江苏省2014届高考数学考前辅导之解答题(含答案)

江苏省2014届高考数学考前辅导之解答题

xxx

1.已知向量m ,1),n (cos,cos2).

4442

（1）若m n 1,求cos( x)的值；

3

（2）记f(x) m n，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,

c，且满足(2a c)cosB bcosC，求

函数f(A)的取值范围.

xxxx 1

1.解：（1）m n cos cos2 sin(

444262

x 1

∵m n 1 ∴sin( ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4分

262

1 x 12 1

cos(x 1 2sin2( x) cos(x ┉┉┉┉┉7分

23262332

（2）∵（2a-c）cosB=bcosC

由正弦定理得(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC ┉┉┉┉┉┉8分 ∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC ∴2sinAcosB=sin(B+C)

∵A B C ∴sin(B C) sinA 0，

1 2

∴cosB ,B ∴0 A ┉┉┉┉┉┉11分

233 A A 1

∴ ,sin( ) (,1) ┉┉┉┉┉┉12分 6262262

x 1A 1

又∵f(x) sin( ,∴f(A) ┉┉┉┉┉┉13分

262262

3

故函数f(A)的取值范围是(1,). ┉┉┉

2

2．设锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知边a＝3，△ABC的面积S（1）内角A；（2）周长l的取值范围．

3222

(b＋c－a)．求：4

3.如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，且AB//EF，ABCD所在的平面和圆O所在的平面互相垂直，且AB 2，AD EF 1.

（1）求证：AF 平面CBF；

（2）设FC的中点为M，求证：OM//平面DAF； （3）设平面CBF将几何体EFABCD分成的两个锥体的

C

矩形

体积分别为VF ABCD，VF CBE，求VF ABCD:VF CBE． 3.解：（1）证明： 平面ABCD 平面ABEF,CB AB,

平面ABCD 平面ABEF=AB， CB 平面ABEF，

AF 平面ABEF， AF CB ,

又 AB为圆O的直径， AF BF， AF 平面CBF. ………5分 （2）设DF的中点为N，则MN//

11

CD，又AO//CD， 22

则MN//AO，MNAO为平行四边形，

OM//AN，又AN 平面DAF，OM 平面DAF， OM//平面DAF. ………9分

(3)过点F作FG AB于G， 平面ABCD 平面ABEF，

12

FG 平面ABCD， VF ABCD SABCD FG FG， ………11分

33

CB 平面ABEF，

1111

VF CBE VC BFE S BFE CB EF FG CB FG， ………14分

3326

VF ABCD:VF CBE 4:1．

4．多面体PABCD的直观图及三视图如图所示，E、F、G分别为PA、AD和BC的中点，M为PG上的点，且PM:MG 3:4．

（1）求多面体PABCD的体积； （2）求证：PC平面BDE； （3）求证：

平面PBC． 主视图 左视图

E C

A B

4.解：（1

4分

俯视图

（2）连接AC

与BD交于点O，连接EO

则在 PAC中，由E、O分别为PA和AC的中点，得EOPC………………6分 因为EO 平面BDE

所以PC平面BDE ……………………………………………… 8分 （3）连接PF与FG，则BC 平面PFG

所以BC FM ……………………………………………… 10分 在 PFG中，PF FG 2,PGPM:MG 3:4

，FM ，故FM2 MG2 FG2 所以FM PG ……………………………………………… 12分 又PG BC G

所以FM 平面PBC ……………………………………………… 14分

5．（本小题满分15分）

可求得MG

在平面直角坐标系xOy中 ，已知以O为圆心的圆与直线l：y mx (3 4m)，(m R)恒有公共点，且要

求使圆O的面积最小. （1）写出圆O的方程；

（2）圆O与x轴相交于A、B两点，圆内动点P使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列，求PA PB的范围； （3）已知定点Q（ 4，3），直线l与圆O交于M、N两点，试判断QM QN tan MQN 是否有最大值，若存

在求出最大值，并求出此时直线l的方程，若不存在，给出理由.

