2017初高中数学课程衔接教程共十六讲专题

2017年初高中数学课程衔接教程

【共十六讲】

目 录

初高中衔接教程 第一讲 因式分解练习 初高中衔接教程 第二讲 分式练习 初高中衔接教程 第三讲 图形变换练习

初高中衔接教程 第四讲 三角形的“五心”练习 初高中衔接教程 第五讲 几何中的著名定理练习 初高中衔接教程 第六讲 圆练习

初高中衔接教程 第七讲 一次函数和一次不等式练习 初高中衔接教程 第八讲 均值不等式练习 初高中衔接教程 第九讲 一次分式函数练习 初高中衔接教程 第十讲 一元二次方程练习

初高中衔接教程 第十一讲 一元二次函数（一）练习 初高中衔接教程 第十二讲 一元二次函数（二）练习 初高中衔接教程 第十三讲 一元二次不等式练习 初高中衔接教程 第十四讲 绝对值不等式练习 初高中衔接教程 第十五讲 根的分布（一）练习 初高中衔接教程 第十六讲 根的分布（二）练习

1

第一讲 因式分解

一、知识归纳

1、公式法分解因式：用公式法因式分解，要掌握如下公式： （1）a?b?(a?b)(a?b)； （2）a?2ab?b(a?b)；

（3）a?3ab?3ab?b?(a?b)；

（4）a?b?c?2ab?2bc?2ac?(a?b?c)；

（5）a?b?c?3abc?(a?b?c)(a?b?c?ab?bc?ac)； （6）a?b?(a?b)(annnn?133322222223223322222?an?2?b???abn?2?bn?1);??n?N*；

nn?1（7）当n为正奇数时a?b?(a?b)(a当n为正偶数时a?b?(a?b)(a2、十字相乘法因式分解 3、待定系数法因式分解 4、添项与拆项法因式分解 5、长除法 二、例题讲解

例1：因式分解：6x?7x?3

2nnn?1?an?2b???abn?2?bn?1)

?an?2b???abn?2?bn?1)

例2：因式分解：x?2(a?b)x?(a?b)

第1页 共79页

4222222

例3：因式分解4x?4xy?3y?4x?10y?3

例4：利用待定系数法因式分解

（1）2x?3xy?9y?14x?3y?20 （2）4x?4xy?3y?4x?10y?3

例5：利用添项法、拆项法因式分解

（1）x?6x?7 （2）x?x?1

第2页 共79页

35222222

例6：已知3x?x?1?0，求6x?7x?5x?1987的值。 三、课堂练习

1、分解因式

（1）x(x?y?z)?y(z?y?x) （2）(a?b?1)?4ab （3）4m?m?32m?8 分解因式 （1）x?4 （2）x?9x?8 3、分解因式

（1）x?2xy?3y?3x?y?2 （2）2x?5xy?3y?3x?5y?2

324、已知多项式3x?ax?bx?1能被x?1整除，且商式是3x?1则(?a)? 。

b2222662322222243435、多项式2x?3x?ax?7x?b能被x?x?2整除，求

4222a的值。 b第3页 共79页

第一讲 因式分解

例1：解：由多项式的乘法法则易得acx?(ad?bc)x?bd?(ax?b)(cx?d)

3 1

∴ ∴3×（－3）+2×1＝－7

2 -3 2∴6x?7x?3?(3x?1)(2x?3) 例2：解：

22x2 x2

2－(a－b)2 －(a－b)2

22∴原式＝[x?(a?b)]?[x?(a?b)] ＝(x?a?b)(x?a?b)(x?a?b)(x?a?b) 例3：解：原式＝4x?(4y?4)x?(3y?10y?3)

＝4x?(4y?4)x?(3y?1)(y?3) ＝[2x?(3y?1)][2x?(y?3)] ＝(2x?3y?1)(2x?y?3)

点评：以上三例均是利用十字相乘来因式分解，其中例3中有x、y，而我们将其整理x的二次三项式。故又称“主元法”。

例4：解：如果要分解的因式的形式是，唯一确定的，那么可以考虑利用待定系数法 ∵2x?3xy?9y?(2x?3y)(x?3y)

则可设2x?3xy?9y?14x?3y?20?(2x?3y?m)(x?3y?n)（m、n待定） ∴原式＝2x?3xy?9y?(m?2n)x?(3m?3n)y?mn

2222222222x 2x

－(3y－1)

y－3

?m?2n?14?比较系数得?3m?3n??3 解得m＝4，n＝5

?mn?20?∴原式＝(2x?3y?4)(x?3y?5)

（2）在例3中利用了十字相乘法，请同学们用待定系数法解决。 例5：解：（1）

x3?6x?7?(x3?1)?(6x?6)?(x?1)(x2?x?1)?6(x?1)?(x?1)(x2?x?1?6)第4页 共79页

＝(x?1)(x?x?7)

或x?6x?7?(x?x)?(7x?7)?x(x?1)(x?1)?7(x?1)?(x?1)(x?x?7)

