污水处理问题

污水处理问题

兰州交通大学

2008年大学生数学建摸竞赛论文

题目： 污水处理问题

姓名 袁恺瞳

参赛人1： 学院 数理学院

班级 信计06

姓名 郝文晶

参赛人2： 学院 经管学院

班级

参赛人3： 姓名学院 经管学院

班级 国贸06

论文编号：

污水处理问题

污水处理问题

摘要：

污水处理问题属于优化类模型，本文先建立了一般情况下的使江面上所有地段的水污染达到国家标准和使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL模型，然后通过具体问题对模型求解。求解模型采用了求解PL模型的经典求解算法 — 单纯形法，通过专业求解PL模型得Lingo软件使计算实现此算法。使江面上所有地段的水污染达到国家标准的PL模型求解结果为：污水处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为41.01 mg/l、21.06 mg/l和50.00 mg/l时，江面上所有地段的水污染达到国家标准，且最小处理费用为489.67万元；使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL模型求解结果为：在处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为63.33 mg/l、60 mg/l和50 mg/l时，为三个居民点上游的水污染达到国家标准，且最小处理费用为183.36万元。在对模型结果进行分析中，得知污水处理厂2在使江旁边居民点上游的水污染达到国家标准的污水处理的PL模型中可不工作；污水处理厂3在两种模型中均不工作。最后本文结合求解结果，对模型结果和模型建立过程中提到的：由于江水的自净能力，第n （1 n 1 m）个污水处理厂对面江水的污水浓度总是大于第n+1居民点上游的污水浓度，即江面污水的浓度总是在污水处理厂对面时达到一个较大值，进行了检验。

本模型是针对一般问题建立的，因此模型自壮性好，应用广泛。但是，模型表达式复杂，若为工厂较多情况下，求解需对模型进行标准化，使得模型效益降低。

关键词：优化 LP模型 单纯形法 Lingo

污水处理问题

一．问题提出

如下图,有若干工厂的污水经排污口流入某江，各口有污水处理站,处理站对面是居民点。工厂1上游江水流量和污水浓度，国家标准规定的水的污染浓度,以及各个工厂的污水流量和污水浓度均已知道。设污水处理费用与污水处理前后的浓度差和污水流量成正比,使每单位流量的污水下降一个浓度单位需要的处理费用(称处理系数)为已知.处理后的污水与江水混合,流到下一个排污口之前,自然状态下的江水也会使污水浓度降低一个比例系数(称自净系数),该系数可以估计.试确定各污水处理站出口的污水浓度,使在符合国家标准规定的条件下总的处理费用最小

.

先建立一般情况下的数学模型,再求解以下的具体问题:

12

设上游江水流量为1000 10lmin ,污水浓度为0.8 mg/l,3个工厂的污

水流量均为

5

50 10min

,污水浓度(从上游到下游排列)分别为

100,60,50(mg/l),处理系数均为1万元((1012min) (mg/l)),3个工厂之间的两段江面的自净系数(从上游到下游)分别为0.9和0.6.国家标准规定水的污染浓度不能超过1mg/l.

(1)

为了使江面上所有地段的水污染达到国家标准,最少需要花费多

污水处理问题

少费用?

(2)如果只要求三个居民点上游的水污染达到国家标准最少需要花费多少费用?

二．符号说型和模型分析

1 . 符号说明

i—某江上有到下游的工厂、处理厂和居民点的序号；

F—总污水处理费用；

Fi—第i个处理厂的污水处理费用； Ls—某江上游江水流量； Li—第i个工厂排放的污水流量；

s—某江上游污水浓度；

b—国家标准规定的水的污染浓度；

pi—第i个工厂排放的污水浓度； ci—第i个污水处理厂出口的污水浓度； si—第i个居民点上游的污水浓度； ri—第i个污水处理厂对面江水的污水浓度；

Ci—第i个处理厂的处理系数；

。 Ki—第i—1到i工厂之间的江面自净系数（此时i 2）2 . 模型分析

此问题属于优化类模型，目标为使污水总的处理费用最小，约束条件为江面的污水浓度。

（1）：各居民点上游的江水污水浓度

居民点上游的江水污水浓度为江的上游污水和上游污水处理厂排出的污水浓度流到居民点时的污水浓度。因此，要求某一居民点上游的江水污水浓度，可先求江的上游污水流到居民点时的浓度，和上游每个污水处理厂排出的污水到居民点时的浓度，最后将其相加即可得次居民点上游的江水污水浓度。

