弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教学的启示1

对中学数学教育的帮助

弗赖登塔尔数学教育思想对中学数学教学的启示

摘要：弗赖登塔尔的教育思想是数学教育方法论的一大宝库，他提出了“数学现实”、“数学化”、“再创造”、“反思”等教学思想，它强调我们作为教育工作者要教学中要立足于现实，注重学生的数学化及反思，提升学生思维能力，善于引导学生激发学生的在创造能力，为祖国培养大批优秀人才。

关键字：弗赖登塔尔；中学数学；教育思想

1 引言

1.1弗赖登塔尔教育思想提出的背景

弗赖登塔尔的数学教育思想产生的背景是:二次世界大战后急需培养大批具有数学基础知识的技术工人以供社会物质生产需要，教师要在有限的时间内尽可能多地讲授新知识等。由于教育资源严重不足，不能保证大多数学生进入高一级学校接受教育；同时，由于家长望子成龙，因而学生的有效学习就成为了当时教育面临的一大问题大量，这时，荷兰数学家弗赖登塔尔开始对数学教育进行了研究，在随后的研究中，他以其独特的视角提出了“数学现实”、“数学化”、“反思”的数学思想和基于其经验与拟经验的数学哲理观与建构主义教学观的“再创造”数学教育思想。

1.2荷兰和我国在其数学教育思想下的教育情形

从60年代末起荷兰就开始了传统数学教育向弗赖登塔尔的数学教育模式的改变，呈现了下列两个特点：

a、教师有充分的权威，他们可以不经学校管理人员的批准自己决定教学，老师的建议对学生的未来远比学生的考试制度更为重要，学生和家长都乐意接受老师的建议。

b、教育的自由度非常大，政府不干预学校的教学，对于每一科需要教和学什么，完全由学校和教师决定，在这样的状况下，荷兰教育还是那么井然有序。

再来看我国的教育情况，从1989年国家教委出版的8套教材来看，不难发现他们除了吸收近十多年的数学教育改革的成功经验和国外教材的优点之外，还加上去一些提高学生数学素质的体系，新教材融入了力求使学生听、看并用，手脑齐动，思维徐序渐近，把课堂变成师生共同活动的场所，重视学生的认识发展，广泛通过举例、试验、想象、分析、归纳等方法引导学生的出相关结论，从而理解、掌握数学知识，培养和发展学生的数学能力。这些都在一定程度上体现了弗赖登塔尔的数学思想。[1]

2003年国家教育部制定的课程标准中指出：学生的数学活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，这些方式都有助于发挥学生学习的主动性，使学生的数学学习过程成为教师引导下的“再创造”过程。这些例子可见弗赖登塔尔数

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学教育思想的价值和意义。

2弗赖登塔尔数学教育思想综述

2.1弗赖登塔尔简介

弗赖登塔尔(Hans Freudenthal,1905-1990)是荷兰籍数学家和数学教育家，出生于德国一个名叫Luckenwalde的小镇，他的父亲是以为犹太教师。早在20世纪三、四十年代，他就以拓扑学和李代数方面的卓越成就而为世人所知.从20世纪50年代初起，他把主要精力放在数学教育方面，发表了大量著作，也开展了广泛的社会活动。在1967-1970年间任国际数学教育委员会(ICMC)的主席。召开了第一届国际数学教育大会(ICME),创办了《数学教育研究》(Educational Studises in Mathematics)杂志，在国际范围内为数学教育事业做出了巨大的贡献。弗赖登塔尔关于数学教育的论述，主要收集在他下列三本巨著之中：《作为教育任务的数学》1973年版；《除草与播种———数学教育学的序言》1978年版；《数学结构的教学法现象》1983年版。弗赖登塔尔于1978年到华东师大和北京讲学，内容收集在《数学教育再探———在中国的三次讲学》一书中，于1990年去世，享年85岁。

2.2弗赖登塔尔数学教育思想综述

弗赖登塔尔的数学教育思想是基于他对数学的认识而产生的．在他看来“数学是系统化了的常识．这些常识是可靠的，不像某些物理现象会把人引入歧途”

