概率统计(2010A)试题及答案

概率论与数理统计 试题及答案

考试出题专用纸 考试课程名称： 试卷类别 [A] √ [B] 概率统计试卷(A)

教务处制 学时 56

考试方式： 开卷、闭卷 笔试、口试、其它 闭卷、 闭卷 考试内容 ：考试 时间： 2010 年 7 月

小题， 一、填空题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) 填空题( 1.已知随机事件 A 的概率 P ( A) = 0.5 ,随机事件 B 的概率 P ( B ) = 0.6 ,及条件 概率 P ( B | A) = 0.8 ,则 P ( A + B ) = .

使用班级 115081,2

2.已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为2 1 2 2

f ( x) = Ce x

2

+ 2 x 1

,则 C = .

.

3. X ~ N (µ 1 , σ ), Y ~ N (µ 2 , σ ), 相互独立, X Y 服从分布为 4.设 X 为随机变量， 若已知 EX = 2, D

X 2

2 求 = 1 , E ( X 2) =

.

使用学期 2010 上

5. 设总体 X ~ N ( µ ,σ 2 ) , X 1 , X 2 , , X n 为其样本, L

X=

1 n 1 n X i , Y = 2 ∑ ( X i X ) 2 ,则 Y ~ ∑ n i =1 σ i =1

分布.

二、选择题(本题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分) 小题，

任课教师 罗文强

1. 已知 P{ X = k } = c

1

λ

k

k!

, (k = 1, 2, L) , λ > 0 ,则 c 的值为( )

A. e λ

B. eλ)

C. e λ 1 ;

D. e λ 1

2. 已知随机变量 X 服从二项分布, 且 E(X)=2 .4、D(X)=1.44, 则二项分布 的参数 n , p 的值为(

教研室主任 审核签字

A . n = 4, p= 0.6 ;

B. n = 6, p= 0.4 ; C. n = 8, p= 0.3 ;22

D. n = 24, p= 0.1 .

3. 总体 X ~ N ( µ , σ ) ,其中 σ 已知，当置信度 1 α 保持不变时，如果样本容 量 n 增大，则 µ 的置信区间( A. 长度变小； B. 长度变大； ). C. 长度不变 ； D. 长度不一定不变. )

4. 下列函数中可以做为某个二维随机变量的密度函数的是( A. f1 ( x, y ) = sin( x ),

( x, y ) ∈ R 2

B. f 2 ( x, y ) =

e

, x > 0, y > 0, 其他. 0,

( x+ y )

1 e ( x + y ) , x > 0, y > 0 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, C. f 3 ( x, y ) = D. f 4 ( x, y ) = 2 其他. 1, 0, 其他. 5. 设 A,B, 是三个随机事件，P(A)=P(B)=P(C)= C

1 1 ,P(AB)= ,P(BC)=P(AC)=0, 4 8)

则 A, B,C 三个随机事件中至少有一个发生的概率是(

3 ; A. 4

B.

3 ; 8

C.

5 ; 8

1 D. . 8

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三、 本题满分 10 分)甲、乙两台机床加工同种零件，出现次品的概率分别为 (0.03 和 0.02, 甲机床加工的零件比乙机床多一倍， 且两机床加工的零件放在一起， (1)求随机取出的零件是合格品的概率；(2)若取出的零件是次品，求它是乙机床 加工的概率. ( 四、 本题满分 10 分)若随机变量 X 的概率密度为： f ( x) =

cx 3 , 0 < x < 1,

0 其他. (1) 确定常数 c; 求数 a 使 P{ X > a} = P{ X < a} ; 求数 b, P{X>b}=0.01. (2) (3) 使

( 五、 本题满分 10 分)如果(X,Y)的概率分布如下表： X 0 1 Y 1/3 1 1/6 α 2 1/9 3 1/18 β 问 α 与

β 取什么值时，X、Y 才相互独立. ( 六、 本题满分 10 分)设随机变量(X,Y)的概率密度为

1, | y |< x,0 < x < 1 f ( x, y ) = 其他 0,(1)求 f X ( x), fY ( y ) ; (2)求 E ( X ), E ( XY ), D( X ) . ( 设 若样本来自 N (0, σ 2 ) 七、 本题满分 10 分) X 1 , X 2 ,L , X n 是容量为 n 的样本， 总体，求 σ 的极大似然估计量.2

准差 s = 6.16 毫米，已知 X ~ N ( µ ,σ 2 ) . (1) 求 µ 的双侧置信区间.

