13数学分析期末复习题01

13数学分析(三)复习范围

一、计算题(每小题10分，共70分) 1. 全微分计算题

2. 求隐函数(组)的一阶偏导数 3. 求抽象函数的二阶偏导数

4. 求曲线的切线与法平面方程或求曲面的切平面与法线方程 5. 求函数的极值

6. 计算第一型曲面积分 7. 计算第二型曲面积分

8. 计算第二型曲线积分(格林公式) 9. 二重积分的计算

10. 高斯公式与斯托克斯公式 11. 求多元函数的方向导数 12. 曲线积分与路径无关问题

13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示

14. 应用--求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)

??dx? 15. 利用余元公式B(p,1-p)=，计算?类积分值

01?xnsinp?二、解答与证明题(第小题10分，共30分)

1. 用定义证明多元函数的极限 2. 证明多元函数的连续性

3. 研究含参量积分的一致收敛性 4. 证明含参量非正常积分的连续性 5. 三重积分的证明题

6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题 7. 证明二重极限不存在 8. 多元函数的可微性证明

例题

一、计算题

1. 全微分计算题

?u?u?u 公式：du=dx+dy+dz。

?y?x?zz2?x2例1：求函数u=2的全微分；

x?y2例2：已知函数z=z(x,y)是由方程x2+y2+z2-3x=0所确定的函数，求z(x,y)的全微分。 2. 求隐函数(组)的偏导数

?2zxy?z例3：设?e，求。

?x?yz例4：设2x+y+3z=0，x+y+z=e-(x+y+z)，求 3. 求抽象函数的二阶偏导数

dydz，。 dxdx?2u?2u例5：设u=f(ax+by,by+cz,cz+ax)，求，2其中f具有二阶连续的偏导数；

?x?z?y例6：设u=f(x-y，e22xy?2u)，求，其中f具有二阶连续偏导数。

?x?y 4. 求曲线的切线与法平面方程或曲面的切平面与法线

例7：求曲线：x2+y2+z2=6，x+y+z=0在点(1,-2,1)处的法平面方程。

??x2?y2?z2?3x?0例8：求曲线?在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程。

?2x?3y?5z?4?0?例9：求曲面x2+2y2+3z2=21的平行于平面x+4y+6z=0的各切平面。 5. 求函数的极值或条件极值

例10：求f(x,y)=e2x(x+2y+2y2)的极值。

例11：求抛物线y=x2和直线x-y-2=0之间的最短距离。

6. 计算第一型曲面积分

例12：计算??(xy?yz?zx)dS，其中S为锥面z?x2?y2被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。

S例13：计算：??xyzdS，?是平面x+y+z=1在第一卦限中的部分。

? 7. 计算第二型曲面积分

例14：求I=??(2z2?xy)dydz?(x2?yz)dxdy，其中S是圆柱面x2+y2=1被平面y+z=1和z=0所截出部分的外侧。

S例15：计算??4xzdydz?y2dzdx?yzdxdy，其中?是平面x=0，y=0，z=0，x=1，y=1，z=1所围成的立方体的全表

?面的外侧。

8. 计算第二型曲线积分(格林公式)

例16：计算曲线积分?AmB??(y)ex?mydx???(y)ex?mdy，其中?(y)和?/(y)为连续函数，AmB为连接点A(x1,y1)

???和点B(x2,y2)的任何路径，但与线段AB围成的区域AmBA的面积为已知常数S。

例17：求曲线积分?ex(1?cosy)dx?ex(y?siny)dy，其中C为0

C 9. 二重积分的计算

例18：计算：??xydxdy，其中D由x2+y2?1，x-y+1?0，0?x?1围成。

D例19：计算I=??Dx2dxdy，其中D由x=2，y=x，xy=1所围成。 y2 10. 高斯公式与斯托克斯公式

例20：计算I=?(y2?z2)dx?(2z2?x2)dy?(3x2?y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z

L轴正向看去，L为逆时针方向。

例21：计算??(x2?y2?z2)dydz?(1?z2?x2)dzdx?(1?x2?y2)dxdy，其中?是三个坐标平面和平面x+2y+z=1组

?成的按片光滑曲面，取外侧。 11. 求多元函数的方向导数

例22：求函数z=ln(x+y)在位于抛物线y2=4x上一点(1,2)处沿这抛物线切线上的方向导数。

例23：在椭球面2x2+2y2+z2=1上求一点，使得函数f(x,y,z)=x2+y2+z2在该点沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向的方向导数具有最大值（不要求判别）。 12. 曲线积分与路径无关问题

