高中物理 第4章 习题课：共点力平衡条件的应用学案5 沪科版必修1

习题课：共点力平衡条件的应用

[学习目标定位] 1.进一步理解共点力作用下物体的平衡条件.2.掌握矢量三角形法解共点力作用下的平衡问题.3.掌握动态平衡问题的分析方法.4.掌握整体法和隔离法分析连接体平衡问题．

1．共点力作用的平衡状态：物体在共点力作用下，保持静止或匀速直线运动状态． 2．共点力作用下的平衡条件是合力为零，即F合＝0，用正交分解法表示的平衡条件：Fx合＝0，Fy合＝0.

3．平衡条件的四个常用推论： (1)二力平衡时，二力等大、反向．

(2)三力平衡时，任意两力的合力与第三个力等大、反向． (3)多力平衡时，任一个力与其他所有力的合力等大、反向． (4)物体处于平衡状态时，沿任意方向上分力之和均为零.

一、矢量三角形法(合成法)求解共点力平衡问题

物体受多力作用处于平衡状态时，可用正交分解法求解，但当物体受三个力作用而平衡时，可用矢量三角形法，即其中任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反，且这三个力首尾相接构成封闭三角形，通过解三角形求解相应力的大小和方向，当这个三个力组成含有特殊角(60°、53°、45°)的直角三角形时尤为简单．

例1 在科学研究中，可以用风力仪直接测量风力的大小，其原理如图1所示．仪器中一根轻质金属丝，悬挂着一个金属球．无风时，金属丝竖直下垂；当受到沿水平方向吹来的风时，金属丝偏离竖直方向一个角度．风力越大，偏角越大，通过传感器，就可以根据偏角的大小指示出风力的大小，那么风力大小F跟金属球的质量m、偏角θ之间有什么样的关系呢？(试用矢量三角形法和正交分解法两种方法求解)

图1

答案 F＝mgtan θ 解析

甲

1

取金属球为研究对象，有风时，它受到三个力的作用：重力mg、水平方向的风力F和金属丝的拉力T，如图甲所示．这三个力是共点力，在这三个共点力的作用下金属球处于平衡状态，则这三个力的合力为零，可以根据任意两力的合力与第三个力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解．

解法一 矢量三角形法

如图乙所示，风力F和拉力T的合力与重力等大反向，由矢量三角形可得：F＝mgtan θ. 解法二 正交分解法 以金属球为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示．由水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合分别等于零，即 Fx合＝Tsin θ－F＝0，Fy合＝Tcos θ－mg＝0， 解得F＝mgtan θ.由所得结果可见，当金属球的质量m一定时，风力F只跟偏角θ有关．因此，根据偏角θ的大小就可以指示出风力的大小． 针对训练 如图2所示，一质量为1 kg、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝30°，物块BC边紧靠光滑竖直墙面，用一推力垂直作用在AB边上使物块处于静止状态，则推力F及

2

物块受墙的弹力为多少？(g＝10 m/s)

图2

答案 20 N 103 N

解析 物块受重力G，推力F和墙的弹力N作用，如图所示，由平衡条件知，F和N的合力与重力等大反向．

故有F＝＝

sin 30°

G1×10 N

＝20 N 12

N＝Gtan 60°＝1×10×3 N

＝103 N

二、动态平衡问题

所谓动态平衡问题是指通过控制某些物理量，使物体的状态发生缓慢变化，而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态，这类问题的解决方法一般用图解法和相似三角形法． 1．图解法

(1)特征：物体受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，大小、方向均不变化，另两个是变

2

力，其中一个是方向不变的力，另一个是大小、方向均变化的力．

(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，利用图解法判断两个变力大小、方向的变化．

2．相似三角形法

(1)特征：物体一般也受三个力作用，这三个力中，一个是恒力，另两个是大小、方向都变化的力．

(2)处理方法：把这三个力平移到一个矢量三角形中，找到题目情景中的结构三角形，这时往往三个力组成的力三角形与此结构三角形相似．利用三角形的相似比判断出这两个变力大小的变化情况．

例2 如图3所示，小球放在光滑的墙与装有铰链的光滑薄板之间，当墙与薄板之间的夹角θ缓慢地增大到90°的过程中( )

