电磁学小论文 - 图文

条形磁铁垂直穿过金属圆环时电

流变化图像

马雪骁pb14204062 当条形磁铁垂直穿过圆环时，会产生感应电流，那么电流随时间变化的函数是怎样的？首先来讨论一下最简单的情况，当条形磁铁的直径远小于圆环的直径时，且条形磁铁的位于圆环的中轴线上。 因为条形磁铁的两极的尺度远小于圆环直径，所以用磁荷法将比较方便。

将条形磁铁的两端等效成两磁荷，求这两磁荷在空间之中的磁场强度H的分布。

以条形磁铁所在的直线为y轴，上端为N极，下端为S极，两端的面积为S，磁铁的磁化强度为M。垂直与其中心得O点为x轴建立直角坐标系。同时设圆环的半径为R，电阻为r1，圆心处的初始坐标为（0，z0）, 条形磁铁的总长设为2a。

当条形磁铁以速度v在轴上运动的时候，相当于环形磁铁沿轴线做反向的运动。即金属圆环切割磁力线而形成电动势。所以所求的H仅x轴向分量有用。两极的等效磁荷大小为|q|=SJ=Sμ0M，于是正磁荷对（R,z）处的磁场强度的x分量为 Hx=

kqsin?kqR?2（z?a)?R2(R2?(z?a)2)3/2；其中k为1/4πμ0；sinθ在图中以

kqR3/2（R2?(z?a)2）标出。同理可知负磁荷在（R,z）处产生的磁场强度为-，

于是在（R,z）点水平方向总磁场强度

kqRkqR-3/2(R2?(z?a)2)3/2（R2?(z?a)2）Hx为

；因为整个圆环具有良好的对称性所以

圆环上每个圆弧微元垂直切割磁场的磁感大小都是μ0Hx；于是电流I的表达式为I=2πRμ0Hxv，

即I=2πRμ0v（的函数z=z0-vt。

kqRkqR-3/2(R2?(z?a)2)3/2（R2?(z?a)2））/r；其中z是时间

实际的情况之下条形磁铁两端的尺度大小往往并不远小于圆环的面积大小，本文对正四棱柱形的条形磁铁的从圆环中轴线线上穿过的情况加以讨论。

设条形磁铁的两极是正方形，正方形的边长为2n，其他条形不变，为了解决这个问题我们先来解决一个较为简单的问题，如图2所示长为2n的条形棒，线电荷密度为η，求距离其中心处d的磁场强度。我们取下半段进行计算，设微元dn，微元到棒中心的位置为s，则它到所求点的距离为s2?d2；微元电荷产生的电场强度在d方向上的投影大小为E上的电场强度大小为?0E下=

?n4??0dd?a22nds?d22；于是下半段在d所在直线方向

dd?s22?ds4??0(d?s)22?；将s/d换元成tanθ得

；根据对称性知上半段的条形棒与下半段的条形

棒在仅有平行的方向的合电场，所以E=

?n2??0dd2?a2

对于磁荷可以得到类似的公式：H=

?n2??0dd?a22（1），为了求（R，

z）出的Hx；将正方形的磁极条形微元之和。设条形微元到原点的

2?(R?l)2条形距离为l，先算上磁极，利用（1）并将d换为（z-a）微元在（R，x）产生的磁场强度微元

Mndl2?（z-a）?(R?l)?a?（z-a）?(R?l)22222dH为

，因为有用的仅为水平分量，

R?lz?(R?l)?R?l（z-a）?(R?l)2222所dHx=

以乘以

Mndl余弦，得

2?（z-a）?(R?l)?a?（z-a）?(R?l)22222；于是得

到积分式 Hx=?aMndl2?(z?a）?(R?l)?a?（z-a)?(R?l)22222?R?l（z-a）?(R?l)22；此式

-a2积分比较复杂但是通过将dl转换为d（R-l）可算得积分转换为

Hx=

22M（z-a）?a2?a5a2?（z-a）?aln?24?n（z-a）?a2?a5a2?（z-a)2?a。

将z-a换成z+a得下磁极在（R，z）处Hx的大小，于是 I=2μ0Hx总πRv=

22M（z-a）?a2?a5a2?（z-a）?aln?24?n（z-a）?a2?a5a2?（z-a)2?a-

M（z?a）2?a2?a5a2?（z?a）24?nln（z?a）2?a2?a??a5a2?（z?a)2?a，其中z=z0-vt。

z是时间的函数

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