第二章控制系统的数学模型

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第二章控制系统的数学模型§2-1 控制系统的时域数学模型

§2-2 控制系统的复域数学模型 §2-3 控制系统的结构图与信号流图 §2-4 数学模型的实验测定法

引言一、为什么要建模? 工程的最终目的是建造实际的物理系统以完成某些规定的任务,而用控制理论分析、设计一个自动控制系统, 首先需要建立实际物理系统的数学模型。实际系统简化系统的假设物理模型数学描述数学模型

理想化的简化假设的目的是为了便于分析设计,但这将影响模型的精度,所以必须在模型的简单性及分析结果的精确性之间折衷。建模过程实质上是对控制系统,首先是对被控对象调查研究的过程,只有通过对系统的仔细调研忽略掉一些非本质因素，才能建立起既简单又能反映实际物理过程的模型。

二、系统建模的两种基本方法 ① 机理分析法 ② 实验辩识法飞升实验法频率特性测试法参数辩识三、线性定常系统的数学模型 ① 外部描述(I/O描述) 微分方程传递函数频率特性 ② 内部描述状态方程多项式矩阵

§2-1 控制系统的时域数学模型一、线性元件的微分方程例2-1:RLC无源网络解：由基尔霍夫定律，列电压方程，可得:

ui (t )

i (t )

uo (t )

di (t ) 1 L i (t )dt Ri (t ) ui (t ) dt C u (t ) 1 i (t )dt o C 消去中间变量，可得:

dq i= dt q = cuc

d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt

例2-2:机械旋转系统解：设圆柱体的质量分布均匀，质心位于旋转轴线上，则其运动方程为：

d2 J 2 θ = T = T -T f -Ts dtT f = fω = f 式中：

TTs k

d θ,Ts = kθ dt f :粘性摩擦系数，k :弹性扭转变形系数。

整理得：

d2 d J θ+ f θ + kθ = T 2 dt dt

d Tf f dt

例2-3:带阻尼的弹簧质量系统解：由力平衡方程，可得：

d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt

mF (t ) x(t )

前述三个例子中，表征RLC电路系统、机械旋转系统、弹簧阻尼系统的三个微分方程，虽然有着不同的物理含义，却有着相似的形式： d 2uo (t ) duo (t ) LC RC uo (t ) ui (t ) 2 dt dt

d2 d J θ+ f θ + kθ = T 2 dt dt d 2 x(t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt

定义：把数学模型相同(有相同的运动形态)的各种物理系统称为相似系统。在相似系统的数学模型中，作用相同(物理意义不同)的变量称为相似变量，如：

( L、J、m)、(q、、x)、(u、T、F )相似系统的概念，使得一种物理系统研究的结论可以推广到其相似系统中去。利用相似系统的特点，可以进行模拟研究，即用一种比较容易实现的系统(如电系统)模拟其他较难实

现的系统 —— 仿真。

例2-4:电枢控制直流电机解：电枢回路电压平衡方程由电磁感应定理，列反电势方程 ua Ea Ce m (t ) C e 反电势系数

dia (t ) ua (t ) La Ra ia (t ) Ea dt

La Ra Ea

mSM

负 Jm 载 f m

由电磁转矩方程，得: M m (t ) Cm ia (t ) M m :电磁转矩， C m :转矩系数。由转矩平衡方程，得: M c :外加负载。 d m (t ) Jm f m m (t ) M m (t ) M c (t ) J m :转动惯量。 dt f m :粘性摩擦系数。消去中间变量 ia (t ) ,得: d 2 m d m dM c La J m 2 ( La f m Ra J m ) ( Ra f m CmCe ) m Cmua La Ra M c dt dt dt

若电枢电感 La 很小，可略去，则有：

d m Tm m K1ua K 2 M c dt Ra J m 其中： Tm —— 电动机机电时间常数 Ra f m CmCe Ra Cm ,K 2 —— 电动机传递系数 K1 Ra f m CmCe Ra f m CmCe若进一步假设电枢电阻 Ra 和转动惯量 J m 很小，可略去，则有

Ce m (t ) ua (t )

测速发电机

结论：同一种元件，在不同的场合、不同的系统中，其描述方程可以不同。

总结 —— 建立控制系统微分方程的基本步骤： ① 根据线性元件在系统中的作用，确定其输出量和输入量； ② 根据元件遵循的物理、化学规律，列写相应的微分方程；

③ 消去微分方程的中间变量； ④ 标准化微分方程：输入量相关的项，放在等式右边；输出量相关的项放在等式左边。

二、控制系统微分方程的建立

例2-5:速度控制系统的微分方程(P24) R1 u i 解：1) 列写各元件的微分方程 K1 R1 放大器 I :u1 K1 (ui ut ) ut R2 放大器Ⅰ K1 R1 du1 R u1 ) 放大器 II:u2 K 2 (

dt R K 2 , RC R1 功率放大器：ua K3u2直流电机：

d m Tm m K m u a K c M c dt

C放大器 II

齿轮传动系统： m / i 测速发电机： ut Kt 2) 消去微分方程的中间变量,并整理。输入量相关的项，放在等式右边；输出量相关的项放在等式左边。u a、 m 、 u t 得： u2 、在上述各式中，消去u1、

dui d T 'm K 'g K g u i K 'c M c dt dt微分方程的一般形式：d n c(t ) d n 1c(t ) d m r (t ) d m 1r (t ) a0 a1 an c(t ) b0 b1 bm r (t ) n n 1 m m 1 dt dt dt dt

三、线性系统的特性线性系统满足线性特性，包括： ① 可和性：有限多个输入的总结果，等于每个输入单独作 f ( xi ) f ( xi ) 。用的结果之和，即：可和性也叫叠加原理。 ② 齐次性：一个输入乘以常数作用的结果，等于这个输入作用的结果乘以常数，即： f ( x) f ( x)。线性特性在系统分析中的意义：

复杂输入作用

下系统的特性，可以通过对简单输入信号作用下的特性来分析得到。系统输入信号幅值是不定的，不同幅值信号作用的特性，可用一个标准幅值信号作用的特性来得到。

四、线性定常微分方程的解解线性定常微分方程的方法：经典法(微积分方法)

拉氏变换法(Laplace) 计算机数值解法

拉氏变换的定义：设函数 f (t ) 满足： ① f (t )为实函数； ② 当 t 0 时， f (t ) = 0 ;③当 t 0 时，f (t ) 的积分 f (t )e-st dt 在 s 的某一域内收敛。0

则函数 f (t ) 的拉普拉斯变换存在，并定义为：

F (s) L[ f (t )] f (t )e st dt0

式中： s j ( , 均为实数); F ( s ) 称为函数 f (t ) 的拉普拉斯变换或象函数， f (t ) 称为 F ( s ) 的原函数； L 为拉氏变换的符号。拉氏反变换：1 f (t ) L [ F ( s)] 2 j 1

F ( s)e st ds ,

t 0

其中： L 1 为拉氏反变换的符号。

常用拉氏变换函数：单位脉冲函数单位阶跃函数单位速度函数幂函数指数函数