第二章 测试装置的基本特性 讲义

机械工程测试

第二章 测试装置的基本特性

第一节 概述

一、工程测试问题的内容：

工程测试主要有输入、系统、输出三大部分组成。可由输入、系统求输出，也可由输入、输出求系统，还可由系统、输出求输入。这三者可在时域、频域和复数域相互转换得到响应的值。

二、理想的测量装置

1、测试装置的输出和输入成线性关系。

理想测试装置具有单值的、确定的输入-输出关系。

实际测试装置的线性关系，用线性度来衡量。线性度是指测量装置输入、输出之间的关系与理想比例关系（即理想直线关系）的偏离程度。实际中，有静态标定所得到的输入。但输出数据点并不在一条直线上，这些点与理想直线偏差的最大值称为线性误差。这里的“理想曲线”通常有两种确定方法：一种是最小与最大数据值得连线，即端点连线；另一种是数据点的最小二乘直线拟合得到的直线。通常使用后者。

线性误差= max×100% maxmin

其中， max和 min表示输出的最小值和最大值， max表示最大的线性误差。

2、系统为时不变线性系统。

测试系统为时不变线性系统，是指既满足叠加原理又具有时不变特性，它可以用单位脉冲响应来表示。

时不变线性系统有如下性质：

1）叠加性：若激励 1 t 与 2(t)产生的响应分别为 1 t 和 2(t)，则激励 1 t + 2(t)产生的响应即为 1 t + 2(t)

。符合叠加原理，意味着作用于线性系统

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的各个输入所产生的输出是互不影响的。

2）频率保持性：如果输入为某一频率的简谐（正弦或余弦）信号，则系统的稳态输出必是同频率的简谐信号。对这一点的正确理解如下：

(I)输出信号频率的成分一定能在输入信号的频率成分中找到。

(II)输入信号频率成分不一定能在输出信号成分中找到。（被滤波器滤掉） (Ⅲ)输出信号中只有与输入频率相同的成分才真正是由该输入引起的输出。

3）线性：若激励 1(t)与 2(t)产生的响应分别为 1(t)， 2(t)，则激励 1 1 t + 2 2(t)产生的响应即为 1 1 t + 2 2(t)。

4）时不变性：若激励f(t)产生的响应为Y(t)，则激励f(t- 0)产生的响应即为Y(t- 0)，也称定常性或延迟性。它说明，当激励f(t)延迟时间- 0时，其响应Y(t)也延迟时间- 0，且波形不变。

5）微分性：若激励f(t)产生的响应为Y(t)，则激励f'(t)产生的响应即Y'(t)。

6）积分性：若激励f(t)产生的响应为Y(t)，则激励f(t)的积分产生的响应即为Y(t)的积分。

三、常系数线性微分方程

1、一、二阶常系数线性微分方

一般形式的一阶微分方程为：

( ) 1+ 0 = 0 ( ) 典型一阶常系数微分方程是低通滤

波器：

RC ( ) + = ( )，如右图所示。

一般形式的二阶微分方程为：

( ) 2 ( ) 2+ 1+ 0 = 0 ( ) 典型二阶常系数微分方程是有弹簧K、

阻尼C和质量块m组成的振荡系统：

( ) 2 ( )m+C+K = ( )

时不变线性系统输入与输出的关系可用常系数线性微分方程来描述的系统。

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式中t为时间自变量。系统的系数 , 1, , 1, 0和 , 1, , 1, 0均为常数。

四、有关测试和测试装置的若干术语

1、信噪比

信噪比即为信号功率与干扰（噪声）功率之比：

SNR=10lg （）

其中 和 分别表示信号功率和噪声功率。信噪比也用信号电压和噪声电压来表示：SNR=20lg （ ），其中 和 分别表示信号电压和噪声电压。

2、动态范围

动态范围是指测试装置不受噪声影响而能获得不失真输出的测量上限值 和下限值 的比值。

DR=20lg （

3、测试装置的灵敏度

当装置的输入x有一个变化量 ，它引起输出y发生相应的变化量 ，两者的比值：

s=4、A/D 卡

A/D转换卡，也就是用来进行模拟信号与数字信号的互相转换的仪器，计算机采集数据以及控制外部仪器都需要A/D卡。A/D 卡用位数表示，有8位、12位、16位。假如量程为±5v（给定的测量范围）：

8位(8个01代码来表示）A/D卡能表示的精度为：10 28=39.0625mv/bit；12位A/D卡能表示的精度为：10 212=2.44140625mV/bit；

