初中数学教学参考材料

初 中 数 学 教 学 参 考 材 料

【九 年 级 第 一 学 期】

编者的话

九年级第一学期数学课本（试验本），正在“课改”基地学校进行第一轮教学试验。为了帮助执教老师理解课本、把握要求和开展实践研究，教材编写组人员编写了本册课本的教学参考材料。这本教学参考材料，没有经过有关部门的审查，不是正式出版的“教学参考书”。由于编写仓促，成稿匆忙，《材料》内容难免存在错误和不足，只是考虑到新课本进行第一轮教学对参考材料的需要，所以将此很不成熟的《材料》公诸于众。本《材料》提供执教老师在教学研究中参考使用，同时在使用中开展研究；通过对《材料》的使用和研究，发现并纠正其中的错误，弥补不足，充实内容，为编写正式的“教学参考书”打好基础。希望这本教学参考材料对执教老师有参考作用，更期待执教老师对此材料提出宝贵意见和修改建议。

初中数学教材编写组 2007年8月

第一部分 课本概述

九年级第一学期数学课本（以下简称本册课本），含?相似三角形?、?锐角的三角比?、?二次函数?等三章内容，还有配合各章内容的练习部分。

初中数学教材的编写，一直在努力贯彻以下原则：必须正确体现本学科课程标准提出的目标和要求；必须恰当安排学科教学的有关内容；必须对教学过程进行积极引导。

本册课本基本内容的确定，其依据是《上海市中小学数学课程标准（试行本）》；内容的安排，是在?二二分段，九年级分层?的框架下进行的。从六年级到八年级的数学课本内容中，已经建立了?实数知识基础?、?初等代数知识基础?；而关于平面几何知识系统的构建、初等代数函数的基础性研究、概率与统计初步知识的介绍，还没有全部完成。本册课本中的?相似三角形?和?锐角的三角比?两章，是平面几何知识系统的组成部分；?二次函数?一章，是初等代数函数的基础性研究的继续。

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本册课本编写的指导思想仍然是：把握内在联系，体现精中求简，突出数学思想，关注学习过程。在具体编写中，强调联系和整合，重视继承和创新，关注过程和方法，力求做到深入浅出、平实有序。

第二十三章?相似三角形?，其核心内容是相似三角形的有关概念、判定定理和性质定理。本章还有?比例线段及其性质?、?三角形一边的平行线的性质与判定?等铺垫性内容，以及?实数与向量相乘?和?平面向量的分解?等整合性内容。对本章内容的处理，保留了一期教材中同一内容的基本结构。同时，突出了对图形的放缩运动(相似变换)和其中不变量的关注；充实了比例线段的知识基础及其运用；对?三角形一边的平行线?的有关定理，进行了分类整理；对相似三角形的判定和性质，其探索和思考过程的展现更加合理、充分。另外，注意到?实数与向量相乘?可以看作是向量的放缩运动，而实数与向量相乘对于向量加

????法的分配律〖ka?b?ka?kb〗，其实是相似三角形判定与性质定理的代数形

??式，用几何方法对这一分配律进行证明时就是以相似三角形判定与性质为依据，可见?实数与向量相乘?同?相似三角形?有密切联系。由此安排了实数与向量相乘的内容，注重明确运算的意义、运算律以及实施运算的操作方法；然后，对向量的线性运算进行了阶段性整理。

第二十四章?锐角的三角比?，主要内容是关于锐角的三角比的概念和解直角三角形及其应用。本章内容的处理，同样保留了一期教材的基本结构，但在叙述方式方面有与?课改?要求相适应的变化。如：在引进锐角的三角比的概念时，从测量分析着手，重视与相似三角形相联系，突出了理性思维过程；在求锐角的三角比以及由三角比的值求角时，加强了计算器的运用。又如在例题内容方面，有较大的更新和适当的增加，增强了例题的现实感和时代性。

第二十五章?二次函数?，着重于建立二次函数的概念和研究它的图像，在归纳二次函数的图像特征的基础上，讨论了二次函数的一些直观性质。关于初中阶段对二次函数的学习，其内容分为两个层次，本章是基本内容部分，在拓展II还有定向拓展内容部分，将进一步充实二次函数的知识基础和基本运用。在本章内容的处理中，重视体现研究函数的基本思想和初等方法。如：对二次函数图像的研究，展现了从特殊到一般的发展过程，突出了图形运动、变换的思想以及分解与组合的策略；对二次函数性质的讨论，注重利用图像的直观性，通过观

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察和分析，归纳图像的基本特征，再将二次函数的一些基本性质进行直观描述。同时，本章重视数学与现实的联系，体现在通过简明的实例引进二次函数有关概念；运用二次函数的知识解决简单的实际问题等。

本册内容的呈现，主要采用?过程模式?，通过?问题——活动?的安排，引导学生探索求知。课本中保持有?问题?、?思考?、?操作?、?想一想?、?议一议?等栏目，有边款点拨、方框解说等版式，以指导学生开展数学活动，帮助学生把握重点和释疑解难，促进学生生动、活泼、主动地学习，深入地思考。

在各章的末尾，配备有?阅读材料?或?探究活动?。如：?话说‘黄金分割’?、?漫谈‘出入相补原理’?的材料，重在丰富学生的数学文化；?利用函数的图像研究函数?的材料，重在指导学生进行学习过程的反思和经验总结；还有?分割三角形?和?测量活动?的安排，旨在加强数学实践活动和引导学生探究学习。

数学练习部分中的习题安排，重视基本训练，也有一些开放性问题、探究性问题、实践性问题等；注意训练要求分层，有统一性也有多样性。?试一试?栏目下的题目，一般有较高的难度，这样的题目不要求所有学生都去做，主要提供给有学习兴趣的学生进行研究和讨论，进一步培养学生的探究意识和钻研精神，满足不同学生的学习需要。

本册课本的教学内容总量，按照《上海市中小学课程方案（试行本）》规定的课时数进行控制。以每周的数学课3节计算，本册课本的教学课时数有51节；现在设计的教学课时46节，留有一定的机动余地。具体的教学计划和进度，由教师根据学校和学生的实际情况进行制定。

各章教学的课时数建议如下：

第二十三章 相似三角形 24课时（21+3） 第二十四章 锐角的三角比 11课时（10+1） 第二十五章 二次函数 11课时（10+1）

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第二部分 各章说明

第二十三章 相似三角形

一、全章综述

1．教学目标

（1）通过实物图形的放缩，直观理解相似形的意义，归纳相似形的本质特征，形成相似三角形的概念. 经历对形状相同图形的从直观感知到数学抽象的过程，掌握相似三角形的定义.

（2）知道两条线段的比的意义，理解比例线段及其有关概念，掌握比例的性质，了解黄金分割的意义.

（3）掌握三角形一边的平行线的性质和判定定理、平行线分线段成比例定理. 了解三角形的重心的意义与性质. 能运用三角形一边的平行线的性质和判定定理，从较复杂的图形中辨析基本图形再进行计算与证明.

（4）通过将三角形相似所需条件与三角形全等所需条件的类比，体验类比思想；经历相似三角形判定定理的推导过程，能运用有关定理判定两个三角形相似，提高演绎推理能力.

（5） 通过对相似三角形的理性思考，提出关于相似三角形性质的猜想，再进行推理证实，经历数学探究的完整过程；体会图形放缩运动过程中有关几何量的变与不变的辩证关系，掌握相似三角形的性质,并能运用相似三角形的性质解决简单的几何问题.

（6）在发现和证明图形性质的过程中, 领略数学探索的意义，体会化归的思想、运动的观点和分类讨论的思想以及从特殊到一般的思维策略.

（7）理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法和画图方法，会根据实数与向量相乘的意义判别两个非零向量是否平行；知道实数与向量相乘的运算律，理解向量的线性运算的含义，会运用实数与向量相乘的运算律以及有关的运算法则进行向量的线性运算。

（9）理解平行向量定理，会用向量关系式表示两个平行向量；理解单位向量的意义；知道向量分解的含义，会用画图的方法求一个向量在两个不平行向量方向上的分向量。

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2．课时安排

本章教学共24课时，建议分配如下:

23.1 图形的放缩与相似形 1课时 23.2 比例线段 2课时 33.3 三角形一边的平行线 4课时 23.4 相似三角形的判定 5课时 23.5 相似三角形的性质 4课时 23.6 数与向量相乘 3课时 23.7 平面向量的分解 2课时 复习小结 3课时

3．设计说明

本章主要学习相似三角形的概念、判定和性质.为了研究相似形，需要学习比例线段及其性质、三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理.又在学习相似三角形的基础上，引进了实数与向量相乘的运算,讨论了向量的合成与分解.

相似形的概念，是通过对实物图形的放大与缩小的直观认识逐步形成的，先定性描述再揭示其本质特征.由于图形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似形的概念之后,安排学习比例线段,进而讨论三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理, 为研究相似三角形提供了必要的知识准备.

关于相似三角形的内容，从相似三角形的概念到判定、再到性质，有序展开、形成系统。由三角形一边的平行线的性质导出相似三角形预备定理，是推导相似三角形判定定理的前奏；由相似三角形的定义得到“相似三角形的对应角相等、对应边成比例”，是研究相似三角形性质定理的开端。再通过“问题”的引导，在解决问题的过程中，进一步演绎出相似三角形的判定和性质定理系统，展现了论证几何的研究过程和逻辑推理的思想方法。

关于向量内容的展开，基于对图形放缩运动的认识和对向量代数知识扩展的思考。在八年级的“四边形”中，引进了向量的概念及其加减运算，现在进一步提出向量的“乘法”是自然的。课本中通过类比“求几个相同加数的和的运算”，引出“正整数与向量相乘”的运算；然后推广到整数、有理数与向量相乘，再给出 “实数与向量相乘”的定义。这样的处理，体现了代数思考的过程，有利于学生进行知识的迁移。课本中还指出，“实数与向量相乘” 其实是向量的放缩运动，以此建立起两者的联系，有助于学生理解“实数与向量相乘”

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1.(1)3.

12； (2) 3； (3). 2. 略. 237. 4. 9,12,15. 2练习23.2(2)

1. 6. 2. 略. 3.5?1,3?5.

23.3 三角形一边的平行线

1．教学目标

（1）掌握三角形一边的平行线的性质和判定定理、平行线分线段成比例定理；了解三角形的重心的意义与性质；能运用三角形一边的平行线的性质和判定定理，从较复杂的图形中分解出基本图形,进行基本的计算与证明.

（2）通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略.

2．教材分析及教学建议

课本通过对三角形中位线的概念与性质进行分析，引出对三角形一边的平行线的性质与判定的研究，导出了三角形一边的平行线的性质与判定定理。

如图,已知DE是△ABC的中位线,那么DE是△ABC的BC的平行线。课本由此出发，提出一系列问题进行探究，（1）如果D是边AB的中点，点E在边AC上，DE∥BC，那么E是边AC的中点吗？（2）如果移动DE，保持点D、E分别在边AB和AC上，

AAEAD与相等吗？（3）如果BC的平行线分别与边AB、AC的延ECDEAEAD长线交于点D、E，那么与相等吗？这样逐步推进，得到三角形一边的平

ECDEDEADAE1??行线的性质定理。再注意到如果DE是△ABC的中位线，可知=，BCABAC2DE∥BC，那么

DEBC于是提出对三角形一边的平行线性质定理的结论进行推广的命题，通过证明得到三角形一边的平行线性质定理的讨论。

关于三角形一边的平行线判定定理，课本中是由三角形一边的平行线性质定理的一个逆命题引起出来的，实际上也就是三角形中位线定理的推广。

本节立足学生已有的知识背景,通过对原有认识的反思质疑提出问题,引发新知识的学

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习,目的是为了引导学生从数学的角度思考问题,进行探究学习,构建数学知识.

