18版高中数学第二章平面向量2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案

。 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 内部文件，版权追溯 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义.(重点) 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算.(重点)

3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题.(难点)

4.理解实数相乘与向量数乘的区别.(易混点)

[基础·初探]

教材整理1 向量的数乘运算

阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题.

1.定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa.

2.规定：(1)|λa|＝|λ||a|.(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.

3.运算律：

设λ，μ为实数，则 (1)λ(μa)＝λμa； (2)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (3)λ(a＋b)＝λa＋λb. 特别地，我们有

(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________. ①a与－λa的方向相反； ②|－λa|≥|a|；

1

③a与λa方向相同； ④|－2λa|＝2|λ|·|a|.

【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确. 【答案】 ③④

教材整理2 共线向量与向量的线性运算

阅读教材P88例5以下至P89例7以上内容，完成下列问题. 1.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 2.向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

→→→

如图2-2-18，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO，则λ＝________.

2

图2-2-18

→→→

【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB＋AD＝AC. 又∵O是AC的中点，∴AC＝2AO， →→→→→∴AC＝2AO，∴AB＋AD＝2AO， ∴λ＝2. 【答案】 2

[小组合作型]

数乘向量的定义及其几何意义

(1)若两个非零向量a与(2x－1)a方向相同，则x的取值范围为________. (2)已知点C在线段AB的延长线上(在B点右侧)，且AB∶AC＝2∶3. →→①用BC表示AB； →→②用CB表示AC.

2

【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识： λ>0时，λa与a同向，模是|a|的λ倍； λ<0时，λa与a反向，模是|a|的－λ倍； λ＝0时，λa＝0.

1

【自主解答】 (1)由定义可知，2x－1>0，即x>.

21

【答案】 x>

2

(2)如图a，因为点C在线段AB的延长线上，且AB∶AC＝2∶3，所以AB＝2BC，AC＝3BC.

→→→→

①如图b，向量AB与BC方向相同，所以AB＝2BC； →→→→

②如图c，向量AC与CB方向相反，所以AC＝－3CB.

对向量数乘运算的三点说明：

(1)λa中的实数λ叫做向量a的系数.

(2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小. (3)当λ＝0或a＝0时，λa＝0.注意是0，而不是0.

[再练一题]

1.已知a，b是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由. (1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍； 1

(2)－3a的方向与6a的方向相反，且－3a的模是6a的模的；

2(3)－4a与4a是一对相反向量； (4)a－b与－(b－a)是一对相反向量；

(5)若a，b不共线，则0·a与b不共线. 【导学号：00680042】 【解】 (1)真命题.∵2>0，∴2a与a同向. ∵|2a|＝2|a|，

∴2a的模是a的模的2倍. (2)真命题.∵－3<0，

∴－3a与a方向相反且|－3a|＝3|a|. 又∵6>0，∴6a与a方向相同且|6a|＝6|a|，

3

1

∴－3a与6a方向相反且模是6a的模的. 2(3)真命题.由数乘定义和相反向量定义可知. (4)假命题.

∵a－b与b－a是相反向量， ∴a－b与－(b－a)是相等向量. (5)假命题.0·a＝0，∴0·a与b共线.

向量的线性运算

(1)化简：(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝________. (2)已知向量a，b，x，且(x－a)－(b－x)＝x－(a＋b)，则x＝________. 【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解.

【自主解答】 (1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＝2a－3a＋3b＋2b－c－c＝－a＋5b－

2c. (2)因为(x－a)－(b－x)＝2x－(a＋b)，所以2x－a－b＝x－a－b，即x＝0. 【答案】 (1)－a＋5b－2c (2)0

向量数乘运算的方法：

(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数.

(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算.

[再练一题] 1?1

2.化简?2a＋8b3?2A.2a－b C.b－a

－4a－2b??的结果是( )

?

B.2b－a D.a－b

11【解】 原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(6b－3a)＝2b－a.

33【答案】 B

[探究共研型]

4

向量共线问题

探究1 已知m，n是不共线向量，a＝3m＋4n，b＝6m－8n，判断a与b是否共线？ 【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a＝λb即可. 若a与b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，即3m＋4n＝λ(6m－8n).

??6λ＝3，

∵m，n不共线，∴?

??－8λ＝4.

∵不存在λ同时满足此方程组，∴a与b不共线.

探究2 已知e1，e2是共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝6e1－8e2，则a与b是否共线？ 【提示】 ∵e1，e2共线， ∴存在λ∈R，使e1＝λe2.

∴a＝3e1＋4e2＝3λe2＋4e2＝(3λ＋4)e2，

b＝6e1－8e2＝6λe2－8e2＝(6λ－8)e2，

4?3λ＋4?

∴a＝b?λ≠?，

3?6λ－8?∴a与b共线.

4

当λ＝时，b＝0，∴a与b共线.

3

探究3 设两非零向量e1和e2不共线，是否存在实数k，使ke1＋e2和e1＋ke2共线？ 【提示】 设ke1＋e2与e1＋ke2共线， ∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.

??k－λ＝0，

∵e1与e2不共线，∴只能有?

?λk－1＝0，?

则k＝±1.

已知非零向量e1，e2不共线.

如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线. 【精彩点拨】 欲证A，B，D共线，只需证存在实数λ，使BD＝λAB即可. 【自主解答】 ∵AB＝e1＋e2，

→→→→→→→→→BD＝BC＋CD＝2e1＋8e2＋3e1－3e2

＝5(e1＋e2)

5

＝5AB.

∴AB，BD共线，且有公共点B， ∴A，B，D三点共线.

1.本题充分利用了向量共线定理，即b与a(a≠0)共线?b＝λa，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值.

2.向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线.

[再练一题]

→→→

3.设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 【导学号：70512028】

【解】 设存在k∈R，使得A，B，D三点共线，

→→→→

∵DB＝CB－CD＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，AB＝2e1＋ke2. →→

又∵A，B，D三点共线，∴AB＝λDB， ∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，

??2＝－λ，∴?

?k＝4λ，?

→→→

∴k＝－8，

所以存在k＝－8，使得A，B，D三点共线.

1.下列各式中不表示向量的是( ) A.0·a C.|3a|

B.a＋3b D.

1

e(x，y∈R，且x≠y) x－y【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量. 【答案】 C

2.下列计算正确的个数是( )

①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.

6

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】 因为(－3)·2a＝－6a，故①正确；②中，左＝2a＋2b－2b＋a＝3a成立，故

②正确；③中，左＝a＋2b－2b－a＝0≠0，故③错误.

【答案】 C

????3.?3a＋b＋c?－?2a＋b－c?等于( ) ?

??1234?A.a－b＋2c C.a＋b＋2c

1454B.5a－b＋2c D.5a＋b

1454131?????13?【解析】 ?3a＋b＋c?－?2a＋b－c?＝(3a－2a)＋?b－b?＋(c＋c)＝a－b＋2c.故

?

2??4??24?4选A.

【答案】 A

→→

4.O为平行四边形ABCD的中心，AB＝4e1，BC＝6e2，则3e2－2e1＝________.

→

【解析】 设点E为平行四边形ABCD的BC边中点，点F为AB边中点，则3e2－2e1＝BE→→→＋BF＝BO＝OD.

→→

【答案】 OD(或BO)

→→→

5.在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，证明：直线AD∥BC. 【导学号：00680043】

→→→→→→

【证明】 ∵AD＝AC＋CD＝AB＋BC＋CD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b→→→

＝2(－4a－b)＝2BC，∴AD与BC共线.

又AD与BC不重合，∴直线AD∥BC.

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