图3

A．小球对薄板的压力增大 B．小球对墙的压力减小

C．小球对墙的压力先减小后增大

D．小球对薄板的压力不可能小于球的重力

解析 根据小球重力的作用效果，可以将重力G分解为使球压板的力F1和

使球压墙的力F2，作出平行四边形如图所示，当θ增大时，F1、F2均变小，而且在θ＝90°时，F1有最小值，等于G，所以B、D项均正确． 答案 BD

例3 如图4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一个光滑小定滑轮，细绳一端拴一小球，小球置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮．今缓慢拉绳使小球从A点沿半球面滑到半球顶点，则此过程中，半球对小球的支持力大小N及细绳的拉力F大小的变化情况是( )

图4

A．N变大，F变大 B．N变小，F变大 C．N不变，F变小 D．N变大，F变小 解析 小球受力如图甲所示，F、N、G构成一封闭三角形

3

由图乙可知F/AB＝N/OA＝G/OB F＝G·AB/OB N＝G·OA/OB AB变短，OB不变，OA不变， 故F变小，N不变． 答案 C

三、整体法与隔离法分析连接体平衡问题

1．隔离法：为了弄清系统(连接体)内某个物体的受力和运动情况．一般要把这个物体隔离出来进行受力分析，然后利用平衡条件求解．

2．整体法：当只涉及系统而不涉及系统内部某些物体的受力和运动时，一般可把整个系统看成一个物体，画出系统整体的受力图，然后利用平衡条件求解．

注意 隔离法和整体法常常需要交叉运用，从而优化解题思路和方法，使解题简捷明快． 例4 如图5所示，A、B两个物体的质量都是1 kg，现在它们在拉力F的作用下相对静止一起向右做匀速直线运动．已知A、B之间的动摩擦因数μAB＝0.1，B与地面间的动摩擦因

2

数μB地＝0.2.g＝10 m/s.则两个物体在匀速运动的过程中，

图5

(1)对A、B分别画出完整的受力分析． (2)A、B之间的摩擦力大小为多少． (3)拉力F的大小为多少．

解析 (1)以A为研究对象，A受到重力、支持力作用；以B为研究对象，B受到重力、支持力、压力、拉力、地面对B的滑动摩擦力作用，如图所示．

(2)对A：由二力平衡可知A、B之间的摩擦力为0.

(3)以A、B整体为研究对象，

4

由于两物体一起做匀速直线运动， 所以受力如图．

水平方向上由二力平衡得拉力等于滑动摩擦力， 即F＝f＝μB地NB， 而NB＝GB＋GA，

所以F＝0.2×(1×10＋1×10) N＝4 N 答案 (1)见解析图 (2)0 (3)4 N

1.矢量三角形法?合成法?.

2.动态平衡问题：?1?图解法；?2?相似三角形法. 3.整体法与隔离法分析连接体平衡问题.

1．(矢量三角形法)用三根轻绳将质量为m的物块悬挂在空中，如图6所示．已知ac和bc与竖直方向的夹角分别为30°和60°，则ac绳和bc绳中的拉力分别为( )

图6 A.C.

31

mg，mg 2231

mg，mg 42

13

B.mg，mg 2213D.mg，mg 24

答案 A

解析

分析结点c的受力情况如图，设ac绳受到的拉力为F1、bc绳受到的拉力为F2，根据平衡条件知F1、F2的合力F与重力mg等大、反向，由几何知识得

F1＝Fcos 30°＝

3mg 2

F2＝Fsin 30°＝mg

选项A正确．

2．(动态平衡问题)用细绳OA、OB悬挂一重物，OB水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和

12

5

B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图7所示位置逐渐移到C点的过程中，试分析OA绳和OB绳中的拉力变化情况为( )

图7

A．OA绳中的拉力逐渐减小 B．OA绳中的拉力逐渐增大 C．OB绳中的拉力逐渐减小 D．OB绳中的拉力先减小后增大 答案 AD

解析 如图所示，在支架上选取三个点B1、B2、B3，当悬点B分别移动到B1、B2、B3各点时，OA、OB中的拉力分别为TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，从图中可以直观地看出，TA逐渐变小，且方向不变；而TB先变小后变大，且方向不断改变；当TB与TA垂直时，TB最小，然后TB又逐渐增大．故A、D正确．

3.(整体法与隔离法)如图8所示，吊车m和磅秤N共重500 N，物体G重300 N，当装置平衡时，磅秤的示数是( )