在教学中，要注意以下几点：

（1）“问题1”来源于对三角形中位线定理的反思,实际上三角形中位线定理的一个逆命题；这个问题也是“问题2”的特殊情况,“问题1”与“问题2”的解决方法是相同的.教学过程中要注意引导学生用图形运动的观点领略归纳法,再进一步提出“问题3”,体会分类讨论思想.

（2）“问题3”由“问题2”平移直线l而来,又化归为问题2予以解决,这样使整个问题得到彻底解决.要引导学生关注转化的思想方法。

（3）为推广三角形一边平行线的性质定理而设计的“思考”，源于三角形一边平行线的性质定理和三角形中位线定理. 教师可以适当加以引导:如图23—10,DE是△ABC的中位线,这时DE∥BC,可知

DEADAE1??.由三角形一边平行线的性质定理启发,提出问=

BCABAC2题:如图23—16,如果点D、E在△ABC的边AB、AC上,DE∥BC(DE不一定是中位线),那么,DE?AD?AE仍然成立吗？这样既可以让学生体会到新问题的起源,又可以找到与原

BCABAC有知识的联系.

（4）对“问题1”结论的推导，在边款已指出可用同一法；课本中采用的基本方法是面积法，并为运用面积法推导“问题2”的结论作铺垫。后面证明三角形一边的平行线判定定理，也是采用面积法，同样在边款指出可用同一法。选用面积法来处理，可能更有利于学生接受，也体现了我国古代几何学的特色.在本册课本中，对“同一法”不作教学要求。

（5）在三角形一边的平行线判定定理后，安排了“议一议”。要向学生指出，如果

DEAE?,不能得到DE∥BC,可举出反例进行说明.这个学习活动要让学生尝试,这样有利BCAC于学生正确理解判定定理.

（6）提出改变三角形一边的平行线性质定理中的条件再探索其结论的“思考”，是为了推广得到平行线分线段成比例定理.课本中对结论的推导，是通过平移直线AC，转化为三角形一边平行线的问题来解决.在边款中已经指出，也可以这样推导结论:如图23—26(1)，由

l1∥l2,得

DFEGAFAGDFEG???┉┉①.又l2∥BC,得┉┉②.由①?②得.教AFAGFBGCFBGC学时，可根据学生的实际情况选择推导方法。

（7）平行线分线段成比例定理是三角形一边平行线性质定理推广，三角形一边平行线性质定理可看作是平行线分线段成比例定理的特殊情况. 如图(1)，把平行线分线段成比例

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定理的图形中的直线CE向左平移,可得图(2)、图(3),即得三角形一边平行线的图形.但要注意，平行线分线段成比例定理的逆命题是假命题,而平行线分线段成比例定理的逆命题是真命题.

DEL1DEL1EDL1FBGCL2L3BFGCL2L3GFBCL2L3

(1) (2) (3) （8）本节有6个例题.例题1、例题2是三角形一边平行线性质定理及其推论的运用，其中例题2需要把已知线段等积的关系化成比例形式.例题3主要是为了得到重心的概念与性质.例题4为我们提供了一种证明两条直线平行的新思路，要让学生体会，利用三角形一边的平行线判定定理证明两条直线平行,先要证明线段成比例时,这时常常需要把每一个比看成一个整体,分别证明它们与第三个比相等,通过第三个比利用等量代换来过渡,或者说通过“中间比”来过渡.例题5是为了加深理解巩固平行线分线段成比例定理.例题6是关于第四比例项的作图题，是平行线分线段成比例定理的运用，边框已指出“作图依据是平行线分线段成比例定理”，也可以说是三角形一边平行线性质定理，其实是告诉学生可据此证明作图正确（一般不要求证明）.

3．练习答案

练习23.3(1) 1.(1)

1628,；(2)4. 2.(1)10； (2)10. 3.略. 333105. 2. ,. 3. 4. 833练习23.3(2) 1.(1)9；(2)4,12；(3)练习23.3(3)

1.(1)平行；(2)平行；(3)不平行；(4)平行. 2.略. 练习23.3(4)

1.(1)4.8；(2)9,15. 2.

2718,. 3.略. 55 13

23.4 相似三角形的判定

1．教学目标

（1）知道两个三角形相似的定义及有关概念,能以图形放缩运动的观点理解相似比；掌握相似三角形的判定定理.

（2）通过类比两个三角形全等的判定方法,提出判定三角形相似所需条件的问题，获得探究相似三角形判定方法的过程经历,发展理性思维的能力.

2．教材分析及教学建议

在“图形的放缩与相似形”一节，通过图形的放缩运动描述了两个图形相似的意义. 在这一认识基础上，本节具体地研究相似三角形。

课本首先给出了相似三角形的定义，说明了有关概念，明确了相似三角形的符号表示和相似比的意义.然后，通过对三角形一边的平行线问题的进一步思考,得到相似三角形的预备定理.再通过对判定全等三角形所需条件进行分析,类比全等三角形的判定方法，提出了关于相似三角形判定的四个问题；通过对四个问题的探究,得到三个一般三角形相似的判定定理和一个直角三角形相似的判定定理.本节内容重点是掌握相似三角形的判定定理,并能运用判定定理进行推理判断.

在教学中，要注意以下几点：

（1）由于在相似三角形判定定理的推导过程中需要运用三角形相似的“传递性”，所以课本中特别安排了“想一想”，让学生知道三角形相似具有传递性.

（2）在相似三角形的符号表示中，通常把表示对应顶点的字母分别写在“?”后的相应位置上，这样比较容易找出两个三角形的对应角和对应边。但是，这样的表示方式只是“通常”使用而不是统一规定。关于相似三角形判定定理的运用，在书写格式中,类似于全等三角形的判定,先要指出“在哪两个三角形中”，这样表述可使判定过程中的条件与结论的关系更加明显.

（3）要注意引导学生参与分析全等三角形的判定定理、提出相似三角形判定问题的过程,感受类比思想的意义.

（4）相似三角形的三个判定定理的探究，都是通过移动其中的一个三角形(即作一个与它全等的三角形),把它们转化为可用预备定理来解决的问题，要引导学生体会其中蕴涵的化归思想和方法.

（5）“ 问题4”是为导出直角三角形相似的判定定理而设计的。在解决问题时，通过

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先计算第三边的比,再运用判定定理3得到结论.教学中要提醒学生，在解决几何问题时注意恰当地运用计算进行推理.

（6） 判定定理1的运用比较容易，课本中没有举例，可通过“练习”进行说明；必要时，也可自行安排例题进行讲解。

（7）例题1与例题2是判定定理2的运用.例题1需要先计算边长的比,得到两组边对应成比例,然后运用判定定理2推出两个三角形相似.一般地,两个三角形相似,它们的最短边与最短边对应,最长边与最长边对应,要注意根据边长的大小,选择两个三角形适当的边进行计算.本题还可得到△AOB∽△DOC.例题2需要把线段乘积的条件转化为比例的形式,再运用判定定理2推出两个三角形相似。要注意对证题思路的分析，有时将乘积式或比例式进行适当的变形具有关键作用.

（8）例题3是判定定理3的运用,本题也可以用其它的方法证明.例题4主要是直角三角形相似的判定定理的运用，要引导学生在计算推理过程中,体会数形结合思想.

（9）例题5、例题6是相似三角形判定定理运用,又有一定的综合性。例题5要两次判定三角形相似；例题6需要运用三角形一边的平行线的性质与相似三角形的判定定理,可以有多种方法证明. 可以根据学生的情况，适当调整例题的难度.

3．练习答案

练习23.4(1)

1.(1)△ABC∽△DFE； (2)△ABC∽△DEF. 2. △AFE∽△DFC,△AFE∽△BCE,△DFC∽△BCE. 3.略. 练习23.4(2)

1.(1)△ABC∽△DEF；(2)△ABC∽△EFD；(3)不相似. 2. 略. 3. 2毫米. 练习23.4(3)

1.(1)△ABC∽△DEF；(2)△ABC∽△EFD.

2. 90厘米、120厘米，或40厘米、80厘米，或30厘米、45厘米. 3. △ABC∽△FED. 练习23.4(4)

1.(1)相似； (2)相似；(3)不相似；(4)相似. 2.略.

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练习23.4(5)

21.(1)?ACP?ABC; (2)AC?AP?AB(或

APAC?). ACAB 2.略.

23.5 相似三角形的性质

1．教学目标

（1）掌握相似三角形的性质,能应用相似三角形的性质解决简单的几何问题和实际问题.

（2）经历相似三角形性质的探索过程,增强演绎思维能力,体会图形相似变换中的变量与不变量.

2．教材分析及教学建议

研究相似三角形的性质，主要是研究它们的对应边、对应角、对应高、对应中线、对应角平分线以及周长、面积分别具有的数量关系特征.已知两个三角形相似，由定义可知它们的对应角相等、对应边成比例；由此联想到它们的对应特殊线段及周长、面积，这样就形成了对于“对应角平分线（或高、中线）的比”、 “周长比”、“面积比”分别与相似比之间的关系进行探究的三个问题。整个相似三角形性质的学习内容,就是围绕这三个问题展开，通过探究，获得结论；再巩固运用。

在教学中，要注意以下几点：

（1）“问题1”提出对相似三角形的对应角平分线之比与相似比之间的关系进行探究，让学生在获得结论的同时，得到对于探究过程和方法的体验。至于对应高之比、对应中线之比分别与相似比之间的关系，安排在练习、习题中让学生对结论进行证明。

（2）“问题2”的结论，可以利用比例的等比性质进行推导。课本中选用设元的方法,主要让学生体会数学思想方法.“问题3”的结论，通过计算可以得到.

（3）教学中要注意相似三角形性质定理3的运用.由相似比求面积比，学生容易掌握；反过来由面积比求相似比，学生往往掌握不好,误认为“相似三角形的面积比等于相似比”,要提醒学生注意.

（4）相似三角形的性质归纳起来有两个要点：一是相似三角形所有对应线段的比等于相似比；二是相似三角形面积的比等于相似比的平方.学生对于相似三角形性质定理的理解和直接运用，一般来说困难不大；当比例线段性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形

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的判定与性质进行综合运用时，容易出现混乱。要控制教学的难度，加强学习指导.

（5）本节有7个例题.例题1是相似三角形判定定理与性质定理1的综合运用,主要训练逻辑推理能力.例题2、例题3是相似三角形性质定理2、定理3的运用,主要是为了深化理解定理.例题4是关于射影定理的证明,主要是相似三角形的判定与性质的运用,但所得结论没有概括为定理，一般也不要进行补充. 例题5的教学，要注意让学生体会方程思想.

