（米/秒），列车速度为：21?1?20（米/秒）。

【巩固】 小新在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时迎面开来一列火车，

从车头到车尾经过他身旁共用18秒，已知火车全长342米，请大家算一算火车速度？

【解析】 本题相当小新和火车的相遇问题，相遇路程为火车长度342米，相遇时间为18秒，则速度和为：

342?18?19(米/秒)，火车速度：19?2?17(米/秒)．

【巩固】 小明在铁路旁边沿铁路方向的公路上散步，他散步的速度是2米/秒，这时从他后面开过来一列

火车，从车头到车尾经过他身旁共用了21秒．已知火车全长336米，求火车的速度．

【解析】 火车从小明身边经过的相对速度等于火车的速度与小明的速度之差，为：336?21?16(米/秒)，

火车速度为：16?2?18(米/秒)．

【例 9】 李云靠窗坐在一列时速 60千米的火车里，看到一辆有 30节车厢的货车迎面驶来，当货车车头

经过窗口时，他开始计时，直到最后一节车厢驶过窗口时，所计的时间是18秒．已知货车车厢长15.8米，车厢间距1.2 米，货车车头长10米．问货车行驶的速度是多少？

【解析】 本题中从货车车头经过窗口开始计算到货车最后一节车厢驶过窗口，相当于一个相遇问题，总路

程为货车的车长．货车总长为： (15.8× 30＋ 1.2× 30 ＋10) ÷1000 =0.52 (千米)，火车行进的距离为：60×18/3600=0.3 (千米)，货车行进的距离为： 0.52－ 0.3 =0.22(千米)，货车的速度为：0.22÷18/3600=44 (千米／时)．

【巩固】 一列快车和一列慢车相向而行，快车的车长是280米，慢车的车长是385米，坐在快车上的人

看见慢车驶过的时间是11秒，那么坐在慢车上的人看见块车驶过的时间是多少秒？

【解析】 这个过程是火车错车，对于坐在快车上的人来讲，相当于他以快车的速度和慢车的车尾相遇，相

遇路程和是慢车长;对于坐在慢车上的人来讲，相当于他以慢车的速度和快车的车尾相遇，相遇的路程变成了快车的长,相当于是同时进行的两个相遇过程，不同点在于路程和一个是慢车长，一个是快车长，相同点在于速度和都是快车速度加上慢车的速度。所以可先求出两车的速度和

，然后再求另一过程的相遇时间280?35?8（秒）. 385?11?35（米/秒）

【巩固】 铁路线旁有一沿铁路方向的公路，在公路上行驶的一辆拖拉机司机看见迎面驶来的一列火车从

车头到车尾经过他身旁共用15秒，已知火车速度为72千米/小时，全长435米，求拖拉机的速度？

【解析】 首先进行车速的单位换算为：72千米/小时＝20米/秒，本题实际说的是人与车的相遇问题，相

遇路程为435米，相遇时间为15秒，速度和为拖拉机速度（拖拉机司机的速度）与火车速度和，所以：435?15?20?9（米/秒）

【巩固】 一列客车以每秒72米的速度行进,客车的司机发现迎面开来一列货车,速度是每秒54千米,这列

货车从他身边驶过共用了8秒.求这列火车的长?

【解析】 这个题目不同于两车车头相遇到车尾离开，只是考虑货车从车头倒车尾全部离开客车司机的问

题，两辆车共同走了一个货车的长度。所以货车的长度等于8秒钟两车共同走的路程（72+54）×1000÷3600×8=280米。

【巩固】 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米.两车错车时，甲车上一乘客

发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，求乙车的车长.

【解析】 首先应统一单位：

甲车的速度是每秒钟36000÷3600＝10（米）， 乙车的速度是每秒钟54000÷3600＝15（米）.

此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇。更具体的说是和乙车的车尾相遇。路程和就是乙车的车长。这样理解后其实就是一个简单的相遇问题。（10＋15）×14＝350（米），所以乙车的车长为350米.