八、 本题满分 10 分) ( 从一批零件中随机地抽取 16 个，测得其长度 X 的平均值 x = 403 毫米，样本标

(α = 0.05)

(2) 据此样本能否认为这批零件的平均长度为 400 毫米?

u0.05 = 1.65 , u0.025 = 1.96 , t0.05 (16 ) = 1.7459 ,

t0.025 (16 ) = 2.1199 , t0.025 (15 ) = 2.1315

(α = 0.05) t0.05 (15 ) = 1.7531

,

九、 本题满分 5 分)已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 ρ = (

1 ,且 EX = EY , 2 1 3 DX = DY ,利用切比雪夫不等式证明： P ( X Y ≥ DY ) ≤ . 4 4

十、 本题满分 5 分)简单列举一个概率统计的应用实例。 (

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概率统计（2010A）试题答案

一、1. 0.7；2. C

1

2

；3. N( 1 2, 1 22)；4. 4；5.

2(n 1)

二、1. D; 2, B; 3. A; 4, B; 5,C.

三、解：设事件A，B=“取出的零件为次品”，则由已1与A2分别表示“取出的是甲、乙机床加工的零件”知

条

件

，知

P(A2

1)

3

,

P(A2)

13

,

P(BA1) 0.03

,

2

(1)P(B)

P(Ai)P(BAi

) 2 0.03 1 0.02 0.08 0.027 i 1

333所以 P() 1 P(B) 1 0.02 7

0.

9 73（2） P(AP(A2B)2B)

P(B) p(A2)P(BA2)P(B) 0.02

1

4

四、解：（1）因为 1

f(x)dx 1

cx3c

dx

4

，所以c＝4； （2）0＜a＜1，则有 P{X a} f( ax)dx 1a4x3dx 1 a41

a 1 4

P{X a} f(x)dx 04x3dx a4

； aa

2 （3）0＜b＜1，P{X b}

b

f(x)dx 1

4x3dx 1 b4 0.011/4

．

b

b 0.99

五、解：通过联合分布律可分别求出（X，Y）的边缘分布律为

由独立的定义，p10 p 2 3 (19 ) p1202 9 9， 再由概率分布律性质， 1 13 (13 ) 13 128

3 9 9

1

9

即当 29, 1

9

时，可证明pi p j pij，从而X、Y是相互独立．

六、解：（1）fX(x)

f(x,y)dy x

x

1 dy 2x,(0 x 1)，

P(BA2) 0.02

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fY(y)

11 dx 1 y,(0 y 1) y

； f(x,y)dx

1

1 dx 1 y,( 1 y 0) y

10

（2）E(X)

xfX(x)dx 2x2dx

2， 3

1

x0

x

E(XY)

E(X)

2

xyf(x,y)dxdy dx

1

3

xydy 0；

2

2

xfX(x)dx

11 2 1

2xdx ，D(X) 022 3 18

七、解：X~N(0, 2) f(x, 2)

n

12

e

n

x22 2

∴L(xi, )

2

i 1

xi22

nxi2 1

nexp 2 2

i 1

n

xi2n2

∴lnL(xi, ) n ln 2

2i 12

2

n

dlnL(xi, 2)xi2n111n2∴ 2 0，∴ Xi2 222 2

ni 1d 2 2( )i 12

八、

解: (1) 的置信度为1 的置信区间为：( t (n 1)

2

SS, t (n 1))= nn2

(399.72, 406.28)

(2) H0: 400， 样本值t

九、证：E(X Y) 0，D(X Y) DX DY 2cov(X,Y)

403 400

1.9481 2.1315，接受原假设

6.16/3DY4

，由切比雪夫不等式：

P(X Y DY)

D(X Y)3

DY4

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f33j.html