数学文化期末提纲1

华东师大通识限选课程“数学文化”

期终复习提纲

2012－2013学年第二学期

1. 观察数列0.01，0.001，0.0002，0.00003，0.000005，0.0000008，0.00000013，0.000000021，??。求通项，并求数列所有各项的和。

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2. 介绍公元前6世纪萨莫斯隧道的设计方法。

大约公元前５２５年，波利克拉特斯命令开凿隧道，这条隧道有１０４０米长，直径为２米，从山坡穿过达１００米之长。最初修建这条隧道的目的，是为了将水从山的另一侧引入城里波利克拉特斯自己的首府及周围地区。 尤帕利努斯是负责隧道设计的工程师。隧道挖掘工程分头从两端开始。尤帕利努斯可能在山上布置了一条柱杆线，以便确定每一侧挖掘的起始地点。在两端的挖掘工人相互靠近之前，工程进展一切顺利。最后，竟然发现两端未能会合。但是，它们的距离已非常近，隧道很容易地便被连接起来了。

3. 分别用刘徽（3世纪）、欧几里得（Euclid, 前3世纪）、达·芬奇、伯里加尔的方法证明勾股定理。

刘徽：刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入)，结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。

达芬奇：

①：找一张12乘12的纸，如图中第一个图形画出边长为a和b的两个正方形，

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再做如图连线c，得到面积分别为a平方和b平方的两个正方形，以及两个直角边分别为a、b斜边长c的直角三角形； ②，用剪刀将六边形内部挖空，如上中图； ③，将纸沿右上图中虚线剪开；

④，将右半边纸翻面（上下翻）后与左边重新拼对；

⑤，将重新拼对的六边形按右下图所示连线，得到一个面积为c平方的正方形和两个直角边分别为a、b斜边长c的直角三角形；

⑥，推导：图①和图⑤中六边形面积相等，分别减去两个同形三角形，得到的分别是a平方加b平方，和c平方，于是可推得a平方+b平方=c平方，这个公式正是勾股定理。

英国数学家伯里加尔，用“水车翼轮法”（见下图）证明了勾股定理，他为自己的证法感到十分自豪，临终前要求儿子将其刻在自己的墓碑上。

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珀里加尔（Perigal）在1873年给出的证明，它是一种相加全等证法。

如上图所示，边长为b的正方形的面积加上边长为a的正方形的面积，等于边长为c的正方形面积。即：a2+b2=c2。 4. 写出数学上最美的五个定理。

5. 证明：正多面体只有五种。

1. 多面体的每个顶点至少在三个面上。

2. 这些相交的面处的角（也就是顶点发出的角）的和必须小于 360°。 3. 正多面体的顶点发出的角是相等的，所以这个角必须小于 360°/3 = 120°。 4. 正六边形及边更多的正多边形的角大于等于 120°，所以正多面体上的面只

能是正三角形，正方形或正五边形。于是：

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?

正三角形：每个角是 60°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/60° = 6，也就是每个顶点只能在三、四、五个面上，这分别对应于正四面体、正八面体、正二十面体；

?

正方形：每个角是 90°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/90° = 4，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正方体； 正五边形：每个角是 108°，所以正多面体每个顶点发出的角数目小于 360°/108° = 10/3，也就是每个顶点只能在三个面上，这对应于正十二面体。

?

6. 证明：素数有无穷多个。 用反证法:

假设有最大的质数q

存在Q使得：2*3*5*7*11*13*......*q=Q (Q+1)一定与Q互质

所以Q+1不能被小于等于q的质数整除 因此Q+1为质数,且Q+1>q q不是最大的质数,与假设矛盾 所以质数有无穷多个.

7. 用直尺和圆规作出已知线段的黄金分割点，并作一个黄金矩形。

8. 用尺规作一个正五边形。 做法：

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9. 证明斐波纳契命题：若a、b、c、d为正整数，且a:b ? c:d，a:b ? d:c，则

?a

2?b2??c2?d2??u2?v2?p2?q2

其中u、v、p、q均为正整数，且p?u，q?v。

10. 解决伽莫夫（G. Gamow, 1904～1968）问题：有一张破旧发黄的羊皮纸，上面指出某一无人荒岛上海盗宝藏的位置，同时指示：岛上仅有一棵橡树和一颗松树，还有一座断头台。从断头台开始直线走向橡树并记下步数，到达后向右转90°继续直走相同的步数，然后在停止处钉下一根钉子。再回到断头台直线走向松树，到达后左转90°继续直走相同的步数，同样在停止处钉下一根钉子。这时只要在两钉连线的中点处挖掘，就可以找到宝物。

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yDC (a+bi)断头台FxA(-1)OB (1)橡树松树E

一个年轻的探险家在得到这张羊皮纸后来到荒岛，他找到了两棵树，但断头台却荡然无存了！你能帮他找到宝藏位置吗？ 答案书上有例题。

11. 文艺复兴时期，艺术家将透视学用于绘画，试介绍所涉及的三个定理。 近大远小，近实远虚，平行线消失于一点定理

12. 一家旅馆有无穷多个房间，住满旅客。如何安排新来的10位旅客住宿？如何安排新来的可数无穷位旅客住宿？谈谈无限集和有限集的本质区别。

新来10位旅客：把1号房间的旅客移到11号房间，2号房间的旅客移到12号房间，3号房间的旅客移到13号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号-10号房间。