16位A/D卡能表示的精度为：10 216=0.1525878906mV/bit。

所以，当A/D卡的量程一定时，其位数越多，精度也就越高。

）

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第二节 测试装置的动态特性

一、动态特性的数学描述

把测试装置视为定常线性系统，可用常系数线性微分方程来描述该系统输出和输入的关系。如果在时域上的脉冲相应函数h(t)和通过傅里叶变换建立在频域的频率相应函数H(ω) 和通过拉普拉斯变换建立在复数域的传递函数H(s)，可更简便、更有效地描述装置的特性和输出与输入的关系。

1、脉冲响应函数

若输入为单位脉冲，即x t =δ(t)，则：X s =L δ t =1，因此装置的相应输出是Y s =H s X s =H s ，其时域描述可通过对Y s 的拉普拉斯逆变换得到y t = 1 H s =h(t)。

h(t)常称为系统的脉冲响应函数或权函数,用于系统特性的时域描述。下图表示为δ函数及其脉冲响应函数。

2、频率响应函数

根据定常线性系统的频率保持性，系统在简谐信号x t = 0 的激励下，所产生的稳态输出也是简谐信号，y t = 0sin ( + )。此时输入和输出虽为同频率的简谐信号，但两者的幅值并不一样。其幅值比 = 0/ 0和相位差 都随频率 而变，是 的函数。

定常线性系统在简谐信号的激励下，其稳态输出信号和输入信号的幅值比被定为该系统的幅频特性，记为A ( )；稳态输出对输入的相位差被定义为该系统的相频特性，记为 ( )，两者统称为系统的频率特性。

由于任何一个复数z=a+jb，也可以表达为

z=

其中， = ；相角 =arctan (b/a)。

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现用A ( )为模、 ( )为复角来构成一个复数

( )H =A( )

H 表示系统的频率特性。H 称作系统的频率相应函数，它是激励频率 的函数。下图为测试系统幅频特性和相频特性对输入信号的影响

3、传递函数

设X(s))和Y(s)分别为输入x(t)、输出y(t)的拉普拉斯变换。对时不变线性系统常系数线性微分方程取拉普拉斯变化得：

其中s为复变量，s=a+jω， ( )是与输入和系统初始条件有关的，H(s)与系统初始条件及输入无关，只反映系统本身的特性，称为系统的传递函数。

若初始条件全为零，则因 =0，便有

H s = ( )由于上式只在系统初始条件均为零的才成立。今后若未加说明时，便是假设系统初始条件为零。

传递函数有以下几个特点：

1）H s 与输入x(t)及系统的初始状态无关，它只表达了系统的传输特性；

2）H s 只反映系统传输特性而不拘泥于系统的物理结构，同一形式的传递函数可以表征具有相同传输特性的不同物理系统；

3） 、 等系数的量纲将因具体物理系统和输入、输出的量纲不同而不同。

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4、传递函数、频率响应函数、脉冲响应函数关系

在时域上的脉冲相应函数h(t)和通过傅里叶变换建立在频域的频率相应函数H(ω) 和通过拉普拉斯变换建立在复数域的传递函数H(s)，可更简便、更有效地描述装置的特性和输出与输入的关系。H 是H 中实部为零虚部相等的特例。工程中，发动机的振动噪声传到车内求的传递函数，其实是求频率响应函数。

5、环节的串联和并联

若两个传递函数中各位为 1( )和 2( )的环节串联式，他们之间没有能量交换，则串联后所组成的系统的传递函数在初始条件为零时，有

H = 1( ) 2( )

若两个环节并联，则有

H = 1 + 2( )

二、一阶、二阶系统的特性

1、一阶系统

一阶系统的输入、输出关系用一阶微分方程来描述。下图中属于力学、电学范畴，但他们均属于一阶系统。

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以最常见的RC电路为例，令y(t)为输出电压，x(t)为输入电压，则有

( )+ = ( ) 通常令RC=τ，并称为时间常数，其量纲为T。 RC

实际上，最一般形式的一阶微分方程为

( ) 1+ 0 = 0 ( ) 可改写为

( )+ =S ( ) 式中τ= 1/ 0为时间常数；S= 0/ 0为系统灵敏度。对具体系统而言，Sτ是一个常数。令S=1，即

τ ( )+ = ( ) 1可得一阶系统的传递函数：H = +1

一阶系统的频响函数：H = +1其幅频、相频特性表达为： A =1φ ω = arctan ( )