3322或

x3?6x?7?(7x3?7)?(6x3?6x)?7(x?1)(x2?x?1)?6x(x?1)(x?1)?(x?1)(x?x?7)5222322

5解：（2）x?x?1＝(x?x)?(x?x?1)?x(x?1)?(x?x?1)

?x2(x?1)(x2?x?1)?(x2?x?1) ?(x2?x?1)(x3?x2?1)

例6：解：把6x?7x?5x?1987用含有3x?x?1的代数式表示

3222x?3∴3x?x?16x?7x?5x?1987

2326x3?2x2 9x2?3x?1987 9x2?3x?3 1990∴6x?7x?5x?1987?(2x?3)(3x?x?1)?1990?1990 课堂练习答案：

1、（1）(x?y?z)(x?y)(x?y)(x?xy?y)(x?xy?y) （2）(a?b?1)(a?b?1)(a?b?1)(a?b?1) （3）(4m?1)(m?2)(m?2m?4) 2、（1）(x?2x?2)(x?2x?2) （2）(x?1)(x?x?8) 3、（1）(x?3y?2)(x?y?1) （2）(2x?y?1)(x?3y?2) 4、－1 5、

22222222322b??2 a

第5页 共79页

第二讲 分式

一、知识归纳

（一）分式的运算规律 1、加减法

aba?b ??cccadac?bd异分母分式加减法：??

bcbcacac2、乘法：??

bdbdacadad3、除法：????

bdbcbc同分母分式加减法：

anan4、乘方：()?n

bb（二）分式的基本性质 1、

aamaa?m?(m?0) 2、?(m?0) bbmbb?mcdc?dc?dc?d?（三）比例的性质

aba（2）若

ba（3）若

ba（4）若

b（1）若

则ad?bc

a?bc?d（合比性质） ?bda?cb?d（b?d?0）则（合分比性质） ?a?cb?dma?c???ma＝…＝，且b?d???n?0则?（等比性质）

nb?d???nb则

（四）分式求解的基本技巧 1、分组通分 2、拆项添项后通分 3、取倒数或利用倒数关系 4、换元化简 5、局部代入 6、整体代入 7、引入参数 8、运用比例性质

第6页 共79页

二、例题解析

1?x?x2?x3例1：化简 21?2|x|?x

例2：化简：

b11a2?3b2a?2?2?4 ?32232243223a?ab?ab?ba?bb?aa?ba?ab?ab?b

例3：计算

n2m2nm??2?22mnn?2m2 33nmnmnm??3(?)??2m3n3mnm2n2

第7页 共79页

例4：计算

b?cc?aa?b ??222a?ab?ac?bcb?bc?ab?acc?ac?bc?ab

例5：若abc?1，求

例6：已知

abc ??ab?a?1bc?b?1ac?c?1x?y?zx?y?z?x?y?z??且xyz?0 zyx求分式

(x?y)(y?z)(z?x)的值

xyz三、课堂练习

1、已知1?yzxyxz，z?，3?，则x＝ ；

y?zx?yx?z第8页 共79页

x4?6x3?2x2?18x?232、若x?19?43则分式＝ ；

x2?8x?15x3x3、设2＝ ； ?1，则633x?mx?1x?mx?14、若abc?0，且

a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(a?c)，则＝ ； ??abccabzxy?c，?a，?b，

x?yy?zz?x5、设x、y、z为有理数，且x?y?z?0，

则

abc＝ ； ??1?a1?b1?c6、已知

a、

b、c均不为

0，且

a?b?c?0，则

111＝ ； ??22?222222b?c?ac?a?ba?b?c第9页 共79页

第二讲 分式

例题解析答案：

(1?x)2(1?x)例1：解：原式＝

(1?|x|)2当x?0且x?1时，原式＝1?x

(1?x)2当x?0且x??1时，原式＝

1?x例2：解：观察各分母的特点知，式中第一、二项，第三、四项分别组合通分较容易

ab2b2a2?3b2??4?4∴原式＝ 22224(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)a?ba?b4a2?b2a2?b211????0 ＝2(a?b2)(a2?b2)a4?b4a2?b2a2?b2例3：解：设

nm?a，?b，则ab?1 mna2?b2?2a?b?∴原式＝3 322a?b?3(a?b)a?b?2a2?b2?2aba2?b2?2ab?＝3

a?b3?3ab(a?b)a?b(a?b)2(a?b)2a?bm2?n2????2＝ 32(a?b)a?ba?bm?n例4：解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律

b?cbc(a?c)?(a?b)11???? 2a?ab?ac?bc(a?b)(a?c)(a?b)(a?c)a?ba?c因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝

b?cc?aa?b??

(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)(a?c)?(a?b)(b?a)?(b?c)(c?b)?(c?a)??