例题6、例题7是对相似三角形判定与性质定理的运用进行巩固，有一定的综合要求.例题6可改变为把点P看作是BC上的一个动点,如:已知△ABC中,AB=AC,点P是BC上的一个动点,点D在边AC上，∠APD=∠B. 则点P在BC上移动的过程中,△ABP与△PCD始终相似. 例题7运用的知识点比较多；将例题7的条件改变，得到 “议一议”的问题,可知正方形DEFG的边长与△ABC的形状无关,只与△ABC的边BC和高EF的长有关.

3．练习答案

练习23.5(1)

1. 4. 2. 8. 3.略. 练习23.5(2)

1.略. 2.(1)10000；(2)10. 3. 略. 练习23.5(3)

1.(1)9；(2)25. 2. 略. 练习23.5(4)

1.略. 2.略.

23．6 实数与向量相乘

1．教学目标

（1）通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性；理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量。

（2）知道实数与向量相乘的运算律，会依据运算律对向量算式进行计算、化简。 （3）理解平行向量定理，会用向量关系式表示两个向量的平行关系；理解单位向量的意义，知道一个非零向量与同方向的单位向量之间的联系。

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2．教材分析及教学建议

本节的主要内容是实数与向量相乘的定义、运算律及其初步运用。内容的展开，以问题、例题为载体，从特殊到一般、从具体到抽象，注重基本知识的归纳和形成。

在学生已经学习向量的有关概念和加、减运算的基础上，本节通过将“几个相同的向量连加”与“几个相同的数连加”类比，引进了正整数与向量相乘的运算，然后说明了整数与向量相乘的含义，再给出实数与向量相乘的定义。联想向量的加法和实数的乘法都有它们的运算律，接着就对实数与向量相乘的运算律进行探讨，通过例题讨论，归纳得到实数与向量相乘满足实数与向量相乘的交换律、对于实数加法的分配律、对于向量加法的分配律，从而建立了实数与向量相乘的运算结构。

根据实数与向量相乘的意义，可知实数与向量相乘的积是平行于已知向量的一个向量；于是考虑：如果两个非零向量是平行向量，那么其中一个向量能否用某一实数与另一个向量相乘来表示？利用具体图形，通过具体问题讨论，得到了平行向量定理。这样，“两个向量平行”与“实数与向量相乘”就可以相互表示，为今后向量工具解决几何问题提供了一个思考依据。

?在实数集中，0和1是两个特殊的数。在平面向量中，已经规定了零向量（0），现在?再引进单位向量（e），是建立向量代数结构的需要。（通常，这类集合中含零元和单位元。）

在教学中，要注意以下几点：

（1）关于实数与向量相乘的运算的引进，课本中是从数的乘法切入，引导学生进行类比联想和归纳，形成认知基础，然后给出实数与向量相乘的定义，这是一条代数的思路，可能比较容易纳入学生已有的知识结构。边款中指出了实数与向量相乘同向量的放缩之间的联系，可作为实数与向量相乘的一种几何解释。如果将向量的放缩运动作为引进认识实数与向量相乘的运算的起点，通过简单的说明，再给出实数与向量相乘的定义，那么就得到引进“数乘向量”的另一条思路，教学时也可尝试这一思路。

（2）例题1是根据实数与向量相乘的意义画图，让学生通过操作活动，体会实数与向量相乘的几何表示。例题2和例题3是实数与向量相乘的初步运用，要引导学生初步认识两个平行向量的代数表示形式。

（3）例题4和例题5是为探讨实数与向量相乘的运算律而设计的。通过例题4，展示了实数与向量相乘、向量的加减进行混合运算的过程，同时为归纳实数与向量相乘对于实数加法的分配律（分配律1）提供思考基础。例题5直接指向实数与向量相乘对于向量加法的

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分配律（分配律2），从特殊到一般分层递进。

（4）在例题5的教学中，要引导学生体会分配律2的证明方法。其中第（1）题中的实数是3（整数），可用代数方法推导结论；再用作图方法验证，是为了引出几何证明方法。 这一几何证明方法，可用于对任一非零实数的分配律2证明，课本中有提示，但不作教学要求。在几何证明过程中，运用了“三角形一边的平行线性质定理推论”，其实也就是“AB∥

A1B1?△OAB∽△OA1B1?A1B1OB1OA1??”，由此可见分配律2与相似三角形的联ABOBOA系（分配律2?相似三角形的判定与性质定理），现在不必告诉学生。

（5）例题6是运用有关运算律进行向量的代数计算，即化简算式。教学时，要进行说理，讲清每次变形的依据。解题后的“想一想”，是指导学生进行反思总结，应让学生明确，这样的关于向量的代数计算（后面称为向量的线性运算）与多项式的运算类似，从而建立起新旧知识的联系。

（6）提出运用实数与向量相乘的意义研究几何问题，并以证明三角形中位线进行说明，是为了引起学生学习向量知识的兴趣，不要进一步展开。

（7）引进平行向量定理和单位向量，是为了完成向量初步知识的构建。教学时着重于知识的形成，现在对它们的运用不要展开。“平行向量定理”与“实数与向量相乘的意义”

??????结合起来，就得到“a?0，b∥a?存在唯一的实数m，使b?ma”，它在向量几何只

有重要的运用，现在只是给学生打下认识的基础。

（8）例题7是帮助学生加深理解实数与向量相乘的意义，学会根据实数与向量相乘的意义判别两个向量是否平行。在解题过程中，涉及到向量关系式的变形、解向量方程组的问题，学生可能会感到陌生。教学时，要指导学生进行知识迁移，认识到现在遇到的向量关系式的变形、解向量方程组，分别与数量关系式的变形、解一次方程组类似（因为对于向量和数量，有关运算的运算律、等式性质类似）。

（9）练习23.6第3题，通过分5个小题的设计，展示了梯形中位线定理的证明过程。完成本题练习以后，可进行一次整理，让学生体会用向量工具证明梯形中位线定理的思考方法。但是，不要求学生自己独立地用向量方法证明几何问题。 3．练习答案 练习23.6（1） 1．略。

19

????3?5?2. 4a与向量a方向相同，长度为4a；?a与向量a方向相反，长度为a；

53?????2?a?2a与向量a方向相同，长度为2a。

??3．已知四边形ABCD是平行四边形，且E、F、G、H分别为各边的中点，由平行四边形的判定与性质可知，EG、AB、DC互相平行且相等，FH、BC、AD互相平行且相等；EG与FH互相平分于点O。所以，

??????????????????????????????FH=BC=2BG=2a；DC=AB=-BA=-2BF=-2b。

??????????????????????再由向量加法的平行四边形法则，得BD=BC+BA=2BG+2BF=2a+2b。

练习23.6（2）

??????????1．（1）3(2a?b)?5(2a?3b)?6a?3b?10a?15b?16a?18b；

（2）3(2a?b?2c)?(3a?2b)?6a?3b?6c?3a?2b?3a?5b?6c；

???????????????1???1?5?11?11?1?（3）(a?2b?2c)?(2a?3b?c)?b?a?b?c。

34261212??????????2．作法：由已知非零向量a、b，先作向量m?a?b，再作2m?2a?b，最后取反

???????方向，得 ?2m??2a?b。图略。

?????????3a?4b?x?0，得 3．由向量a、b、x满足关系式

??????3a?4b?4x?0， ???即4x?3a?4b。

?3??所以 x?a?b。

4练习23.6（3）

?????1?1．（1）a?6e ； （2）b??3e； （3）c??e；

2????????????2．由2a?b?3c,3a?b?2c，得2(2a?b)?6c,3(3a?b)?6c，

????????即4a?2b?9a?3b，所以a?b，向量a与b平行。 ????????????????????????????????3． （1） EA?AD?DF?EF，EB?BC?CF?EF；

????????????????????????????（2）EA?AD?DF+EB?BC?CF?2EF；

20

EBADFC

????????????????????（3）由EA??AE??EB，DF??CF，代入（2）式，

????????????得AD+BC?2EF；

????????????????????????????????????（4）因为AD与BC同向，又AD+BC?2EF，可知AD+BC与AD、BC同

????????????????方向，AD?BC?AD?BC；

????????????（5）由AD+BC?2EF，可知

????????????????????????????????EF与AD、BC同向，2EF?AD?BC?AD?BC， ????????????????????????即EF∥AD∥BC，2EF?AD?BC，

所以EF∥AD∥BC，且EF?

1(AD?BC)。 223.7 平面向量的分解

1．教学目标

（1）理解向量的线性运算的意义，会化简线性运算的算式，对简单的线性运算会画图表示结果。

（2）知道向量的线性组合，会在较熟悉的几何图形中将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合。

（3）知道向量的分解式，会画平面内一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量。 （4）在知识形成和运用过程中，体会向量的线性组合与分解的的辩证关系，体会数形结合、化归等数学思想方法。

2．教材分析及教学建议

本节内容是前面所学向量知识的整理和运用。通过对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算的回顾，类比实数运算的顺序规定，指出了向量的几种运算混合时的运算顺序，归纳了向量的线性运算。在此基础上，引进两个不平行向量的线性组合和关于一个向量的分解式的概念，再指出了如何将一个向量表示为两个给定向量的线性组合、画一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量，为向量知识的进一步运用进行奠基。

在教学中，要注意以下几点：

（1）引言和例题1是对向量的加法、减法以及实数与向量相乘等运算进行回顾和整理，为归纳向量的线性运算进行铺垫。要引导学生与实数的运算法则进行类比。

21

（2）例题2指出了向量线性运算的实施和画图表示运算结果的方法。教学时，要充分展示解题过程，分步说明依据和做法。

（3）例题3是帮助学生认识线性组合的意义，也是对向量有关运算的法则进行巩固运用。将平面内一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合，是今后导出平面向量基本定理的认识基础，这里是初步的渗透。

（4）例题4是帮助学生进一步学习任何将平面内一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合，也是为引进向量的分解式作铺垫。题后的“想一想”，对后面讨论分解式问题有启发作用。

（5）“问题”和讨论，是研究平面向量的分解，得出求作一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量的画法。要引导学生体会和归纳画图方法。

（6）例题5是求作一个向量在已知两个不平行向量方向上的分向量的画法训练，要做好讲评，帮助学生掌握画图方法。

（7）例题6求一个向量关于两个不平行向量的分解式，是帮助学生认识向量的分解式的意义，同时让学生知道求向量的分解式与将一个向量表示为两个给定的不平行向量的线性组合是一回事，体会向量的分解与线性组合的辩证关系。

3．练习答案

练习23.7（1）

1．仿照例题1作图。

AD1DE1?，∴ ?。 AB3BC3?????????????1???又DE与BC同向，∴ DE=BC。

3???????b∵ BC?c，

2.∵DE∥BC，

????1??1?1?∴ DE?c?b?c?b。

333??3．∵P、Q、R为四边形ABCD对角线AC、BD及其边AB的中点，

11BC，RQ=AD。 22??????????????????????????1???1???又PR与BC反向，RQ与BCF反向，则PR??BC,RQ??DA。

22??????????????1???1???1?1?∴ PQ?PR?RQ??BC?(?DA)??a?b。

2222∴PR∥BC,RQ∥AD；PR=练习23.7（2）

22

?????1????1??1?1?1． MN?DB?(a?b)?a?b；

2222????1??1? BN?b?0a?b。

22????????????????????????. 2．OC??OA??a，OD??OB??b，AB?b?a，

??????????????????????BC?BO?OC??OB?OA??a?b。

????????????????3．（1）∵OA?a，OA1?b，∴AA1?b?a.