[2]而常识并不等于数学，“常识要成为数学，它必须经过提炼和组织，而凝聚成一定的法则，这些法则在高一层里又成为常识，再一次被提炼、组织 如此不断地螺旋上升，以至于无穷。”[2]这就是我们今天所说的抽象与逐级抽象，亦即数学的发展过程具有层次性。在此认识的基础上，他结合自己对以往教育家的研究“教一个活动的最好方法是演示”的教学论原理．进一步发展为：“学一个活动的最好方法是做” [2]尽管他很谦虚地说：“这个提法与夸美纽斯的追求也许没有太多区别，只是重点从教转向学，从教师转向学生活动。”而这些转变正是教育应该做而没有做到的，是对教学活动最本质的认识的改变，是对传统的教学方法、教学模式的批评．他反复强调：学习数学的唯一正确方法是实行“再创造”，也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．他说“将数学作为一个现成的产品来教，留给学生活动的唯一机会就是所谓的应用，其实就是做问题” [2]他指出：“这不可能包含真正的数学，强有力作问题的只是一种模仿的数学” [2]他指出，不仅在数学教学中很少将数学作为一种活动，在教育研究中将数学作为一种活动分析的也很少。以至于不能深刻揭示学习数学的本质特性．那么，什么是学习数学的最本质的特性呢?弗赖登塔尔指出：学一个活动最好的方法是做，学数学的最好的方法是做数学。数学学习不是一个被动接受的过

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程，而是一个以已有的知识和经验为基础的主动的建构过程，他指出：“教数学活动不是教数学活动的结果，而是教数学学活动的过程，而且从某种程度上讲，教过程比教结果更重要．”他反对教现成的数学，提倡教做出来的数学，因为通过数学再创造获得的能力，要比被动获得的知识理解的更好、更容易保持。他针对当时一些数学教师以自己给学生做问题，而认为是让学生做数学，弗赖登塔尔指出“做数学不等于做习题”，做数学“必须通过数学化来教数学、学数学”。他说：“与其说让学生学数学不如说让学生学习数学化 ”根据他这一思想，有研究者将数学化进一步分为水平的数学化和垂直的数学化，用弗赖登塔尔的话说“水平的数学化意味着从生活的世界到符号的世界，垂直的数学化是在水平数学化之后进行的数学化是从符号的世界到数学的世界。”[3]

2.2.1数学现实 通过以上综述，弗赖登塔尔数学教育思想可以综合为以下四个方面：

数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实，这是弗赖登塔尔“数学现实”思想的基本出发点。[4]在此基础上形成了他的数学教育观，在《作为教育任务的数学》中，弗赖登塔尔曾说“数学的整体结构应该存在于现实之中。只有密切联系实际的数学才能充满着各种关系，学生才能将所学的数学与现实结合，并且能够应用 [2]。”并指出“对非数学家而言，与亲生经历的现实的联系将是至关重要的” [2]。他主张数学应该属于所有的人，为此必须将数学教给所有人。但人与人之间的差别可能很大，不同的人需要不同的数学，也就联系着不同的现实世界。其主要要点有：数学来源于现实；数学教育应该是现实数学的教育；每个人都有其自己的“数学现实”。

学习数学就意味着能够做数学，熟练地运用数学的语言去解决问题，探索论据并寻求证明，而最后重要的活动则应该是从给定的具体情景中，识别或提出数学概念。[5]比如高中函数的概念，首先我们引入了初中学习过的一次函y kx b和二次函数y ax2 bx c的概念，通过列对应关系表，找到其规律，然后总结得到了数学概念。

所以说要引入一个新概念，却缺少足够的具体事实作为基础，或者反复介绍一个新概念，却没有具体的应用，这都无法使学生产生求知欲；讲授时，过早的提出概念、公理没有什么效果，会引起学生的的抵触情绪。所以数学教学时，过于抽象而脱离学生现实，就会使学生失去兴趣和动机从而达不到很好的教学效果。

