2014-2015学年重庆市南开中学高三(上)一诊模拟数学试卷(文科)(解析版)

2014-2015学年重庆市南开中学高三（上）一诊模拟数学试卷（文科）

一、选择题：每小题5分，共50分．在给出的四个选项中只有一项是正确的． 1．集合A={x| A． 2

2．已知m∈R，复数 A．

≥2，x∈Z}的子集个数为（ ）

B． 3

C． 4

D． 5

的实部和虚部相等，则m的值为（ ） B． 0

C． 1

D． ﹣1

3．下列命题的否定为假命题的是（ ）

2

A． x∈R，x﹣2x+2≤0

B． 任意一个平面四边形的四个顶点共圆 C． 样本的中位数一定在样本中

D． 线性回归直线一定经过样本中心点（，） 4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率（ ） A． 均不相等 C． 不全相等 5．将函数 A．

B．

的图象向左平移

个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ） C．

D．

B． 都相等，且为D． 都相等，且为

6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（ ）

A．

B．

C．

D．

7．已知圆C：x+y﹣2x+4y+1=0，在区间[﹣4，6]上任取整数m，则直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为（ ） A．

8．已知△ABC满足|AB|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足λ∈R，则

A． 8

=（ ）

B． 8

C． 4

D． 4 =

=

，且

+

=λ

，

B．

C．

D．

22

9．已知实数x，y满足可行域D：，曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面

积，则a的值为（ ） A． ﹣4 B． ﹣4

10．已知实数a，b，c，d满足

=

C． ﹣6 D． 2﹣8

=1，则（a﹣c）+（b﹣d）的最小值为（ ）

22

A．

﹣1 B． 2﹣ C． 3﹣2 D． 1﹣

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．二项式（﹣x）展开式中的第四项的系数为 ．

12．已知x，y∈R，且

13．设点p是椭圆

（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2

+2

5

+=1，则x+2y的最小值为 ．

的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是 ．

14、15、16为选做题．请从中任选两题作答．若三题全做，则按前两题给分． 14．（几何证明选做题）如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为 ．

15．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为psin（θ+|AB|=

1013 南昌二模）设f（x）=|2x﹣1|，若不等式f（x）≥

对任意实数a≠0恒成立，

（t为参数），在以O为极点，以轴正半

）=2

，C1与C2的交点为A、B，则

则x取值集合是 ．

三、解答题：本大题共6小蹶．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数f（x）=2（1）求w的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠ABC的对边，f（）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

18．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，

（1）求该生被录取的概率；

（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．

19．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣p，其中p是不为零的常数． （1）证明：数列{an}是等比数列；

+

（2）当p=2时，数列{an}满足b1=2，bn+1=bn+an（n∈N），求数列{nbn}的前项n和Tn．

20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数）

sinwxcoswx+2coswx﹣1的周期为

2

．

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x+b在相等的实数根，求实数b的取值范围．

21．已知抛物线C1：y=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：均在圆O：x+y=1上．

（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知

求证：λ1+λ2为定值．

（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′

，

，若点S满足：

22．设数列{an}满足a1=1，an+an（1﹣an+1）+1=an+1（n∈N）； （1）证明：an+1＞an； （2）若bn=（1﹣

）

，证明：0＜

bk＜2．

3

2

+

2

2

2

2

上恰有两个不

的上、下焦点及左、右顶点

，

，证明：点S在椭圆C2上．

2014-2015学年重庆市南开中学高三（上）一诊模拟数学试卷

（文科）

参考答案与试题解析

一、选择题：每小题5分，共50分．在给出的四个选项中只有一项是正确的． 1．集合A={x|

≥2，x∈Z}的子集个数为（ ）

D． 5

A． 2 B． 3 C． 4

考点： 子集与真子集． 专题： 集合． 分析： 根据条件求出集合A，利用子集的关系即可得到结论． 解答： 解：∵A={x|∴A={﹣3，﹣2} ∴集合A={x|

≥2，x∈Z}，

≥2，x∈Z}的子集为{﹣3}，{﹣2}，{﹣3，﹣2}， 共4个，

故选：C 点评： 本题主要考查集合子集个数的判断，比较基础．

2．已知m∈R，复数 A．

的实部和虚部相等，则m的值为（ ） B． 0

C． 1

D． ﹣1

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用复数的运算法则、实部和虚部的定义即可得出． 解答： 解：∵复数