?????????????????OBOB1∵??k1，OB与OA同向，OB1与OA1同向， OAOA1????????????????∴OB?k1a，OB1?k1b，BB1?k1b?k1a. ???????同理，得 CC1?k2b?k2a。

????????????????????????k1b?a，CC1?k2b?k2a?k2b?a， （2）∵AA1?b?a，BB1?k1b?k1a?????????????????∴ AA1∥BB1∥CC1。

∴ AA1∥BB1∥CC1。

三、专题解说

阅读材料之一 话说“黄金分割”

黄金分割广泛地应用于建筑设计、美术、音乐、艺术及几何作图等方面,它与勾股定理被誉为是几何中的“双宝”.本材料的设计意图，是为了让学生进一步了解黄金分割及其应用,感受黄金分割的奇妙特性，体会数学内部之间、数学与自然之间的奇妙和谐之美，从而激发学生探索自然的热情，提高学生的审美情趣.

关于黄金分割更多的应用,可以指导学生进一步查找相关资料,并采用适当的方式交流学习体会.

阅读材料之二 漫谈“出入相补原理” 设计意图

“出入相补原理”是我国古代数学家根据田亩丈量和天文观测,总结提炼而成的解决

问题的方法和原理. 本材料的设计意图，一方面是为学生提供一种解决实际问题的重要思想

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方法,另一方面是让学生感受我国古代数学的悠久历史、丰富内容和重大成就,得到数学文化教育,增强爱国情感.

本材料只介绍了运用“出入相补原理”解决比例线段的问题,要了解“出入相补原理”更多的应用,可以指导学生查找相关资料,以进一步了解我国古代几何学的独特风格.

探究活动 分割三角形 1．设计说明

分割三角形的探究活动，为学生提供了一个综合运用数学知识和数学思想方法、进行数学操作实验和理性探究活动的机会,让学生在探究活动过程中,领略数学地思考、判断、决策的过程和方法,培养探究精神和探究能力.

2．活动建议

(1)这个探究活动有一定的挑战性。教师可以根据学生的实际情况,适时、恰当地引导学生对解决问题的过程进行理性的思考和分析,避免学生束手无策或只停留在盲目地实验操作层面.

(2)要得到所有的设计方案或要完全解决问题是不容易的.可以组织有兴趣的学生分组活动,把独立思考与讨论交流有效地结合起来。要注重学生的过程体验，充分肯定学生独立得到的每一种设计方案,鼓励学生通过合作研究获得更多的方案；要引导学生进行实践反思,总结解题思路的探索和形成过程.

3．答案提示

要用一条直线把一个三角形分割成两个三角形,这样的分割线一定经过原三角形的一个顶点.同时，该直线不可能经过原三角形的两个顶点.

如果分割线过直角三角形的直角顶点,那么原三角形将分割成一个锐角三角形和一个钝角三角形(或两个都是直角三角形)；如果分割线过直角三角形的一个锐角顶点,那么原三角形将分割成一个直角角三角形和一个钝角三角形.要使△ABC分割得到的两个三角形分别与△DEF分割得到的三角形相似, 分割这两个三角形的直线必须分别经过直角顶点或分别经过锐角顶点. 因此要对分割线经过两个三角形的顶点的情况进行分类讨论: (1)分割线分别经过直角三角形的直角顶点；(2)分割线分别经过直角三角形的锐角顶点.

△ABC与△DEF中, 因为?A??D?90,△ABC与△DEF不相似.所以可设∠E>∠B>?45?∠C>∠F.

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00(1)当分割线经过直角三角形的直角顶点时。

①如图1 ,在△DEF中截∠FDN=∠C,则∠NDE=∠B,在△ABC中截∠CAM=∠F, 则∠MAB=∠E.于是

△CAM∽△DFN, △BAM∽△DEN.

bAfDcbceBMCEfNF②如图1,在△DEF中截∠FDN=∠B,则∠NDE=∠C, 图1 在△ABC中截∠CAM=∠E,则∠MAB=∠F.于是△CAM∽△DEN, △BAM∽△DFN.

AfecbDbceBMCEfNF图2 (2)当分割线经过直角三角形的锐角的顶点时.

①设△DEF的分割线经过顶点F,由于∠E>∠B>?45?∠C>∠F,可知这时不存在符合条件的分割.

②设△DEF的分割线经过顶点E,△ABC的分割线经过顶点B。如图3,在△DEF中截∠NEF=∠C, 在△ABC中截∠MBC=∠F,则∠AMB=∠DNE.于是△BCM∽△FEN, △ABM∽△DEN.

A0DMcNBfCcEfF图3

③设△DEF的分割线经过顶点E,△ABC的分割线经过顶点C。如图4,在△DEF中截∠NEF=∠B,在△ABC中截∠MCB=∠F,则∠AMC=∠DNE.于是△BCM∽△EFN, △AMC∽△DNE.

ADMbNBfbCEfF图4

综上所述,符合条件的分割方案有四种.

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第二十四章 锐角的三角比

一、全章概述

1．教学目标

（1）经历锐角的三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的一种体验。掌握锐角的三角比的定义，会求锐角的三角比的值。

（2）经历用几何方法探求特殊锐角的三角比的值的过程；掌握这些数值并会计算。 （3）会利用计算器求锐角的三角比的值；能根据锐角的三角比值，求锐角的大小。 （4）在对满足什么条件的直角三角形可以求解的问题的分析过程中，体会从一般到特殊的思维方法；会解直角三角形。了解画一个直角三角形所需条件与解一个直角三角形所需条件的一致性。

（5） 掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念；在解决测高、测距、斜坡、机械零件等有关的计算中，感受数学源于生活、服务于生活的理念。

2． 课时安排

24．1 锐角的三角比的意义 2课时 24．2 求锐角的三角比的值 2课时 24．3 解直角三角形 2课时 24．4 解直角三角形的应用 4课时 复习小结 1课时

3．设计说明

在三角形和相似形部分，我们主要从定性方面研究三角形（或两个三角形）的特征和性质。锐角的三角比这部分主要从定量方面研究直角三角形。直角三角形中的计算，主要依据是勾股定理和锐角的三角比。有了这些数学工具，我们就能解决生活实际中的许多问题，如测量物体的高，测量两点的距离，有关斜坡的计算，金属工件中的计算等等。

直角三角形的计算，是任意三角形的计算的基础。锐角的三角比的概念是三角函数概念的准备。因此，锐角的三角比这一章是后续学习的重要基础。

分析学生的认知准备，从相似三角形到锐角的三角比的概念、从锐角的三角比的定义到特殊锐角的三角比、从勾股定理和锐角的三角比到解直角三角形、从纯数学上解直角三角

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形到解决相关的生活实际中的问题，可见新知识和原有知识的固着点的“距离”不大，给学生自主参与学习活动，进行探究与交流，提供了一个很好的机会。

根据以上分析，教材设计了从相似三角形到锐角的三角比的概念的形成过程，设计了求特殊锐角的三角比的值的活动过程，设计了满足什么条件的直角三角形可以求解的分析过程等，让学生自主地参与学习活动。

锐角的三角比是数学的重要基础。锐角的三角比的定义和特殊锐角三角比的值需要记忆，且记忆内容较多，学习时容易产生单调乏味的感觉。因此训练的形式要多样化，把单调乏味的感觉降到尽量小的程度。如在锐角的三角比的概念，教材设计了已知某个锐角的某种三角比，填写两条边的比；反过来，已知直角三角形中两条边的比，填写某个锐角的某种三角比。在特殊锐角的三角比，教材设计了已知某个特殊锐角的某种三角比，填写值；反过来，已知值，填写含有特殊锐角的三角比的式子，使它的值等于已知值。

教材设计例题时，充分注意例题的典型性、基础性和应用性。在锐角的三角比的概念（正切和余切），教材设计了两个例题，一个是已知直角三角形的两条直角边长，求正切的值（例题1），另一个是已知直角三角形一条直角边和斜边的长，求余切的值（例题2），是两个典型的基本题。在解直角三角形，教材设计了两个例题，一个是已知一条边和一个锐角，解直角三角形（例题1），另一个是已知两条边，解直角三角形（例题2），它们代表的就是解直角三角形的两种基本类型。

在锐角的三角比的概念，教材设计了在直角坐标平面背景下，求锐角的三角比的值（例题4），是为高中学习任意角的三角比的概念作必要的渗透和准备。它是为坐标法定义任意角的三角比做一些基础性的工作。

在解直角三角形的应用，教材设计了多方面的例子，更加突出数学在生活实际中的广泛应用，有助于学生提高学数学、用数学的意识和能力。

4．教学建议

（1）引导学生经历知识的发生、形成和运用的过程。要让学生经历锐角的三角比的概念的形成过程，让学生用几何方法探求特殊锐角三角比的值。要根据学生的实际情况组织教学活动，让学生在学习的过程中获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验，体会求特殊锐角的三角比的值的几何方法。不要只重视数学结论，轻视学习过程中获得的体验。

（2）放手让学生自主活动。由于整章内容的难度不高，建议放手让学生自主活动。教师应关注教学活动的设计，教学活动中的点拨和指导，交流、归纳和总结。

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（3）采用多样学习训练形式。相对而言，本章有些内容枯燥乏味。在训练中，形式要多样化，力求趣味化。

（4）控制内容难度。同角的三角比的关系中，只要突出cotA?1，因为在使用tanA计算器求锐角的三角比时，没有“cot”键，求余切值，都是通过求正切值的倒数得到。其它关系是高中数学的内容。另外，互为余角的两个角的三角比的关系，只要了解课本上提出的两个式子即可。

（5）重视基本方法。在解直角三角形中，对不是直角三角形的情形，要求体会化归为直角三角形来解的数学思想。不宜把它作为一种基本类型来学习。因为在高中学习解斜三角形时，现在的解法不是通法。

（6）关注实际问题数学化。在解直角三角形的应用中，要十分关注实际问题数学化这个教学环节。教学时可以分成两个阶段。第一阶段，在实际问题中有相关的几何图形，让学生知道一些术语。如仰角、俯角、方位角、坡度、坡角等。第二阶段，根据实际问题中的条件，能正确画出相关的几何图形，然后用解直角三角形的知识求解。在本章的实践活动中，要求学生自己设计测量的方案，然后用本章知识求解。设计测量方案是拓展课程的要求。教材中的许多例题为学生设计测量方案提供了范例。

5．评价建议

1．关注学生在学习活动中所表现的兴趣、参与的程度，学生在学习过程中获得的体验、体会以及数学交流。也要在实践活动中，关注学生的独立自主精神，勇于克服困难，团结互助等品质。