综上所述，弗赖登塔尔提的“数学现实”原则，和我们通常所说的理论联系实际有原则的区别，有其独特的含义和理论深度，值得我们借鉴。

2.2.2数学化

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弗赖登塔尔认为数学化，就是数学地组织现实世界的过程。即人们在观察、认识、和改造客观世界的过程中，运用数学的思想和方法来分析和研究客观世界的种种现象并加以整理和组织，以发现其规律的过程[6]。在他看来，数学的产生与发展本身就是一个数学化的过程。先人从手指或石块的集合形成数的概念从测量、绘画形成图形的概念都是数学化。此外当数学家们从具体的置换群与几何变换群抽象出群的一般概念时，也是一种数学化。甚至可以说整个数学体系的形成就是一个数学化的过程。而人们学习数学的过程，实际上又或多或少地遵循着历史发展的规律。通俗点讲，数学化就是把现实中的东西通过数学工具转化成数学公式、定理等。比如说圆周率 =3.1415926... ...是前人通过猜想——证明——整理得到一般化的数学概念，比如还有概率与数理统计的发展是由于古代的赌徒问题而产生的，这些都是数学化。

根据Treffers和Goffree的提法，数学化还可以分解为水平的和垂直的两种成分，借助水平的数学化和垂直的数学化，我们可以用下列图表来比较四种不同类型的数学化途径：

其中“十”号表示对这方面给以更多的注意，而“—”号表示较少注意或根本末加注意。当然以上分类也只是相对比较而言，在实际的数学化过程中，这两方面的作用相互缠结，关系错综复杂，并不能截然分开。[5]

回顾历史上最早的传统数学教育，其做法就是机械的途径，教师将各种结论灌输下去，学生被动地接受这些结果，死记硬背，机械模仿，不知道它的来龙去脉，所获得的只是知识的形式堆砌，既不考虑它有什么用处，也不问它互相之间是否有内在联系，可以说很少包含数学化的成分。以后逐渐有所进步，比较多地考虑到实际的经验，也建立了不少现实的模型，从而进入了经验的途径，即较多地顾及水平的数学化，使所获得的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。布尔巴基的“新数学”运动的做法，就采用了构造的途径，强调数学的演绎结构，重视逻辑推理的论证，企图以结构主义的思想来组织整个数学教育，以提高抽象的逻辑思维水平，形成严谨的演绎结构体系作为唯一的目标，从而又由一个极端走向了另一个极端，忽视了数学的现实性，忘却了数学教育的根本目标还是要为现实世界服务，而且一味追求抽象，强调严谨，也不符合教学规律与认识规律。从历史的经验教训，我们应该得出这样的结论，那就是：数学教育的正确途径应该该是现实的数学化途径，我们所需要的课程体系应该全

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面而完善地体现数学化的正确发展，既要强调现实基础，又要重视逻辑思维，既要密切注意数学的外部关系，也要充分体现数学的内在联系，要能将这两者有机地结合在一起，那才是数学教育所必须遵循的正确路线。[7]

2.2.3再创造

弗赖登塔尔指出，数学化过程产生的数学必须由通过教学过程产生的数学教学反映出来，因此，他认为数学教学方法的核心是学生的“再创造”，并指出这和我们常常说的“发现学习”并不等同。这里理解的创造，是学习过程中的若干步骤，这些步骤的重要性在于再创造的“再”，而“创造”则既包括了内容又包含了形式，既包含了新的发现又包含了组织。[5]需要我们学生在学习的时候善于独立思考，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。这样的目的就是要培养学生学生发现问题，挖掘学生的潜力，使学生具有学习的动力，这样才能达到素质教育的要求。

提倡按“再创造”原则来进行数学教育，弗氏认为可以从教育学的角度来找到这一做法的合理根据，至少可以提出以下三点：

(1)通过自身活动所得到的知识与能力比由旁人硬塞的理解得透彻，掌握得快，同时也善于应用，一般来说还可以保持较长久的记忆。

(2)发现是一种乐趣，通过“再创造”来进行学习能够引起学生的兴趣，并激发其学习动力。

(3)通过“再创造”方式，可以进一步促进人们形成数学教育是一种人类活动的看法。

有指导的再创造意味着在创造的自由性和指导的约束性之间，以及在学生取得自己的乐趣和满足教师的要求之间，达到一种微妙的平衡。[5]