【例 10】 小张沿着一条与铁路平行的笔直小路行走，这时有一列长 460 米的火车从他背后开来，他在行

进中测出火车从他身边通过的时间是 20秒，而在这段时间内，他行走了 40米．求这列火车的速度是多少？

【解析】 火车走的路程为：460?40?500 (米)，火车速度为： 500?20?25 (米/秒)．

【巩固】 小明沿着一条与铁路平行的笔直的小路由南向北行走，这时有一列长825米的火车从他背后开

来，他在行进中测出火车从他身边通过的时间是30秒，而在这段时间内，他行走了75米．求这列火车的速度是多少？

【解析】 (法1)火车的速度与小明的速度之差为：825?30?27.5(米/秒)；小明的速度为：75?30?2.5(米

/秒)；所以，火车速度为：27.5?2.5?30(米/秒)．

(法2)火车走的路程为：825?75?900(米)，火车速度为：900?30?30(米/秒)．

【巩固】 某人沿着铁路边的便道步行,一列客车从身后开来,在身旁通过的时间是15秒钟,客车长105米,

每小时速度为28.8千米.求步行人每小时行多少千米?

【解析】 车速的单位换算为：28.8千米/小时＝8米/秒，本题是火车与人的追及问题：追及路程为105米，

追及时间是15秒，速度差为：105?15?7（米/秒），所以行人速度为：8?7?1（米/秒），1

米/秒＝3.6千米/小时。

【例 11】 铁路旁的一条与铁路平行的小路上，有一行人与骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/

时，骑车人速度为10.8千米/时，这时有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒，通过骑车人用26秒，这列火车的车身总长是多少？

【解析】 行人的速度为3.6千米/时=1米/秒，骑车人的速度为10.8千米/时=3米/秒。火车的车身长度既

等于火车车尾与行人的路程差，也等于火车车尾与骑车人的路程差。如果设火车的速度为x米/秒，那么火车的车身长度可表示为（x-1）×22或（x-3）×26，由此不难列出方程。

法一：设这列火车的速度是x米/秒，依题意列方程，得（x-1）×22=（x-3）×26。解得x=14。所以火车的车身长为：（14-1）×22=286（米）。

法二：直接设火车的车长是x, 那么等量关系就在于火车的速度上。可得：x/26＋3＝x/22＋1，

这样直接也可以x=286米

法三：既然是路程相同我们同样可以利用速度和时间成反比来解决。两次的追及时间比是：22：26＝11：13，所以可得：（V车－1）：（V车－3）＝13：11，可得V车＝14米/秒，所以火车的车长是（14-1）×22=286（米），这列火车的车身总长为286米。

【巩固】 小新以每分钟10米的速度沿铁道边小路行走，

⑴ 身后一辆火车以每分钟100米的速度超过他，从车头追上小新到车尾离开共用时4秒，那么车长多少米？ ⑵ 过了一会，另一辆货车以每分钟100米的速度迎面开来，从与小新相遇到离开，共用时3秒．那么车长是多少？

【解析】 ⑴ 这是一个追击过程，把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车．

根据前面分析过的追及问题的基本关系式：(A的车身长?B的车身长)?(A的车速?B 的车速)=从车头追上到车尾离开的时间，在这里，B的车身长车长(也就是小新)为0，所以车长

（100?10）?4?360(米)； 为：

⑵ 这是一个相遇错车的过程，还是把小新看作只有速度而没有车身长(长度是零)的火车．根据相遇问题的基本关系式，(A的车身长?B的车身长)?(A的车速?B的车速)=两车从车头相

（100?10）?3?330(米)． 遇到车尾离开的时间，车长为：

【例 12】 某解放军队伍长450米，以每秒1.5米的速度行进．一战士以每秒3米的速度从排尾到排头并

立即返回排尾，那么这需要多少时间?

【解析】 第一个过程，战士与排头兵相距一个队伍的长，也就是450米，排头兵的速度就是队伍的速度，

即每秒1.5米．这个追及过程共用时：450÷(3-1.5)=300秒．第二个过程，战士与队尾兵也相距450米，队尾兵的速度也是每秒1.5米．这个相遇过程共用时：450÷(3+1.5)=100秒．整个过程一共用时300+100=400秒．

【巩固】 一支队伍1200米长,以每分钟80米的速度行进.队伍前面的联络员用6分钟的时间跑到队伍末

尾传达命令.问联络员每分钟行_____米.

?6?20(0米/分)，所以联络员的速度为【解析】 队伍与联络员是相遇问题，所以速度和为1200200?80?12(0米/分).