5.解：（1）因为直线l：y mx (3 4m)过定点T（4，3）

由题意，要使圆O的面积最小, 定点T（4，3）在圆上，

所以圆O的方程为x2 y2 25. ………4分

22

（2）A（-5，0），B（5，0），设P(x0,y0)，则x0 y0 25……（1）

PA ( 5 x0, y0)，PB (5 x0, y0)，

由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列得，|PO|2 |PA| |PB|，

,0) ………………………9分 2

（3）QM QN tan MQN |QM| |QN|cos MQN tan MQN

PA PB [

|QM| |QN|sin MQN 2S

MQN

. ………11分

由题意，得直线l与圆O的一个交点为M（4，3），又知定点Q（ 4，3），

直线lMQ：y 3，|MQ| 8，则当N(0, 5)时SMQN有最大值32. ………14分

即QM QN tan MQN有最大值为32，

此时直线l的方程为2x y 5 0. ………15分

CD1

6.如图，在四棱锥A－BCDE中，底面BCDE是直角梯形，∠BED＝90 ，BE∥CD，AB＝6，BC＝5，侧

BE3

面ABE 底面BCDE．且 BAE＝90 ． （1）求证：平面ADE 平面ABE；

（2）过点D作平面 ∥平面ABC，分别与BE，AE

交于点F，G，求△DFG的面积． B

x2y2C 7．已知椭圆C＝1(a＞b＞0)，直线l为圆O：x2＋y2＝D b2的一条切线，且经过椭圆的右焦点，记椭圆离心ab率为e．

π

（1）若直线l的倾斜角为，求e的值；

6

（2）是否存在这样的e，使得原点O关于直线l的对称点恰好在椭圆C上？若存在，请求出e的值；若不存在，请说明理由．

x2y2

81(a＞0)上两点A(x1，y1)，B (x2，y2)，x轴上两点M(1，0)，N(－1，0)．

a41

（1）若tan∠ANM＝－2，tan∠AMN＝2→→

（2）若MA＝－2MB，且0＜x1＜x2，

求椭圆的离心率e的取值范围．

9

．已知线段CD CD的中点为O，动点A满足AC AD 2a（a为正常数）． （1）求动点A所在的曲线方程；

（2）若存在点A，使AC AD，试求a的取值范围；

（3）若a 2，动点B满足BC BD 4，且AO OB，试求 AOB面积的最大值和最小值．

9．解：（1）以O为圆心，CD所在直线为轴建立平面直角坐标系

若AC AD 2a

0 aA所在的曲线不存在；

若AC AD 2a

a ，动点A

所在的曲线方程为y 0( x；

x2y2

1.

若AC AD 2a

a ，动点A所在的曲线方程为2 2

aa 3

……………………………………………… 4分

（2）由（1

）知aA，使AC AD， 则以O

为圆心，OC

a2 6

所以a

a. ……………………………………………8分

x2

（3）当a 2时，其曲线方程为椭圆 y2 1

4x2

y2 1上，且AO OB 由条件知A,B两点均在椭圆4

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，OA的斜率为k(k 0)，则OA的方程为y kx， OB的方程为y

1x k

y kx

44k 22

解方程组 x2得， x y 11222

1 4k1 4k y 1

4

4k242

同理可求得x 2，y2 …………………………………………… 10分 2

k 4k 4

22

2=

AOB面积S ………………12分 令1 k t(t

1)则S 2

令g(t)

9911225

4 9( ) (t 1) 2ttt24

254

所以4 g(t) ，即 S 1 ……………………………………………… 14分

45

当k 0时，可求得S 1,故故S的最小值为

4

S 1， 5

4

，最大值为1. ……………………………………………… 5

10.（本小题满分15分）

某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成.每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置.现将工人分成两组同时开．．．始加工，每组分别加工一种装置.设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g（x），其．

余工人加工完H型装置所需时间为h（x）（单位：小时，可不为整数）. （1）写出g（x），h（x）的解析式；

（2）比较g（x）与h（x）的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f（x）的解析式； （3）应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？ 10. 解：（1）由题知，需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为x人，（216－x）人.