新来可数无穷位旅客：把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人可以住进去。

无限集和有限集的本质区别：无限集必可对等于它的某个真子集，有限集则无此性质。

13. 文艺复兴时期德国著名艺术家丢勒（A. Dürer, 1471-1528）在其作品《忧郁》中构造了如下四阶幻方：

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II16594310615211714I138121IVIII试尽可能多地列举出该幻方所具有的性质。

答案： 幻方的两条对角线上数字之和等于34，中间四个数字、四个角上的数字等于34，四个象限中每个象限中的四个数字之和也都等于34。另外，《犹豫》作于1514年，最后一排中间两个数字组成了该创作年份。

14. 试证明拿破仑三角形为正三角形。

15. 《爱丽丝漫游奇境记》的作者卡洛尔曾提出一个著名的几何谬论，即“64=65”：如图，将边长为8的正方形分割为四块，重新拼合成边长为5和13的矩形。由此得到64=65！

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请解决这个谬论。对于其它尺寸的正方形，会出现类似的谬论吗？

38535535335

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16. 《爱丽丝漫游奇境记》的作者卡洛尔有一个著名的几何谬论：如图，ABC为任一三角形，分别作顶角A的平分线和底边BC的垂直平分线，交于点O。过O分别作两腰AB和AC的垂线，垂足分别为D、F。易证Rt?ADO ? Rt?AFO，Rt?ODB ? Rt?OFC，从而得AD = AF，BD = CF。因此，AB = AC。因此，任意三角形均为等腰三角形！

ADFOBEC

17. 在著名的“十五子戏”中，可以根据逆序数来判定一种给定的排列能否从初始自然排列得到。问：从自然排列出发，能否得到下面两种排列？

342143481215

3711142610131597865871112109121115131415

逆序数定义：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面

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的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。如2431中，21，43，41，31是逆序，逆序数是4，为偶排列。

也是就说，对于n个不同的元素，先规定各元素之间有一个标准次序（例如n个 不同的自然数，可规定从小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序。一个排列中所有逆序总数叫做这个排列的逆序数。

自然排列的逆序数为0，为偶排列。

第一个排列的逆序数为6，为偶排列。第二个排列的逆序数为21，为奇排列。 第一个排列与自然排列奇偶性相同，因此可以从自然排列出发得到第一个排列。 第二个排列与自然排列奇偶性相反，因此不能从自然排列出发得到第二个排列。

18. 在约瑟夫问题中，若设排成一圈的人数为n，并且从1号开始按顺时针方向点数，每点

到2，第2号被扔进大海。记最后剩下的一个人位于第J(n)号。试给出J(n)与n的一般关系式，并计算J(100)和J(500)。

19. 16世纪，意大利数学家塔塔格里亚（N. Tartaglia, 1499～1557）提出如下摆渡问题：三位

美丽的新娘和她们爱吃醋的新郎一同旅行。他们来到了一条河边，但只有一条小船，小船一次只能载二人。为了避免有人吃醋，他们约定：除非自己的先生在身旁，否则任一新娘不得和其他男子在一起。记三个新郎分别为a1，a2和a3，他们的新娘分别为b1，b2和b3，问怎样安排渡河？

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20. 就两则文献发表你的任何评论。（1）陈子昂“登幽州台歌” ：“前不见古人，后不见来者。念天地之悠悠，独怆然而泪下。”（2）王蒙“生命的意义原则”：“与无限长远的永恒与无限辽阔的宇宙相比较，人类特别是人类个体就渺小得可以不计了。是的，当分母是无限大的时候，与之相比的人也好蚁也好菌也好，或者地球也好太阳系也好一个与几个银河系也好，蜉蝣之一进一夕也好，人之不满百年也好，古柏之五千岁也好，都是同样地几乎没有区别地趋向于零，趋向于可以略而不计。”

21. 英国作家洛克（W. J. Locke, 1863～1930）《Marcus Ordeyne的道德》（1905）中的男主角马库斯·奥戴尼如是说：“我年轻时曾在学校里混饭吃，教孩子一门最无用、最灾难性的、最禁锢心灵的学科，教师们无情地、愚蠢地损坏了无数同类的头脑，损毁了无数同类的生命——初等数学。上帝的地球上没有任何人有任何理由去熟悉二项式定理，和三角形的求解，除非他是职业科学家……回想起那些为了面包而滥用智力去浪费天真无邪的孩子的宝贵时光的日子，我感到羞愧和堕落，他们本可以学习如此多的美丽而有意义的事，而不是这门完全无用的、不近人情的学科。他们说，它训练头脑——它教会孩子思考。其实不然。事实上，它是一门枯燥乏味的学科，易于用做学校课程。其神圣不可侵犯性为教育家们省却了巨大的麻烦，它的主要用处便是让没有头脑的年轻人大学毕业后不诚实地混饭吃。他们把这门学科教给其他人，而其他人又把它教给下一代。”请对此作出评论。

22. 已知三角形的三边为a、b和c，试证明海伦三角形面积公式

S?s?s?a??s?b??s?c?，其中s?

1?a?b?c?。 2 14

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