2．对锐角的三角比的概念，特殊锐角的三角比的值，要求掌握。

3．解直角三角形这部分的学习评价，可以分成两个层面。第一个层面是会解直角三角形，第二个层面是知道选择合理的算法（包括用计算器计算时，过程比较简单，误差较小等）。

4．解直角三角形的应用，不仅要关注学生会用数学知识解决相关的实际问题，而且要关注学生学数学、用数学的意识和能力的提高。

28

二、具体说明

24.1 锐角的三角比

1．教学目标

（1）经历锐角的三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。

（2）理解在直角三角形中，当一个锐角的大小确定后，那么这个直角三角形任何两边长的比值也是确定的，这个比值与直角三角形的大小无关。

（3）掌握锐角的三角比的定义，会求锐角的三角比的值。 （4）了解锐角的三角比的值的范围。

2．教材分析及教学建议

本章的导言“梯子滑动”问题提出：在直角三角形中，当一个锐角的大小变化时，它的两条直角边长的比值也是变化的。那么锐角的大小和两条直角边长的比值是否存在依赖关系呢？本节用相似形的知识回答了这个问题。在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么这个直角三角形任何两边长的比值是确定的。在此基础上引出了锐角的三角比的概念。

本节的重点是锐角的三角比的概念。 在教学中，要注意以下几点：

（1）相似形是锐角的三角比的概念产生的依据。根据相似三角形的知识，我们得到：在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，它的任何两条边长的比值是确定的，这个比值与三角形的大小无关，它揭示了锐角的三角比的概念和相似形之间的源流关系。

（2）在锐角的三角比的概念形成过程中，教材又指出：当锐角A的大小不同时，那么它所在的直角三角形的两条直角边长的比值也不同。这样当0°

（3）本节例题4，在平面直角坐标平面背景下，求锐角的三角比的值。这个例题是为任意角的三角比的概念作一些渗透。

（4）同角（或互为余角的角）的三角比的关系，是高中数学的内容。教材中提出的几个关系，除cotA?宜重点关注。

（5）正切和余切的符号采用“tan”和“cot”，是统一规定的。

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11以外，只作为了解。而cotA?是后继学习需要的关系式，tanAtanA3．练习答案

练习24．1（1） 1．MN，PN；PN，MN。

2．（1）BC，AC；CD，AD ； （2）ABC，BCD； （3）CD，BD。 3．（1）tanB?77125，cotA? ； （2）cotP?，cotQ?。 555124．tanB或cot?BCD；tanB或cotA；tan?ACD或cotA。 练习24．1（2） 1．（1）sinA?34125，cosA?； （2）sinQ?，cosQ?。 5513132．sin??110310，cos??，tan??，cot??3

310103．（1）MP=6，sinM?4； 5 （2）P（3，1），cos30??

3，cot30??3 224.2 求锐角的三角比的值

1．教学目标

（1）经历用几何方法探究特殊锐角的三角比的值的过程，掌握这些数值并会计算。

（2）会利用计算器求锐角的三角比的值。反过来，也能根据锐角的三角比的值，求锐角的大小。

2．教材分析及建议

在学生已经知道特殊直角三角形（含30°或45°角）某两条边长的数量关系的基础上，利用勾股定理和锐角三角比的定义求特殊锐角的三角比的值，并不困难，完全可以作为学生自主探究的平台。

求一般锐角的三角比的值，需要用到高等数学的知识（函数的幂级数展开式）。初中阶段只学习利用计算器求锐角的三角比的值。

本节的重点是利用计算器求锐角的三角比的值。 在教学中，要注意以下几点：

（1）特殊锐角的三角比的值这部分内容的学习，应该是学生自主探究的学习活动。学

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习过程中不仅得到结论，还能再次理解，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定以后，它的任两条边的长的比值是确定的，它与这个三角形的大小无关。可以指导有兴趣的同学求15°、22.5°等角的三角比的值。

（2）特殊锐角的三角比值表的特点及某些规律，在高中三角函数部分要学习，这里是让学生有一次观察、分析、归纳的经历，至于表中的规律不作要求。

（3）特殊锐角的三角比的值，可以用几何方法求。一般锐角的三角比的值，是用分析的方法来求的。初中阶段只学习利用计算器求锐角的三角比的值。

（4）利用计算器求锐角的三角比的值，当度或分出现零时，如求sin38°25＇＇的值，可按求sin38°0＇25＇＇的值键入。

3．练习答案

练习24．2（1） 1．

332；1；；。 3222．sin60?或cos30?；tan45?或cot45?；sin45?或cos45?；tan60?或cot30?。 3．（1）

33； （2）2?2 ； （3）1。 216?；

sin45?tan60?1。

tan30?4．参考答案：2?2sin45??3?tan60??2cos30??练习24．2（2）

1．（1）sin80??0.9848； （3）tan70??2.7475； 2．（1）tan23?21??0.4317； （3）cot78?46?25???0.1988； 3．（1）??29?29?54??； （3）??40?5?2??； 4．（1）c?22.2；

（2）cos35??0.8192； （4）cot68??0.4040。 （2）sin51?42??0.7848； （4）cot13?12?9???4.2627。 （2）；??54?57?23??； （4）??19?58?59??。 （2）?A?39?49?31??。

31

24.3 解直角三角形

1．教学目标

（1）掌握在直角三角形中，除直角外，其余五个元素之间的关系。了解画一个直角三角形和解一个直角三角形所需条件的一致性。

（2）经历对满足什么条件的直角三角形可以求解的问题的分析过程，体会以一般到特殊的思维方法。

（3）会解直角三角形；知道选择合理的算法（包括用计算器计算时，过程比较简单，误差较小等）。

（4）领会化归的数学思想。 2．教材分析及教学建议

在三角形和相似形这两章中，我们主要从定性方面研究三角形（或两个三角形）的特征和性质。这一节我们从定量方面研究直角三角形。

本节首先梳理了在直角三角形中，除直角外五个元素之间的关系。然后分析了满足什么条件的直角三角形是可以求解的。研究两类基本的解直角三角形的问题。如果三角形不是直角三角形，我们常把它化归为解直角三角形的问题。

本节的重点是解直角三角形。 在教学中，要注意以下几点：

（1）从特殊到一般，再从一般到特殊，是人们认识客观世界的方法。但是，并不是研究任何问题，都要采用从特殊到一般，再从一般到特殊的方法。由于我们已经具有画直角三角形和直角三角形中五个元素（直角除外）之间关系的知识（即必要的理论准备），就可以采用从一般到特殊的思维方法。

（2）在解三角形的过程中，要注意算法的合理性。由于计算器不能直接求余切值，因此在求解过程中，多用正切，少用余切。另外在求解过程中，尽量用题所给数据，少用中间运算得到的数据，使误差的累积影响较小。

（3）解直角三角形得到的结果是近似数时，如果问题中指明精确度要求，就按该精确度要求办；如果问题中没有指明精确度要求，那么边长保留四个有效数字，角度精确到1＇。

（4）对于任意三角形中的计算，常常把它化归为解直角三角形。这里主要是让学生领会化归的数学思想。这个内容不是学习的一个重要内容。因为解斜三角形是高中数学的内容，另外现在求解的方法也不是通法。

32

3．练习答案

练习24．3（1） 1．（1）?B?30?，b?103203，c?； 33 （2）?A?46?39?，a?19.64，b?18.54。

2．（1）a?4.419，?A?45?39?，?B?44?21?； （2）c?14.08，?A?30?16?，?B?59?44?。

练习24．3（2）

1．BC?2.86，S?ABC?49. 24。

2．（1）?A?106?16?，?B??C?36?52?； （2）S?ABC?108.0。 3．S?ABC?103。

24.4 解直角三角形的应用

1．教学目标

（1）在学习用解直角三角形的知识解决生活实际中的各种问题的过程中，感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的意识和能力。

（2）掌握仰角、俯角、坡度、坡角等概念。

2．教材分析及教学建议

本节列举了解直角三角形的几类典型问题：测高、测距、斜坡等问题。让学生感受数学与生活的紧密联系，提高数学问题实际化的能力，领会数学思想（化归思想和方程思想）。

在教学中，要注意以下几点：

（1）实际问题数学化的教学过程要分两个阶段进行。第一阶段，主要理解一些术语。第二阶段，根据实际问题中的条件，能正确画出相关的几何图形，然后求解。

（2）在解直角三角形（或任意三角形）时，让学生进一步领会方程思想和化归思想。 3．练习答案

练习24．4（1） 1．AB?98。 2．AB?14.1。

33

练习24．4（2） 1．70.1米。 2．8.1秒（去尾法）。 练习24．4（3） 1．20.1米。

2．（1）AB?72.7米，BC?132.5米； （2）??68?。 练习24．4（4） 1．?ACB?55?1?。 2．4?3（米）。

三、专题解说

通过实践活动，让学生亲身感受数学源于生活、服务于生活的理念，在活动过程中，学生分析问题和解决问题将得到一次历练，与同学的合作与交流，有助于培养团队精神。

第二十五章 二次函数

一、全章综述

1． 教学目标

（1） 通过实际问题引入二次函数，理解二次函数的概念．

（2） 通过画最简单的二次函数y?x的图像，理解抛物线的概念，掌握用描点法画二次函数的图像．

（3） 掌握二次函数y?ax的图像平移后得到二次函数y?ax?c、y?a(x?m)和

2222y?a(x?m)2?k的图像的规律，会由二次函数的解析式画函数的图像，并根据图像认识

并归纳图像的特征，包括对称轴、顶点坐标和开口方向．

（4） 会用配方法把形如y?ax?bx?c的二次函数化为形如y?a(x?m)?k的二次函数，借助二次函数y?ax?bx?c图像归纳二次函数的基本性质并加以直观描述（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性、增减情况）．能体会解析式y?ax?bx?c中字母系

2222 34

数的意义．

（5） 掌握用待定系数法确定二次函数的解析式．

（6） 能利用二次函数图像性质等知识解决简单的实际应用，体会二次函数在生活中更广泛的应用．

（7） 对二次函数的图像进行从特殊到一般的研究过程中，领略图形运动、变换思想，数形结合思想，分解与组合思想．

2．课时安排

本章教学共11课时，建议分配如下：

25．1 二次函数的概念 1课时 25．2 特殊二次函数的图像 3课时 25．3 二次函数y?a(x?m)2?k的图像 6课时 复习与小结 1课时

3．设计说明

二次函数是一种常见的函数，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型，有广泛的应用．如喷泉、拱桥、拱门、掷铅球、投篮球、跳水等，都可以通过建立数学模型运用二次函数的知识解决.