2.2.4反思

弗赖登塔尔指出反思是一种重要的数学活动，是数学活动的核心和动力。[8]数学的发现来自直觉，而分析直觉理解的原因是通向证明的道路，为此必须教育学生对自己的判断与活动甚至语言表达进行思考并加以证实，以便使他们学会反思，能有意识地了解自身行为后面潜藏的实质，只有这样教育才能真正培养学生的数学能力。这就是要求学生为什么每次考试之后要总结，做完作业要检查，教师每年都要写教学总结的原因。这反思不仅仅指学生还有包括我们老师在内的所有教育工作者，只有在反思中我们才能不段进步，不断得到提高。

反思是在学习强化自我意识、进行自我监控、自我调节的重要形式。在反思过程中，不但可以得到锻炼和提高，而且通过反思可以使数学知识得到补充、丰富和完善。

他认为：“从别人那里反射自己，就像白天和黑夜，自己反射自己，也就是反省或反思。它反思自己曾做过的、想象过的、思考过的，以及正在做的，正在

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感受的、正在想象的、正在思考的。反思一旦开始，就是一种每时每刻我们总在进行的活动。经反思可以使数学现实与数学化相互反馈，协调发展，这就是数学理论的动力。[5]

反思可以使学生思维敏捷，发现问题，它是再创造的前提，有了反思，在这种情况下我们对再创造才会有更深入的发现，我认为反思是再创造的源泉，是再创造思维进一步的深化。

3弗赖登塔尔数学教育思想对我国中学教学教育的启示

3.1数学教学要立足于数学现实，着眼于超越现实

中学数学教学中的一个突出问题是学生的数学兴趣缺失。究其原因主要是新课标内容对于刚升入学的学生来说显得过于抽象，没有太多现实意义，因此学生往往没有热情去理解知识。按照数学源于现实，也必须寓于现实，并且用于现实的弗赖登塔尔“数学现实”思想，数学教学必须紧密联系实际。对于新入学的学生的数学教学就要立足于数学现实，培养数学能力，使数学成为生活中的工具。

数学教学必须联系实际，而且要应用于实际。为了达到这个目的，教师可以从这几个方面努力：破除思维定势，主动树立联系实际的意识，并且要落实到实处；作为老师，要加强数学史的学习，数学史是数学和现实结合的历史，从这出发能更好的把握数学的逻辑；引入生活中的新鲜例子。这就要求老师要关心周围的事物，了解时事政治，并从中抽象数学知识。数学要联系实际，这个实际要立足于学生现有的水平，并超越学生现有水平，使学生感觉到数学的有用之处，这才是数学教学中运用“数学现实”的关键点。

随着学生们所接触的客观世界越来越广泛，应该确定各类学生在不同阶段必须达到的“数学现实”，并且根据学生所实际拥有的“数学现实”，采取相应的方法予以丰富，予以扩展，从而使学生逐步提高所具有的“数学现实”的程度并扩充其范围。通过这样的过程，数学教育将随着不断地扩展的现实发展，同时数学教育本身又促使了现实的扩展，正象数学与现实世界的辩证关系一样，数学教育也应该符合这样的规律。

3.2注重学生的数学化过程，提倡探究教学

数学教学往往讲解、练习加奖惩措施，这样的三部曲主要针对数学的形式训练。而对于新概念新知识来说，这样的教学方法根本不能适用。虽然在教学过程中偶尔与实际相联系，使所获得的数学知识具有一定的实用价值，可以解决一些客观现实中的问题。但这些知识又往往流于琐碎、零星、不成体系，忽视了数学本身的内在联系，尤其是忽略了数学的逻辑演绎结构，较少注意数学化的纵深发展。学生“数学化”的过程，就是将学生的数学现实进一步提高、组织、抽象的过程。它可以分为五个水平：直观阶段、分析阶段、抽象阶段、演绎阶段和严谨阶段。这一思维水平是根据儿童思维发展与学习过程提出的，故而不是要求每个

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学生都要一次完成所有阶段。不能过分强调公理化的演绎和形式化的证明，而应符合学生的年龄特征。[7]

