概率论第一章习题解答（胡庆军）

习题1 参考解答 ( P25 )

1. 写出下列随机试验的样本空间及事件中的样本点: 1) 将一枚均匀硬币连续掷两次,记事件

A?{第一次出现正面}, B?{两次出现同一面}, C?{至少有一次正面出现}. 2) 一个口袋中有5只外形完全相同的球,编号分别为1,2,3,4,5,从中同时取3只球. 记事件 A?{球的最小号码为1}.

3) 10件产品中有一件废品,从中任取两件,记事件A?{得一件废品}.

4) 两个口袋各装一个白球与一个黑球,从第一袋中任取一球记下其颜色后放入第二袋,搅均后再 从第二袋中任取一球.记事件A?{两次取出的球有相同颜色}. 5) 掷两颗骰子,记事件

A?{出现点数之和为奇数,且其中恰好有一个1点}, B?{出现点数之和为偶数,但没有一颗骰子出现1点}.

答案:1) ??{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)}, 其中 H:正面出现; T:反面出现.

A?{(H,H),(H,T)}; B?{(H,H),(T,T)};

C?{(H,H),(H,T),(T,H)}.

2) 由题意,可只考虑组合,则

?(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),?????;

(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)??A??(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)?.

3) 用1,2,?,9号表示正品,10号表示废品.则

?(1,2),(1,3),(1,4),?,(1,10)???(2,3),(2,4),?,(2,10)??????????;

??(8,10)????(9,10)???A??(1,10),(2,10),?,(9,10)?.

4) 记第一袋中的球为(w1,b1),第二袋中的球为(w2,b2),则

???(w1,w2),(w1,b2),(w1,w1),(b1,w2),(b1,b2),(b1,b1)?; A??(w1,w2),(w1,w1),(b1,b2),(b1,b1)?.

?(1,1),(1,2),?,(1,6)??(2,1),(2,2),?,(2,6)???5) ????;

???????(6,1),(6,2),?,(6,6)??A??(1,2),(1,4),(1,6),(2,1),(4,1),(6,1)?;

?(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),?B???.

?(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?注: 也可如下表示:

?(1,1),(1,2),?,(1,6)??(2,2),?,(2,6)??? ????;

?????(6,6)???

1

A??(1,2),(1,4),(1,6)?;

B??(2,2),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(4,4),(4,6),(5,5),(6,6)?.

2. 一个工人生产了n个零件,以事件Ai表示“他生产的第i个零件是正品”(1?i?n).试用

A1,A2,?,An表示下列事件:

1) 没有一个零件是次品； 2) 至少有一个零件是次品； 3) 只有一个零件是次品； 4) 至少有两个零件不是次品.

答案: 1) ?Ai; 2) ?Ai; (亦即:全部为正品的对立事件)

i?1nni?1 3)?[Ai?(?Aj)]; 4) (?Ai)?[?(Ai?(?Aj))].

i?1j?1j?innnnni?1i?1j?1j?i

3.设A、B、C为三个事件,用A、B、C的运算关系表示下列各事件: 1）A发生;

2）只有A发生;

3）A与B发生而C不发生; 4）三个事件都发生;

5) 三个事件中至少有一个发生; 6) 三个事件中至少有两个发生; 7) 三个事件中恰好发生一个; 8) 三个事件中恰好发生两个; 9) 三个事件都不发生;

10) 三个事件中不多于两个发生; 11) 三个事件中不多于一个发生.

解:1) A; 2) ABC; 3) ABC; 4) ABC; 5) A?B?C; 6) ABC?ABC?ABC?ABC

(?AB?BC?AC ?BC?AC?AB) (等价说法:至少有两个不发生的对立事件); 7) ABC?ABC?ABC; 8) ABC?ABC?ABC; 9) ABC (=A?B?C);

10）ABC (=A?B?C)(等价说法:至少有一个不发生.);

11) ABC?ABC?ABC?ABC (=BC?AC?AB)(即:至少有两个不发生).

4. 试把事件A1?A2???An表示成n个两两互不相容事件之并. 答案: A1?A1A2?A1A2A3???A1?An?1An.

5. 甲从2,4,6,8,10中,乙从1,3,5,7,9中各任取一数,求甲的数大于乙的数的概率. 解: 所有可能情况有5?5?25种,所涉事件共有15种可能,则所求概率为 p?153?. 255

6. 一批灯泡40只,其中3只是坏的,从中任取5只检查.试求: 1) 5只都是好的概率为多少? 2) 有2只坏的概率为多少? 解: 所有可能情况有?40!?40??40?5?种 (注:组合数 ???C40,下同.),则所求概率为 ?555!?(40?5)!???? 2

?37??37??3??5??3???2???; 2) p?????.

1) p1?2?40??40??5??5?????

7. 一栋10层楼中的一架电梯在底层上了7位乘客,电梯在每层都停,乘客从第二层起离开电梯,设每位乘客在每层离开是等可能的.求没有2位乘客在同一层离开的概率.

A97解: 所有可能情况为9种,则所求概率为 p?7.

97

8.某城市的自行车都有牌照,其编号从00001到10000.偶然遇到一辆自行车,求其牌照中含有数字 8的概率.

94解: 利用对立事件求概率的公式,所求概率为 p?1?4.

10

9. 设甲袋中有a只白球b只黑球,乙袋中有c只白球d只黑球.在两袋中各任取一只球,求所得两球颜色不同的概率.