∴g（x）=

30004000

，h（x）=，

(216 x) 36x

即g（x）=

20001000

，h（x）=（0＜x＜216，x∈N*）. ……………………4分 3x216 x

200010001000 (432 5x)

－=. ∵0＜x＜216，∴216－x＞0.

3x(216 x)3x216 x

（2）g（x）－h（x）=

当0＜x≤86时，432－5x＞0，g（x）－h（x）＞0，g（x）＞h（x）；

当87≤x＜216时，432－5x＜0，g（x）－h（x）＜0，g（x）＜h（x）.

2000*

,0 x 86,x N, 3x

∴f（x）= ……………………8分

1000,87 x 216,x N*. 216 x

（3）完成总任务所用时间最少即求f（x）的最小值. 当0＜x≤86时，f（x）递减，

20001000

∴f（x）≥f（86）==. ∴f（x）min=f（86），此时216－x=130.

3 86129

当87≤x＜216时，f（x）递增，

10001000

∴f（x）≥f（87）==.

216 87129

1000

∴f（x）min=f（87），此时216－x=129. ∴f（x）min=f（86）=f（87）=.

129

∴加工G型装置，H型装置的人数分别为86、130或87、129……………………15分

11.抛掷一枚骰子,当它每次落地时,向上的点数称为该次抛掷的点数,可随机出现1到6点中的任一个结果,连续

抛掷三次,将第一次,第二次,第三次抛掷的点数分别记为a,b,c,求长度为a,b,c的三条线段能构成等腰三角形的概率.

11.【解】连续抛掷三次, 点数分别为a,b,c的基本事件总数为6 6 6 216 长度为a,b,c的三条线段能构成等腰三角形有下列两种情形

①当a b c时, 能构成等边三角形,有1,1,1;2,2,2; ;6,6,6共6种可能. ②当a,b,c恰有两个相等时,设三边长为x,y,z,其中x {2,3,4,5,6},且x y;

若x 2,则y只能是1或3,共有2种可能; 若x 3,则y只以是1,2,4,5,共有4种可能; 若x 4,5,6,则y只以是集合{1,2,3,4,5,6}中除x外的任一个数,共有3 5种可能; ∴当a,b,c恰有两个相等时,符合要求的a,b,c共有3 (2 4 3 5) 63 故所求概率为P

6 6323

3

726

12.已知关于x的一元二次函数f(x) ax2 4bx 1.

（1）设集合P={1，2， 3}和Q={－1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，

求函数y f(x)在区间[1, )上是增函数的概率；

x y 8 0

（2）设点（a，b）是区域 x 0内的随机点，求y f(x)在区间[1, )上是增函数的概率.

y 0

2

12.解：（1）∵函数f(x) ax 4bx 1的图象的对称轴为x

2b

, a

要使f(x) ax2 4bx 1在区间[1, )上为增函数，

2b

1,即2b a ……………………………3分 a

若a=1则b=－1， 若a=2则b=－1，1； 若a=3则b=－1，1； ……………………5分

当且仅当a>0且

∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5

51

∴所求事件的概率为 . ……………………………7分

153

（2）由（Ⅰ）知当且仅当2b a且a>0时，

函数f(x) ax 4bx 1在区是间[1, )上为增函数，

2

a b 8 0

依条件可知试验的全部结果所构成的区域为 (a,b) a 0

b 0

a b 8 0

168

构成所求事件的区域为三角形部分. 由 得交点坐标为(,), …………11分 a

33b 2

18 8

1. ∴所求事件的概率为P 13 8 82

13.