【例 13】 （2008年北京“数学解题能力展示”读者评选活动六年级初赛）A、B两地相距22.4千米。有

一支游行队伍从A地出发，向B匀速前进。当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，乙向A步行，甲骑车先追向队头，追上之后又立即骑向队尾，到达队尾之后又掉头追队头，如此反复，当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距离A地还有________千米。

【解析】 假设每次甲从队尾追上队头行了akm，从队头回到队尾行了bkm，则

?5a?4b?16.8， ?7a?6b?22.4?所以a?b?2.8。

a?5.6，b?2.8。乙离A为：14.4km。

模块三、火车与火车的相遇与追及

【例 14】 快车A车长120米，车速是20米/秒，慢车B车长140米，车速是16米/秒。慢车B在前面行驶，

快车A从后面追上到完全超过需要多少时间？

【解析】 从“追上”到“超过”就是一个“追及”过程，比较两个车头，“追上”时A落后B的车身长，

“超过”时A领先B(领先A车身长)，也就是说从“追上”到“超过”，A的车头比B的车头多走的路程是：B的车长?A的车长，因此追及所需时间是：(A的车长?B的车长)?(A的车速?B（120?140）（?20?16）的车速)．由此可得到，追及时间为：(A车长?B车长)?(A车速?B车速)?

?65(秒)．

【巩固】 慢车的车身长是142米，车速是每秒17米，快车车身长是173米，车速是每秒22，慢车在前面

行驶，快车从后面追上到完全超过慢车需要多少时间?

【解析】 根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及情况，（142＋173）÷（22－17）＝63（秒）

【巩固】 有两列火车,一列长102米,每秒行20米;一列长120米,每秒行17米.两车同向而行,从第一列

车追及第二列车到两车离开需要几秒？

【解析】 根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及情况，（102＋120）÷（20－17）＝74（秒）

【巩固】 有两列火车，一列长200米，每秒行32米；一列长340米，每秒行20米.两车同向行驶，从第

一列车的车头追及第二列车的车尾，到第一列车的车尾超过第二列车的车头，共需多少秒？ 【解析】 根据题目的条件可知，本题属于两列火车的追及情况：?200?340???32?20??45（秒）

【巩固】 慢车车身长125米，车速17米/秒；快车车身长140米，车速22米/秒；慢车在前面行驶，快车

从后面追上到完全超过需要多长时间？

【解析】 这是两辆火车的追及问题，根据前面分析过的追及问题的基本关系式：(A的车身长?B的车身

长)?(A的车速?B的车速)=从车头追上到车尾离开的时间，所以快车从后面追上到完全超过需

（125?140）（?22?17）?53(秒)． 要：【例 15】 一列长72米的列车，追上长108米的货车到完全超过用了10秒，如果货车速度为原来的1.4倍，那么列车追上到超过货车就需要15秒。货车的速度是每秒多少米？

【解析】 根据题目的条件，可求出两列火车原来的速度之差，当货车速度为原来的1.4倍后，也可求出列

车与加速后的货车速度之差，再根据前后两次速度之差的变化，就可求出货车的速度。两列火车的长度和：72+108=180（米）列车与货车原来速度差：180÷10=18（米）列车与加速后货车的速度差：180÷15=12（米）货车的速度是：（18-12）÷（1.4-1）=15（米）

【例 16】 从北京开往广州的列车长350米，每秒钟行驶22米，从广州开往北京的列车长280米，每秒钟

行驶20米，两车在途中相遇，从车头相遇到车尾离开需要多少秒钟？

【解析】 从两车车头相遇到车尾离开时，两车行驶的全路程就是这两列火车车身长度之和．解答方法是：

(A的车身长?B的车身长)?(A的车速?B的车速)?两车从车头相遇到车尾离开的时间

也可以这样想，把两列火车的车尾看作两个运动物体，从相距630米(两列火车本身长度之和)的两地相向而行，又知各自的速度，求相遇时间．两车车头相遇时，两车车尾相距的距离：350?280?630(米)两车的速度和为：22?20?42(米/秒)；从车头相遇到车尾离开需要的时间

（350?280）（?22?20）?15(秒)． 为：630?42?15(秒)。综合列式：

【巩固】 一列客车长190米，一列货车长240米，两车分别以每秒20米和23米的速度相向行进，在双

轨铁路上，两车从车头相遇到车尾相离共需要多少时间.

