矩阵定义及练习

更新时间：2023-12-01 14:45:01 阅读量：教育文库文档下载

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矩阵的Jordan标准形有两个局限，其一、是只有方阵才能求其Jordan标准形；其二、Jordan标准形毕竟不如对角矩阵来得方便。本节讨论的矩阵奇异值分解，将克服这些局限性。定理1如果A为n阶复矩阵，则有：

1）矩阵AA，AA的特征值都是非负实数； 2）矩阵AA与AA的非零特征值都相同。

n证：1）设??C为AA的特征值?所对应的特征向量，则AA是Hermite矩阵，所以?HHHHHH是实数；并且0??A?,A???因为??0，所以??0。

??,AHA????,???????,??，

?同理可证，AA的特征值也是非负实数。

3）将AA的特征值按顺序记为：?1??2????r??r?1??r?2????n?0，设?i?CHHHn?i?1,2,?,r?为AHA的非零特征值?i?i?1,2,?,r?所对应的特征向量，

?i?i?1,2,?,r?，有(AAH)A?i=?iA?i?i?1,2,?,r?，

则由AA?i=?i因为A?i是非零向量，所以?i也是AAH的非零特征值；

HH同理可证，AA的非零特征值也是AA的非零特征值。

以下证明AA与AA的非零特征值完全相同，这只要证明AA与AA的非零特征值的代数重数相同即可。

设y1,y2,?,yp为AA对应于非零特征值?的线性无关的特征向量，因为AA是

HHermite矩阵，也就是说AA既是正规矩阵，它是单纯矩阵。所以p就是非零特征值?的

HHHHHH代数重数。而Ayi也是AA对应于非零特征值?i的特征向量?i?1,2,?,p?。而这些向量

H线性无关，这是因为：若A(y1,y2,?,yp)K?k1Ay1?k2Ay2???kpAyp?0，则AA(y1,y2,?,yp)K?0，即

H?(y1,y2,?,yp)K?0；由于??0，所以

(y1,y2,?,yp)K?0，但y1,y2,?,yp线性无关，所以K?0。因此，?也是AAH的p重

非零特征值。

对于Hermite矩阵A，存在酉矩阵U，使得UAU?diag(?1,...,?r,?r?1...,?n)，其中?1,...,?r,?r?1...,?n是A的特征值。假定?1,...,?r是A的非零特征值，将U分块成

U??U1U2?,U1?Cn?r,U2?Cn?(n?r)，

则

A?U1diag(?1,...,?r)U1H 。称上式为Hermite矩阵A的谱分解。

▌ 定义1设A是秩为r的m?n复矩阵，

AHA的特征值为?1??2????r??r?1??r?2????n?0，

则?i??i?i?1,2,?,r?叫做矩阵A的正奇异值。

定义2设A、B是m?n复矩阵，若存在m阶酉矩阵U，n阶酉矩阵V，使得 A?UBV，则称矩阵A与B酉等价。

定理2设A、B是m?n复矩阵，若A与B酉等价，则它们有相同的正奇异值。证：因为A与B酉等价，即存在m阶酉矩阵U与n阶酉矩阵V，使得A?UBV，有酉矩阵的性质可知UH?U?1，VH?V?1，所以AH?VHBHUH?V?1BHU?1，

HH则AAH?UBVV?1BHU?1?U(BBH)U?1，即AA与BB酉相似，

所以，AA与BB有相同的特征值，即有相同的正奇异值。 ▌

定理3（奇异值分解定理）设A是秩为r的m?n复矩阵，则存在m阶酉矩阵U，n阶酉矩阵V，使得A?U??HH??0?H?V。其中??diag(?1,?2,?,?r)，?i??i ?i?1,2,?,r?，??00??i?C，?i ?i?1,2,?,r?是矩阵A的正奇异值。

证明：记AA的特征值为

H?1??2????r??r?1??r?2????m?0 ，

则存在m阶酉矩阵U，使得

??1?UH(AAH)U????将U分块为

..?????2????0??n??0??。 0??U??U1U2? ，U1?Cm?r ，U2?Cm?(m?r)。

则有

U(AA)?AAU1H?HAAU2??U1H???2U2???0?0???U1?20???0 。

故

U1HAAHU1?U1HU1?2??2,U2AAHU2?0 。

由此可得AHU2?0。令V1?AHU1(??1)，则V1HV1?Er，即V1?(v1,...,vr)的r列是两两正交的单位向量。添加n?r单位向量vr?1,...,vn，使v1,...,vr,vr?1,...,vn成为C的标准正