如

图

，

已

知

椭

圆

x2y2

C:2 2 1(a b 0)的左顶点，右焦点分

ab

别为A,F，右

准线为m。圆D：x2 y2 x 3y 2 0。 （Ⅰ）若圆D过A,F两点，求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线m上不存在点Q，使 AFQ为等腰三角形，求椭圆离心率的取值范围。 （Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若直线m与x轴的交点为K，将直线l绕K顺时针旋转上，过P作圆D的两条切线，切点分别为M、N，求弦长MN的最小值。 13．解：（Ⅰ）圆x2 y2 x 9y 2 0与x轴交点坐标为，

得直线l，动点P在直线l4

A( 2,0)，F(0,1)，故a 2,c 1， …………………………………………2分

所以b

x2y2

1 …………………………………………5分 椭圆方程是：43

（Ⅱ）设直线m与x轴的交点是Q，依题意FQ FA，

a2

c a c, 即ca2

a 2c, c

ac 1 2, ca1

1 2e, e

2e2 e 1 0

0 e

1 2

（Ⅲ）直线l的方程是x y 4 0，…………………………………………………6分

圆D的圆心是(,)1322

8分 设MN与PD相交于H，则H是MN的中点，且PM⊥MD，

MD MP10分 MN 2NH 2 2 2MDPD当且仅当PD最小时，MN有最小值，

13 4|

PD最小值即是点D到直线l

的距离是d 12分

|

所以MN

的最小值是2 2514．（本小题满分16分）

设f(x) x3，等差数列 an 中a3 7，a1 a2 a3 12，记Sn=f前n项和为Tn.

1

an 1，令bn anSn，数列{的

bn

1； 3

（Ⅲ）是否存在正整数m,n，且1 m n，使得T1,Tm,Tn成等比数列？若存在，求出m,n的值，若不存在，

（Ⅰ）求 an 的通项公式和Sn； （Ⅱ）求证：Tn

说明理由.

14.解：（Ⅰ）设数列 an 的公差为d，由a3 a1 2d 7,a1 a2 a3 3a1 3d 12.

解得a1 1，d=3 ∴an 3n 2

∵f(x) x3 ∴Sn=f(Ⅱ) bn anSn (3n 2)(3n 1)

an 1=an 1 3n 1.

11111111

) ( ) ∴Tn (1

33n 13bn(3n 2)(3n 1)33n 23n 1

n1mn

(Ⅲ)由(2)知，Tn ∴T1 ,Tm ，Tn

3n 143m 13n 1

∵T1,Tm,Tn成等比数列.

m21n6m 13n 4

) ∴ ( 即 2

3m 143n 1nm

3n 4

当m 1时，7 ，n=1，不合题意；

n

133n 4 当m 2时，，n=16，符合题意；

n4

193n 4 当m 3时，，n无正整数解；

n9

253n 4 当m 4时，，n无正整数解； 16n313n 4 当m 5时，，n无正整数解； 25n373n 4 当m 6时，，n无正整数解； 36n

6m 13n 4422

1 3 3， 当m 7时，m 6m 1 (m 3) 10 0 ，则，而

nnm2

所以，此时不存在正整数m,n,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列.

∴

综上，存在正整数m=2,n=16,且1<m<n,使得T1,Tm,Tn成等比数列.

15.下表给出的是由n n(n 3,n N）个正数排成的n行n列数表，aij表示第i行第j列的一个数，表中

*

第一列的数从上到下依次成等差数列，其公差为d，表中各行，每一行的数从左到右依次都成等比数列，且所有公比相等，公比为q，已知a13 （1）求a11，d，q的值；

（2）设表中对角线上的数a11，a22，a33，…，ann组成的数列为{an}，记Tn a11 a22 a33 ann，求

使不等式2nTn 4n n 43成立的最小正整数n．

13

,a23 ,a32 1． 48

15．解：（1）根据题意可列出如下方程组：

1 2

a q , 11

4

311 2

(a d) q a 1,d ,q ……… 4分 解得 …………… 6分 1111

822

(a11 2d) q 1,

（2） ann an1 qn 1 [a11 (n 1)d] q

n 1

11

[1 (n 1) ] ()n 1

22

1

(n 1)()n， …………………… 10分

2

1111

Tn a11 a22 a33 ann 2 ()1 3 ()2 4 ()3 (n 1) ()n，

2222

1111

Tn 2 ()2 3 ()3 (n 1) ()n 1， 2222

11 [1 ()n]

