高数第12章

第十二章 无穷级数

§ 1 常数项级数的概念和性质

?3n1、 设级数?n，则其和为（ ）

n?053515 A B C D

53222、 若liman?0，则级数?an（ ）

n???

n?1

A 收敛且和为0 B 收敛但和不一定为0

C 发散 D 可能收敛也可能发散 3 、若级数?un收敛于S，则级数?(un?un?1)（ ）

n?1n?1?? A 收敛于2S B收敛于2S+u1 C收敛于2S-u1 D发散

?114、若limbn???，bn?0,求 ?(?)的值

n??bbn?1nn?1解： Sn?((1111111111?)?(?)?(?)?......(?)?? b1b2b2b3b3b4bnbn?1b1bn?11 b1 所以limSn?n???5、若级数?an收敛，问数列{an}是否有界

n?1 解：由于liman?0，故收敛数列必有界。

n??6、若liman?a，求级数?(an?an?1)的值

n???n?1 解：Sn?(a1?a2)?((a2?a3))?......(an?an?1)?a1?an?1 故?(an?an?1)?lim(a1?an?1)?a1?a 7、求?(2n?1a?2n?1a)的值

n?1n?1?n??? 解：Sn?(3a?a)??n?1(5a?3a)?......(2n?1a?2n?1a)?2n?1a?a

n??故?(2n?1a?2n?1a)=?lim(2n?1a?a)?1?a 8、求 ?11的和 ()

4n?1n(n?1)(n?2)? § 2 常数项级数的审敛法

一、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判别下列级数的收敛性

1、判定级数 ?1的敛散性

(3n?2)(3n?1)n?1???1111 解：由于<2 ,而?2收敛，故?收敛

(3n?2)(3n?1)nn?1(3n?2)(3n?1)n?1n2、判定敛散性 ?n?1?1nnn

n?(n?1).12n?1??2 nn??1111 故n>,而级数?发散，故?发散

n2n2nnnn?1n?1nn 解： nn= nn.1.1.....1?3、判定敛散性 ??1 (a?0) nn?11?a? a?1, 收敛; 0?a?1, 发散

nen4、判定敛散性 ? (收敛); 2?n3n?2nen?11?ne 二、用比值或根值审敛法判别下列级数的收敛性

3n.n!5、判定级数?n的敛散性

n?1n??an?133n.n! 解：lim?>1,所以?n发散

n??aen?1nn4n6、判定级数?n的敛散性 nn?15?3??an?144n 解：lim收敛 ??1，所以?nnn??a55?3n?1n 7、 ?n.tann?1??2n?1 收敛

an 8、 ?() ，a?1 收敛

n?1n?1?n三、判别下列级数是否收敛。如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 7、?(?1)n?1n?1?n3n?1 （绝对收敛）

10、

n?1?(?1)n?1(n?1?n) （条件收敛）

??四、判定?n?1n3sin2n?3是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛 n

n?n?3nsin33??nn3绝对收敛 3?解：||，用比值判别法知,所以收敛??n2n2n2nn?1n?12 §3 幂级数

n3sin1、设幂级数?anxn在x=3处收敛，则该级数在x=-1点处（ ）

n?0?A 绝对收敛 B 条件收敛 C发散 D 可能收敛也可能发散

?(?1)n?12、级数?n?1(x?2)n的收敛域 （0，4]

nn?12?(?1)nn13、 求幂级数?[nx?3nxn]的收敛半径 （）

32n?14、若级数?an(x?2)n在x=-2处收敛，则此级数在x=5处是否收敛，若收敛，是

n?1?否绝对收敛 （绝对收敛 ）

?(x?5)2n?15、求幂级数?的收敛域 n2n?4n?1解：首先判断其收敛区间为（-7，-3），当x=-7、-3时，级数发散，所以级数的收

敛域为（-7，-3）

?(?x)n6、求幂级数?n?1的收敛域

nn?13解：首先求得收敛区间为（-3，3），而级数在x=-3处发散，在x=3处收敛，所以 收敛域为（-3，3]