例24：确定?的值，使曲线积分I=?(x4?4xy?)dx?(6x??1y2?5y4)dy与路径无关，并计算自点A(1,2)到点B(0,0)

l的I值。

例25：定常数a，使得任何不经过y=0的区域上曲线积分?(x,y)Cx2x222a(x?y)dx?2(x?y2)ady与路径无关，并求 yyu(x,y)??(1,1)x2x222a(x?y)dx?2(x?y2)ady。 yy 13. 将三次积分用柱坐标与球坐标表示 例26：将三次积分I=?dy?02

2

1y?y22?y?ydx?3(x2?y2)0f(x2?y2?z2)dz分别表示为柱坐标及球坐标的形式。

例27：设?是由x+y=2z，z=1，z=2所围成的介于z=1及z=2之间的闭区域，f是?上连续。利用柱面坐标将三重积分I=???f(x,y,z)dxdydz化为三次积分。

? 14. 应用：求曲面面积(二重积分)或质量问题(第一型曲线积分)

例28：有一铁丝成半圆形x=acost，y=asint，0?t??，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。 例29：?zds，其中L为圆锥螺线x=tcost，y=tsint，z=t，t?[0,t0]；

L 例30：求球面x2+y2+z2=a2为平面z= 15. 利用余元公式B(p,1-p)=

aa，z=所夹部分的曲面面积S。 42??0?sinp?，计算?dx类积分值 1?xn??0??例31：利用余元公式B(p,1-p)=例32：利用余元公式B(p,1-p)=

?sinp?计算积分?计算积分?dx。 1?x4dx。 1?x6?sinp?0 (注意B函数的另一形式：B(p,q)=?二、解答与证明题：

1. 用定义证明多元函数的极限

??0xp?1dx)

(1?x)p?q例33：用极限定义证明lim(2x2?3y)?5。

x?1y??1 例34：用极限定义证明lim(x2?3xy?y2)?4。

x?0y?2 2. 证明多元函数的连续性

例35：若函数f(x,y)在区域D内关于每一个变量都有有界偏导数，则f在D内连续。

例36：设f(x,y)在D??(x,y)a?x?b,c?y?d?上连续，函数列??n(x)?在[a,b]上一致收敛，且c??n(x)?d，证明：gn(x)?f(x,?n(x))在[a,b]上一致收敛。 3. 研究含参量积分的一致收敛性

例37：研究：?0例38：研究：???sinxydx在[a,+?]，a>0的一致收敛性。

xy(x2?y2)??11cosx在[,1]内一致收敛性。 ??dx?2x?? 4. 证明含参量非正常积分的连续性 例39：证明：F(?)=?0例40：证明：F(x)=?0arctanxdx在(-?,+?)内连续。

1?(x??)2??ydy在(2,+?)内连续。 2?yx 5. 三重积分的证明题

例41：设一元函数f(t)在(0,+?)内具有一阶连续导数，令?t?(x,y,z)x2?y2?z2?t2F(t)=???f?x2?y2?z2?dxdydz。

?t??，

(1)证明F(t)在(0,+?)内具有二阶连续导数； (2)求出F/(t)的表达式。

例42：设函数f(u)具有连续的导数，且f(0)=0，试求limt?01?t4????f(x2?y2?z2)dv，其中?：x2+y2+z2?t2。

6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题

例43：设f(x,y)是定义在R2上的连续函数，求证：对任意实数c，集合E={(x,y)|f(x,y)>c}是开集，F={(x,y)|f(x,y)?c}是闭集。

例44：证明：当且仅当存在各点互异的点列{Pn}?E，Pn?P0，limPn=P0时，P0是E的聚点。

n??? 7. 证明二重极限不存在 例45：证明：limxy不存在。

x?0xy?(x?y)2y?0x2y例46：讨论极限lim4的存在性。

x?0x?y2y?0 8. 多元函数的可微性证明

?x2y, x2?y2?0?22 例47：设f(x,y)=?x?y，证明f(x,y)在原点连续，存在偏导数但在原点不可微。

?22?0, x?y?0?x3 (x,y)?(0,0)?例48：设f(x,y)=?x2?y2。证明f(x,y)在(0,0)不可微。

??0 (x,y)?(0,0) 9. 曲线积分的证明题

?例49：证明：若C为平面上的封闭曲线，则?cos(n,y)ds???dx，n为C的外法线向量。

CC???例50：求积分值I=?[xcos(n,x)?ycos(n,y)]ds，其中L为包围有界区域D的闭曲线，n为L的外法线方向。

L

例28：有一铁丝成半圆形x=acost，y=asint，0?t??，其上每一点密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。 解：?密度?(x,y)=y，?M=?yds??asint?xt2?yt2dt?a2?sintdt?2a2。

C00?? 例29：?zds，其中L为圆锥螺线x=tcost，y=tsint，z=t，t?[0,t0]；

L 解：?zds=?t(cost?tsint)?(sint?tcost)?1dt=?L0t022t0012tt?2dt=[(t0?2)2-22]。

323例30：求球面x2+y2+z2=a2为平面z=

aa，z=所夹部分的曲面面积S。 4232152

a?x2+y2?a。 416解：z=a2?x2?y2，曲面在xy平面投影为D：S=??1?z?zdxdy?a??2x2yDDdxdya2?x2?y2?a?d??02?15a43a2rdra2?r2=