根据弗赖登塔尔提出的应该让每个人在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识的观点。那么数学课堂应以探究为主要任务，最终达到自主发现。

3.3强调反思，提升学生思维能力

在新课标的数学教学中，老师往往忽略反思这个环节。作为老师，最根本的任务是教会学生如何学习，也就是说教是为了不教。而对于新知识的引入，他们充满想象，更愿意表现。

弗赖登塔尔认为反思是一种重要的数学活动，是数学活动的核心和动力。作为新课改下的数学教师更应该鼓励学生反思，发挥他们的聪明才智。而学生从探究学习过渡到自主发现学习，反思是不可缺少的一个环节。

具体的，在教学中教师可通过以下途径培养学生的反思能力:

a、创设一个氛围，激发学生的反思意识。教学中首先要创造一个宽松、和谐、民主的教学氛围，使学生乐于反思、敢于反思，激发学生的反思意识。

b、教学中必须留一些余地，给学生创设反思的空间和时间，并引导学生多想一点、多问一点、多写一点。因为只有这样学生的反思才能有一定的成效。

c、教一些方法，提高学生的反思能力。学会反思无疑等于给他们每人配备了位尽职的老师，可以随时随地对他们的发展、成长进行有效的指导，提高学生的自主意识，促进学生的反思发展。

d、定时交流反思成果。对于成绩差的学生，心理都有失落感，所以要及时总结他们的成果，这会激发学生的反思积极性，提升他们的自信心。及时的总结为他们今后的反思提供了方向。[9]

3.4适当引导学生，激发学生的再创造

弗赖登塔尔说“学一个活动的最好方法是实践” 将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。就象游泳本身也有理论，学游泳的人也需要观摩教练的示范动作，但更重要的是他必须下水去实地练习，老是站在陆地上是永远也学不会游泳的。

主张“再创造”应该是数学教育的一个教学法原则，它应该贯串于数学教育整个体系之中。实现这个方式的前提，就是要把数学教育作为一个活动过程来加以分析，在这整个活动过程中，学生应该始终处于一种积极、创造的状态，要参与这个活动，感觉到创造的需要，于是才有可能进行“再创造”。教师的任务就是为学生提供自由广阔的天地，听任各种不同思维、不同方法自由发展，决不可对内容作任何限制，更不应对其发现作任何预置的“圈套”。

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这对教师提出了更高的要求，不仅对有关题材的各种联系事先尽可能作周密的设计与安排，更重要的是教师必须掌握丰富知识，具备高度的应变能力，随机应变，及时处理学生可能提出的各种问题，以保证将学生引上“再创造”的道路上去。让受教育者——学生的活动更为主动、有效，以便真正积极地投入到教育这个活动中去。

4弗赖登塔尔数学教育思想在教学案例的体现

4.1案例1 函数单调性的教学

师：我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语，在学习几个相近的概念时还要注意区别它们之间的不同．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．请大家思考一个问题，我们能否说一个函数在x 5时是递增或递减的？为什么？

生：不能．因为此时函数值是一个数．

师：对．函数在某一点，由于它的函数值是唯一确定的常数（注意这四个字“唯一确定”），因而没有增减的变化．那么，我们能不能脱离区间泛泛谈论某一个函数是增函数或是减函数呢？你能否举一个我们学过的例子？

生：不能．比如二次函数y x2，在y轴左侧它是减函数，在y轴右侧它是增函数．因而我们不能说y x2是增函数或是减函数．

师：好，举一个例子来帮助我们理解定义中的词语“给定区间”．这说明函数的单调性是函数在某一个区间上的性质，但这不排斥有些函数在其定义域内都是增函数或减函数．因此，今后我们在谈论函数的增减性时必须指明相应的区间．

师：还有没有其他的关键词语？

生：还有定义中的“属于这个区间的任意两个”和“都有”也是关键词语． 师：你答的很对．能解释一下为什么吗？

（学生不一定能答全，教师应给予必要的提示．）

师：“属于”是什么意思？

生：就是说两个自变量x1,x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取．

师：如果是闭区间的话，能否取自区间端点？

生：可以。

师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1 x2，f(x1)就必须都小于f(x2)，或f(x1)都大于f(x2)。