学习本章之前，学生已学习了函数的概念；已经掌握的基本函数有正比例函数、反比例函数以及一次函数的图像和性质，也掌握了研究函数的一些常用的方法，为学习本章准备了必要的条件．

本章引入了二次函数的概念，系统地讨论了二次函数的图像和性质，介绍了二次函数的初步应用．通过本章的学习，让学生进一步体验研究函数的步骤和方法，掌握待定系数法、图形运动变换、数形结合等数学思想方法，也为学生进入高中后进一步研究函数和学习其他知识打好基础，同时也是学习物理等其他学科的重要工具。值得注意的是二次函数比前面学习过的一个函数复杂些，比如，二次函数图像绘制的难度就大一些，性质多一些，应用也广一些，因而学生学习会更困难一些．

本章共分三节。首先引出二次函数的概念，然后先研究特殊的二次函数的图像和直观性质；接着应用图形的平移规律，研究一般的二次函数的图像和直观性质，最后运用二次函数

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的知识解决简单的实际问题。

为了帮助学生建立二次函数的概念，课本从学生非常熟悉的正方形的面积的研究出发，通过建立函数解析式，归纳解析式特点，给出二次函数的定义．建立了二次函数概念后，再通过三个例题的分析和解决，促进学生理解和建构二次函数的概念，在建构概念的过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程．体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义．

与一次函数类似，二次函数也从解析式的角度来定义，符合学生已有的认知基础．值得一提的是研究函数就必须研究定义域．当函数的解析式给出后，如果未加说明，函数的定义域是由解析式有意义来确定，所以二次函数的定义域是一切实数；如果函数有实际背景，那么写出函数解析式的同时必须给出定义域，这时既要考虑解析式的意义，又要考虑问题的实际意义．在课本中，对求定义域的难度有所控制，在需要求函数的定义域时，题目中将说明，如果只要求函数的解析式，则不必写出定义域时．

一次函数的图像是直线，它反映的是线性的变化规律；而二次函数图像是抛物线，反映的则是非线性的变化规律。要求学生通过画函数的图像，观察变量之间的关系，学会用函数图像直观地研究函数的性质．

画二次函数的图像要比画一次函数的图像复杂得多。我们仍然先描点，然后用光滑的曲线连接，这样才容易发现二次函数的图像是抛物线．抛物线属于一类特殊的曲线，与我们学过的反比例函数的图像— 双曲线不同，它有开口方向、对称轴等．抛物线与对称轴的交点称为抛物线的顶点．

在研究二次函数的图像和性质时，课本中遵循从特殊到一般的规律．首先描出特殊的二次函数y?ax的图像，并从抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等几个方面来研究二次函数图像的特征（直观性质）；然后用平移图像的方法，研究形式为y?ax?c和

22y?a(x?m)2的二次函数图像和直观性质．再进一步研究形如y?a(x?m)2?k的二次函

数的图像和性质．对于形如y?ax?bx?c的二次函数，可以通过配方成为

2y?a(x?m)2?k的形式再研究．把平移后的图像与y?ax2的图像进行比较，归纳出二次

函数的性质．

对于二次函数图像的直观性质，主要从抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标等几个

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方面来研究，然后用代数语言描述出二次函数的性质．

二次函数y?ax2?bx?c中含有三个字母系数，因此确定其解析式要三个独立的条件，用待定系数法来解．本章中，只学习确定二次函数的一般式，即 y?ax2?bx?c的形式．对于用顶点式和两根式确定二次函数解析式将在拓展II中学习．

在学习了二次函数的知识后，我们尝试运用于解=解决三个实际问题．问题1是根据实际问题建立函数解析式并学习如何确定函数的定义域；问题二是根据二次函数的解析式，分析二次函数的性质，并通过画函数图像检验作出的分析和判断是否；问题三是综合应用一次函数、二次函数的知识确定函数的解析式和定义域，并尝试解决销售问题中最大利润的问题；通过这三个问题的分析和解决，让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用，再次感悟数学源于生活又服务于生活。

二次函数与一元二次方程的联系及二次函数的应用举例都在拓展II中学习．

4．教学建议

（１）重视复习相关内容，帮助学生学好二次函数。二次函数的学习是以已经学过的函数内容为基础的．从八年级上册“正反比例函数”、八年级下册“一次函数”的学习到九年级上册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间．函数的概念，描点法画函数的图像等在本章中都要用到．因此，要注意复习已学过的函数内容，帮助学生学好二次函数．

二次函数y?ax的图像关于y轴对称，函数y?a(x?m)?k的图像关于直线

22x??m对称，函数y?ax2?bx?c的图像可以由函数y?ax2的图像平移得到，这些内容

都涉及到已学的图形变换的内容．复习对称点坐标表示等内容，有助于学生学习本章中的上述内容．

讨论函数y?ax?bx?c，关键是用配方法把它化为y?a(x?m)?k．配方法曾用来解一元二次方程，学生已经有所了解．在本章相关内容的学习中，学生进一步熟悉这种方法，但也要让学生知道配方法在函数中的运用与在一元二次方程中使用的异同．

（２）重视知识之间的联系，运用从特殊到一般的方法，由浅入深，螺旋上升。关于二次函数的图像和性质的讨论分为以下几个阶段：先从最简单的二次函数y?x出发，通过描点画出它的图像，从而引出抛物线的有关概念．接着以二次函数y=ax为基础，以具体实

2

222 37

例研究形如y?ax2?c、y?a(x?m)2的二次函数，然后根据图像的平移规律，描点画出二次函数y?a(x?m)2?k的图像，结合图像确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. 最后由特殊型过渡到一般形式的二次函数y?ax2?bx?c，运用配方法转化为

y?a(x?m)2?k的形式，那么很容易画出它的图像并归纳其性质了．在教学中，教师要

始终强调由特殊到一般的思维方法，这样有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固．由浅入深的知识拓展和迁移过程，也有利于学生对新知识的内化．

此外，还应注意联系已学知识．例如，在第一节中，寻找实际问题中变量之间的关系，确立正方形的面积、产量增长、矩形花圃面积等问题中变量之间的函数解析式．又如，用关于y轴对称的点的坐标的特点说明y轴是抛物线y?x2的对称轴；用关于x轴对称的点的坐标的特点说明抛物线y?x2和y??x2关于x轴对称．反之，利用图形的对称性取值、描点，便于画它们的图像．

（３）重视创设环境，提倡学生合作学习，引导学生实践、观察、探索、发现、归纳总结数学规律。教师的任务不仅在于教数学，更主要的是创设环境，激励学生凭借自己的能力去获取数学知识，理解数学原理，掌握数学思想。因此，在教学中，我们应鼓励学生通过独立思考或合作学习研究，“发现”或“再创造”数学知识。

例如，如何得到二次函数的图像和性质？一开始，让学生多画几个图像，在试误的过程中，体会如何画好二次函数的图像，从而逐渐地感受到二次函数的图像特征．在画图过程中，教师要重视学生各种不同的想法，不要忙于否定、纠正他们的作法。而是创设情景，使学生自己认识到问题的结症，并想出解决问题的办法。

教师应鼓励学生相互交流想法，并各自说明理由。可以布置一些答案相对开放、富有探索性的问题。如在画出图像后，问学生“我们可以从图中观察到什么？”等问题．

（４）重视体现图形运动、变换思想，数形结合思想，用好分解与组合的策略。要用运动变化的观念认识二次函数．画二次函数y＝x2的图像是基础，其他二次函数的图像都是由它变化而来的．画二次函数y＝ax2的图像,研究二次项系数a对图象的影响；研究图像怎样地平移后可以得到y＝ax2+c、y＝a(x+m)2、和y＝a(x+m)2+c的图像，并通过与二次函数y＝ax2比较，归纳这些函数的性质．研究二次函数y?ax?bx?c时，除了能画出图像归纳性质以外，还应探索系数a、b、c与抛物线y?ax?bx?c的位置变化有什么关系．如，

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22由开口方向确定a的符号，再由对称轴的位置及a的符号确定b的符号，由抛物线与y轴的交点的位置确定c的符号．总之，二次函数y?ax2?bx?c的图像特征与a、b、c的符号之间存在对应的关系，即由字母的符号能确定图象的特征，反之由图象的特征也能确定字母系数的符号。

数形结合的数学思想，是研究函数和用函数知识分析、处理其他问题时的重要方法．在本章中，“由形思数”、“由数定形”的数形结合的思想方法体现更加明显，在探讨二次函数的性质时，几乎都是通过观察二次函数的图像，直观地、非形式化地得到的．比如，在画图时，我们意识到二次函数的顶点非常重要，是必须要先定下来。二次函数在顶点处拐了一个弯，当抛物线开口向上时，顶点是图像的最低点；当抛物线开口向下时，顶点是图像的最高点。那么为什么二次函数有这个性质，而一次函数就没有呢？例如： ，可变形为 ，依靠以前学过的代数知识，可知 ．又因为抛物线开口向上，所以会有最低点。让学生在探索过程中不断地发现问题，并利用自己学过的知识解决问题。在这个过程中，让学生对数学的理解不断地加深。

在教学中，要始终贯彻数形结合法、归纳法、配方法、待定系数法，要求学生动手画图，动脑思考，精心观察，培养学生的各种思维方法. 教师在不断地总结中渗透数学思想方法，抓住时机培养学生思维的深刻性．在师生的共同讨论中，深化所学知识，培养学生具备反省思维的能力．

（５）重视计算机的使用，可以方便地画出二次函数的图像，进而从图像探索二次函数的性质更为清晰。计算机等信息技术手段对数学产生了深刻的影响，包括计算机技术在内的现代信息技术的发展，很大程度上改变了学生数学学习的现状．在本章中，利用某些计算机画图软件（如《几何画板》），可以方便地画出二次函数的图像，更有利于从图像探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数y?ax?bx?c的图像后，拖动图像上的一点P, 使这点沿抛物线移动，观察这一动点坐标的变化，可以直观地看到图像上最低（高）点的坐标．还可以看到，当x等于这点的横坐标时，函数y?ax?bx?c的值最小(大)；当x小于这点的横坐标时，函数值随x的增大而减小（增大），当x大于这点的横坐标时，函数值随x的增大而增大（减小）。

（６）重视联系实际，使所学知识得到应用。

二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。伽利略(Galileo)所发现的、

22 39

通过比萨斜塔实验验证的、著名的自由落体运动公式就是二次函数刻画物体运动的最好例证，是最重要的物理学公式之一．二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题．二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、投掷的铅球等都形成抛物线路径。抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。

学习二次函数与学习前几个基本函数一样，都经历了从实例抽象概括出函数概念，由函数的解析式画出函数的图像，总结出函数的性质，再利用所学知识解决有关问题．在教学过程中要始终关注知识的实际应用，让学生感到数学是有用的.数学起源于实践，进而上升为理论，要让学生感受由感性到理性的过程，使学生感到数学真实贴切，易于接受.