(a?b)(a?c)(b?c)(b?a)(c?a)(c?b)＝

＝

1111112 ??????a?ba?cb?cb?ac?ac?bc?a第10页 共79页

例5：解：∵abc?1，∴a?11，将式中的a全换成 bcbc1bcbc∴原式＝ ??b1c??1bc?b?1?c?1bcbcbc1bbc＝???1 b?1?bcb?1?bc1?b?bc例6：解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。

解：令

x?y?zx?y?z?x?y?z???k，则 zyx?x?y?z?kz①

?② ∴?x?y?z?ky 由①＋②＋③，得x?y?z?k(x?y?z)

??x?y?z?kx③ ?当x?y?z?0时k?1

即

x?y?zx?y?z?x?y?z???1 zyx∴x?y?2z，x?z?2y，y?z?2x

∴原式＝

2z?2x?2y?8

xyz为x?y?z?0时，x?y??z，y?z??x，z?x??y

∴原式＝

?xyz??1 xyz课堂练习答案：

1、x?121 2、5 3、 53m2?24、8或－1 5、1 6、0

第11页 共79页

第三讲 图形变换

一、知识归纳

1、y?f(x)向上平移a个单位y?f(x)?a(a?0) 2、y?f(x)向下平移a个单位y?f(x)?a(a?0) 3、y?f(x)向左平移a个单位y?f(x?a)(a?0) 4、y?f(x)向右平移a个单位y?f(x?a)(a?0)

y?|f(x)| 5、y?f(x)　　　　　　　将y?f(x)图象在x轴下方的部分，以x轴为对称轴对称地翻折上去即可

y?|f(|x|)| 6、y?f(x)　　　　　　　将y?f(x)的图象位于y轴右边的部分保留，在y轴的左边作其对称的图即可。 二、例题解析

例1：说出下列函数图象之间的相互关系 （1）y?x?1与y?x?1 （3）y?2x与y?2

例2：已知①中的图的对应函数y?f(x)，则②中的图象对应函数为 ；

0 ① x 第12页 共79页 x?3222（2）y?x?1与y?(x?1)?3

2

2x?3（4）y?3与y?3

2xy y 0 ② x

A、y?f(|x|)

例3：画出下列函数的图象 （1）y?|x?2x?3|

例4：已知y?f(x?1)的图象过点（3，2），那么与函数y?f(x)的图系关于x轴对称的图象一定过点 ；

A、（4，2）

例5：试讨论方程|x?4x?3|?k的根的个数

0 1 -1 2 3 3 2 1 x

22B、y?|f(x)| C、y?f(?|x|) D、y??f(|x|)

（2）y?x?2|x|?1

2B、（4，－2） C、（2，－2） D、（2，2）

y 第13页 共79页

例6：求方程x?4|x|?2?6的解的个数

课堂练习：

1、函数y??2的图象 ； A、与y?2的图象关于y轴对称 C、与y?2的图象关于y轴对称

?xx2xB、与y?2的图象关于原点对称 D、与y?2的图象关于原点对称

?xx2、为了得到y?3?()的图象，可以把y?()的图象 A、向左平移3个单位长度 B、向右平移3个单位长度 C、向左平移1个单位长度 D、向右平移1个单位均等

3、已知y?2的图象如右，请画出以下函数的图象

x13x13xy y=2x

(0,1) 0 第3题图

x

（1）f(x?1) （2）f(|x|) （3）f(x)?1 （4）?f(x) （5）|f(x)?1|

y 4、已知 EMBED Equation.# y?log2x的图象如右： 试求不等式：

x

log2(?x)?x?1成立的x的取值范围

0 (1,0) 第4题图

5、已知方程|x|?ax?1有一负根，而没有正根，那么a的取值范围是 ； A、a??1

B、a?1

C、a?1

D、补以上答案

第14页 共79页

第三讲 图形变换

例题解析答案

例1：解：（1）将y?x?1的图象沿y轴向下平移2个单位即得y?x?1的图象；

2（2）将y?x?1的图象向右平移一个单位，再向上平移2个单位，即得y?(x?1)?3222的图象；

（3）将y?2x的图象向右平移3个单位即得y?2（4）将y?3的图象向左平移例2：解：由图象可知应选择C 例3：解：略

例4：解：y?f(x?1)的图象是y?f(x)的图象向左平移一个单位得到的

∴y?f(x)的图象必过（4，2），则与y?f(x)图象关于x轴对称的图象中过（4，－2）。故选B。

例5：解：画出函数y?|x?4x?3|的象如右图 则可知：

当k?0时方程无解 当k?0时方程有两解 当0?k?1时方程有四解 当k?1的方程有三解 当k?1的方程有两解 故：当k?0时，方程有一解 当k?0或k?1时有两解 当k?1时有三解 当0?k?1时有四解

例6：请同学们仿照例5的方法给出解答。 课堂练习答案：

1、D 2、D 3、略 4、?1?x?0 5、C

3 2 1 0 1 -1 2 3 x

22xx?3的图象；

32x?3个单位即得y?3的图系。 2y 第15页 共79页

第16页 共79页

第四讲 三角形的“五心”

