平面向量在中等数学教学中的应用

第２１卷常州师范专科学校学报２００３年第２期

平面向量在中等数学教学中的应用

耿庆心

（常州旅游学校，江苏常州２１３０００）

摘要：平面向量是高中数学引入的一个新概念。利用平面向量的定义、定理、性质及有关公式，可以简化解题过程，便于学生的理解和掌握。

关键词：教学；平面向量；数形结合

平面向量是高中数学引入的一个新概念，它一对实数ｘ，Ｙ，使ｍ＝ｘａ＋ｙｂ。

在高等数学中应用较为普遍。在中学数理学习中４．平行向量基本定理

已经多次用到平面向量，如三角函数线，复数的向量表示，物理中力的分解与合成，都能从平面向量如果向量ｂ≠ｏ，则ａ／／ｂ的充分必要条件是，存

的角度得到好的解释。高中数学教材中，以平面向在唯一实数入，使ａ＝ｈｂ。

量作为主线索，是以前教材编排上的一大改进。本５．向量的夹角公式

文通过若干实例，谈谈平面向量在中等数学中的——｝

－４＇——’呻

设ｍ＝（ａ，ｂ），ｎ＝（ｃ，ｄ），＜ｍ，ｎ＞＝ｅ。

应用，供读者参考。

一、有关平面向量的概念、性质及公式北ｃｏｓ。２黼２诟网丽

刚…ｎ一斟～［ａｃ＋ｂｄ１．向量的数量积

ｌ一（１）已知空间两个向量ｉ，云，则ＩａＩ

ｅｏｓ＜ａ，云

二、平面向量在代数中的应用

例１、（ａ２＋ｂ２）（Ｃ２＋ｄ２）＝（ａｃ＋ｂｄ）２，其中ｃｄ≠０，

＞，叫做两个向量ａ，ｂ的数量积（或内积），记作ａ

ｌ，．、一ａ

ｂ

承让：—Ｃ—２一ｄ。

若，即ｉ 若＝川ｌｃｏｓ＜ａ’，玉

证明：引入向量ｍ＝（ａ，ｂ），ｎ＝（ｃ，ｄ），设向量ｍ，（２）已知ａ＝（ａ１，８２）ｂ＝（ｂｌ，ｂ２），则ａ ｂ＝ａｌｂｌ＋ａ２ｂ２２．向量数量积的性质

ｎ的夹角为０，由向量的夹角公式得

（１）ａＪ－ｂ铮ａ ｂ＝Ｏ。（可用以证明垂直问题）

ｃ０８２ｅ２【识雨而ｊ

『

ａｃ＋ｂｄ

１

２＋÷

（２）ｆｉｆ－ａ ａ。（可用以计算长度问题）

一

（坐±鲤２

３．共面向量定理

一（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）

＋

聿

如果两个向量ａ，ｂ不共

÷—｝

线，则向量ｉｎ与向量ａ，ｂ共面的充要条件是，存在唯一的

守

由已知条件可得，ＣＯＳ２０＝１ｌｊＰｃｏｓＯ＝＿＿．１，得０＝０或１Ｔ

所以；∥二

由平行向量的基本定理可得，ｍ＝ｈｎ，即（ａ，ｂ）

作者简介：耿庆心（１９６５一），女，常州旅游学校中学一级教师。

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方数据

１２

常州师范专科学校学报２００３年４月

＝入（ｃ，ｄ）所以｛茎慧于是詈＝百ｂ。

例２、设ａ、ｂ、Ｃ、ｄ∈Ｒ，求证：（ａｃ＋ｂｄ）２≤（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）。