本章最后一节，通过简单的实际问题的讨论，让学生初步体验二次函数的应用．教学中教师要帮助学生理解问题背景，掌握运用二次函数解决问题的一般方法，初步构建二次函数数学模型的概念，感受数学的广泛联系和应用价值。

5．评价建议

（1）允许学生走弯路，激励学生提出问题。这一节的知识点较多，正如前面所分析的二次函数是初中阶段所遇到的较为复杂的函数，而且对灵活性的要求较高．在学习这一部分知识时不能让学生机械地模仿、记忆，而是要让学生深刻地理解．教学中，要使学生亲自感受数学知识的形成过程，积累丰富的经验，凭借自己的力量获取知识，从而达到培养能力的目的．建议教师留出一段时间与学生共同列表、画图，允许学生有一个走弯路的过程，在探索的过程中，会有许多的疑问．而这恰是学习新知识的开始．例如，学生刚开始画图像，如何取点，如何连线，画出的图像是怎样的？这个过程很重要，必须要亲手画一画．如果教师舍不得花时间，不让学生体验，而是迅速切入正题，指明二次函数的形状，教学生记下二次函数的性质．那么学生就丧失了主动探索的机会．我们要意识到，认识客观事物是有一个过程的，人为地缩短或逾越，违反了认知规律．由老师代替学生的思考，让学生机械地模仿，会使数学学习索然无味．这样也导致学生对数学概念的认识肤浅，无法把握事物运动变化的规律，学生的数学能力自然无法提高．

（２）引导学生从多方位多角度观察，逐渐地体会数形结合的思想方法。学习函数离不开观察图像，因为函数性质都是通过观察图像特点而得出的．在特殊的二次函数的图像一节中，画了函数y＝x2的图像后，教材要求学生观察抛物线的形状位置有哪些特征？然后又分

222? ?x、? ? x别尝试了画 y 、 y ? x y 的图像，这时教师应引导学生全面观察，充分发

1212 40

表自己的观点．归纳二次函数y?ax2的性质时，除所列出的性质外，还可就y随x的变化的规律，函数图像的开口大小与｜a｜的关系等进行归纳总结，使学生对函数y?ax2既有一个全面的认识，又会用数学抽象、概括的语言去刻画．在熟练地画图过程中，学生逐渐地体会到了数形结合的思想方法．也为后续学习做好准备．

（３）鼓励学生反思回顾，指导学生总结知识，深化理解。

在教材第一节二次函数的概念教学中，让学生在解决这些问题的过程中反思变量之间是否存在依赖关系？存在怎样的依赖关系？并比较“一次函数”的概念，举一反三地去概括二次函数定义，从而理解二次函数的意义，可以帮助学生降低对二次函数理解上的困难．

有“一次函数”画图像的基础，在画二次函数图像的基本方法上学生问题不会太大，但对抛物线的大致趋势的理解，学生会感到困难，教师可结合列表的数据引导学生，让学生自己发现抛物线的特征避免代替学生的观察体会而去直接讲解函数的性质．让学生自己能正确画出图像，并进一步理解二次函数的性质．

（４）指导学生总结应用二次函数解决实际问题的一般方法。

利用二次函数解决实际问题时需要抓住问题的切入点，如，把实际问题定位在具体的图像中，然后再根据抛物线的性质解决问题；也有把二次函数的一般式配方成顶点式以后，根据顶点的位置，解决最大值、最小值问题等。教师要引导学生提炼问题中的相关条件，尽量简单地选择函数解析式，方便地建立坐标系，从而简化问题的解决.

二、具体说明

25．1 二次函数的概念

1．教学目标

（1）理解二次函数的概念.

（2）能判断两个变量之间的关系是不是二次函数．

（3）能根据实际情境列出二次函数解析式，并能确定二次函数自变量的取值范围． (4) 经历从实际问题出发到列出二次函数解析式的过程，体会用数学思想去描述、研究变量之间的变化规律的意义．

2．教材分析与教学建议

本节的主要内容是建立二次函数的概念．课本以学生熟悉的正方形的面积与边长之间

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的函数关系为例，提出了两个与正方形的面积相关的问题，分析建立函数解析式后，通过归纳函数解析式的特征，引出二次函数的概念．建立二次函数的概念后，给出圆柱的体积公式，通过判断体积V与底面半径r、圆柱的高h的关系，比较二次函数与一次函数的区别，促进学生加深对二次函数的理解．最后通过增长率问题和围栏问题的解决，让学生通过分析变量与变量之间的关系列出二次函数解析式，并注意如何确定自变量的取值范围．

在教学中，要注意以下几点：

（1）关于二次函数的定义的建立，一般来说,二次函数涉及到的面积问题比较多，如圆的面积与半径之间的关系等．教材选择正方形的面积问题引出概念，学生易于理解，自变量和因变量也容易把握，列函数解析式也就不会有太大的困难．教学中，教师也可以适当补充简单的实例，目的是让学生通过对这类解析式的比较，归纳出用来表示函数的式子都是关于自变量的二次整式，从而引出二次函数的定义．

（2）关于二次函数定义，与一次函数类似地，要理解定义中的“形如”，二次函数的自

2变量与因变量不只是能用x、y表示，其它字母也可以，如s??r或h?t2/5?2t?1．对二

次函数定义域的认识，要明确函数的表达式包括解析式和定义域．在具体问题中，有时只研究函数解析式；需要研究函数的定义域时，应该指出函数的定义域：如果未加说明，函数的

2定义域由解析式确定，形如y?ax?bx?c（其中a、b、c是常数，且a?0）的二次函

数，它的定义域是一切实数，只是约定可以不加说明；而当二次函数的定义域不是一切实数时，必须指明函数的定义域．

（3）例题１的设计意图是，通过研究在圆柱的体积V的变化过程中，体积V与底面圆的半径r或圆柱的高h之间的函数关系，首先要学会分析每一个问题中的自变量和因变量，然后正确判断?rh是关于h的一次整式，因此V是h的一次函数；而?rh又是关于r的二次整式，所以V是r的二次函数．以此回顾一次函数的概念，在比较中加深对二次函数定义的理解．

（4）例题２是从函数的角度研究增长率问题．首先要分析这一问题中什么量是自变量？什么量随自变量的变化而变化？根据增长率的知识列出九月份的产值为代数式100(1?x)，它就是x的函数，令y?100(1?x)，让学生体会九月份的产值y随增长率x的变化而变化的依赖关系． 由于学生刚刚学习二次函数，只了解二次函数的一般式， 所以展开后得．在此，题中没有要求写出函数的定义域，在本问题中，增y?100x2?200x?100（x>0）

42

2222长率为正，所以在括号中加上了定义域，教师可以向学生说明．

（5）例题3围栏问题的重点是根据题意列二次函数解析式，难点是求函数的定义域．在进一步分析自变量与函数之间的关系列出函数解析式的同时，需要注意是如何确定自变量的取值范围的．在确定自变量的取值范围时要注意既要保证函数解析式本身有意义，又要考虑实际背景对自变量的限制．实际上，自变量在哪个范围内才能正确表达两个变量之间的依赖关系，要具体问题具体分析．

（6）在练习１中，判断二次函数时，一般先把函数解析式化为一般式后再判断，主要看含x的最高次项是否是二次的整式函数．

3．练习答案

练习25．1

1．（2）（3）（4）是二次函数；（1）（5）不是二次函数.

92123． S??r?5r,r?o22．（1） 8 (2 ) x?2或?125．2 特殊二次函数的图像

1．教学目标

(1)了解二次函数的图像是抛物线，会用描点法画二次函数的图像．

(2)借助二次函数y?ax的图像归纳二次函数y?ax的基本性质并加以直观描 述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）．

(3)运用图形运动、变换的思想研究二次函数y?ax?c和二次函数y?a(x?m)． 掌握它们的图像及基本性质与二次函数y?ax的图像及基本性质的联系与区别． (4)在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法． (5)培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法.

222222．教材分析与教学建议

对二次函数的研究，我们仍然采用从特殊到一般的方法．本节安排3课时，主要研究特殊的二次函数y?ax、y?ax?c和y?a(x?m)的图像，并利用图像，直观地探索函数的基本性质．

第一课，教材以画函数y?x的图像为例，通过列表、描点、连线三个步骤的操作活

43

2222动，学习画二次函数的图像；在此基础上给出抛物线的概念．然后，通过进一步观察抛物线

y?x2的特征，归纳出抛物线y?x2的开口方向、对称性和顶点的位置及坐标，这样的归

纳为后面的学习打下基础．通过试一试和例题１学习，让学生判断二次函数y?x2和

y??x2，二次函数y?121x和y??x2有哪些相同的和不同的特征．同时明确系数a的22符号对函数y?ax2的开口方向的影响，抛物线在对称轴左右两侧图像上升下降的趋势等．最后总结形如 y ? ax 2的二次函数的图像的特征．

121x和y?x2＋2的图像，观察图像上具有相同横坐标的2212任意两点，比较分析它们的纵坐标之间的关系，从图形运动的角度得到抛物线y?x＋2

212可以由抛物线y?x沿y轴向上平移２个单位得到．再通过对两个二次函数图像的特征的

2第二课是通过操作，画y?比较，归纳出平移后两个函数图像形状大小和开口方向均相同，只是位置不同．在经历这一探索过程的基础上，再比较二次函数y??121x和y??x2－2的图像及特征，最后归纳22二次函数y?ax2?c的图像与y?ax2的图像的关系，并总结了二次函数y?ax2?c的图像的直观性质．

第三课运用类似于第二课的探究方法，探究了二次函数y?a(x?m)的图像和特征，最后获得了二次函数y?a(x?m)的图像与y?ax的图像的关系，并总结了二次函数

222y?a(x?m)2的的图像的直观性质．通过几个特殊的二次函数的研究，让学生体会二次函

数的图像在运动过程中，什么“变”了，而什么是“不变”的，为什么？要抓住问题的本质进行研究．

在教学中，要注意以下几点：

（1）画二次函数图像，是再次经历由列表、描点、连线三个步骤联结的过程，通过画出二次函数的图像，巩固描点法．二次函数的图像是抛物线，画出它的图像要比画一次函数图像难很多，所以教材从画最简单的二次函数y?x的图像开始．教学时，在教师的示范指导下，让学生亲自经历画图的过程．

（2）画抛物线y?x时，先要列出函数的对应值表，在列表时，怎样选取自变量x的的值呢？由解析式可以看出x可以取任意实数，不妨以０为中心，均匀选取一些便于计算的

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22x的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．描点后，要用光滑的曲线把所描的点顺次连接起来，画图时，教师要指出曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端．

（3）引导学生观察列表中的数据，可以发现，当自变量x取互为相反数的两个数时，它们所对应的函数值相同；从图像中也可以看出，横坐标互为相反数的任意两个点总有相同的纵坐标，这样的两点是关于y轴对称的点，所以抛物线y?x2关于y轴对称．同时，通过图像，我们还能观察到抛物线与对称轴y轴有交点，将它定义为顶点．顶点是抛物线y?x2的最低点．

（4）“试一试”安排画函数y??x2的图像，是让学生再次巩固画二次函数图像的过程，同时从图像的形状、开口方向、对称性、顶点等几个方面与函数y?x2比较，得出抛物线y?x2和y??x2关于x 轴对称．初步体验二次项系数a互为相反数时，抛物线的特征有什么相同和不同．

（5）例题１画函数y?121x和y??x2的图像，列表时，引导学生观察两个函数解2212x的图像时，也可2析式的特点后求值就非常方便了；描点时也可以发现，当取相同的横坐标时，两个函数图像上的点的纵坐标互为相反数，这样的两点关于x轴对称．因此画y??以利用这个对称性画图．经历了这个过程，学生进一步理解a决定抛物线的形状，a的符号决定了抛物线的开口方向．最后，让学生从对称性、顶点坐标、开口方向等几个方面归纳出抛物线y?ax的特征，也就是二次函数y?ax的基本性质．对于抛物线的增减性，在此先不作归纳，只在具体讨论抛物线y?一些感性认识．