112131n1n 11 (n 1)(1)n 1， 两式相减得Tn 1 () () () (n 1)() 122222221 2

Tn 3

n 3

， …………………… 14分 2n

于是原不等式化为4n 3 2n 40 0，即(2n 5)(2n 8) 0， 2n 8， n 3

故使不等式成立的最小正整数为4． …………………… 16分

16.（本小题满分16分）

已知数列 an 中，a1 2，a2 3，其前n项和Sn满足Sn 1 Sn 1 2Sn 1 其中（n 2，n N*）． （1）求数列 an 的通项公式；

n（2）设bn 4n ( 1)n 1 2a(

，试确定 的值，使得对任意n N*，都有bn 1 bn成 为非零整数，n N*）

立．

16.解：（1）由已知， Sn 1 Sn Sn Sn 1 1（n 2，n N），

*

即an 1 an 1（n 2，n N），且a2 a1 1．

∴数列 an 是以a1 2为首项，公差为1的等差数列． ∴an n 1． （2）∵an n 1，∴bn 4n ( 1)n 1 2n 1，要使bn 1 bn恒成立，

n 1nn 2

∴bn 1 bn 4 4 1 2 1 n

∴3 4 3 1

n 1

n

n 1

*

2n 1 0恒成立，

n 1

2n 1 0恒成立， ∴ 1

n 1

2n 1恒成立．

（ⅰ）当n为奇数时，即 2

恒成立，

n 1

当且仅当n 1时，2有最小值为1， ∴ 1．

n 1

（ⅱ）当n为偶数时，即 2恒成立，

当且仅当n 2时， 2

n 1

有最大值 2， ∴ 2．

即 2 1，又 为非零整数，则 1．

*

综上所述，存在 1，使得对任意n N，都有bn 1 bn

17．（本题满分16分）

如图，在直角坐标系xOy中，有一组底边长为an的等腰直角三角形AnBnCn(n 1,2, )，底边．．．．BnCn依次放置在y轴上（相邻顶点重合），点B1的坐标为(0,b)，b 0。 （Ⅰ）若A1,A2,A3,

,An在同一条直线上，求证数列{an}是等比数列；

（Ⅱ）若a1是正整数，A1,A2,A3,直角三角形面积之和不大于

,An依次在函数y x2的图象

上，且前三个等腰

43

，求数列{an}的通项公式。 2

aa

17．解：（Ⅰ）An点的坐标依次为A1(1,b 1)，

22

aa

A2(2,b a1 2)，…，

22

ana

,b a1 an 1 n)，…， ……………………………2分 22

aaaa

则AnAn 1 (n 1 n,n 1 n)，n 1,2,3,…，

2222An(

若A1,A2,A3,即(

,An共线；则An 1An//AnAn 1，

anan 1anan 1aaaa , )//(n 1 n,n 1 n)， 22222222

即(an an 1)(an 1 an) (an an 1)(an 1 an) 0， ……………………………4分

22(anan 1 an 1an 1 an anan 1) (anan 1 an 1an 1 an anan 1) 0， 2an an 1an 1，

所以数列{an}是等比数列。 ……………………………………………6分 （Ⅱ）依题意b a1

ana

(n)2， 22

aa

b a1 an 1 an n 1 (n 1)2，

22

a an(an 1 an)(an 1 an)

两式作差，则有：n 1， ………………………8分 24

an 1

又an an 1 0，故an 1 an 2， ……………………………………………10分 即数列{an}是公差为2的等差数列；此数列的前三项依次为

a,a 2,a 4，

a2(a 2)2(a 4)243

由，可得2 a 2， 4442

故a 1，或a 2，或a 3。 ………………………………………12分

数列{an}的通项公式是an 2n 1，或an 2n，或an 2n 1。 ………14分 由b

a1a1

(1)2知，a 1时，b 不合题意； 224a 2时，b 0不合题意；

3

a 3时，b 0；

4

所以，数列{an}的通项公式是an 2n 1。 ……………………………………16分

18.已知a1 b1 1,an 1 bn n,bn 1 an ( 1)n,n N*。

⑴求a3,a5的值； ⑵求通项公式an； ⑶求证：

111 a1a2a3

113 。 an4

18.解：⑴a3 2,a5 5；

⑵由题意，a3 a1 1,a5 a3 3,

a2n 1 a1

,a2n 1 a2n 3 (2n 3)，

(1 2n 3)(n 1)