图8

A．500 N B．400 N C．300 N D．100 N 答案 D

解析 先用整体法分析，所有物体总重为800 N，则与定滑轮相连的绳子的拉力都是400 N，所以下面两股绳子的拉力都是200 N，最后以G为研究对象可知磅秤对G的支持力为100 N，D正确．

4．(矢量三角形法)如图9所示，电灯的重力为20 N，绳AO与天花板间的夹角为45°，绳BO水平，求绳AO、BO上的拉力的大小．(请分别用两种方法求解)

6

图9

答案 20 2 N 20 N

解析 解法一 矢量三角形法(力的合成法) O点受三个力作用处于平衡状态，如图所示，

可得出FA与FB的合力F合方向竖直向上，大小等于FC. 由三角函数关系可得

F合＝FAsin 45°＝FC＝G灯 FB＝FAcos 45°

解得FA＝20 2 N，FB＝20 N

故绳AO、BO上的拉力分别为20 2 N、20 N.

解法二 正交分解法

如图所示，将FA进行正交分解，根据物体的平衡条件知 FAsin 45°＝FC FAcos 45°＝FB

后面的分析同解法一

题组一 动态平衡问题

1.用轻绳把一个小球悬挂在O点，用力F拉小球使绳编离竖直方向30°，小球处于静止状态，力F与竖直方向成角θ，如图1所示，若要使拉力F取最小值，则角θ应为( )

图1

A．30°

B．60°

C．90°

D．45°

7

答案 B

解析 选取小球为研究对象，小球受三个共点力作用：重力G、拉力F和轻绳拉力T，由于小球处于平衡状态，所以小球所受的合力为零，则T与F的合力与重力G等大反向．因为绳子方向不变，作图后不难发现，只有当F的方向与T的方向垂直时，表示力F的有向线段最短，即当F的方向与轻绳方向垂直时，F有最小值．故本题的正确选项是B.

2.一轻杆BO，其O端用光滑铰链铰于固定竖直杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2所示．现将细绳缓慢往左拉，使轻杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及轻杆BO对绳的支持力N的大小变化情况是( )

图2

A．N先减小，后增大 B．N始终不变 C．F先减小，后增大 D．F始终不变 答案 B

解析 取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)，如图所示，得到一个力三角形(如图中画斜线

部分)，此力三角形与几何三角形OBA相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．

如图所示，力三角形与几何三角形OBA相似，设AO高为H，BO长为L，绳长为l，则由对应边成比例可得：

GNF＝＝ HLl式中G、H、L均不变，l逐渐变小，所以可知N不变，F逐渐变小．故选B.

3.如图3所示，用细绳悬挂一个小球，小球在水平拉力F的作用下从平衡位置P点缓慢地沿圆弧移动到Q点，在这个过程中，绳的拉力F′和水平拉力F的大小变化情况是( )

8

图3

A．F′不断增大 B．F′不断减小 C．F不断减小 D．F不断增大 答案 AD

解析 如图所示，利用图解法可知F′不断增大，F不断增大．

4.置于水平地面上的物体受到水平作用力F处于静止状态，如图4所示，保持作用力F大小不变，将其沿逆时针方向缓缓转过180°，物体始终保持静止，则在此过程中地面对物体的支持力N和地面给物体的摩擦力f的变化情况是( )

图4

A．N先变小后变大，f不变 B．N不变，f先变小后变大 C．N、f都是先变大后变小 D．N、f都是先变小后变大 答案 D

解析 力F与水平方向的夹角θ先增大后减小，水平方向上，Fcos θ－f＝0，f＝Fcos θ；竖直方向上，N＋Fsin θ－mg＝0，N＝mg－Fsin θ，故随θ变化，f、N都是先减小后增大． 题组二 整体法与隔离法

5.两刚性球a和b的质量分别为ma和mb、直径分别为da和db(da＞db)将a、b球依次放入一竖直放置、平底的圆筒内，如图5所示．设a、b两球静止对圆筒侧面对两球的弹力大小分别为F1和F2，筒底对球a的支持力大小为F.已知重力加速度大小为g.若所有接触都是光滑的，则( )

图5

A．F＝(ma＋mb)g F1＝F2 B．F＝(ma＋mb)g F1≠F2

9

C．mag＜F＜(ma＋mb)g

D．mag＜F＜(ma＋mb)g，F1≠F2 答案 A

解析 对两刚性球a和b整体受力分析，由竖直方向受力平衡可知F＝(ma＋mb)g、水平方向受力平衡有F1＝F2.