1?a2。 2 15. 利用余元公式B(p,1-p)=

?sinp?，计算???0dx类积分值 1?xn??0例31：利用余元公式B(p,1-p)=

3?4?sinp???计算积分?dx。 1?x4 解：令t=x4，则dx=

1t4dt，??01?1131??tdx?2?==B(,)==。 dt?4444sin?41?x44?01?t244?21?14例32：利用余元公式B(p,1-p)=

?sinp???计算积分???0dx。 1?x6 解：令t=x6，则dx=

1t65?6dt，??01??t1151??dx==B(,)==。 dt1?x66?01?t6666sin?36??1?16 (注意B函数的另一形式：B(p,q)=?二、解答与证明题：

1. 用定义证明多元函数的极限

0xp?1dx)

(1?x)p?q例33：用极限定义证明lim(2x2?3y)?5。

x?1y??1证：??>0，设|x-1|<1，则0

要使|2x2-3y-5|=|2x2-2-3y-3|?2|x2-1|+3|y+1|?2|x+1||x-1|+3|y+1|?6|x-1|+3|y+1|

x?1y??11?}，当|x-1|

例34：用极限定义证明lim(x2?3xy?y2)?4。

x?0y?2 证：??>0，设|x|<1，|y-2|<1，则-1

要使|x2+3xy+y2-4|?|x||x+3y|+|y+2||y-2|?10|x|+5|y-2|

只要取?=min{1，

?15}，当|x|

故lim(x2?3xy?y2)?4。

x?0y?2 2. 证明多元函数的连续性

例35：若函数f(x,y)在区域D内关于每一个变量都有有界偏导数，则f在D内连续。

证：任取A(x0,y0)?D，必存在A的邻域U(A,?)?D，?(x,y)?U(A,?), |f(x,y)-f(x0,y0)|

=|fx(x0+?1(x-x0),y)(x-x0)+fy(x0,y0+?2(y-y0))(y-y0) ?M|x-x0|+M|y-y0|?0,??0

?f在A连续，由A的任意性，f在D内连续。

例36：设f(x,y)在D??(x,y)a?x?b,c?y?d?上连续，函数列??n(x)?在[a,b]上一致收敛，且c??n(x)?d，证明：gn(x)?f(x,?n(x))在[a,b]上一致收敛。

证：?f(x,y)在闭区域D={(x,y)|a?x?b,c?y?d}上连续，?f(x,y)在D上一致连续。即??>0,??>0，当?(P1,P2)0，当n、m>N时，对一切x?[a,b]有|?n(x)-?m(x)|

例37：研究：?0解：???sinxydx在[a,+?]，a>0的一致收敛性。

xy(x2?y2)sinxyMsinxy?（y[a,+）)，其中???M，而

xyxy(x2?y2)a2?x2??1?0??dxa2?x2收敛，故原积分一致收敛。

例38：研究：?1cosx在[,1]内一致收敛性。 ??dx2x?解：由狄利克雷判别法易知其一致收敛性。 4. 证明含参量非正常积分的连续性 例39：证明：F(?)=?0??arctanxdx在(-?,+?)内连续。

1?(x??)2证：??0?(-?,+?)，设?0>0，则存在r1，r2使0

arctanx?1??成立，而21?(x?r1)21?(x??)2?0??dx1?(x?r1)2收敛，故原积分在[r1,r2]上一致收敛，?在?0点连续，同理可证?0?0的情况。

故F(?)在(-?,+?)内连续。 例40：证明：F(x)=?0??ydy在(2,+?)内连续。 2?yxyy1?～a?1。由于a>2，?a-1>1，xa2?y2?yy证：?x0?(2,+?)，必?a,b使x0?[a,b]，a>2，在[a,b]上有：故?0??ydy收敛，?原积分在[a,b]上一致收敛，从而在x0点连续，即F(x)在(2,+?)内连续。 2?ya 5. 三重积分的证明题

例41：设一元函数f(t)在(0,+?)内具有一阶连续导数，令?t?(x,y,z)x2?y2?z2?t2F(t)=???f?x2?y2?z2?dxdydz。

?t??，

(1)证明F(t)在(0,+?)内具有二阶连续导数； (2)求出F/(t)的表达式。

?x?rcos?sin??解：(1)利用球坐标变换?y?rsin?sin?可得：

?z?rcos??F(t)=???f?x2?y2?z2?dxdydz=?d??sin?d??f(r2)r2dr=4??t2??t000?0t其中被积函数f(r)r在(0,+?)内具f(r2)r2dr，