证明：引入向量ｍ＝（ａ，ｂ），ｎ＝（ｃ，ｄ）设向量ｍ，ｎ的夹角为０，则（ａｃ＋ｂｄ）２＝（ｍ ｎ）２

＝（㈦㈦ｃｏｓ０）２

≤（圳ｎ１）２＝（ａ２＋ｂ２）（ｃ２＋ｄ２）

类似地，可以证明ａ＋ｂ３）２≤（ａ４＋ｂ４）（ｃ２＋ｄ２）。例１的证明过程利用了夹角公式及平行向量的基本定理，例２仅用了向量的数量积的定义，整个证明过程非常简洁明了，避免了用不等式证明过程的冗长与繁琐。

三、平面向量在解析几何中的应用例３、一个圆的直径的端点为Ａｘ，，Ｙ。），Ｂ

ｘ２，

Ｙ：），试证明圆的方程（ｘ—ｘ，）（Ｘ－－Ｘｚ）＋（ｙ－ｙ ）（ｙ－Ｙｚ）＝

０。

证明：设Ｐ（ｘ，ｙ）为圆上的一动点，

则向量商的坐标为（ｘ—ｘ。，ｙ－ｙ。），Ｂ－－Ｐ的坐标为

（Ｘ－－Ｘ：，ｙ－ｙｚ），＝因为点Ｐ（ｘ，ｙ）在圆上，

所以商上鄙，即商．鄙：ｏ

由向量的运算性质得，（ｘ—ｘ。）（ｘ＿ｘ：）＋（ｙ—ｙ。）（ｙ－ｙ２）＝０。

这样构造向量来证明，要比用斜率证明简单明了，可免去对斜率是否存在的讨论。

四、平面向量在立体几何中的应用

例４、如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面

已知：ｍ、ｎ是平面仅内的两条相交直线，直线ｌ与ｏｒ．的交点为Ｂ，且ｌ上ｉｎ、Ｉ上ｎ。求证：１上仅。

分析：在仪内平移ｍ、ｎ，使它们都通过点Ｂ，这时ｍ、ｎ仍保持和ｌ垂直，过点Ｂ引任一条不与ｍ、ｎ重合的直线ｇ，如果我们能根据ｌｊ＿ｍ，且ｌ上ｎ，推出ｌ上ｇ，那么就证明了直线与过点Ｂ的所有直线都垂直，即垂直１３．。

证明：在Ｉ、ｍ、ｎ、ｇ上分别取非零向量ｌ、ｍ、ｎ、

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方数据因ＩＴＩ与ｎ相交，由平面向量基本定理可知，

存在唯一的数对（ｘ，ｙ）

÷——’

呻

使ｇ＝ｘｍ＋ｙｎ

￡ＢＡＡ，＿［ＤＡＡ７＝６０。．

求ＡＣ７的长。

解： ． 面荸：蕊＋商＋商． ．１密｜‘＝（商＋商＋密）２

＝ｌ商｜‘＋｜商Ｈ商ｌ‘＋２（Ａ－－京 商＋商 密＋商 蔚）

－－４２＋３２＋５２＋２（０＋１０＋７．５）：８５

．。．Ｉ蔚ｌ＝、／８５

用立几法求解，都是相当繁琐的，图形复杂，证明复杂，计算复杂，部分空间想象能力差的同学很难掌握。课堂上，用立几方法和向量方法进行教学，通过学生学习的情况表明，向量方法便于学生的理解、掌握。

从上述例子可以看到，用向量方法解题的一般步骤：首先把代数式、线段或角转化为用向量表示，并用已知向量表示未知向量，再通过向量的有关公式、定理及性质的运用，去计算或证明相关的命题。在中学里引入向量，不仅仅局限于将复杂的问题简单化，更主要的是使同学们的思维深化，把直觉思维逐步引向理性逻辑思维，充分体现数形结合的数学思想方法，使同学们能尽快地适应从中学学习方式到大学学习方式的转化，有利于同学们将来继续学习深造。

平面向量在中等数学教学中的应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：

耿庆心

常州旅游学校,江苏,常州,213000常州师范专科学校学报

CHANGZHOU TEACHERS' COLLEGE JOURNAL2003,21(2)

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