【解析】 两车从车头相遇到车尾相离,相向而行走的路程是两辆火车的车身的长度240+190=430米.除以两

辆车的速度和23+20=43米,430÷43=10秒.

【巩固】 两列火车,一列长120米,每秒行20米;另一列长160米,每秒行15米,两车相向而行,从车头相

遇到车尾离开需要几秒钟?

【解析】 两车从车头相遇到车尾相离,相向而行走的路程是两辆火车的车身的长度120+160=280（米），除

以两辆车的速度和20+15=35米,280÷35=8（秒）。

【巩固】 一列快车全长250米，每秒行15米；一列慢车全长263米，每秒行12米．

⑴ 两列火车相向而行，从车头相遇到车尾离开，要几秒钟？

⑵ 两列火车同向而行，从快车车头追上慢车车尾到快车车尾追上慢车车头，需要几秒钟？

【解析】 ⑴ 这是一个相遇错车的过程，根据前面的分析，两列车共走的路程是两车车长之和为

250?263?513(米),两列车的速度和为15?12?27(米/秒)，513?27?19(秒)，所以从车头相遇到车尾离开要19秒．

⑵ 这是一个超车过程，也就是一个追及过程，路程差为两车车长和．所以超车时间为： （250?263）（?15?12）?171(秒)．

【例 17】 快车长106米，慢车长74米，两车同向而行，快车追上慢车后，又经过1分钟才超过慢车；如

果相向而行，车头相接后经过12秒两车完全离开。求两列火车的速度。

【解析】 根据题目的条件，可求出快车与慢车的速度差和速度和，再利用和差问题的解法求出快车与慢车

的速度。两列火车的长度之和：106＋74=180（米）快车与慢车的速度之差：180÷60=3（米）快车与慢车的速度之和：180÷12＝15（米）快车的速度：（15＋3）÷2=9（米）慢车的速度：（15-3）÷2＝6（米）

【巩固】 长180米的客车速度是每秒15米，它追上并超过长100米的货车用了28秒，如果两列火车相

向而行，从相遇到完全离开需要多少时间？

【解析】 根据题目的条件，可求出客车与货车的速度差，再求出货车的速度，进而可求出两车从相遇到完

全离开需要的时间。两列火车的长度之和：180＋100=280（米）两列火车的速度之差：280÷28=10（米）货车速度：15-10=5（米）两列火车从相遇到完全离开所需的时间：280÷（15＋5）＝14（秒）

【例 18】 有两列同方向行驶的火车，快车每秒行33米，慢车每秒行21米．如果从两车头对齐开始算，

则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行25秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？

慢车快车慢车快车快车慢车慢车快车

（33?21）?20?240(米)； 【解析】 如图，如从车头对齐算，那么超车距离为快车车长，为：

（33?21）?25?300(米)． 如从车尾对齐算，那么超车距离为慢车车长，为

（300?240）（?33?21）?10(秒)． 由上可知，两车错车时间为：

【巩固】 现有两列火车同时同方向齐头行进,行12秒后快车超过慢车.快车每秒行18米,慢车每秒行10

米.如果这两列火车车尾相齐同时同方向行进,则9秒后快车超过慢车,求当快车车头追上慢车车尾到快车车尾离开慢车车头的时间.

)12?96米）【解析】 快车车长为(18?10?（，慢车车长为(18?10)?9?72（米），所以超车时间为

(96?72)?(18?10)?21（秒）

【例 19】 快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行,当快车车尾接慢车车

尾时,求快车穿过慢车的时间?

【解析】 91秒本题属于两列火车的追及情况，182÷（20－18）＝91（秒）

【巩固】 快车长182米,每秒行20米,慢车长1034米,每秒行18米.两车同向并行,当两车车尾齐时,快车

几秒可越过慢车?

【解析】 车头尾相齐时快车比慢车多走一个慢车长，所以1034?(20?18)?517（秒）

【例 20】 有两列同方向行驶的火车，快车每秒行30米，慢车每秒行22米。两车头对齐开始， 24秒快

车超过慢车，两车尾对齐开始，28秒后快车超过慢车。快车长多少米，满车长多少米？

【解析】 快车每秒行30米，慢车每秒行22米。如果从辆车头对齐开始算，则行24秒后快车超过慢车，

每秒快8米，24秒快出来的就是快车的车长192m，如果从辆车尾对齐开始算，则行28秒后快车超过慢车那么看来这个慢车比快车车长，长多少呢？长得就是快车这4秒内比慢车多跑的路程啊 4×8＝32，所以慢车224．

【巩固】 甲乙两列火车,甲车每秒行22米,乙车每秒行16米,若两车齐头并进,则甲车行30秒超过乙车;

若两车齐尾并进,则甲车行26秒超过乙车.求两车各长多少米?