22

有一阶连续导数。

?F(t)=4??0f(rt2)r2dr在(0,+?)内具有二阶连续导数。

(2)F/(t)=4?t2f(t2)，t?(0,+?)。

例42：设函数f(u)具有连续的导数，且f(0)=0，试求limt?01?t4????f(x2?y2?z2)dv，其中?：x+y+z?t。

2222

解：原式=lim1t?0?t4?0?02?d?sin???0tf(r)r2dr=lim4t?0t4?0tf(r)r2dr?limt?0f(t)f(t)?f(0)?lim?f?(0)。 t?0tt 6. 有关多维空间的聚点或开闭集问题

例43：设f(x,y)是定义在R2上的连续函数，求证：对任意实数c，集合E={(x,y)|f(x,y)>c}是开集，F={(x,y)|f(x,y)?c}是闭集。

2

证：?P0(x0,y0)?E，则f(x0,y0)>c，由连续函数的保号性定理可知：??>0，使得当(x,y)?U(P0,?)?f?C(R)，

时，f(x,y)>c。即U(P0,?)?E，由P0?E的任意性，?E是开集。

设Q是F的聚点，则存在点列{Qn}?F，使limQn=Q，?f?C(R2)，?limf(Qn)=f(Q)，又f(Qn)?c，由极限保不

n??

n??等式可得f(Q)?c，?Q?F，即F的聚点仍属于F，故F是闭集。

例44：证明：当且仅当存在各点互异的点列{Pn}?E，Pn?P0，limPn=P0时，P0是E的聚点。

n???证：当存在各点互异的点列{Pn}?E，Pn?P0，limPn=P0时，??>0，?N>0，当n>N时，恒有?(Pn，P0)

n???立，即当n>N时，Pn?U0(P0,?)，由定义，故P0是E的聚点。

反之，若P0是E的聚点，则??>0，?P?E，使P?U0(P0,?)。特别，取?n=min{

1，?(Pn-1，P0)}>0，(n=2,3,…)，nn???0

?Pn?E，且Pn?P0，使Pn?U(P0,?n)，于是点{Pn}中各点互异，且{Pn}?E，Pn?P0，limPn=P0。

7. 证明二重极限不存在 例45：证明：limxy不存在。

x?0xy?(x?y)2y?0kx2k证：取路径y=kx(k?1)，得lim2，k不同其极限值也不同。故原二重极限不存在。 ?2x?0kx?(1?k)2x2k?k?1y?kxx2y例46：讨论极限lim4的存在性。

x?0x?y2y?0x2yk

解：令y=kx，则lim4=，当k取不同值时，原极限值不同，?原极限不存在。 22x?0x?y1?k22

y?kx 8. 多元函数的可微性证明

?x2y, x2?y2?0?22 例47：设f(x,y)=?x?y，证明f(x,y)在原点连续，存在偏导数但在原点不可微。

?22?0, x?y?0x2yr3cos2?sin?2?lim?limrcos?sin??0?f(0,0)，?f(x,y)在原点连续。

r?0x2?y2r?0r2证：?(x,y)?(0,0)lim 又fx(0,0)=fy(0,0)=0存在，且取路径?y=k?x时易知

limf(?x,?y)?f(0,0)?fx(0,0)?x?fy(0,0)?y(?x)?(?y)22(?x,?y)?(0,0)?(?x,?y)?(0,0)lim(?x)2?y3222[(?x)?(?y)]不存在。

故f(x,y)在原点不可微。

?x3 (x,y)?(0,0)?例48：设f(x,y)=?x2?y2。证明f(x,y)在(0,0)不可微。

??0 (x,y)?(0,0)(?x)3解：?fx(0,0)=1，fy(0,0)=0，

?f?A?x?B?y??(?x)2?(?y)22??x2???x(?y)2[(?x)2?322(?y)]，

(?x)?(?y)取?y=k?x，并令?x?0，可得故f(x,y)在(0,0)不可微。 9. 曲线积分的证明题

?f?A?x?B?y??-

k2(1?322k)，?(?x,?y)?(0,0)lim?f?A?x?B?y?不存在，

?例49：证明：若C为平面上的封闭曲线，则?cos(n,y)ds???dx，n为C的外法线向量。

CC???证：设t为曲线C的切向量，?cos(n,y)=-cos(t,x)，?C?cos(n,y)ds???cos(t,x)ds???dx。

CC???例50：求积分值I=?[xcos(n,x)?ycos(n,y)]ds，其中L为包围有界区域D的闭曲线，n为L的外法线方向。

L解：?(n,x)=(t,x)-

????，故cos(n,x)=sin(t,x)，cos(n,x)ds=sin(t,x)ds=dy； 2?Lcos(n,y)ds=sin(n,x)ds=-cos(t,x)ds=-dx，?I=?xdy?ydx?2?D。其中?D表示区域D的面积。

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