（6）画函数y?22121x和抛物线y??x2时进行了描述，让学生先有22121x和y?x2＋2的图像后，让学生思考分别在两个图像上取有相22同横坐标的任意两点，它们的纵坐标之间有什么关系？以及从图形运动的角度来分析两个函数图像之间有什么关系？教学时，鼓励学生充分发表见解，并指导学生尽可能用数学语言进行描述．教材中说明这两条抛物线经过平移能够重合时，突出了以下几个方面：一是P点是任意取的，过p作x轴的垂线与y轴的交点Q也具有任意性，这样，研究的结果才具有

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普遍性；二是让学生理解对于点P (x1,y1)，它的坐标也可以表示为Ｐ?x1,??12?x1?，点2?Q(x1,y2)的坐标也可以表示为Q?x1,??12?于是得出点P向上平移２个单位就与Q点x1?2?，

2?121x向上平移２个单位与抛物线y?x2＋222重合．再由P、Q的任意性，得到抛物线y?重合．

（7）学生经历了对二次函数y?12111x、y?x2＋2、y??x2、y??x2?2 2222的研究后，自主归纳由二次函数y?ax2的图像经过怎样平移得到二次函数y?ax2?c的图像，以及它的特征和基本性质．从图形运动的角度研究新的抛物线，有利于学生运用化归的思想方法认识新的抛物线，总结新的抛物线的特征和性质．值得一提的是，虽然利用平移可由已知抛物线得到新抛物线，但是描点法还是画函数图像的基本方法．

（8）研究二次函数y?121x 和y?(x?1)2的图像时，可以先观察同一直角坐标平22面内的两个图像，直观地看出两条抛物线的位置关系，说出经过怎样的运动两条抛物线能够重合．对于基础教好的学生，也可以引导他们观察列表中的数据，当y的值相同时，所对应的自变量x的值的差为１，也就是说，如果在两条抛物线上取有相同的纵坐标的两个点，他

12x图像上的每一个点沿x 轴向左平移１21122个单位，就得到二次函数y?(x?1)的图像．在此基础上联系二次函数y?x

2212的性质归纳出抛物线y?(x?1)的基本性质．

2们的横坐标之差总是１． 因此，只要把函数y?3．练习答案

练习25.2(1) 1．略． 2． 略．

1 2 3． 当

k??时，抛物线y?(1?2k)x的开口向上.2当 1

k??时，抛物线y?(1?2k)x2的开口向下.2练习25.2(2)

将抛物线x2 沿y轴向上平移1个单位. 1．（1） y ?

13 46

（2） 1 2

将抛物线y?x沿y轴向下平移1个单位.32．向下；y轴；（0，2）． 3. y?2x2?5。 练习25.2(3)

1.(1) 将抛物线y??3x2沿x轴向左平移2个单位；将抛物线y??3x2沿x轴向右平移4个单位.(2) y??3(x?2)2开口向下，对称轴是直线x??2，顶点坐标是（-2，0）； y??3(x?42)开口向下，对称轴是直线x?4，顶点坐标是（4，0）。 2.．当a>0时，开口向上，当 a<0时，开口向下；对称轴是直线x?3，顶点坐标是

（3，0）。

225．3 二次函数 y?a?x?m??k的图像

1．教学目标

2（1）理解y=ax与y?a?x?m??k图像之间的平移关系．

2（2）通过观察，体会形如y?a?x?m??k 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及有关性质．

（3）会用配方法将y=ax+bx+c变形为y=a(x+m)+k的形式． （4）会借助y=a(x+m)+k形式研究y=ax+bx+c的图像性质． （5）能用待定系数法求二次函数的解析式．

（6）能运用配方法，结合二次函数的顶点坐标所对应的函数值的特点等知识解决实际问题，进一步提高知识的运用能力及熟悉程度．

（7）学习和体验数形结合的数学思想，领会由特殊到一般地分析问题解决问题的思维方法．

（8）体会数学知识与实际生活的紧密联系，体会生活中处处有数学，数学是非常有用的工具．

222222．教材分析与教学建议

本节主要研究三方面内容：

一是研究如何将抛物线y?ax经上下、左右平移后得到抛物线y?a(x?m)?k，从

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22而讨论二次函数y?a(x?m)2?k的图像与二次函数y?ax2图像关系的一般规律以及函数y?a(x?m)2?k的基本性质．并总结如何根据常数a、m、k先确定抛物线的位置、特征，再用描点法画二次函数的图像．

2y?ax?bx?c的图像及基本性质，学习用配方法将二是研究二次函数

y?ax2?bx?c转化为y?a(x?m)2?k的形式后确定其图像的开口方向、顶点坐标和对

称轴，还可以直观地分析在抛物线对称轴两侧，曲线上升和下降的趋势．

三是二次函数的应用．包括运用待定系数法确定二次函数的解析式；根据实际情境确定函数解析式及函数的定义域；根据二次函数的图像特征，如顶点是抛物线的最高或最低点因而所对应的函数值最大或最小的特点解决实际问题中最大高度或最大利润的问题等．培养学生在生活中善于思考和运用数学知识的能力．

在教学中，要注意以下点：

（1）在研究了二次函数y?(x?1)2的图像及特征的基础上，分析把抛物线沿y轴向上

平移３个单位，得到的抛物线的表达式为y?(x?1)2＋3，从而顺理成章地得出结论：函数

12x 的图像先向左平移１个单位再向上平移３个21222单位得到．抛物线y?(x?1)＋3与y?(x?1)的图像、y?x的图像都是形状相同的

2y?(x?1)2＋3的图像可以由函数 y?抛物线，开口方向和开口大小都相同，仅仅位置不同．并由此归纳出y?a(x?m)?k的图像与y?ax的图像关系的一般规律以及函数y?a(x?m)?k的性质．由抛物线

222y?ax2经两次平移后可以得到抛物线y?a(x?m)2?k．上下平移和左右平移的顺序不分

先后．

（2）归纳了抛物线y?a(x?m)?k的对称轴、顶点坐标、开口方向等性质后，可以

2指出，当m?0时，就是特殊的二次函数y?ax?k；当k?0，是特殊的二次函数

2y?a(x?m)2．因此二次函数y?a(x?m)2?k的基本性质包含了前面所有特殊二次函数

的性质．

（3）例题１侧重于巩固二次函数的性质和用描点法画y?a(x?m)?k的图像．在画

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图时，首先可以从图形运动的角度认识图像与抛物线y?2x2的关系，然后先画出抛物线

y?2(x?1)2?1的对称轴和顶点位置，然后描出其他的点；观察列表中的数据可以发现，

纵坐标相等的点，它们的横坐标的平均数是１，如(0,1)与(2,1)、一(?0.5,3.5)与(2.5,3.5)等．般地，自变量x所取的值应包括?m，其他的值成对出现且每一对值的平均数是?m．如取了x1，配对的可取x??2m?x1．

（4）例题２是画二次函数y?a(x?m)2?k的图像的完整的解题过程．也就是说，用描点法画图之前，一定要先确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，然后从顶点开始，左右取几个对称点．例题３侧重于巩固图像平移的规律．由二次函数图像的平行移动的规律，容易看出抛物线顶点和对称轴的位置变化．反之，若记住抛物线的顶点坐标，也容易掌握二次函数图像平行移动的规律．我们可以通过顶点的移动路线，确定抛物线的运动路径，从而写出新的抛物线的解析式．这种数形结合，相互为用的方法，在教学上是必要的，从减轻记忆的角度来说也是可取的．

2（5）研究二次函数y?ax?bx?的c图像和性质是将它配方，变形为

y?a(x?m)2?k的形式后研究的．基于前面的学习，正确地配方成为实现转化的关键．例

题７的教学中，要复习配方法的有关知识．特别注意在对ax?bx?c的配方时，弄清与解

2一元二次方程是配方的区别．具体来说，在y?ax?bx?c中，当a?1时，配方法与解一

2元二次方程中的配方相同．但是，当a?1时，二次函数的配方先提取公因式a，而不像解一元二次方程中是先用a除等式两边各项．例题５说明了研究二次函数y?ax?bx?c的性质，通常是先把它的解析式化为y?a(x?m)?k的形式，再讨论图像的特征．

（6）例题６给出了用描点法画二次函数y?ax?bx?c图像的完整过程．二次函数

222y?ax2?bx?c的图像画法，一般分为三步：第一是利用配方把二次函数y?ax2?bx?c改写成y?a(x?m)?k的形式；第二是确定抛物线的对称轴、顶点坐标及开口方向；第三，利用对称性描点画图．

（7）问题２提出了用二次函数的系数a、b、c来表示二次函数图像的对称轴和顶点坐标．从而得到顶点的坐标、对称轴的直线方程字母表示形式．于是，例题７说明，除了配方

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2法以外，也可以直接用顶点坐标的字母表示形式，直接求出顶点坐标和对称轴．教学时，要让学生理解配方的过程，然后再记忆公式，切忌死记硬背．

)(x?q)，可以先将它化为（8）例题８的二次函数解析式形如y?a(x?py?ax2?bx?c的形式，再研究它的图像特征．

（9）画抛物线y?ax2?bx?c时，确定了对称轴和顶点位置以后，要注意在对称轴两侧选取一些特殊点，如点(0,c)，它是图像与y轴的交点；在例题８中，画形如

y?a(x?p)(x?q)的图像时，(?p,0)、(?q,0)是图像与x轴的交点，也是特殊的点．描出

顶点和一些特殊点以后，可大致画出抛物线．

（11）本章中，只介绍用待定系数法确定二次函数的一般式y?ax2?bx?c．一般由已知的三个条件，得到关于a、b、c的一个三元一次方程组,通过解方程组,确定a、b、c 的值．对于用顶点式和两根式求二次函数的解析式，将放在拓展II中学习．

（12）例题1０是探求矩形的面积关于矩形的一边长的函数关系．根据题意写出函数解析式后，必须确定函数的定义域．本题中，主要从矩形的边长大于０以及落在AB边上的线段FG＜AB这两方面考虑得到自变量x的取值范围．还要让学生理解，求EF为４厘米时的矩形面积，就是求x=4时的函数值．

（13）例题11是章头语中提出的问题的深入研究．问题中已经给出函数的模型，主要是从解析式的变形和函数的图像，即数和形两个方面研究抛物线的特征，并根据抛物线开口向下，得出抛物线的顶点是图像上的最高点，这样得出水珠喷射到抛物线的顶点时达到了最大高度，此时，顶点的纵坐标的值就是最大的高度，横坐标的值就是相应的水平距离．画这个二次函数的图像时，要注意函数的定义域，因此，图像不是完整的抛物线，只是抛物线在定义域内的部分．

（14）例题12以销售问题为背景，其中涉及分别确定一次函数、二次函数的解析式，并利用二次函数的基本性质求销售的最大利润．对学生来说，分析销售问题有一定的困难，教师要指导学生仔细审题，分步骤解决问题：首先题中表明产品日销售量y是每件产品的销售价x的一次函数，所以可用待定系数法确定一次函数解析式及定义域；然后，根据日销售利润的计算公式，写出日销售利润w关于每件产品的销售价x的二次函数解析式；最后，根据二次函数的开口方向、顶点坐标，分析得到顶点是抛物线的最高点，因此对应的函数值就是最大的利润值．教材中涉及了函数最大（小）值的问题，但都是通过对二次函数图像的

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