=

=

+

的实部和虚部相等，

∴m+1=1﹣m， 解得m=0． 故选：B． 点评： 本题考查了复数的运算法则、实部和虚部的定义，属于基础题．

3．下列命题的否定为假命题的是（ ）

2

A． x∈R，x﹣2x+2≤0

B． 任意一个平面四边形的四个顶点共圆 C． 样本的中位数一定在样本中

D． 线性回归直线一定经过样本中心点（，）

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 简易逻辑．

222

分析： A． x∈R，x﹣2x+2=（x﹣1）+1≤0，不正确，其否定“ x∈R，x﹣2x+2≥0”，即可判断出； B．只有一个平面四边形的内对角互补的四个顶点共圆，即可判断出； C．样本的中位数一定在样本中，不正确，即可判断出；

D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）正确，即可判断出．

222

解答： 解：A． x∈R，x﹣2x+2=（x﹣1）+1≤0，不正确，其否定“ x∈R，x﹣2x+2≥0”，正确； B．任意一个平面四边形的四个顶点共圆，不正确，其否定正确； C．样本的中位数一定在样本中，不正确，其否定正确；

D．线性回归直线一定经过样本中心点（，）正确，其否定不正确． 故选：D． 点评： 本题考查了简易逻辑的判定、实数的性质、四点共圆的性质、概率统计，考查了推理能力，属于基础题． 4．某工厂从2015件产品中选取l00件抽样检查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2015件产品中剔除15件，剩下的2000件再按系统抽样的方法进行抽取．则每件产品被抽中的概率（ ） A． 均不相等 C． 不全相等

B． 都相等，且为D． 都相等，且为

考点： 分层抽样方法． 专题： 概率与统计． 分析： 根据抽样的定义进行判断即可．

解答： 解：在各种抽样中，为了保证抽样的公平性， 每个个体被抽到的概率都是相同的，都为

=

，

故选：B 点评： 本题主要考查抽样的定义和理解，比较基础． 5．将函数 A．

B．

的图象向左平移

个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ） C．

D．

考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 根据函数y=Asin（ωx+ ）的图象变换规律可得变换后所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（

x+

），令x﹣

=kπ+

，k∈z，求得x的值，即可得到函数图象的

一条对称轴方程． 解答： 解：将函数

的图象向左平移

个单位，

所得函数图象对应的函数解析式为y=2sin（x+由x﹣

=kπ+

，k∈z，可得 x=kπ+

， ，

﹣）=2sin（x﹣）．

故所得函数图象的一条对称轴是

故选C．

点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+ ）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+ ）的对称轴的求法，属于中档题．

6．执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 循环结构． 专题： 计算题；图表型．

分析： 框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i的值域n的值大小加以判断，满足i≤n， 执行

，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．

解答： 解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2， 判断2≤10成立，执行

，i=2+2=4；

判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；

判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；

判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；

判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；

判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．

故选A． 点评： 本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．

7．已知圆C：x+y﹣2x+4y+1=0，在区间[﹣4，6]上任取整数m，则直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形（其中A、B为交点，C为圆心）的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

