七年级数学建立数学模型

第一课时 制成一个尽可能大的

无盖长方体（一）

教学目标

知识要求与能力要求

经历从实际问题抽象出数学问题—建立数学模型——综合应用已有知识解决问题的过程；体会数学知识之间的联系；丰富学生的空间观念与符号感；发展学生的推理能力；获得研究问题的方法和经验。

情感与价值观要求

通过回顾与反思平时学习中的收获与错误，使学生感悟到自己在发现错误的过程中成长，增强学生克服困难的勇气和能力。

教学重难点

建立数学模型解决问题的过程；借助已有的信息去推断事物趋势的活动，学生的推理能力发展；方法和经验的获得。

教学方法

探索——交流——发现的方法。

采用小组合作的方式进行，给学生提供充分探索和交流的空间，让学生去猜测，去操作，去分析，从而获得研究问题的方法和经验。

创设情景 引出课题

我们从进入初中，已经学习了七章的内容，如何综合运用第七章的知识来解决实际问题，这才是我们学习数学的关键之所在。

课题学习对于我们而言是一种新的学习方式，它需要综合本学期所学的数学知识、技能和方法。

今天，我们就用学过的知识来研究一个题目。

思考交流 课题探究

题目1：你认为用一张正方形的纸怎样才能制成一个无盖长方体？ （分开小组，每组4人，然后把准备好的正方形的纸发给每一个小组） 我们可以先设想把无盖的长方体展成平面图形。由于侧棱的长度是相等的，当我们沿着每一条侧棱展开时，在展开图的四周可以补全图形即在四个角上补上边长为侧棱长的四个小正方形（如下图）

因为我们是要用正方形纸制成无盖的 长方体，所以长方体展开图，再加上补上的 图形须成为一个正方形，观察图形不难发现 ，原长方体的底面必须是正方形，展开图才 能补充成如图所示的正方形。

上面想法已经给了我们一定的启示。下面我们就分组，根据题目1的内容来完成下面的议一议，也许你会由不小的收获。

[议一议]（1）如果用一张正方形的纸制成一个无盖的长方体，你觉得应该如何剪？如何折？与你小组的同伴充分交流意见。

（2）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高有什么关系？ （3）如果设这张正方形纸的边长是a，所折无盖长方体的高为h，你能用a和h来表示这个无盖的长方体的容积吗？

（小组在合作交流、操作的过程中获得所要的结论，然后教师在小组讨论的基础上，归纳、解答上面3个问题）

[师生共析]（1）只要在四个角上同时剪去一样大小的四个小正方形，然后沿着实线折叠便可得到一个盖长方体，大家可亲自实验操作，来验证我们的做法是正确的；（如下图）

（2）由右图可知，剪去的小正方形的边长与折成的无盖的长方体的高相等；

（3）如果设正方形纸的边长为a，小正方形的边长为h，即无盖长方体的高为h，这无盖长方体的底面是以（a-2h）为边长的一个正方形，记无盖长方体的的容积为V，则用a和h表示V，即

2（a?2h）?h V=

反思一下，上面的议一议用到了我们前面学过的哪些知识？

用到了我们学过的展开与折叠；用字母表示数；列代数式。最关键的还是将这个实际问题转化成了数学问题。

2（a?2h）?h公式的可知，体积V的文化是什么决定的？拓思：从Y=

随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体的容积如何变化？请

提出的猜想！

猜想：h在刚开始增大时，无盖长方体的容积也在增大，而当h增大

2（a?2h）到一定程度。减少的相当快，无盖长方体的容积就开始随着h

的增大而逐渐减小。

课题学习：制成尽可能大的无盖长方体（一）

做一做：用边长为20cm的正方形纸按以上方式制作无盖长方体（即a=20）

（1）如果剪去的小正文形的边长按整数值依次变化，即分别1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm时，所得的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计表，表示这个变化情况。

（2）观察自己所做的表格，你发现了什么？与同伴交流。

（3）观察统计表，当小正方形边长取什么值时，所得的无盖长方体的容积最大？此时，无盖长方体的容积是多少？

要求每一个小组都制作一统计表，每一个学生通过观察本小组的统计表，给出自己的发现，并与他人交流。

下表为无盖长方体容积随小正方形边长变化的统计表： 无盖的长方体的底面无盖的长方体的容积剪去的小正方形的边长22（h）/cm （20?2h）/cm2 积（20?2h）/cm3 324 512 588 576 500 384 252 128 36 0 [师生共析]观察表格不难发现。当小正方形的边长即h开始增大时，无盖长方体的容积也在增大；当h增大到3以后开始，h继续增长，无盖长方体的体积却在变小。

当小正方形的边长h=3时，所得的无盖长方体的容积最大，最大容积

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 324 256 196 144 100 64 36 16 4 0 V=588cm3。

归纳提炼

1、“用一张正方形的纸制成一个无盖长方体”的方法；

2、找到了正方形的边长a和剪去的小正方形边长h即无盖长方体的高与无盖长方体的容积之间的关系；

3、通过统计表研究了a=20时，无盖长方体的容积是怎样随着剪去的小正方形边长增大而变化的。

课后作业

请小组交流，提出你探究的方法 是不是h=3时，无盖长方体的容积最大呢？这还有待于我们下一节课继续研究。

用边长为20厘米的正方形折成高分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm、6cm、7cm、8cm、9cm、10cm的无盖长方体。

活动与探究

用长是80cm，宽是50cm的长方形的纸做一个无盖长方体纸盒，问做出的纸盒的最大容积是多少？

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