一、知识归纳

1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部。

2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。

3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。

4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。

5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。 二、例题解析

例1：在锐角△ABC中，内角为A、B、C三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为 ，重心到三边的距离为 ，外心到三边的距离之比为 ，垂心到三边的距离之比为 。

例2：如图，锐角△ABC的垂心为H，三条高的垂足分别为D、E、F，则H是△DEF的 ；

A、垂心

B、重心

F E H 第17页 共79页

A B D C C、内心

D、外心

例3：如图，D是△ABC的边BC上任一点，点E、 F分别是△ABD和△ACD的重心连结EF交AD于G点， 则DG：GA＝ ；

B M D E A G F C N 例4：设△ABC的重心为G，GA＝23，GB?22，GC?2，则S?ABC＝ ；

例5：若H为△ABC的重心，AH＝BC，则∠BAC的度数是 ； A、45°

B、30°

C、30°或150° D、45°或135°

第18页 共79页

例6：已知平行四边形ABCD中，E是AB的中点，AB＝10，AC＝9，DE＝12，求平行四边形ABCD的面积。

三、课堂练习

1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为 ，重心到垂心的距离为 ；

2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径r＝ ； 3、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos（∠OBC+∠OCB）= ; 4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为 ； 5、若0????90?，那么以sin?、cos?、tan??cot?为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为 ；

A、

B

E C O G A

D

1(sin??cos?) 2

C、2sin?cos?

1(tan??cot?) 21D、

sin??cos?B、

6、△ABC的重心为G，M在△ABC的平面内，求证：

MA2?MB2?MC2?GA2?GB2?GC2?3GM2

第19页 共79页

第四讲 三角形的“五心”

例题解析答案

例1：解：答案依次为： 1：1：1；

111111 ::； coA::s:coBs:coCs；

abccoAscoBscoCs例2：解：内心 例3：解：

1 2例4：解：62 例5：解：D

例6：分析：设AC交DE于G，可推出G为△ABD的重心，∠EGA＝90°，故可求出S?EGA及S□ABCD。

解：设AC、BD交于G，连BD交AC于O（如图） 由□ABCD知BO＝DO，OA＝OC而BE＝AE 故G为△ABD的重心 有EG?1221ED?4，AG?AO??AC?3

3323222而EA＝5，故EA?EG?AG,∠EGA＝90°，S?AEG＝6

S?ADE?S?ABDED?S?ABG?3?6?18 EGAB??S?ADE?2?18?36 AE∴S□ABCD＝2S?ABD＝72 课堂练习答案：

1、6.5，4 2、2 3、?

132 4、72 5、A 6、略 2第20页 共79页

第五讲 几何中的著名定理

一、知识归纳

本节重点掌握三角形内、外角平分线定理、中线长定理，梅涅劳斯定理与塞瓦定理 二、例题解析

例1：如图△ABC中，AD为∠BAC的角平分线 求证：

例2：如图，△ABC中，AD为∠A的外角 平分线，交BC的延长线于点D，求证：

例3：如图，AD为△ABC的中线， 求证：AB?AC?2(AD?BD)

例4：（梅涅劳斯定理）

如果在△ABC的三边BC，CA、AB或其延长线上有点D、E、F且D、E、F三点共线，则

B C 2222ABBD ?ACDCF B D

A 1 2 E C A BDAB. ?CDACB

C

2 1 D

A D E BDCEAF???1 DCEAFBF 第21页 共79页

A E G B D C

例5：设O为△ABC内任意一点，AO、BO、CO 分别交对边于N、P、M，则

AMMB?BNNC?CPPA?1. 三、课堂练习

1、如图，P是AC中点，D、E为BC上两点， 且BD＝DE＝EC，则BM：MN：NP＝ ；

2、如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、 AC上且DE//BC，设BE与CD交于S，证明BM＝CM。3、证明：三角形的三条角平分线交于一点。

第22页 共79页A M 1

6 2 P 3 0 5 B 4

N

C A D E

S B M C

第五讲 几何中的著名定理

例题解析答案：

例1：证明：过点D作DE?AC,DF?AB垂足分别为E、F ∵∠1＝∠2 ∴DE＝DF ∴S?ABD?∴

S?ABDS?ACD11?AB?DF S?ACD??AC?DE 221?AB?DFAB2 ??1AC?AC?DE2又

S?ABDBDABBD? ∴＝ S?ACDDCACDC证明2：如图，过点C作DA的平行线交BA的延长线于点E，由平行线分线段成比例定理得

E 4 A 1 2 BDAB＝ AEDC又∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4 ∴∠3＝∠4 ∴AC＝AE ∴这就是三角形内角平分线定理

例2：这是三角形外角平分线定理，请同学们仿照上 面的方法给予证明。

例3：证明：过点A作AE?BC，垂足为E，则

B

BDAB＝ AEDC3 B D A 2 1 D C AB2?AE2?BE1,AC2?AE2?EC2

22222222C ∴AB?AC?2AE?BE?EC?2(AD?DE)?(BD?DE)?(BD?DE)