H交基,则V?(v1,...,vr,vr?1,...,vn)是n阶酉矩阵。记V2?(vr?1,...,vn)，则U2U1?0。

nVAU?V故

HHH?AHU1AU2H??V1H???0???????V?0??00?? 。 ?VH?1???2? A?U????0?H?V 。 ??00?H??2由定理4.4.3有，AA?V??0?征向量。可以验证,U1?AV1??1。

由于 A?U??H0?H?V，因此vj是AHA的对应于特征值?j的单位特0????0?HH? ， V?U?V11??00?我们也称U1?V1为A的奇异值分解。

?12???例1、求矩阵A??00?的奇异值分解。

?00????12??500????100???H??解：因为AA??00?????000?， 200??000??00??????显然矩阵AA的特征值为?1?5,?2??3?0。所以，矩阵A的正奇异值为5。而对应的单位正交特征向量分别为?1??1,0,0?,?2??0,1,0?,?3??0,0,1?

TTTH则U??U1?U2?，U1???1?，U2???2,?3?，

?1?TT??100??????11221V1?AHU1(??1)????,?,???，取V2?????， ?200???0?55?????0?5?55???150???100???????所以，A??010??00??5?2??001?????00??????52??5?。 1??5?定义4设A是数域P上的一个n阶方阵,若存在一个数??P以及一个非零n维列向量x?Pn,使得

Ax??x

则称?是矩阵A的一个特征值,向量x称为矩阵A关于特征值?的特征向量．

现在我们给出寻找特征值与特征向量的方法, 设V是数域P上n维线性空间, ?1,?2,?,?n是它们的一组基, 线性变换/?就是在这组基下的矩阵是A. 设它的一个特征向量?在?1,?2,?,?n下的坐标是x01,x02,?,x0n. 则由?0是特征值，

Ax??x, 这说明特征向量?的坐标?x01,x02,?,x0n?满足齐次次方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn??0x1,?ax?ax???ax??x,?2112222nn02 ????????an1x1?an2x2???annxn??0xn.即

???0?a11?x1?a12x2???a1nxn?0,??ax????a?x???ax?0,?21102222nn????????an1x1?an2x2????0?annxn?0.

??(1.1)

由于??0, 所以它的坐标x01,x02,?,x0n不全为零, 即齐次线性方程组有非零解. 从而, 齐次线性方程组（1.1）式, 有非零解的充分必要条件是它的系数行列式为零, 即

?0?a11?0E?A??a21??an1?a12??an2??a1n?a2n??0．

?0?a22???0?ann我们引入以下定义.

定义1.2 设A是数域P上一n级矩阵, ?是一个文字. 矩阵?E?A的行列式

??a11?E?A??a21??an1?a12??an2??a1n?a2n???a22?，

???ann称为A的特征多项式, 这是数域P上的一个次多项式.

上面的分析说明, 如果?0是线性变换/?的特征值, 那么?0一定是矩阵A的特征多项式的一个根; 反过来, 如果?0是矩阵A的特征多项式在数域P中的一个根, 即?0E?A?0, 那么齐次线性方程组（1.1）式就有非零解. 这时，如果?x01,x02,?,x0n?是方程组（1.1）式的一个非零解, 那么非零解向量

??x01?1?x02?2???x0n?n.

满足（1.1）式, 即?0是线性变换/?的一个特征值, ?就是属于特征值?0的一个特征向量．

因此, 确定一个线性变换/?的特征值与特征向量的方法可以分成一下几步：

1、在线性空间V中取一组基?1,?2,?,?n, 写出/?在这组基下的矩阵A; 2、求出A的特征多项式?E?A在数域P中全部的根, 它们也就是线性变换/?的全部特征值;

3、把所有得的特征值逐个代入方程组（1.1）式, 对于每一个特征值, 解方程组（1.1）式，求出一组基础解系, 它们就是属于这个特征值的几个线性无关的特征向量在基?1,?2,?,?n下的坐标, 这样, 我们也就求出了属于每个特征值的全部线性无关的特征向量．

矩阵A的特征多项式的根有时也称为A的特征值, 而相应的线性方程组（1.1）式的解也就称为A的属于这个特征值的特征向量．

例1 设线性变换/?在基?1，?2，?3下的矩阵是

?1A???2??2

求/?的特征值与特征向量．

解因为特征多项式为

2122?2??1??，

??1?E?A??2?2?2?22??1?2????1????5??2??1 ,