解: 所有可能情况有(a?b)(c?d)种,则所求概率为 p?ad?bc.

(a?b)(c?d) 10. 设一个人的生日在星期几是等可能的.求6个人的生日都集中在一星期中的某两天但不在同一天的概率.

?7??2??(26?2)??解: 所有可能情况为76种,则所求概率为 p?.

76

11. 从n双尺码不同的鞋子中任取2r(2r?n)只,求下列事件的概率: 1) 所取2r只鞋子中没有两只成对; 2) 所取2r只鞋子中只有两只成对; 3) 所取2r只鞋子恰好配成r对.

?2n??种可能结果,古典概型,则所求概率分别为 2r???n??2?2r?n?2r?2r??[?1?]?2r??2??????? 1) p1?;

2n???2n??2r??2r??????n??2??n?1??2?2r?2?n?1?2r?2?n?1???2???2r?2??[?1?]?2r?2??2??????????? 2) p2?;

2n???2n??2r??2r??????n??2?r?n??r??[?2?]?r????????. 3) p3??2n??2n??2r??2r?????解: 样本空间可考虑有?

12. 设有n个人,每人都被等可能地分配到N(N?n)个房间中的任一间.求下列事件的概率:

3

1) 指定的n间房里各住一人; 2) 恰有n间房,其中各住一人.

解: 所有可能情况为Nn种,则所求概率分别为

?N??n??n!n!??1) p1?n; 2) p2?.

NnN

13. 甲乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球,甲先摸,不放回,直至有一人取到白球为止.求甲先摸到白球的概率.

解: 甲先摸到白球,则可能结果如下(注: 至多有限次摸球): 甲W,

甲B乙B甲W,

甲B乙B甲B乙B甲W,

甲B乙B甲B乙B甲B乙B甲W,

?

① 当b为偶数时,则所求概率为

abb?1ap甲????

a?ba?ba?b?1a?b?2bb?1b?2b?3a????? a?ba?b?1a?b?2a?b?3a?b?4bb?121a???????

a?ba?b?1a?2a?1aab(b?1)b!?[1????]. a?b(a?b?1)?(a?b?2)(a?b?1)?(a?b?2)?(a?1)?a ② 当b为奇数时,则所求概率为

ab(b?1)b![1????]. p甲?a?b(a?b?1)?(a?b?2)(a?b?1)?(a?b?2)?(a?1)

14.从装有a个白球,b个黑球的袋中一次次地有放回摸球,直至摸到白球为止.求在偶数次摸到白

球的概率.

解: 记事件Bi:表示第i次摸到黑球; Wi:表示第i次摸到白球.则

事件{偶数次摸到白球}?B1W2?B1B2B3W4?B1B2B3B4B5W6??. 故所求概率为

P{偶数次摸到白球}?P(B1W2?B1B2B3W4?B1B2B3B4B5W6??)

?P(B1W2)?P(B1B2B3W4)?P(B1B2B3B4B5W6)??

bab3ab5a???()??()??? a?ba?ba?ba?ba?ba?bb2b4a?b()?()??] ??[1?2a?ba?b(a?b)b?. a?2b

15. 已知一个家庭有三个孩子,且其中一个是女孩,求至少有一个男孩的概率.(假设生男生女是等可能的.)

解: 在三个孩子的家庭中,样本点总数为23?8种,记事件

4

A?{三个孩子的家庭中有女孩}, B?{三个孩子的家庭中至少有一个男孩}.

要求 P(B|A)?? 由 P(B|A)?76P(AB), 又 P(A)?, P(AB)?,

88P(A)6则 P(B|A)?.

7

16. 掷三颗骰子,已知所得的点数都不一样,求含有1点的概率.

解: A?{掷三颗骰子,点数都不一样}, B?{掷三颗骰子,有1点}. 要求 P(B|A)??

P(AB), 且

P(A)6?5?43?5?4P(AB)? P(A)?, .

63633?5?4/631? . 则 P(B|A)?36?5?4/62由 P(B|A)?

17.口袋中有2n?1只白球,2n只黑球,一次取出n只球,发现都是同色球,问这种颜色是黑色的概

率为多少?

解: 记事件A?{所取n个球为同一种颜色}, B?{所取n个球全为黑球},

要求 P(B|A)??

?2n??4n?1??n??n?P(AB)?????则 P(B|A)?

?2n?1??2n??4n?1?P(A)[????n?]?n?n???????2n?(2n)!?n?2??n!?n!?. ??(2n?1)!(2n)!3?2n?1??2n???n???n?????n!?(n?1)!n!?n!

18. 设M件产品中有m件废品,从中任取两件.

1) 在这两件中有一件是废品的条件下,求另一件也是废品的概率; 2) 在这两件中有一件是正品的条件下,求另一件是废品的概率. 解: 1) 记事件A?{任取两件,有废品}, B?{任取两件,均为废品},则所求概率为

P(AB)P(B)? P(A)P(A)?m??M??m??2??2??2?m?1?????????.

M?mMMM?m????????2M?m?11??????????2222????????},D?{任取两件,有一正品一件废品},则所求概率为 2) 记事件C?{任取两件,有正品?M?m??m??M????????P(CD)P(D)?1??1??2??? p2?P(D|C)?

?m??M?P(C)P(C)1??????2??2? p1?P(B|A)?

5

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