∴AB?AC?2AD?2DE?2BD?2DE ∴AB?AC?2(AD?BD) 这就是三角形中的中线长定理 例4：

证明：此题的证明方法有很多，如过点C作CG//AB

F 第23页 共79页

22222222222A B D E A E C G B D C 交FD于点G，∴

CECG ?AEAFBDCEAFBDCGAFBDCG∴ ???????DCFBFBDCAFFBDCFBCGCDBDCEAF又 ∴????1 FBBDDCEAFB注：梅涅劳斯的逆定理：如果在△ABC的三边BC，CA，AB或其延长线上有点D、E、F

且

BDCEAF???1，则D、E、F三点共线。 DCAEFBBNS3BO?NOBO???例5： NCS4CO?NOCOCPS5PO?COCO??? PAS6AO?POAO∴

A M 1

6 P 2 0 5 3 4 C N

B AMBNCP???1 MBNCPA同样，塞瓦定理有逆定理，设M、P、N分别在△ABC的边AB、BC、AC上且满足

AMBNCP???1 MBNCPA则AN、BP、CM相交于一点。 课堂练习答案：略

第24页 共79页

第六讲 圆

一、知识归纳

1、证明四点共圆的方法有：

（1）到一定点的距离相等的点在同一个圆上 （2）同斜边的直角三角形的各顶点共圆 （3）线段同旁张角相等，则四点共圆。

（4）若一个四边形的一组对角再互补，那么它的四个顶点共圆 （5）若四边形的一个外角等于它的内对角，那么它的四个顶点共圆

（6）四边形ABCD对角线相交于点P，若PA·PC＝PB·PD，则它的四个顶点共圆 （7）四边形ABCD的一组对边AB、DC的延长线交于点P，若PA?PB?PC?PD，则它的四个顶点共圆。

2、圆幂定理 二、例题讲解

例1：如图，设AB为圆的直径，过点A在AB的同侧作弦AP、AQ交B处的切线于R、S，求证：P、Q、S、R同点共圆。

例2：圆内接四边形ABCD，O为AB上一点，以O为圆心的半圆与BC，CD，DA相切，求证：AD＋BC＝AB

例3：如图，设A为⊙O外一点，AB， AC和⊙O分别切于B，C两点，APQ为⊙O 的一条割线，过点B作BR//AQ交⊙O于点R，

连结CR交AO于点M，试证：A，B，C，O，M五点共圆。

A

O E

B

D C A P R Q S B

第25页 共79页

例4：如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C两点，D为PC中点，且AD延长线交⊙O于点E，又BE2?DE?EA,求证：（1）PA＝PD；（2）2BD2?AD?DE.

例5：如图，PA，PB是⊙O的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若PE长为2，CD＝1，求DE的长度。

三、课堂练习

1、如图，已知点P在⊙O外一点，PS，PT是⊙O的两条切线，过点P作⊙O的割线PAB，交⊙O于A，B两点，并交ST于点C，求证：

第26页 共79页

A P O D B E C P A C E H D O B 1111?(?) PC2PAPBP A S C D O B T

2、如图，A是⊙O外一点，AB、AC和⊙O分别切于点B、C，APQ为⊙O的一条割线，过B作BR//AQ交⊙O于R，连CR交AQ于M。

试证：A，B，C，O，M五点共圆。

3、设⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，M是⊙O1、⊙O2的切点，R、S分别是⊙O1、⊙O2与⊙O3的切点，连心线O1O2交⊙O1于P，⊙O2于Q，求证：P、Q、R、S四点共圆。