其中负号表示输出信号滞后于输入信号。

在一阶系统特性中，有几点应特别注意：

1）当激振频率ω远小于1/ 时，其A 值

接近于1，输入、输出幅值几乎相等。当ω>(2~3)/

时，系统相当于一个积分器，其中A 几乎与

激励频率成反比，相位滞后近900。故一阶测量

装置适用于测量缓变或低频的被测量。

2）时间常

τ

是反映一阶系统的重要参数，

决定了该装置适用的频率范围。在ω=1/ 出，

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A 为0.707（-3dB），相角滞后450。

2、二阶系统

二阶系统可用二阶微分方程描述，现已典型二阶常系数微分方程是有弹簧K、阻尼C和质量块m组成的振荡系统：m

通过变形可得

( ) 2 ( )2+2ξ +ω2 = ω ( ) 其中， = ξ=c/ 和 =1/K。

对于具体系统而言，S是一个常数。令S=1，便可得到归一化的二阶微分方程式。式中， 称作系统的固有频率；ξ称为系统的阻尼比，而S是系统的静态灵敏度。所以二阶系统传递函数为： 2 ( ) +C ( ) +K = ( )为例。

二阶系统频响函数为：

相应的幅频特性和相频特性分别为

相应的幅频、相频特性曲线如下图。

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在幅频谱中，如需高精度，则取0.1倍固有频率；一般精度，取0.3倍固有频率；在工厂中，取0.6倍固有频率。

二阶系统大致有如下特点

1）当ω 时，H ≈1；当ω 时，H →0。

2）影响二阶系统动态特性的参数是固有频率 和阻尼比ζ。然而在通常使用的频率范围中，又以固有频率的影响最为重要。所以二阶系统固有频率 的选择就以其工作频率范围为依据。在ω= 附近，系统幅频特性受阻尼比影响很大，当ω≈ 时，系统将发生共振，因此，作为实用装置，应该避开这种情况。

3)二阶系统是一个震荡环节。一般取ω≤(0.6~0.8) ，ζ=(0.65~0.7)。

第三节 测试装置对任意输入的响应

一、系统对任意输入的响应

将输入x(t)分割成众多相邻接的、持续时间为 的脉冲信号。在t时刻系统的输出为：

y(t)≈ ( )

=0

对 取极限，得：

y t = ( )

0

则

x t h t = +∞

( )

∞

在工程控制学中，输出y t 等于输入 和系统的脉冲相应函数 ( )的卷积，即

y t =x t h t

对卷积的理解请看PPT的动画演示。

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以y 2 为例，来卷积进行解释：y 2 等于才进来的x 2 时刻在h 0 乘积，加上前一时刻x 1 与h 1 的乘积，再加上最初时刻x 0 与h 2 的乘积。即说明在i时刻进入系统的信号x(t )，都要从系统的初始响应h 0 算起，为x t h 0 ；这时前一个x t 1 时刻的信号相对于x t 已经经历过h 0 ，在i时刻就应该经历h 1 ，为x t 1 h 1 ，这样以此类推，得到系统某时刻的输出。

二、系统对单位阶跃输入的响应

由于单位阶跃函数可看成单位脉冲函数的积分，故单位阶跃输入作用下的输出就是系统脉冲响应的积分。对系统的突然加载或者突然卸载可是为施加阶跃输入。施加这种输入既简单易行，又能充分揭示测量装置的动态特性，故常采用。

一、二阶系统单位阶跃输入为

一阶系统对单位阶跃输入的响应：

所以理论上看，一阶系统

在单位阶跃激励下的稳态输出

误差为零。系统的初始上升斜

率为 1/ 。在t=(3~4) 时，

y(t)≈1。当t

趋向无穷大时，

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系统达到稳态。所以一阶装置的时间常数 越小越好。

二阶系统对单位阶跃输入的响应：

二阶系统，系统的响应在很大程度上决定于阻尼比ξ和固有频率 。 越高，系统的响应越快。阻尼比直接影响超调量和振荡次数。ξ=0是超调最大，为100%，且持续不息的振荡着，达不到稳态。ξ≥1时，虽不发生振荡（即不发生超调），但也需经长时间才能达到稳定状态。如果ξ选在0.6~0.8之间，则系统以较短时间进入稳态范围内。所以ξ选在0.6~0.8。