【解析】 两车齐头并进：甲车超过乙车,那么甲车要比乙车多行了一个甲车的长度.每秒甲车比乙车多行

22-16=6米,30秒超过说明甲车长6×30=180米。两车齐尾并进：甲超过乙车需要比乙车多行一整个乙车的长度,那么乙车的长度等于6×26=156米。

【巩固】 长180米的客车速度是每秒15米，它追上并超过长100米的货车用了28秒，如果两列火车相向

而行，从相遇到完全离开需要多长时间？

【解析】 根据题目的条件，可求出客车与货车的速度差，再求出货车的速度，进而可以求出两车从相遇到

完全离开需要的时间，

两列火车的长度之和为：180?100?280(米) 两列火车的速度之差为：280?28?10(米/秒) 货车的速度为：15?10?5(米)

（15?5）?14(秒)． 两列火车从相遇到完全离开所需时间为：280?

【例 21】 铁路货运调度站有A、B两个信号灯，在灯旁停靠着甲、乙、丙三列火车。它们的车长正好构成

一个等差数列，其中乙车的的车长居中，最开始的时候，甲、丙两车车尾对齐，且车尾正好位于A信号灯处，而车头则冲着B信号灯的方向。乙车的车尾则位于B信号灯处，车头则冲着A的方向。现在，三列火车同时出发向前行驶，10秒之后三列火车的车头恰好相遇。再过15秒，甲车恰好超过丙车，而丙车也正好完全和乙车错开，请问：甲乙两车从车头相遇直至完全错开一共用了几秒钟？

【解析】 8.75秒

模块四、综合问题

【例 22】 某列车通过250米长的隧道用25秒，通过210米长的隧道用23秒，若该列车与另一列长150

米.时速为72千米的列车相遇，错车而过需要几秒钟？

【解析】 根据另一个列车每小时走72千米，所以，它的速度为：72000÷3600＝20（米/秒），某列车的速

度为：（25O－210）÷（25－23）＝40÷2＝20（米/秒）某列车的车长为：20×25-250＝500-250＝250（米），两列车的错车时间为：（250＋150）÷（20＋20）＝400÷40＝10（秒）。

【巩固】 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长

88米，速度为每秒22米的列车错车而过，问需要几秒钟？

【解析】 通过前两个已知条件，我们可以求出火车的车速和火车的车身长．车速为：

（342?234）（?23?17）?18(米)，车长：18?23?342?72(米)， 两车错车是从车头相遇开始，

直到两车尾离开才是错车结束，两车错车的总路程是两个车身之和，两车是做相向运动，所以，

（72?88）（?18?22）?4(秒)，根据“路程和?速度和?相遇时间”，可以求出两车错车需要的时间为所与两车错车而过，需要4秒钟．

【例 23】 在双轨铁道上，速度为54千米/小时的货车10时到达铁桥，10时1分24秒完全通过铁桥，后来

一列速度为72千米/小时的列车，10时12分到达铁桥，10时12分53秒完全通过铁桥，10时48分56秒列车完全超过在前面行使的货车．求货车、列车和铁桥的长度各是多少米？

【解析】 先统一单位：54千米/小时?15米/秒，72千米/小时?20米/秒，

1分24秒?84秒，48分56秒?12分?36分56秒?2216秒．

货车的过桥路程等于货车与铁桥的长度之和，为：15?84?1260(米)； 列车的过桥路程等于列车与铁桥的长度之和，为：20?53?1060(米)．

考虑列车与货车的追及问题，货车10时到达铁桥，列车10时12分到达铁桥，在列车到达铁桥时，货车已向前行进了12分钟(720秒)，从这一刻开始列车开始追赶货车，经过2216秒的时间完全超过货车，这一过程中追及的路程为货车12分钟走的路程加上列车的车长，所以列车的长度为