x4n?111?x17、求幂级数?的和函数 （ ln?arctanx?x -1

41?x2n?14n?1?8、求幂级数?n(n?2)xn的和函数

n?1?d2?n?1d?n解：?n(n?2)x??n(n?1)x??nx?x2(?x)?x(?x)

dxn?1dxn?1n?1n?1n?1x(3?x) = （-1

11、将函数f(x)=2展开成x的幂级数

x?3x?211?解：f(x)= (1?x)(2?x)?n?n?n?111由和的幂级数展开式可得f(x)= ?(1-n?1)xn x?(?1,1) (1?x)(2?x)2n?12、将函数f(x)=ln(x?1?x2)展开成x的幂级数

11.3411x?..... x?[?1,1] 解：f'(x)? 而=1?x2?2222.41?x1?x?(2n-1)!!22n?1两边积分得ln(x?1?x)?x??(-1)n x?(?1,1) xnn!2(2n?1)n?113、将函数f(x)=展开成x的幂级数

(1?x)(1?x2)(1?x4)(1?x8)1?x163216173233?(1?x)(1?x)(1?x)?.....?1?x?x?x?x?x?...... 解：f(x)=161?xx4、将函数f(x)=2展开成x-5的幂级数

x?5x?6?3232?解： f(x)= =?(-1)n(n?1-n?1)(x-5)n x?(3,7)

2?(x?5)3?(x?5)n?123?(?1)n?1x2n?15、将级数?n?1? 的和函数展开成(x?1)的幂级数．(2n?1)!n?12??xx?1?1(?1)n?1x2n?1(?1)n?1x2n?1?2sin解：?n?1?=?2sin ?2?()(2n?1)!222n?12n?1(2n?1)!1x?11x?1?2sincos?2cossin

22221?(?1)n1?(?1)n2n?2sin(x?1)?cos(x?1)2n?1??nn x?R 2n?02?(2n)!2n?02(2n?1)! §5函数幂级数展开式的应用

1、计算ln2的进似值（要求误差不超过0.0001）

111?1)n?1?.... 解：在lnx的幂级数展开式中令x=2 ln2=1-???.......(234 考虑误差范围可求得ln2?0.6931

122?x22、计算定积分?edx的进似值（要求误差不超过0.0001）

?012nx 解：e=?(?1)n!n?0?x2?n2??120e?x2dx?2??120[?(?1)nn?0?11112n(1?2?4?......) x]dx=

2.32.5.2!n!?再考虑误差范围可求得3、计算积分?12??120e?xdx?0.5205

2sinxdx的进似值，（要求误差不超过0.0001） 0x1sinx111sinxx3x4dx?1????..... ?1???.... ?0x3.3!5.5!7.7!x3!5!1sinxdx?0.9461 再考虑误差范围可求得?0x §7 傅里叶级数

1、设f(x)是周期为2?的周期函数，它在[-?,?)上的表达式为

???,???x?0f(x)=? 试将f(x)展开成傅立叶级数

?x,0?x??解：a0?bn=

11?????f(x)dx???2 an?1?????f(x)cosnxdx?1n2?[(?1)n?1]

?????1f(x)sinnxdx?[1?2(?1)n]

n再将所求得的系数代入傅立叶级数可得傅立叶级数展开式 2、将函数f(x)???x2???x2,(0?x??)展开成正弦级数

(1??sinnx,(0,?]) n?1n3、将函数f(x)?x2?1, x?1?1?2(0?x??)展开成正弦级数和余弦级数

2n2?n?1?[?n3?(?1)?(2n3??2n)]sinnx,[0,?))

?121 x?1?1???4?(?1)n2cosnx,[0,?)

3nn?12§8 一般周期函数的傅立叶级数

1、将f(x)=2+|x|(-1?x?1)展开成以2为周期的傅立叶级数后求?1的值 2nn?0?54解：展开f(x)=?22??cos(2n?1)?x1?2 代x=0得? ??22(2n?1)8n?0n?0(2n?1)?