2

2

考点： 古典概型及其概率计算公式；圆的一般方程． 专题： 应用题；概率与统计．

分析： 直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形，可得圆心到直线的距离d=

＜

×2且m≠1，即﹣1＜m＜3且m≠1，从而在区间[﹣4，6]上任取整数m，有基本事件11个，﹣1＜m＜3且m≠1，有基本事件2个，即可求得结论．

解答： 解：圆C：x+y﹣2x+4y+1=0

22

∴化成标准形式得（x﹣1）+（y+2）=4，得圆心为C（1，﹣2），半径为2 ∵直线l：x+y+m=0与圆C相交所得△ABC为钝角三角形， ∴圆心到直线的距离d=

＜

×2且m≠1，

2

2

∴﹣1＜m＜3且m≠1，

在区间[﹣4，6]上任取整数m，有基本事件11个，﹣1＜m＜3且m≠1，有基本事件2个， ∴所求概率为

，

故选：B． 点评： 本题考查概率的计算，考查直线与圆的位置关系，求得基本事件的个数是关键．

8．已知△ABC满足|AB|=4，O是△ABC所在平面内一点，满足λ∈R，则

=（ ）

C． 4

D． 4 =

=

，且

+

=λ

，

A． 8 B． 8

考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．

分析： O是△ABC所在平面内一点，满足点为D．可得OD⊥AB．由于

+

=λ

==，可得O是△ABC的外心．设AB边的中

，可得AC∥OD．∠A=90°．即可得出．

=

=

，

解答： 解：∵O是△ABC所在平面内一点，满足∴O是△ABC的外心． 设AB边的中点为D． 则OD⊥AB． ∵

+

=λ

，

∴AC∥OD． ∴∠A=90°． ∴

=

=

=8．

故选：B．

点评： 本题考查了三角形外心的性质、向量共线定理、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9．已知实数x，y满足可行域D：，曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面

积，则a的值为（ ） A． ﹣4 B． ﹣4 C． ﹣6 D． 2﹣8

考点： 简单线性规划的应用；二元一次不等式（组）与平面区域． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，确定x，y的取值范围将曲线进行化简，利用面积关系进行转化求即可即可．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：则A（0，1），C（3，0）， 由

，解得

，即B（2，3），

则x≥0且0≤y≤3，

则曲线T：|x|+|y﹣5|+a=0，等价为x﹣y+5+a=0， 则曲线x﹣y+5+a=0与直线AB：x﹣y+1=0平行，

则C到AB：x﹣y+1=0的距离dAB=|AB|=

则△ABC的面积S=

，

=4．

=2，

∵T：|x|+|y﹣5|+a=0，恰好平分可行域D的面积， ∴设C到x﹣y+5+a=0的距离d， 则

，即

，

即d=

则d=

=， =2，

即

|a+8|=2，

解得a+8=2，或a+8=﹣2， 即a=2﹣8或a=﹣2﹣8（舍）． 故选：D．

点评： 本题主要考查线性规划的应用，根据图象将曲线进行化简是解决本题的关键，考查学生的运算和推理能力．

10．已知实数a，b，c，d满足

=

=1，则（a﹣c）+（b﹣d）的最小值为（ ）

2

2

A．

﹣1 B． 2﹣ C． 3﹣2 D． 1﹣

考点： 曲线与方程；基本不等式． 专题： 导数的综合应用；直线与圆． 分析： 实数a，b，c，d满足

2

2

==1，可得b=lna，（d﹣1）+c=1．考查函数y=lnx与圆的

22

方程x+（y﹣1）=1的图象及其性质．设直线l与函数y=lnx相切于点P（x0，lnx0），利用导数的

几何意义可得切线l的方程为：y﹣lnx0=

2

2

，由于EP⊥l，可得kEP kl=﹣1，解得切点

2

为P（1，0）．即可得出（a﹣c）+（b﹣d）的最小值为（|EP|﹣r）． 解答： 解：∵实数a，b，c，d满足

2

2

==1，

∴b=lna，（d﹣1）+c=1．

22

考查函数y=lnx，与圆的方程x+（y﹣1）=1． 设直线l与函数y=lnx相切于点P（x0，lnx0）， ∵

，

，

∴切线l的方程为：y﹣lnx0=∵EP⊥l， ∴kEP kl=∴

，

=﹣1，

当x0=1时，上述方程成立；当x0＞1或0＜x0＜1时，上述方程不成立． 因此切点为P（1，0）． ∴（a﹣c）+（b﹣d）的最小值为（|EP|﹣r）=故选；C．