?20?15??2216?15?720?280(米)，那么铁桥的长度为1060?280?780(米)，货车的长度为

1260?780?480(米)．

【巩固】 一列客车通过250米长的隧道用25秒，通过210米的隧道用23秒．已知在客车的前方有一列

行驶方向与它相同的货车，车身长为320米，速度每秒17米，求客车与货车从相遇到离开所用的时间．

【解析】 客车用23秒通过一个210米的隧道，用25秒通过250米的隧道，由对过程1的分析我们知道，

在25-23=2秒中，客车行进了250-210=40米，所以客车的速度是每秒40÷2=20米．23秒内，客车走的路程是20×23=460米，这段路是210米的隧道长和一个车长，所以客车车身长为： 460-210=250米．在追及情况下，客车是快车，货车是慢车，由分析中的过程2，可以直接得到(250+320)÷(20-17)=190秒．

【例 24】 马路上有一辆车身长为15米的公共汽车由东向西行驶，车速为每小时18千米．马路一旁的人行

道上有甲、乙两名年轻人正在练长跑，甲由东向西跑，乙由西向东跑．某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲；半分钟之后，汽车遇到了迎面跑来的乙；又过了2秒钟汽车离开了乙．问再过多少秒以后甲、乙两人相遇？

车走30秒乙车走6秒甲乙走2秒甲乙二人的间隔距离甲走32秒甲走6秒

【解析】 车速为每秒：18?1000?3600?5(米)，由“某一时刻，汽车追上了甲，6秒钟后汽车离开了甲”，

（5?6?15）?6?2.5(米)；可知这是一个追及过程，追及路程为汽车的长度，所以甲的速度为每秒：

而汽车与乙是一个相遇的过程，相遇路程也是汽车的长度，所以乙的速度为每秒：

（5?2.5）（?0.5?60?2）?80(米)，（15?5?2）?2?2.5(米)．汽车离开乙时，甲、乙两人之间相距：

（2.5?2.5）?16(秒)． 甲、乙相遇时间：80?

【巩固】 一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正

向北步行。14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。问：工人与学生将在何时相遇？

【解析】 工人速度是每小时30-0.11/（15/3600）=3.6千米，学生速度是每小时（0.11/12/3600）-30=3

千米，14时16分到两人相遇需要时间（30-3.6）*6/60/（3.6+3）=0.4（小时）=24分钟，14时16分+24分=14时40分

【例 25】 甲、乙二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从甲身边开过用了8秒钟，离甲后5分钟又

遇乙，从乙身边开过，只用了7秒钟，问从乙与火车相遇开始再过几分钟甲乙二人相遇？

【解析】 火车开过甲身边用8秒钟，这个过程为追及问题：火车长＝（V车-V人）×8；火车开过乙身边

用7秒钟，这个过程为相遇问题

火车长=（V车+V人）×7.可得8（V车-V人）＝7（V车+V人），所以V车=l5V人.甲乙二人的间隔是：车走308秒的路－人走308秒的路，由车速是人速的15倍，所以甲乙二人间隔15×308－308＝14×308秒人走的路 。两人相遇再除以2倍的人速。所以得到7×308秒＝2156秒

【巩固】 两人沿着铁路线边的小道,从两地出发,以相同的速度相对而行.一列火车开来,全列车从甲身边

开过用了10秒.3分后,乙遇到火车,全列火车从乙身边开过只用了9秒.火车离开乙多少时间后两人相遇?

【解析】 分析 根据题意图示如下：

A1、B1 分别表示车追上甲时两人所在地点， A2、B2 分别为车从甲身边过时两人所在地点， A3、

B3 分别为车与乙相遇时两人所在地点，A4、B4分别为车从乙身边开过时两人所在地点。要求车从乙身边开过后甲乙相遇时间用A4到B4之间的路程除以两人速度和。

（1）求车速（车速-1）×10=10×车速-10=车长（车速+1）×9 = 9×车速+ 9=车长比较上面两

式可知车速是每秒19米。 （2）A3到B3的路程，即车遇到乙时车与甲的路程差，也是甲与乙的相距距离。（19-1）×（10+190）=3420（米）

（3）A4到B4的路程，即车从乙身边过时甲乙之间的路程。3420-（1+1）×9=3402（米） （4）车离开乙后，甲乙两人相遇的时间为3402÷（1+1）=1701（秒）

【例 26】 小明沿着长为100米的桥面步行．当他走到桥头A时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥

头A．100秒钟后，小明走到桥尾B，火车的车尾恰好也到达桥尾B．已知火车的速度是小明速度的3倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？

桥头A桥头B火车桥桥头A火车火车行驶的距离桥头B桥

【解析】 建议教师画图分析．小明的速度是：100?100?1(米/秒)，火车的速度是：3?1?3(米/秒)，由

图可以看出，火车的长度是火车行驶的路程加上桥长，即火车的长度是：3?100?100?400(米)，

（400?100）?3?167(秒)． 所以火车过桥用了：【例 27】 (第二届希望杯第二试)两列在各自轨道上相向而行的火车恰好在某道口相遇，如果甲列车长

225米，每秒钟行驶25米，乙列车每秒行驶20米，甲、乙两列车错车时间是9秒，求： ⑴ 乙列车长多少米？

⑵ 甲列车通过这个道口用多少秒？

⑶ 坐在甲列车上的小明看到乙列车通过用了多少秒？

【解析】 ⑴ 这是一个典型的相遇问题，根据前面的分析，已知两车的速度和相遇的时间，可以求出两

（25?20）?9?405(米)，那么乙列车的长度为：405?225?180(米)． 车的长度和，为：

⑵ 把道口看作是没有速度没有长度的火车，那么甲车通过道口的路程也就是甲列车的长，所以

甲列车通过道口的时间为：225?25?9(秒)．

⑶ 小明坐在甲车上，实际上是以甲车的速度和乙车相遇，路程和是乙车的车长，所以小明看到

（25?20）?4(秒)． 乙列车通过用了：180?

【例 28】 铁路与公路平行．公路上有一行人，速度是4千米／小时，公路上还有一辆汽车，速度是64千米

／小时，汽车追上并超过这个行人用了2.4秒．铁路上有一列火车与汽车同向行驶，火车追上并超过行人用了6秒，火车从车头追上汽车车尾到完全超过这辆汽车用了48秒．求火车的长度与速度． 16010米/秒，64千米/小时?米/秒．

99?16010????2.4?40(米)． 汽车追上并超过行人用了2.4秒，所以汽车车长为?9??9【解析】 4千米/小时? 火车追上并超过行人用了6秒，所以火车行驶6秒的路程等于行人走6秒的路程加上火车车长；

火车从车头追上汽车车尾到完全超过这辆汽车用了48秒，所以火车行驶48秒的路程等于汽车行驶48秒的路程加上火车与汽车的车长之和；

那么火车行驶42秒的路程，等于汽车行驶48秒与行人走6秒的路程差加上汽车的车长，所以火

10190?160??48??6?40???48?6??车的速度为：?(米/秒)?76(千米/小时)，火车车长为

99?9??19010????6?120(米)． ?9??9

【例 29】 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米．两车错车时，甲车上一乘

客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，乙车上也有一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了11秒，那么站在铁路旁的的丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用多少时间？

【解析】 首先统一单位：甲车的速度是每秒钟36000?3600?10(米)，乙车的速度是每秒钟54000?3600

?15(米)．此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇．更具体的说是和乙车的车

（10?15）?14?350 尾相遇．路程和就是乙车的车长．这样理解后其实就是一个简单的相遇问题．

(米)，所以乙车的车长为350米．同理甲车车长为(10?15)?11?275米，所以两列火车的错车时间为(350?275)?(10?15)?25秒.

课后练习

【例 29】 两列火车相向而行，甲车每小时行36千米，乙车每小时行54千米．两车错车时，甲车上一乘

客发现：从乙车车头经过他的车窗时开始到乙车车尾经过他的车窗共用了14秒，乙车上也有一乘客发现：从甲车车头经过他的车窗时开始到甲车车尾经过他的车窗共用了11秒，那么站在铁路旁的的丙，看到两列火车从车头相齐到车尾相离时共用多少时间？

【解析】 首先统一单位：甲车的速度是每秒钟36000?3600?10(米)，乙车的速度是每秒钟54000?3600

?15(米)．此题中甲车上的乘客实际上是以甲车的速度在和乙车相遇．更具体的说是和乙车的车

（10?15）?14?350 尾相遇．路程和就是乙车的车长．这样理解后其实就是一个简单的相遇问题．

(米)，所以乙车的车长为350米．同理甲车车长为(10?15)?11?275米，所以两列火车的错车时间为(350?275)?(10?15)?25秒.

课后练习

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