师：能不能构造一个反例来说明“任意”呢？

生：可以构造一个反例．考察函数y x2，在区间[-2，2]上，如果取两个特定的值x1 ，x2 1，显然x1 x2，而f(x1) 有f(x1) f(x2)，4，f(x2) 1，

若由此判定y x2是[-2，2]上的减函数，那就错了．

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师：那么如何来说明“都有”呢？

生：y x2在[-2，2]上，当x1 ，x2 1时，有f(x1) f(x2)；当x1 1，x2 2时，有f(x1) f(x2)，这时就不能说y x2，在[-2，2]上是增函数或减函数。

师：好极了！通过分析定义和举反例，我们知道要判断函数y=f（x）在某个区间内是增函数或减函数，不能由特定的两个点的情况来判断，而必须严格依照定义在给定区间内任取两个自变量x1,x2，根据它们的函数值f(x1)和f(x2)的大小来判定函数的增减性。

这节课到这里基本上知识点都讲清楚了，总体上已经达到了要求，但是在让学生理解定义的问题上，作者着重于在字眼上去理解，这样理解起来有点费力。并且在教学中没有考虑到学生的现实差异性，并不是每个学生都能想到上面所说的每一步。这样的教学效果就会参差不齐，从而加剧差生和优生的距离，达不到预定的效果。可以这么说，这节课中很多学生是在大合唱，他根本就不知道什么叫单调性，在作练习的时候只是按照老师给定的步骤，根本就回去探询其他中解法，以至于形成了固定的思维模式，不会去“再创造”。

在教学案例中，我们的教学目的就是要会利用单调性的定义去判断某函数的单调性，其实质就是在某个区间去比较自变量和函数值的大小关系。这个比较我们在现实中是常见的，谁比谁漂亮等，既然是比较那是是得有两者，对应于定义中的x1和x2，比较的时候我们要得出一个结果，某某同学是最漂亮的，这个得有一个范围比如在甲班某某是最漂亮的，那就是甲班中的任何一个同学都没有他漂亮，那就对应了定义中的“给定区间”和“任意的两个数x1和x2”，这样通俗易懂的讲解，我想学生理解起来也没那么吃力，教师在讲解的时候也没那么费劲，基本上所有的同学都听懂了，这样一个看上去很难讲的一个数学概念被我们拉入生活中就变得浅显易懂。

根据弗赖登塔尔数学教育思想，数学的根源在于普通常识，数学实质上是人们常识的系统化，它与其他科学有着不同的特点，是最容易创造的科学。为此，在教学时，教师应该让每个人在学习数学的过程中，根据自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识。当然，这也并非机械地重复历史，只是在某种意义上重复人类的学习过程，重复数学创造的历史。这种创造并非按照历史的实际发生过程进行，而是假定我们的祖先，在过去就知道了更多的现有知识以后，情况会怎样发生—可能发生的历史。”[5]

在教学发展中的，数学的四则运算不就是古代人从生活中悟出来的吗？将生活中两种物品放在一起数学花成了现在的加法？例如，教师在“圆周长”的教学中，讲解祖冲之与圆周率，创设人文型情景引入课题，以此激发学生的探究欲望，

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组织学生通过自主探索、交流，解决问题。圆周长就是祖冲之将生活中的问题数学化到了数学中。

4.2案例2

如2009全国卷2高考题，如图1，直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC,D、E分别为AA1、B1C的中点，

DE 平面BCC1

（I）证明：AB AC

（II）设二面角A BD C为60°，求B1C与平面BCD所成

的角的大小。

这个题和以往高考题不同的是第二问，以往 图1 高考题几何图 的问题都是要我们求二面角的大小，可是这

题不一样，要我们求的是线与面的夹角，同学们

平时练习的时候基本上都是在练习求二面角的

大小，拿到这个题有的同学就蒙了：这种题老师

讲过啊，怎么做呢？于是很多同学就在这个题上

丢了很多分，学生没有“再创造”的能力，不会

用二面角这个条件，所以就不会做了。这个问题就出在我们平时在训练和讲课的时候没有注重培养学生的解决问题和分析问题的能力。我们在教学中要善于从多方面来变换问题角度，让学生去思考，发挥他们的主观能动性，充分挖掘他们的再创造能力，教师不必将各种例题、问法都教给学生，而是应该创造合适的条件，提供很多具体的例子，让学生在实践的过程中，自己“再创造”出各种运算法则，或是发现有关的各种定律。 又如证明：x 1