P O1 R S B A P C G R M O O2 Q

O3 第27页 共79页

第六讲 圆

例题讲解答案

例1：证明：连PQ、QB内四边形ABQP内接于圆

R ∴∠QBA＝∠RPQ

又∵SB为切线，AB为直径

∴∠ABS＝∠AQB＝90°，故∠QBA＝∠QSB ∴∠RPQ＝∠QSB ∴P、Q、S、R四点共圆

例2：解：在AB上截取BE＝BC，连结OC，OD，DE，CE。 ∴∠BEC＝

D C O E

B

A P Q S B

1（180°－∠B） 2A

∵ABCD内接于圆， ∴180°－∠B＝∠ADC ∴∠BEC＝

1∠ADC 2又DA，DC为半圆切线， ∴

1∠ADC＝∠ADO＝∠ODC 2∴∠BEC＝∠ODC，即C、E、O、D四点共圆。

11∠BCD＝（180°－∠A）， 2211∴∠ADE＝180°－∠A－∠AED＝180°－∠A－（180°－∠A）＝（180°－∠A）

22∴∠AED＝∠OCD＝∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE

∴AB＝AE＋BE＝AD＋BC。

例3：解答：连接OB,OC,BC，则OB⊥AB,OC⊥AC,

∴A，B，O，C四点共圆，∵BR//AQ， ∵∠GBR=∠BAQ,而∠GBR=∠BCR,

∴∠BAQ=∠BCR,即∠BAM=∠BCM,∴A,B,M，C四点共圆，但A，B，C三点确定一个圆， ∴A，B，C，O，M五点共圆。 例4：解：（1）连接AB

第28页 共79页

G B A

M

P C O

Q

∵BE?DE?EA,∵∵∠E＝∠F

2BEEA ?DEBEA P O D B E ∴△BDE∽△ABE，∴∠DBE＝∠BAD ∵PA切⊙O于点A，∴∠E＝∠PAB ∴∠DBE+∠E＝∠BAD+∠PAB ∴∠PAD＝∠BDA，PD＝PA

（2）∵PA切⊙O于点A，∴PA?PB?PC ∵D为PC中点，∴PC＝2PD，∵PD＝PA， ∴PD?PB?2PD,∴DP＝2PB，

22C ∴B为PD中点，DC＝2BD，∴AD?DE?BD?DC?BD?2BD?2BD 例5：解答：连PO交AB于H，设DE＝x，则AP?PE?PC?2(x?3)， 在Rt△APH中，AP?AH?PH

∴AH?PH?2(x?3) ① 在Rt△PHD中，PH?DH?(x?2) ② 由相交弦定理，知AD?DB?ED?DC

而AD?DB?(AH?DH)?(AH?DH)?AH?DH ∴AH?DH?x?1 ③ 由①②③可知，(x?2)?x?2(x?3)，

2222222222222P A C E H D O B 22∴DE＝x?17?3 2课堂练习答案：略

第29页 共79页

第七讲 一次函数和一次不等式

【要点归纳】

1、形如y=kx+b(k≠0)的函数叫做一次函数。

（1）它的图象是一条斜率为k，过点（0，b）的直线。 （2）k>0?是增函数；k<0?是减函数。 2、不等式ax>b的解的情况：

b； ab

（2）当a<0时，x?；

a

（1）当a>0时，x?（3）当a=0时，

i) 若b≤0，则取所有实数； ii) 若b>0，则无解。

类似地，请同学们自行分析不等式ax

例1 已知一次函数的图像如右，则它的表达式为y=____________.

例2 已知abc≠0且限

A、一、二

B、二、三

C、三、四

D、一、四 O B(-1,-1) x A(1,3) y a?bb?cc?a???p，那么直线y=px+p 一定通过第（ ）象cab例3 已知一次函数f(x)=3x+2，一次函数g(x)=ax+b，且f[g(x)]=12x+11，求a+b的值。

第30页 共79页

例4 当1≤x≤2时，函数f(x)=kx+(1-3k)恒为正值，求实数k的取值范围。 例5 已知x≥0，y≥0，z≥0，且满足x+2y+3z=2，2x+y+z=10，求T=x+y+z的最大值和最小值。

例6 不等式

x?52x?a与不等式2x?4a?0同解，则a的值等于_______ ?1?22?(m?1)x?m2?1例7 解关于x的不等式组：?

3(m?1)x?3mx?2?

第31页 共79页

例8 对于一次函数f(x)=(2a-b)x+(a-5b)，当且仅当x?10时, f(x)>0，则7b=___________ a

例9 若不等式（2a-b）x+(3a-4b)<0的解是x?解。

【反馈练习】

1、一次函数y=(3m-1)x-(m+5)的图象不过第一象限，则实数m的取值范围是____________

2、一次函数f(x)满足：f（f（f(x)））=-27x-21，则f(x)=_______________ 3、函数f(x)=3x+1+k-2kx在-1≤x≤1时，满足f(x)≥k恒成立，则整数k的值为____________

4、已知x≥0，y≥0，z≥0，且满足x+3y+2z=3，3x+3y+z=4求w=3x-2y+4z的最大值和最小值。

5、若不等式5x-a≤0的正整数解是1，2，3，4，则a的取值范围为___________

第32页 共79页

4，求不等式（a-4b）x+(2a-3b)>0的9

6、解关于x的不等式：a(x-a)>x-1

7、若不等式（m+n）x+(2m-3n)<0的解是x??

8、解关于x的不等式组：?1，求不等式（m-3n）x+(n-2m)>0的解。 3?a(x?2)?x?3

?9(a?x)?9a?8第33页 共79页

第七讲 一次函数和一次不等式

【典例分析】

例1 y?2x?1 例2 B 例3 7 例4 k?1 218?9z?x???x?2y?2?3z?3??例5 解：由?

?2x?y?10?z?y??6?7z?3?26z?4， 又 由x≥0，y≥0得：?9?z?? 37632故当z=-9时，Tmax?10，当z??时，Tmin?

77∴ x+y+z=?例6 a=1，

2525；m?时，?x?m?1；?1?m?时，无解。 33331b3例8 ? 例9 x??

4a5例7 m??1时，x?【反馈练习】

1； 2、f(x)??3x?3 313、k?1或2 4、wmin?? wmax?7

61、?5?m?5、20?a?25

6、a?1时， x?a?1；a?1时，x?a?1；a=1，无解。 7、x??3

192a?3时， x?； 10a?1198（2）1?a?时，x?；

10982a?3（3）a?1时， ?x?