2

2

2

=3﹣2．

点评： 本题考查了对数函数与圆的图象及其性质、导数的几何意义、切线的性质、两点之间的距离公式，考查了转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．二项式（﹣x）展开式中的第四项的系数为 ﹣40 ．

考点： 二项式系数的性质． 专题： 计算题；二项式定理．

分析： 先求得二项式（﹣x）的通项公式，再令r=3，即可求得第四项的系数． 2

5

2

5

解答： 解：∵二项式（﹣x）的通项公式为Tr+1=∴第四项的系数为﹣

2=﹣40，

2

25

（﹣1） 2

r5﹣r

x

r﹣5

，

故答案为：﹣40． 点评： 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

12．已知x，y∈R，且

+

+=1，则x+2y的最小值为 15 ．

考点： 基本不等式． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由x，y∈R，且1=9+

+

+=1，变形x+2y=x+1+2y﹣1=﹣

，再利用基本不等式的性质即可得出．

+

解答： 解：∵x，y∈R，且∴x+2y=x+1+2y﹣

1=

+=1，

﹣1=9+

≥9+2

=9+6=15，当且仅

当x+1=6y=12时取等号． ∴x+2y的最小值为15． 故答案为：15． 点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．

13．设点p是椭圆

（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，I为△PF1F2

．

的内心，若S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，则该椭圆的离心率是

考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 设△PF1F2的内切圆半径为r，根据内心的性质，结合三角形面积公式将

S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2化简整理，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．由此结合椭圆离心率公式，即可得到该椭圆的离心率．

解答： 解：设△PF1F2的内切圆半径为r，则 S△IPF1=|PF1| r，S△IPF2

=|PF2| r，S△IF1F2=|F1F2| r， ∵S△IPF1+S△IPF2=2S△IF1F2，

∴|PF1|

r+|PF2| r=|F1F2| r，可得|PF1|+|PF2|=2|F1F2|．

∴椭圆的离心率e====

故答案为：

点评： 本题已知椭圆的焦点三角形的一个面积关系式，求椭圆的离心率．着重考查了三角形内切圆的性质、椭圆的标准方程和简单性质等知识，属于基础题．

14、15、16为选做题．请从中任选两题作答．若三题全做，则按前两题给分． 14．（几何证明选做题）如图，已知：△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠B=30°，AC=2，则OD的长为 4 ．

考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 计算题；压轴题；选作题． 分析： 根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠DAC=30°，从而得到三角形AOC是一个等腰三角形，得到半径的长度，在含有30°角的直角三角形中，做出OD的长． 解答： 解：∵AD是圆O的切线，∠B=30° ∴∠DAC=30°， ∴∠OAC=60°，

∴△AOC是一个等边三角形， ∴OA=OC=2，

在直角三角形AOD中， OD=2AO=4， 故答案为：4． 点评： 本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用含有30°角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．

15．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为psin（θ+

（t为参数），在以O为极点，以轴正半

）=2

，C1与C2的交点为A、B，则|AB|=

．

考点： 参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 专题： 计算题；坐标系和参数方程．

分析： 把曲线C1的参数方程化为普通方程，得方程①；曲线C2的极坐标方程化为普通方程，得方程②；由①②组成方程组，求出x，利用弦长公式，即可得出结论． 解答： 解：把曲线C1的参数方程曲线C2的极坐标方程ρsin（θ+

2

（t为参数），化为普通方程，得

y=x①；

2

）=2，化为普通方程，得x+y=4②；

由①②联立，消去y，得x+2x﹣8=0，∴x=2，或x=﹣4，

∴

|AB|=

|2+4|=6． 故答案为：6． 点评： 本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时先把参数方程、极坐标方程化为普通方程，再解答问题，是基础题．