第四节、实现不失真测量的条件

设有一个测量装置，其输出y(t)和输入x(t)满足下列关系，

y t = 0x(t 0)

式中 0、 0为常数。上式表示输出波形和输入波形精确的一致，只是幅值放大了 0倍，在时间上延迟了 0。被认为测量装置在时域上具有不失真测量的特性。 由于有

H ω =A ω = ( )= 0 0 可见，如要求输出波形不失真，则其幅频和相频应分别满足

A ω = 0=常数

= 0

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A ω 不等于常数时所引起的失真称为幅值失真， 与 之间的非线性关系所引起的失真称为相位失真。

下图为信号中不同频率成份通过测量装置的输出：

从实现测量不失真条件和其他工作性能综合来看，对一阶装置而言，如果时间常数 越小，则装置的响应越快，近于满足测试不失真条件的频带也越宽。所以一阶装置的时间常数 原则上越小越好。

对于二阶装置，在 <0.3 范围内，A ω 在该频率范围内变化不超过10%，若用于测量，则波形输出失真很小。在ξ=0.6~0.8时，可获得较为合适的综合特性。计算表明，当ξ=0.7时，在0~0.58 的频率范围内，幅频特性A ω 的变化不超过5%，同时相频特性 也接近于直线，因而所产生的相位失真也很小。

第五节 测试装置动态特性的测试

一、频率响应法

通过稳态正弦激励实验可求得装置的动态特性。对装置施以正弦激励，在输出达到稳态后，测量输入和输出的幅值比和相位差。这样可得该激励频率f下装置的传输特性。

对于一阶装置。主要的动态特性参数是时间常数 ，可以通过幅频和相频特性：

A =1

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φ ω = arctan ( )

直接确定 值。

对于二阶装置，动态特性参数为有固有频率 和阻尼比ξ。在 = 时处，输出对输入的相位滞后角为900，该点斜率直接反映了阻尼比的大小。但相角测量较困难，通常通过幅频曲线估计其参数。对于欠阻尼系统，当ξ很小时，峰值频率 ≈ 。在幅频特性曲线上，在峰值的1/ 交于a、b两点，他么对应的频率

将是 1、 2，而且阻尼比的估计

值可取为

ξ= 2 1

有时也可由A 和实验中最低

频的幅频特性值A 0 ，利用下式

来求得：

A 1=单一正弦波测频响的方法：

选定一个信号频率，在信号分析仪上直接读取传递函数中该频率下的幅值比与相位差。改变频率重复上述操作，将获取的测量值绘制成曲线，即可得到欲知频段的频响。由信号源不同所决定的各种测量方法的优缺点：

1、单一正弦波，信噪比高，测量效率低；

2、正弦扫描，信噪比高，测量效率高；

3、随机信号（白噪声），信噪比差，测量效率高。

二、阶跃响应法

用阶跃响应法求测量装置的动态特性是一种时域测试的易行方法，实践中无

法获得理想的单位脉冲输入，但可获得足够精确的单位函数的积分——单位阶跃函数及阶跃响应函数。在测试时，应根据系统可能存在的最大超调量来选择阶跃输入的幅值，超调量大时，应当选用较小的输入幅值。

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1、由一阶装置的阶跃响应求其动态特征参数

若测得一阶装置的阶跃响应，可取该输出值达到最终稳态值的63%所经过的时间作为时间常数 。但这样求得的 值仅取决于某些个别瞬时值，未涉及响应的全过程，测量结果的可靠性差。如改用

下述方法确定时间常数，可获得较可靠

的结果。下式是一阶装置的阶跃响应表

达式，可改写为

1 =

两边去对数，有

=ln [1 ] 上式表明，ln [1 ]和t成线性关系。因此可根据测得 值作出ln 1 和t的关系曲线，并根据其斜率确定时间常数 。

2、由二阶装置的阶跃响应求其动态特性

按照求极值的通用方法，可求得各振荡峰值所对应的时间， =0、 、2 、 将t= 带入

求得最大超调量M和阻尼比ξ的关系式

M= 1 ξ

因此，在测得M之后，便可按上市求取

阻尼比ξ，或根据上式作出M-ξ图，再求取阻

尼比ξ。

如果测得响应为较长顺便过程，则可利

用任意两个超调量 和 +n来求阻尼比，其

中n是该两峰值相隔的正周期数。由公式

=ln

+n

得

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2 ξ= 下图为欠阻尼比二阶装置的阶跃响应

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f54j.html