n2 2n 2；

2

同理，a2n n2 n，

n2 2n 5

n为奇数 4； an 2

n nn为偶数 42⑶当n 3时，

1a2n 1

11111

( )， 2

n 2n 2n(n 2)2n 2n

而

1111 ,(n N*)， a2nn(n 1)nn 1

111 a1a2a311 ( a1a3

1a2n1

1 )a2n

11

) ( a2n 1a2a2

1111111

(1 ) (1 ) a1a322n 1nn 1

1313

1 1

244

19.（本小题满分16分）

已知函数f(x)

1 a lnx

,a R. x

（I）求f(x)的极值；

（II）若lnx kx 0在(0, )上恒成立,求k的取值范围；

（III）已知x1 0,x2 0,且x1 x2 e,求证:x1 x2 x1x2. 19．解：（Ⅰ）

f/(x)

a lnxa/

,令得 x ef(x) 02

x

当x (0,ea),f/(x) 0,f(x)为增函数； 当x (ea, ),f/(x) 0,f(x)为减函数， 可知f(x)有极大值为f(ea) e a

（Ⅱ）欲使lnx kx 0在(0, )上恒成立，只需设g(x)

lnx

k在(0, )上恒成立， x

lnx

(x 0). x

1e

由（Ⅰ）知，g(x)在x e处取最大值，

k

1 e

（Ⅲ）

e x1 x2 x1 0，由上可知f(x)

lnx

在(0,e)上单调递增， x

ln(x1 x2)lnx1x1ln(x1 x2)

即 lnx1 ①，

x1 x2x1x1 x2

同理

x2ln(x1 x2)

lnx2 ②

x1 x2

两式相加得ln(x1 x2) lnx1 lnx2 lnx1x2

x1 x2 x1x2

20．（本小题满分16分）

已知函数f(x) ax lnx，x (1,e)，且f(x)有极值． （1）求实数a的取值范围；

3

(2）求函数f(x)的值域；

（3）函数g(x) x x 2，证明： x1 (1,e)， x0 (1,e)，使得g(x0) f(x1)成立．

20．解：（1）由f(x) ax lnx求导可得：

11

令f'(x) a 0 xx1111

可得a ∵x (1,e) ∴ ( 1, ) ∴a ( 1, ) …… 2分

xxee

又因为x (1,e)

所以，f(x)有极值 所以，实数a的取值范围为( 1, )

． …………………… 4分

e

11

（2）由（Ⅰ）可知f(x)的极大值为f( ) 1 ln( )-

aa

又∵ f(1) a，f(e) ae 1

111

…………………… 6分 由a ae 1，解得a 又∵ 1

1 e1 ee11

∴当 1 a 时，函数f(x)的值域为(ae 1, 1 ln( )]

a1 e

111

a 时，函数f(x)的值域为(a, 1 ln( )]． …………………… 10分 当

1 eea

（3）证明：由g(x) x3 x 2求导可得g'(x) 3x2 1

f'(x) a

33

令g'(x) 3x2 1 0，解得x 或x

33

又∵x (1,e) (, ) ∴g(x)在(1,e)上为单调递增函数 …………………… 12分

3

∵ g(1) 2，g(e) e3 e 2

∴g(x)在x (1,e)的值域为( 2,e3 e 2) …………………… 14分

13

∵ e e 2 1 ln( )， 2 ae 1， 2 a

a

11

∴(ae 1, 1 ln( )] ( 2,e3 e 2)， (a, 1 ln( )] ( 2,e3 e 2)

aa

∴ x1 (1,e)， x0 (1,e)，使得g(x0) f(x1)成立． ………………… 16分

令g'(x) 3x 1 0，解得x

2

21．（本小题满分16分）

x 1

已知函数f(x) 2定义在R上.