1013 南昌二模）设f（x）=|2x﹣1|，若不等式f（x）≥则x取值集合是 {x|x≤﹣1或x≥2} ．

考点： 绝对值不等式的解法． 专题： 不等式． 分析： 把f（x）看作是一个参数，问题转化为求a的函数，通过分段处理的方式，可获得最值． 解答： 解：∵不等式f（x）≥∴f（x）大于或等于令g（a）=

对任意实数a≠0恒成立，

的最大值，

，则当a≤﹣1时，g（a）=

；

的最大值，再把此式看作是关于

对任意实数a≠0恒成立，

当﹣1＜a＜0时，g（a）=﹣3； 当0＜a＜时，g（a）=3； 当a

时，g（a）=

，

即g（a）=

∴g（a）有最大值g（）=．

∴f（x）≥3，即|2x﹣1|≥3，解得x≤﹣1或x≥2． 故答案为{x|x≤﹣1或x≥2}．

点评： 本题属于恒成立问题，解决本题的关键有两个： （1）弄清谁是参数

我们习惯上把a当作参数，但由于本题是“对任意实数a≠0恒成立”，所以不等式f（x）

≥

应看作是关于a的不等式；

（2）如何去绝对值符号 求函数g（a）=

的最大值时，采用了分段处理的方法，分段的依据是以三个临界

点﹣1，0，为准则进行讨论，从而顺利地去掉了绝对值符号．

三、解答题：本大题共6小蹶．共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知函数f（x）=2（1）求w的值；

（2）在△ABC中，a，b，c分别是∠ABC的对边，f（）=1，且a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形．

分析： （1）由条件利用三角恒等变换求得函数f（x）=2sin（2wx+T=

=

，求得w的值．

）=1，求得sin（2A+

）=，求得A=

．再根据a=2，b+c=4，利），再根据f（x） 的周期为

sinwxcoswx+2coswx﹣1的周期为

2

．

（2）由f（）=2sin（4×+

用余弦定理求得bc的值，可得△ABC的面积为bc sinA 的值． 解答： 解：（1）由于函数f（x）=2的周期为T=

=

，

）．

）=1，∴sin（2A+

2

2

2

sinwxcoswx+2coswx﹣1=

2

sin2wx+cos2wx=2sin（2wx+）

∴w=2，f（x）=2sin（4x+（2）∵f（）=2sin（4×+

）=，∴2A+=

2

，求得A=．

再根据a=2，b+c=4，利用余弦定理可得a=4=b+c﹣2bc cosA=（b+c）﹣3bc=16﹣3bc， ∴bc=4，∴△ABC的面积为bc sinA=×4×

=

．

点评： 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的周期性，余弦定理，属于基础题．

18．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A、B、C、D、E五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A、B、C、D四项考试不合格的概率均为，参加第五项不合格的概率为，

（1）求该生被录取的概率；

（2）记该生参加考试的项数为X，求X的分布列和期望．

考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 专题： 概率与统计．

分析： （1）该生被录取，则必须答对前四项中的三项和第五项或者答对所有的项．

（2）分析此问题时要注意有顺序，所以X的所有取值为：2，3，4，5．分别计算其概率得出分布列，以及它的期望值． 解答： 解：（1）该生被录取，则A、B、C、D四项考试答对3道或4道，并且答对第五项． 所以该生被录取的概率为P=[（

）+C

4

（） ]=

3

，

（2）该生参加考试的项数X的所有取值为：2，3，4，5． P（X=2）=×=；P（X=3）=CP（X=5）=1﹣﹣﹣

=

．

=；P（X=4）=C

（

） =

2

；

该生参加考试的项数ξ的分布列为： X 2 3

P

EX=2×+3×+4×

+5×

=

．

4

5

点评： 本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，数学期望．此题把二项分布和回合制问题有机的结合在一起，增加了试题的难度．解决此问题应注意顺序．