9a?18、（1）a?

第34页 共79页

第八讲 均值不等式

【要点归纳】

当a，b，c＞0时，则

a?ba?b2） ?ab?ab?()（当且仅当a=b时，取“=”

22a?b?c3a?b?c3（2）） ?abc?abc?()（当且仅当a=b=c时，取“=”

33（1）

更一般地，当ai?0（i?1,2,3?n）时，

则

a1?a2???ann） ?a1a2?an（当且仅当a1?a2???an时，取“=”

n【典例分析】

例1 设a，b，c＞0，证明下列不等式： （1）

例2 下列命题中有________个正确 （1）函数f(x)?x?（2）函数f(x)?ba1119 ??2 （2）???ababca?b?c4的最小值是4； x14?x24?x2?的最小值是2

（3）函数f(x)?1?2x?（4）函数f(x)?x?6(x?0)的最大值是1?43 x4(x?0)，当x=1时，取最小值。 2x19??1，求x+y的最小值； xy例3 （1） 已知x,y?0，且

y2?1，求x1?y2的最大值。 （2） 已知x,y?0，且x?22

第35页 共79页

例4 （1）当x>1时，求y?x?1的最小值； x?115（2）当x?时，求y?4x?2?的最大值。

4x?54

例5 （1）当a，b>0时，证明：

114 ??aba?b11k（2）设a>b>c，求使得不等式恒成立的k的最大值。 ??a?bb?ca?c

例6 某食品厂定期购买面粉，已知每吨面粉的价格为1800元，该厂每天需用面粉6吨，面粉的保管费为平均每吨每天3元，因需登记入库，每次所购面粉不能当天使用，每次购面粉需支付运输费900元，求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

第36页 共79页

【反馈练习】

1、已知a,b?0，且a+b=1，求

2、函数y=x(1-2x) (0?x?

3、函数y?ax?

4、已知a,b?0，且ab=3+a+b，求ab的取值范围。

5、求函数y?

11?的最小值。 ab1)的最大值等于___________；此时x=__________ 22(x?0,a?0)的最小值为6，则实数a=_____________ x2x3(x2?1)(x?0)的最大值及相应的x的值。

第37页 共79页

6、设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm，画面的宽与高的比为?(??1)，画面的上下各留8cm

空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？

2第38页 共79页

第八讲 均值不等式

【典例分析】

例2 2个（③④两个命题正确）

例3 （1）当x=4，y=12时，x+y取最小值16；

（2）当x=

3632，y=时，x1?y2取最大值。 242例4 （1）当x=2时，ymin?3；（2）当x=1时，ymax?1 例5 （1）略 （2） 4

例6 解：设该厂应x天购买一次面粉，其购买量为6x吨。 由题意知，面粉的保管费用为3[6x+6(x－1)+…+6×2+6×1]=9x(x+1) 设平均每天所支付的总费用为y元，则

y?=

1[9x(x?1)?900]?6?1800 x900900?9x?10809?10989 ?9x?10809≥2

xx当且仅当9x?900，即x=10时取等号， x故该厂应10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少。 【反馈练习】

111

时，?取最小值4。 2ab112、当x?时，ymax?

481、当a?b?22axax2a3、a=4 提示：y?ax?2???2?33?6

22x2x4、ab≥9 提示：ab=3+a+b?3?2ab?5、当x=1时，ymax?ab?3

x1? 提示：y?63(x2?1)113(x?)x

6、宽为55cm，高为88cm

第39页 共79页

第九讲 一次分式函数

【要点归纳】

ax?b(a,c不同时为0)的函数，叫做一次分式函数。

cx?dk（1）特殊地，y?(k?0)叫做反比例函数；

xax?b（2）一次分式函数y?(a,c不同时为0)的图象是双曲线，

cx?ddada（c≠0）。 x??,y?(c?0)是两条渐近线，对称中心为（?,）

cccc形如y?【典例分析】

例1 说明函数y?指出它的对称中心。

例2 求函数y?

例3 将函数f(x)?图象

（1）求g(x)的表达式；

（2）求满足g(x)≤2的x的取值范围。 例4 求函数y?

第40页 共79页

3x1的图象可由函数y?的图象经过怎样的平移变换而得到，并x?1x1?x在-3≤x≤-2上的最大值与最小值。 1?x1的图象向右平移1个单位，向上平移3个单位得到函数g(x)的x3?x(x?0)的值域。 2x?1

例5 函数f(x)?x?a，当且仅当-1＜x＜1时，f(x)?0 x?1（1）求常数a的值；

（2）若方程f(x)?mx有唯一的实数解，求实数m的值。

例6 已知y?a(x?0,a?0)图象上的点到原点的最短距离为6 x（1）求常数a的值； （2）设y?a(x?0,a?0)图象上三点A、B、C的横坐标分别是t，t+2，t+4，试求出xm。 t最大的正整数m，

使得总存在正数t，满足△ABC的面积等于

【反馈练习】

1、若函数y=2/(x-2)的值域为y≤1/3，则其定义域为_____________。

2x?1的图象关于点_____________对称。 x?3x?93、若直线y=kx与函数y?的图象相切，求实数k的值。

x?51?|x|4、画出函数y?的图象。

x?12、函数y??

