谈矢量的旋度和保守场

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o第27卷第 5期 V 0 7 No 5 _2l .丽水院学报学J ORUAL NFOL S IHU IUIN VERS TY I20 0年 5100C月 0 5 t2 0.

谈矢的旋量度保和守场马松(丽水华院学数理学院 .江丽水浙 3 3)0 2 00摘:要个保守场来一说， 对表征这个场的矢量的旋度处 处为零； 之，矢个量的旋度处处为，反零一这场个一定不是保守场。

关键词：矢量；度旋；守场保中图分号类 4:1 O 4 文献识标码： A文章编 号：10 08— 6 4( 5 00 0—5—0 7 9 20 ) 05 22

A s u s o bu h rg Dne re Di c i s n oatt e T niu eg a dt s n a r ieF il f eV r n he tC0 e tv v e do c o

M a Sn h u o a

(g o ee f e tt as d yPi, i Unu v tr,i uZ ea 3g3 , hn0 )C g l h am n ih s ssLi ies Ly is j hn 20 0 iC lo aMc c h h ii aAbt a t A s t o sr ae if, h l u nn e r e o h e t r o h u f c il s z r . h o . sr : O c ca n v t e i d e t rt i g d eg ft e v co f t sera e fd i oe On t e c n v e e a t y i t ter i d gg e f tev c o szr,h il s u c rna t e ac n e v t f e l . r r,fh u n n er eo h e tire o t efed in et i o b o r asi di v eKe rs vc ; uoni gdg e cns ra i efe yd o dw:e t r trn r ee; o ve t ilv

我们知道围，载绕线流圈周围的感磁应总线无是头无的尾封曲线闭。流在体中，流有动了旋，涡流体就以旋为中心涡不停地旋，转成封闭的循坏流动。而引入 旋的度概念.度 的表达式为形故：旋

× (= 口V

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于个一守场保来说，× A 0:反之，果× A=0这个场是否一定是保守场 ?呢举下以个2子例来讨论。,如，现 .

例1 无一穷长直线电荷在空间生产的静电场为： E r=,, ( 1

若载)直荷作为线z轴，场电分具布有对轴称性，图 1如示所。乎几所的有电磁学教科书都告我诉，们这个静电的场意任闭合路径线积的分为值零即，:有E l 0=例如在—面上， d平o 择选以轴为圆心，任意半径圆周作的为合路闭，径此在周圆上由于 E上 d, E有 =l 0据此，量场E是一保守场，引入势的概念 l故。d o可矢收稿日期：0—5—1 0 02 7作者简介 0:松华( 9 2 )男， 江松阳，人级讲师。马61一 浙，高

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第o期5

松华：马谈量矢旋的度保守场和5 3

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图 ll

图 2由()知，的分场为：量1式电;= =。0() 2

(由 )可出电场求的旋度处处零 (为2式即使轴上的，点电场说来奇是点，对但它的旋度依然零为)即。等)(一 ( ) 0 )一 ia+, + =_ EG( 3 )所对静场说云=和×(j)完0等的即电是保 静场场处旋为以 电来于， 0Ⅱ云 是全=价，场一 和电守的度处零 d静一×E=‘ E一 az是完全等价的。

例2一无穷长导线孰有直恒稳电流 f 产生所的场为.磁

:云 7 rc。

,( 4 )其中 z为 方的向单矢量位。 o若载导线选流作为 z,轴磁分布场情如况图2所示，几乎有的电所磁学科教都告诉我书们这个

磁场的闭路合径线的分积和值合闭径选路取方有关式，闭若合路是径围绕轴， B lu f若闭合路径在z d则=,;o轴之外，则 B l= 0因为这正磁个场闭合路径的的积线分和值路选择有关，径以是它一个非守保场。 4知式， d o由(所 )场的磁分量为 : ;== = 0。 ( )5由( )求可，出式 5场磁旋度的处处零为( O g使轴上的点，对场磁说来奇点是但它，的度旋然依零为 )即，×

云(鲁) (等) ()等=等一0 一等

了等 i一，++=

(6 )

所以对稳恒 场磁来说，的旋虽度处然处为零，却它是一个非守保场。但它 由以上讨论知可，们判断一 矢量个是否为场守场保根应据 在任意选择合闭径情路况下。 沿闭合路径线分积值是否 我它恒为零来确值定，不由能它旋的是度否处处为零来判断。而

斯托克斯式公告诉们，我若某矢量场 A的三分个 A量( Y) ( AY )A (Y ) ,,、 , ,和 ,,在光滑面 S及s的曲边界光滑曲线Z具有对，,的一 连阶续偏导数 有， 上Y

中则 l= l×A d ) d A (l s

() 7所以 果，们讨我论的区域为连通单区，的分量区在域中无奇，点如 A ×A则 0=可看作为A是保守场的要充条，件与它 A l=0完是全价等。的 d若讨在的论区域里有奇 (点本文的个两子例均属这种情况)则一般情况下斯在托斯公克式不 再，立成，判时断量场矢是否A为一保场守此，应视绕环点的任一闭奇路合径分积得的所循常数环(m A即 lm= )是否 d于等零来断判。 m=0 则A保守场；为m≠0则 A为非保场。守，若若，

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