19．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an﹣p，其中p是不为零的常数． （1）证明：数列{an}是等比数列；

+

（2）当p=2时，数列{an}满足b1=2，bn+1=bn+an（n∈N），求数列{nbn}的前项n和Tn．

考点： 数列的求和；数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）由Sn=2an﹣p，得an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，a1=2a1﹣p，由此能证明{an}是首项为p，公比为2的等比数列．

nnnn

（2）当p=2时，an=2，从而bn+1﹣bn=2，由此利用累加法能求出bn=2．从而nbn=n 2，由此利

n﹣1

用错位相减法能求出Tn=（n﹣1） 2+2．

*

解答： （1）证明：因为Sn=2an﹣p（n∈N），

*

则Sn﹣1=2an﹣1﹣p（n∈N，n≥2），

所以当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1，

整理得an=2an﹣1

由Sn=2an﹣p，令n=1，得a1=2a1﹣p， 解得a1=p，

所以{an}是首项为p，公比为2的等比数列．

n

（2）解：当p=2时，an=2， ∵满足b1=2，bn+1=bn+an=

n

，

∴bn+1﹣bn=2，

∴bn=b1+b2﹣b1+b3﹣b2+…+bn﹣bn﹣1

23n﹣1

=2+2+2+2+…+2 =2+

n

=2．

n

∴nbn=n 2，

23n

∴Tn=1 2+2 2+3 2+…+n 2，①

234n+1

2Tn=1 2+2 2+3 2+…+n 2，②

23nn+1

①﹣②，得：﹣Tn=2+2+2+…+2﹣n 2 =

n+1

﹣n 2

n+1

=（1﹣n） 2﹣2，

n﹣1

∴Tn=（n﹣1） 2+2． 点评： 本题主要考查数列的通项公式的求法、前n项和公式的求法，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查抽象概括能力，推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，解题时要注意累加法和错位相减法的合理运用．

20．已知函数f（x）=x﹣alnx（a为常数） （1）求函数f（x）的单调区间；

（2）当y=f（x）在x=1出取得极值时，若关于x的方程f（x）+2x=x+b在

2

上恰有两个不

相等的实数根，求实数b的取值范围．

考点： 利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件． 专题： 综合题．

分析： （1）先求出函数的导函数，利用导数的正负，分类讨论，即可得到函数f（x）的单调区间； （2）由y=f（x）在x=1处取得极值，可知f'（1）=0，从而可得函数解析式，设g（x）=x﹣3x+lnx+b（x＞0），研究当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况，确定函数的极值，利用关于x的方程f（x）+2x=x+b在

2

2

上恰有两个不相等的实数根，建立不等式，即可求得实数b的取值范围．

（x＞0）

解答： 解：（1）求导函数，可得

若a≤0，则f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增，∴函数的单调增区间为（0，+∞）； 若a＞0，则f′（x）＞0时，x＞a，f′（x）＜0时，x＜a，∵x＞0，∴0＜x＜a

∴函数的单调增区间为（a，+∞）．单调减区间为（0，a）；

（2）∵y=f（x）在x=1处取得极值，∴f′（1）=1﹣a=0，解得a=1 ∴f（x）=x﹣lnx

222

∴f（x）+2x=x+b，即x﹣lnx+2x=x+b，亦即x﹣3x+lnx+b=0

2

设g（x）=x﹣3x+lnx+b（x＞0） 则g'（x）=2x﹣3+=

=

当x变化时，g'（x），g（x）的变化情况如下表 x g'（x） G（x）

（0，）

+ ↗

极大值

（，1） 1 ﹣ ↘

极小值

（1，2） + ↗

2

b﹣2+ln2

当x=1时，g（x）最小值=g（1）=b﹣2，g（）=b﹣﹣ln2，g（2）=b﹣2+ln2 ∵方程f（x）+2x=x+b在[，2]上恰有两个不相等的实数根 ∴g（）≥0，g（1）＜0，g（2）≥0 ∴b﹣﹣ln2≥0，b﹣2＜0，b﹣2+ln2≥0 ∴+ln2≤b＜2