第41页 共79页

5、若函数y?

6、（1）函数y?ax?1在(-2，+∞)是增函数，求实数a的取值范围。 x?2ax?1的定义域、值域相同，试求出实数a的值； x?1ax?1（2）函数y?的图象关于直线y=x对称，试求出实数a的值。

x?1

第42页 共79页

第九讲 一次分式函数

【典例分析】

例1 向左平移一个单位，再向上平移三个单位，对称中心为（-1，3） 例2 分离常数得：y??1?2 在-3≤x≤-2上是减函数， x?1 故 x??2,ymax??3；x??3,ymin??2

例3 （1）g(x)?3?例4 ?2； （2） 0?x?1 x?13?y13?x?0 ?y?3；提示：逆求法 由y?(x?0)得 ，x?2y?122x?1例5 （1） a=1 (2)m??3?22或0

例6 （1） a=6 （2） 5 提示：利用根的分布先求出 0?m?6 【反馈练习】

1、x?2或x?8 提示： 法1：解分式不等式； 法2：图象法。 2、对称中心（-3，-2） 3、k??1或?4、略

5、图象法：a?

1 251 2

6、（1）a=1 (2)a=1

第43页 共79页

第十讲 一元二次方程

【要点归纳】

一元二次方程 ax?bx?c?0(a?0) （※） 1、实数根的判断

△＞0?方程（※）有两个不同的实数根 △= 0?方程（※）有两个相同的实数根 △＜0?方程（※）没有实数根

2、求根公式与韦达定理

当 △≥0时，方程（※）的实数根x1,2?并且 x1?x2??【典例分析】

例1、（1）已知2?2?b?? 2abc x1x2? aa3是方程x2?mx?1?0的一个实根，求另一个根及实数m的值；

22（2）关于x的方程(a?1)x?(a?1)x?1?0有实数根，求实数a的取值范围。

例2 设实数s，t分别满足：19s?99s?1?0，t?99t?19?0，并且st?1，求

22st?4s?1的值。 t第44页 共79页

a22例3 实数x，y，z，满足：x+y+z=a，x+y+z=（a>0）,求证：0?z?a

232

2

2

例4 求函数y?

例5 若关于x的方程2x?1?x?m有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

例6 函数f(x)?ax?bx?c，其中a,b,c满足：a?b?c，a?b?c?0 （1）求证：方程f(x)?0有两个不同的实数根x1，x2； （2）求|x1?x2|的取值范围。

第45页 共79页

22x的最大值与最小值。 2x?x?1【反馈练习】

1、当a，b时，关于x的方程x?2(1?a)x?(3a?4ab?4b?2)?0有实数根？

222a6b3?12、已知a?3a?b?3b?1，且ab?1，则的值等于_______

b34222

3、设△ABC的两边AB与AC长之和为a，M是AB的中点，MC=MA=5，求a的取值范围。

4、设实数a，b满足：a?ab?b?1，求a?ab?b的取值范围。

5、求函数y?

6、 若关于x的方程2x?1?x?m有唯一的实数根，求实数m的取值范围。

2222x的最值。

x2?x?1第46页 共79页

第47页 共79页

第十讲 一元二次方程

【典例分析】

例1 （1）另一个根 2?3 ，m=-4 （利用韦达定理） （2）?1?a?例2 －5 （逆用韦达定理，构造方程）

5 3a2a2?z2?az 例3 法1： 由x+y+z=a，x+y+z=得：x+y =a-z，xy=

242

2

2

构造以x,y为实数根的二次方程，再利用△≥0证得。

2a2222a 法2：由x+y+z=a，x+y+z=得：x+（a-z-x）+z= 222

2

2

a2?z2?az)?0，再利用△≥0证得。 整理得：x?(z?a)x?(42a22

法3：依题 直线x+y+z-a=0 与圆 x+y =-z有公共点。

22

2

故

|z?a|22a2??z2,可证0?z?a

322；也可用不等式法。 3例4 （判别式法）?2?x?t2?1例5 法1：令2x?1?t，则t?0且 x?，于是原方程化为：

2t2?2t?(2m?1)?0 有两个不同的非负实数根。

???4?4(2m?1)?01???m?1 故?t1?t2?2?02?tt?2m?1?0?12法2 ：数形结合 例6（1）略 （2）【反馈练习】

1、a?1,b??3?|x1?x2|?3 21 2、-36 2第48页 共79页

3、10?a?102 4、[?3,?]

5、（判别式法）[?,1] 6、数形结合 m?1或m?

13131 2第49页 共79页

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