（Ⅰ）若f(x)可以表示为一个偶函数g(x)与一个奇函数h(x)之和，设h(x) t，

p(t) g(2x) 2mh(x) m2 m 1(m R)，求出p(t)的解析式；

2

（Ⅱ）若p(t) m m 1对于x [1,2]恒成立，求m的取值范围； （Ⅲ）若方程p(p(t)) 0无实根，求m的取值范围.

21.解：（Ⅰ）假设f(x) g(x) h(x)①，其中g(x)偶函数，h(x)为奇函数，

则有f( x) g( x) h( x)，即f( x) g(x) h(x)②，

由①②解得g(x)

f(x) f( x)f(x) f( x)

，h(x) .

22

∵f(x)定义在R上，∴g(x)，h(x)都定义在R上.

f( x) f(x)f( x) f(x)

g(x)，h( x) h(x).

22

∴g(x)是偶函数，h(x)是奇函数，∵f(x) 2x 1，

∵g( x)

f(x) f( x)2x 1 2 x 11

2x x， ∴g(x)

222f(x) f( x)2x 1 2 x 11

h(x) 2x x.

2221x

由2 x t，则t R，

2

12112x2x2x2

平方得t (2 x) 2 2x 2，∴g(2x) 2 2x t 2，

222∴p(t) t2 2mt m2 m 1.

315

（Ⅱ）∵t h(x)关于x [1,2]单调递增，∴ t .

24

315

∴p(t) t2 2mt m2 m 1 m2 m 1对于t , 恒成立，

24

t2 2 315

∴m 对于t , 恒成立，

2t 24 t2 212

令 (t) ，则 (t) (2 1)，

2t2t

t2 212 315 315

∵t , ，∴ (t) (2 1) 0，故 (t) 在t , 上单调递减，

2t2t 24 24 31717

∴ (t)max () ，∴m 为m的取值范围.

21212

（Ⅲ）由（1）得p(p(t)) [p(t)]2 2mp(t) m2 m 1，

若p(p(t)) 0无实根，即[p(t)]2 2mp(t) m2 m 1①无实根，

方程①的判别式 4m2 4(m2 m 1) 4(m 1). 1°当方程①的判别式 0，即m 1时，方程①无实根. 2°当方程①的判别式 0，即m 1时，

方程①有两个实根p(t) t2 2mt m2 m 1 m

即t 2mt m 1 0 ②，

只要方程②无实根，故其判别式 2 4m 4(m 1 0，

即得 1

0③，且 1 0 ④，

∵m 1，③恒成立，由④解得m 2， ∴③④同时成立得1 m 2．

综上，m的取值范围为m 2.

22．（本题满分16分）

已知函数f

x

2

2

2

2

2

1

（Ⅰ）设t，求t的取值范围；

（Ⅱ）关于x的方程f x m 0，x 0,1 ，存在这样的m值，使得对每一个确定的m，方程都有唯一解，求所有满足条件的m。

（Ⅲ）证明：当0 x 1时，存在正数

时的最小正数 。

22.解：（Ⅰ）函数定义域x

1,1 ，

fx 4

x

，成立的最小正数 2，并求此

t2 2 t 0t 2，

……………………………………………4分

（Ⅱ）f

x

2

1，由（Ⅰ）

t

32

f x g t t，t ，

23t2'

g t 2t 0，

g t 单调递增，

2

所以f x 2 。

设x1,x2 0,1 ,x1 x2，

2

则1

x12

1 x2，

t1

t2。

所以，存在m值使得对一个m 2 ，方程都有唯一解x

0 0,1 。………10分

f

x

4

2，

2

2

2

1

2

1

1

2x2x

2 fx4

以下证明，对0 2的数 及数 0f x x 2x22

反之，由，亦即x成立， 2 fx

fx 4

x

0 x 1 不成立。

因为2 0，x 0,0

f 0 2

，

但f 0 8，这是不可能的。这说明 是满足条件的最小正数。

fx

4

x

x 0,1 恒成立，

x 2x2

即恒成立， fx

∴

f x f(x)

4，最小正数 =4 。 2 22x max max

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