点评： 本题主要考查函数的极值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21．已知抛物线C1：y=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：均在圆O：x+y=1上．

（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；

（Ⅱ）过点F的直线交抛物线C1于A、B两不同点，交y轴于点N，已知

求证：λ1+λ2为定值．

（Ⅲ）直线l交椭圆C2于P、Q两不同点，P、Q在x轴的射影分别为P′、Q′

，

，若点S满足：

考点： 圆锥曲线的综合；向量在几何中的应用． 专题： 综合题；压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （Ⅰ）由C1：y=2px（p＞0）焦点F（，0）在圆O：x+y=1上，可求p的值；同理由椭圆的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：x+y=1上可解得椭圆C2的方程；

2

2

2

2

2

2

2

22

的上、下焦点及左、右顶点

，

，证明：点S在椭圆C2上．

（Ⅱ）设直线AB的方程与抛物线联立，消元，利用韦达定理，结合从而可求λ1、λ2的值，即可得证； （Ⅲ）设P，Q的坐标，利用Q在椭圆上，即可证得结论．

解答： （Ⅰ）解：由C1：y=2px（p＞0）的焦点F

（，0）在圆O：x+y=1上， 得：

，解得p=2，

2

2

2

2

，

，确定S的坐标，利用及P，

∴抛物线C1：y=4x； 由椭圆C2：x+y=1上，

22

可得：a=1，c=1， ∴a=c=1， 则b=

=

，

2

2

的上、下焦点（0，c），（0，﹣c）及左、右顶点（﹣a，0），（a，0）均在圆O：

∴椭圆C2：

；

（Ⅱ）证明：设直线AB的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2），则N（0，﹣k），

2222

直线与抛物线联立，消元可得kx﹣（2k+4）x+k=0， ∴x1+x2=∵

，x1x2=1，

，

∴λ1（1﹣x1）=x1，λ2（1﹣x2）=x2， ∴

，

，

∴λ1+λ2=

=﹣1为定值；

（Ⅲ）证明：设P（x3，y3），Q（x4，y4），则P′（x3，0），Q′（x4，0）， ∵

，

∴S（x3+x4，y3+y4）， ∵

∴2x3x4+y3y4=﹣1 ①， ∵P，Q在椭圆上，

，

∴ ②，

③，

由①+②+③得（x3+x4）+

2

=1．

∴点S在椭圆C2上． 点评： 本题考查了抛物线与椭圆的方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是设点的坐标，然后联立方程，利用向量知识求解，是压轴题．

22．设数列{an}满足a1=1，an+an（1﹣an+1）+1=an+1（n∈N）； （1）证明：an+1＞an； （2）若bn=（1﹣

）

，证明：0＜

bk＜2．

3

2

+

考点： 数列递推式． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）由an+an（1﹣an+1）+1=an+1（n∈N），化为

3

2

+

，作差比较即可证明．

（2）由a1=1＞0，an+1＞an，可得 n∈N，an＞0，

*

＞0，可得bn＞0，0＜bk．另一方面：

bn=

和”即可证明．

＜=，利用“累加求

解答： 证明：（1）∵an+an（1﹣an+1）+1=an+1（n∈N），化为

32+

，

∴an+1﹣an=

=＞0，

∴an+1＞an；

*

（2）∵a1=1＞0，an+1＞an，∴ n∈N，an＞0， ∴

＞0，

∴bn=（1﹣

）＞0，∴0＜

bk．

另一方面：bn=（1﹣

）

=

＜

=，

∴

bk＜

+…+=2＜2．

∴0＜

bk＜2．

点评： 本题考查了“累加求和”、“放缩

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