第1节 n阶行列式的定义

线性代数

第一章

行列式

行列式是一个重要的工 具，它在数学的各个领 域及其它各学科都有着 广泛的应用

内容提要§1 §2 §3 §4 n阶行列式的定义 行列式的性质 行列式按行(列)展开 克拉默法则

§1● ● ●

n阶行列式的定义二阶与三阶行列式 排列与逆序 n阶行列式的定义

一、二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组 由消元法，得

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2

(a11a22 a12a21 ) x1 b1a22 a12b2 (a11a22 a12a21 ) x2 a11b2 b1a21

当 a11a22 a12a21 0 时，该方程组有唯一解

b1a22 a12b2 x1 a11a22 a12a21

a11b2 b1a21 x2 a11a22 a12a21

二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2求解公式为 请观察，此公式有何特点？ 分母相同，由方程组的四个系数确定. 分子、分母都是四个数分成两对相乘再 相减而得.

b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21

二元线性方程组

a11 x1 a12 x2 b1 a21 x1 a22 x2 b2其求解公式为

我们引进新的符号来表示“四个 数分成两对相乘再相减”.

数表 a

a1121

a12 a22

记号 a 21

a11

a12 a22

b1a22 a12 b2 x1 a a a a 11 22 12 21 x a11b2 b1a21 2 a11a22 a12 a21

表达式 a11a22 a12 a21 称为由该 数表所确定的二阶行列式，即

D

a11 a21

a12 a22

a11a22 a12 a21

a 其中， ij ( i 1, 2; j 1, 2) 称为元素.i 为行标，表明元素位于第i 行； j 为列标，表明元素位于第j 列.

a11 x1 a12 x2 b1 二元线性方程组 a21 x1 a22 x2 b2

若令

D

a11 a21

a12 a22 D2

(方程组的系数行列式)

D1

b1 b2

a12 a22

a11 a21

b1 b2

则上述二元线性方程组的解可表示为

b1a22 a12b2 D1 x1 a11a22 a12a21 D a11b2 b1a21 D2 x2 a11a22 a12a21 D

2.三阶行列式定义 对于有9个元素 a ij 排成3行3列的式子

a11 a 21记 主对角线 副对角线

a12 a 22 a 32a13 a23 a33

a13 a 23 a 33

a 31a11 a21 a31 a12 a22 a32

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13 a22 a31 a12a21a33 a11a23a32二阶行列式的对角线法则 并不适用！

称为三阶行列式.

三阶行列式的计算 ——对角线法则

a11 D a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号.

a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.

3

2

3

例1 计算行列式

D 2 -3 4 4 -5 2

解 按对角线法则，有D 3 ( 3) 2 2 4 4 2 ( 5) 3

3 ( 3) 4 2 2 2 3 4

( 5)

18 30 32 36 60 8 72

1 1

1 x 0. x2

例2

求解方程

1 2 6 4

解 方程左端

D 2 x 2 6 x 4 12 x 2 4 x x 2 2 x 8, 由 x2 2 x 8 0 得x 2 或 x 4.

(i1i2 in )

二、排列与逆序定义 由正整数 1, 2, , n组成的一个没有重复数字 的n元有序数组，称为一个n级排列，简称排 列，记为 i1i2 in 。 4231 653412 1523 是一个4级排列 是一个6级排列 不是一个排列

例如

n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序.定义 在一个n级排列(i1i2 is it in )中，如果数 is it , 则称数 i s 与 i t 构成一个逆序。在一个n级排列中，逆序 的总数称为该排列的逆序数，记为 ( i1i2 in ) 例如 在排列32514中， 逆序 3 2 5 1 4 逆序 逆序

思考题：还能找到其它逆序吗？

答：2和1,3和1也构成逆序.

计算排列的逆序数的方法设 i1 i2 in 是 1, 2, …, n 这n 个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。 先看有多少个比 i1大的数排在 i1前面，记为 t 1 ;

再看有多少个比 i 2 大的数排在 i 2 前面，记为 t 2 ;…… 最后看有多少个比 i n 大的数排在 i n 前面，记为 t n; 则此排列的逆序数为 t t1 t 2 t n

例1: 求排列 32514 的逆序数.解： 因为3排在首位，故其逆序的个数为0; 在2的前面比2大的数有1个，故其逆序的个数为1; 在5的前面比5大的数有0个，故其逆序的个数为0; 在1的前面比1大的数有3个，故其逆序的个数为3; 在4的前面比4大的数有1个，故其逆序的个数为1。 易见所求排列的逆序数为

(32514) 0 1 0 3 1 5练习： 求排列 453162 的逆序数. 解：

t 9

定义

逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列 称为奇排列。 把一个排列( i1i2 is it in ) 中某两个数 i s ,i t 的位置互 换，而其余数不动，得到另一个排列 ( i1i2 it is in ), 这样的变换称为一个对换，记为 is , it 。

定义

将两个相邻元素对换，称为相邻对换

定理1

任意一个排列经过一个对换后，改变奇偶性。

即经过一次对换，奇排列变为偶排列，偶排列变为奇排列。证明：第一种情形。先看相邻对换的情况

设排列为 a1 al abb1 bm ,对换 a 与 b ,变为 a1 al bab1 bmb 显然，a1 al ,1 bm 这些元素的逆序数经过对换并不改变，

a与 b 两元素的逆序数改变为：

当a b 时，经对换后 a的逆序数不变而 b 的逆序数减少1;

当a b 时，经对换后 a的逆序数增加1而 b 的逆序数不变； ; 所以，排列a a abb b 与排列 a a bab b 的奇偶性改变。1 l 1 m 1 l 1 m

第二种情形。 再看一般情况。 设排

列为 a1 al ab1 bm bc1 cn,对它做m 次相邻对换，变成a1 al abb1 bm c1 cn

再做m 1次相邻对换，变成 a1 al bb1 bm ac1 cn 总之，经 2m 1次相邻对换，排列 a1 al ab1 bm bc1 cn 变成a1 al bb1 bm ac1 cn

所以这两个排列的奇偶性改变。

定理2 证明

n 个自然数 n 1 共有n ! 个n 级排列，其中奇偶排列各 占一半。 n 级排列的总数为 n !个。

设其中奇排列为 p 个，偶排列为 q 个。

若对每个奇排列都做同一对换，则由定理1,

p 个奇排列均变成偶排列，故 p q ;同理，对每个偶排列做同一变换，则

q 个偶排列均变成奇排列，故 q p 。从而，

p q

n! 2

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