?n?0????1111?2=+? 得 ?2? 22n2?(2n?1)(2n)6nn?0n?0n?0

2、将f(x)=x-1(0?x?2)展开成周期为4的余弦级数

22n?x422dx?22[(?1)n?1] 解：a0??(x?1)dx?0 an??(x?1)cos202n?28?1(2k?1)?x f(x)= 2? (0?x?2) cos22?k?1(2k?1)3、将f(x)=x-1(0?x?2)展开成周期为4的正弦级数的和函数为s(x)，求s(8)

f(0?0)?f(0?0)1?1??0 解：s(8)=s(0)=

221x?[0,]?a0?x24、设f(x)=?，S(x)= ??ancosn?x,x?R,

12n?12?2x?x?(,1)217其中an=2?f(x)cosn?xdx,n?0,1,2,3.....求S()

0211f(?0)?f(?0)7132解：S()=S()=2= 2242 第十一章 自测题 一选择题:（40分）

1、下列级数中,收敛的是( ).

??11 (A)?； (B)?；

n?1nnn?1n??1 (C)?； (D)?(?1)n.

3n?1n?1n22、下列级数中,收敛的是( ).

??5n?14 (A) ?()； (B)?()n?1；

n?14n?15??54n?15n?1 (C)?(?1)()； (D)?(?)n?1.

45n?1n?143、下列级数中,收敛的是( )

??(n!)23nn! (A)?2； (B)?n；

n?12nn?1n??n?11? (C) ?2sin； (D)?.

nn?2nn?1n(n?2)4、部分和数列?sn?有界是正项级数?un收敛的( )

n?1? (A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件

?a5、设a为非零常数,则当( )时,级数?n收敛 .

n?1r (A)r?1； (B)r?1； (C)r?a； (D)r?1

(x?1)n6、幂级数?(?1)的收敛区域是( ).

nn?1 (A) (0,2]；(B) [0,2)； (C) （0,2） (D) [0,2]

?n?17、limun?0是级数?un收敛的( )

n???n?1 (A)充分条件； (B)必要条件；

(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 8、幂级数?n(n?1)xn的收敛区间是( )

n?1? (A) (?1,1]； (B) (?1,1)； (C) [?1,1)； (D) [?1,1]. 二、（8分）判别下列级数的收敛性

(n!)； 2、?22nn?1n?1?n?1三、（6分）判别级数?(?1)nln的敛散性 .

nn?11、?四、（6分）求极限 lim[2?4?8???(2)] .

n??13191271n3n?2?ncos22nn?3

五（8分）求下列幂级数的收敛区间:

??n3n?5nn1、?x； 2、?nx2n.

nn?12n?1xn六（6分）求幂级数?的和函数 .

n(n?1)n?1?n2七（6分）求数项级数?的和 .

n?1n!1八（6分）试将函数展开成x的幂级数. 2(2?x)九（6分）设f(x)是周期为2?的函数,它在[??,?]上的表达式为

?0,x?[??,0) f(x)??x将f(x)展开成傅立叶级数 .

?e,x?[0,?)??1,0?x?h十（8分）将函数f(x)??分别展开成正弦级数和余弦级数 .

?0,h?x?? 自测题答案 一、1、B； 2、B； 3、C； 4、C； 5、D； 6、A； 7、B； 8、B. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.

四、48. (提示:化成2)

11五、1、[?,)； 2、(?2,2).

551??1?(?1)ln(1?x),x?(?1,0)?(0,1)六、s(x)??. 七、2e. x?0,x?0??1nn?1八、?x,x?(?2,2) ?2n?1(2?x)n?1212n?2???n??333e??11?(?1)ne??1n((?1)n?1e??1)九、f(x)???[cosn?sinnx]x 222??n?11?nn?1 (???x???且x?n?,n?0,?1,?2,?).

2?1?cosnh十、f(x)??sinnx,x?(0,h)?(h,?)

?n?1nh2?sinnh f(x)???cosnx,x?[0,h)?(h,?).

??n?1n

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