6.如图6所示，测力计、绳子和滑轮的质量都不计，摩擦不计．物体A重40 N，物体B重10 N，以下说法正确的是( )

图6

A．地面对A的支持力是30 N B．物体A受到的合力是30 N C．测力计示数20 N D．测力计示数30 N 答案 AC

7.在粗糙水平面上放着一个质量为M的三角形木块abc，在它的两个粗糙斜面上分别放有质量为m1和m2的两个物体，m1>m2，如图7所示，若三角形木块和两物体都是静止的，则粗糙水平面对三角形木块( )

图7

A．无摩擦力的作用

B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左

C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能确定，因m1、m2、θ1、θ2的数值均未给出 D．地面对三角形木块的支持力大小为(m1＋m2＋M)g 答案 AD

解析 由于三角形木块和斜面上的两物体都静止，可以把它们看成一个整体，如图所示，整体竖直方向受到重力(m1＋m2＋M)g和支持力N作用处于平衡状态，故地面对整体的支持力大小为(m1＋m2＋M)g，故D选项正确．水平方向无任何滑动趋势，因此不受地面的摩擦力作用．故A选项正确．

8．如图8所示，在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙壁之间放一光滑球B，整个装置处于静止状态．若把A向右移动少许后，它们仍处于静止状态，则( )

10

图8

A．B对墙的压力减小

B．A与B之间的作用力增大 C．地面对A的摩擦力减小 D．A对地面的压力不变 答案 ACD 解析

设物体A对球B的支持力为F1，竖直墙对球B的弹力为F2，F1与竖直方向的夹角θ因物体A右移而减小．对球B受力分析如图所示，由平衡条件得：F1cos θ＝mBg，F1sin θ＝F2，解得F1＝，F2＝mBgtan θ， θ减小，F1减小，F2减小，选项A对，B错；对A、B整体

cos θ受力分析可知，竖直方向，地面对整体的支持力N＝(mA＋mB)g，与θ无关，即A对地面的压力不变，选项D对；水平方向，地面对A的摩擦力f＝F2，因F2减小，故f减小，选项C对． 题组三 矢量三角形法求解共点力的平衡问题

9．一个物体受到三个力的作用，三力构成的矢量图如图所示，则能够使物体处于平衡状态的是( )

mBg

答案 A

10.如图9所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O为球心，一质量为m的小滑块，在水平力F的作用下静止于P点，设滑块所受支持力为N，OP与水平方向的夹角为θ，下列关系正确的是( )

图9

A．F＝

tan θ

mg B．F＝mgtan θ

11

C．N＝

tan θ答案 A 解析

mg D．N＝mgtan θ

对滑块进行受力分析如图，滑块受到重力mg、支持力N、水平推力F三个力作用．由共点力的平衡条件知，F与mg的合力F′与N等大、反向．根据平行四边形定则可知N、mg和合力

F′构成直角三角形，解直角三角形可求得：F＝

mgtan θ

，N＝

mgsin θ

.所以正确选项为A.

11.如图10所示，一个重为100 N、质量分布均匀的小球被夹在竖直的墙壁和A点之间，已知球心O与A点的连线与竖直方向成θ角，且θ＝60°，所有接触点和面均不计摩擦．试求墙面对小球的支持力F1和A点对小球的压力F2.

图10

答案 1003 N，方向垂直墙壁向左 200 N，方向沿A→O

解析 如图，小球受重力G竖直墙面对球的弹力F1和A点对球的弹力F2作用．由三力平衡条件知F1与F2的合力与G等大反向，解直角三角形得

F1＝mgtan θ＝1003 N，方向垂直墙壁向左

mgF2＝＝200 N，方向沿A→O

cos θ

12.滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力N垂直于板面，大小为kv2，其中v为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面的夹角θ＝37°时(如图11)，滑板做匀速直线运动，相应的k＝54 32

kg/m，人和滑板的总质量为108 kg，试求：(重力加速度g取10 m/s，sin 37°取，忽略

5空气阻力)

图11

(1)水平牵引力的大小；

12

(2)滑板的速率．

答案 (1)810 N (2)5 m/s

解析 (1)以滑板和运动员整体为研究对象，其受力如图所示(三力组成矢量三角形) 由共点力平衡条件可得 Ncos θ＝mg① Nsin θ＝F② 联立①②得 F＝810 N

(2)N＝mg/cos θ N＝kv2 得v＝ mgkcos θ

＝5 m/s

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