2某些同学直接就来由均值不等式的性质马上就有x

x 1 2得到证明。 x没有真正理解了均值不等式的条件就会出现这样低级的错误，直接不分析就

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用均值不等式，或者就是知道用均值不等式条件不足，可是又找不到都是正数的那个条件，不会利用前面定理中满足等号所要的条件。

以上的情况只是中学数学学与教的一个缩影，所以在走上工作岗位之前，作为一名教育者，我们所面临着的挑战还比比皆是。弗赖登塔尔的数学教育思想对于我们来说是个巨大的 金库，它给我们的启示在教学或者学习中都将是有益无害的，对于上述的两个问题我们应该怎样在弗赖登塔尔思想中找到措施呢？

自然从教师的角度，应该在适当的时机引导学生加强反思，巩固已经获得的知识，以提高学生的思维水平，尤其必须有意识地启发，使学生的“创造”活动逐步由不自觉或无目的的状态，进而发展为有意识有目的的创造活动，以便尽量促使每个人所能达到的水平尽可能地提高。

5总结

结合我国的实际情况，这几个方面的目的都有它的道理，也应该作为我国数学教育的目的，只是随着义务制教育的普及，根据各个不同的年龄阶段，是否可以在各个方面，有不同的侧重点，譬如对义务教育制来说，应该特别强调实际应用，因为那是全社会公民必备的训练，社会价值需突出；对于高中准备继续升入大学的，应该加强一些对数学整个体系的要求，在知识的逻辑结构、演绎推理方面适当加强；关于思维训练及解决问题的能力这两方面，必须作深入探讨，掌握其确切规律，才能做到这些；至于数学作为筛选工具的这一职能，不应放在过高的地位，为了考试而学数学，那就违背数学教育的本意了。

根据弗赖登塔尔教育思想，我们应该集中力量，作好几项工作：探寻解法，不单是记忆步骤；探索模式，不单是记忆公式；形成猜测，不单是作些习题[10] 我们应该着重培养学生的数学化及反思能力，激发学生的创造力挖掘学生的潜能。

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参考文献

[1] 中华人民共和国教育部制订，普通高中数学课程标准（修订）[M].北京：人民教育出版社，2003

[2] 弗赖登塔尔著，陈昌平、唐瑞芬译，作为教育任务的数学[M].上海：上海

教育出版社，1992.2

[3] 李永杰 、毛凤梅，弗赖登塔尔数学教育思想综述[J].河南：平顶山师专学报P96-98

[4]丁尔升.现代数学课程论[M].南京:江苏教育出版社,1997.7

[5] 朱维宗，唐敏，《聚焦数学教育》[M].云南：云南民族出版社

[6]唐瑞芬.数学教学理论选讲[M].上海:华东师范大学出版社,2001

[7]弗赖登塔尔的数学教育思想[EB]

/view/ae2d4d28915f804d2b16c1ea.html

[8] 唐瑞芬，弗赖登塔尔教授关于数学教育的回答[J].数学教学，1988.4，P30-33

[9]冯育花.弗赖登塔尔数学教育思想的应用研究－在“情境－问题”教学模式中应用的探索[D].云南师范大学,2006.5

[10]D．A．格劳斯主编，陈昌平等译．数学教与学研究手册[M]．上海：上海教育出版社，1999．

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英文摘要

Abstract: Florida’s education thoughts on the Tulsa lai are a treasure-house mathematical education methodology. He puts forward mathematics reality, mathematical, creating and reflection, etc. Florida’s education thoughts emphasize that teaching should base on the reality, and teachers should focus on students’ reflections of teaching, improving students’ thinking ability and stimulating students’ creativity so that a great number of qualities can be brought up.

Key words: Florida; teaching in middle school; education thoughts

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f4u4.html