污水处理问题

（2）：各污水处理厂对面江水的污水浓度

各污水处理厂对面江水的污水浓度为此污水处理站对面居民点上游污水和此污水处理站排出的污水混合之后的污水浓度。因此，当已求出各居民点上游的污水浓度时，某污水处理厂对面江水的污水浓度，可将其对面居民上游污水和其污水处理厂排出的污水混合，其浓度即为此污水处理厂对面江水的污水浓度。

（3）：各污水处理站出口的污水浓度

各无数处理站出口的污水浓度受污水处理费用和国家规定的水的污染浓度，它直接影响江面的污水浓度。根据问题各污水处理站出口的污水浓度为在

污水处理问题

江面的污水浓度达到国家规定的水的污染浓度情况下，使处理费用最小情况下的污水处理口的污水浓度。 （4）：污水处理费用

在江面污水浓度达到国家标准时，可知其对应的污水处理站口的污水浓度，其对应工厂的污水排放的流量和浓度已知，根据污水处理费用为处理系数、处理前后的浓度差和污水流量三个之积，即可求出污水处理费用。

三．模型假设

（1）：江水的流量稳定，即江水和某一污水处理厂排放的污水混合后，其流量在到下一个污水处理厂之前保持不变。

（2）：江水的污染品质是稳定的，即江水的污水浓度只受上游污水、处理厂污水和自净系数的影响。

（3）：江的上游水的污染浓度是达到国家标准的。

四．模型建立

若江旁共有m个工厂、污水处理厂及居民点，且m个工厂的污水皆排入此江。 （1）：居民点上游的污水浓度：

n 1

L Kssi 1

江的上游污水流到第n居民点时的污水浓度为： n 1L Lsii 1

第i（1 i n 1）个污水处理厂的污水流到第n个居民点时的污水浓度为：

n 1

L Kicii 1

j i

L Lsii 1

则第n（1 n m）个居民点上游的污水浓度为：

n 1n 1n 1

L K (L K)ssi 1icij 1

i 1i 1j i

sn n 1

L Lsii 1

（2）：污水处理厂对面江水的污水浓度：

污水处理问题

则第n （1 n m）个污水处理厂对面江水的污水浓度为：

n 1n 1n 1

L K (L K) L ssi 1icij 1ncn

i 1i 1j i

rn L Lsii 1

（3）：污水处理厂的污水处理费用：

根据污水处理费用为处理系数、处理前后的浓度差和污水流量三个之积，可得第i个污水处理厂的污水处理费用：F C (

iipi

) L，则总污水处理费用：

cii

m

F C ( ) L

ipiciii 1

模型 一 ：为使江面所有地段的水污染达到国家标准，最少需要花费费用： 由于江水的自净能力，可以知道在第n （1 n 1 m）个污水处理厂对面江水的污水浓度总是大于第n+1居民点上游的污水浓度，即江面污水的浓度总是在污水处理厂对面时达到一个较大值。因此，要使江面所有地段的水污染达到国家标准，只需让各个污水处理厂对面江水的污水浓度达到国家标准即可。由（2）已知污水处理厂对面江水的污水浓度，则数学模型为：

m

miFn C ( L)

ipiciii 1

n 1n 1n 1

L K (L K) L

ssi 1icij 1ncn

i 1i 1j i

s..t rn (2 n m)

L Lsii 1

L L r1L L

s1

(1 n m)

rnb

0 ci pi

模型二：为使居民点上游水污染达到国家标准，最少需要花费费用

是达到国家标准的，可在模型中不考虑。由(1)已知居民点上游的污水浓度，则数学模型为：

污水处理问题

m

minF C ( ) L

ipiciii 1

n 1n 1n 1

L K (L K)ssi 1icij 1

i 1i 1j i

sn (2 n m)

n 1 s..t

L Lsii 1

sn (b2 n m) 0

cipi

五．模型求解

可知模型一和模型二皆属于线性规划模型，线性规划模型用单纯形法。 （一）、带入具体数据，得具体问题的数学模型为： 模型一：

minF 1 (100 ) (60 ) (50 ) 5

c1c2c3

5 1000 0.8

s..t r1

1000 5

(5 1000 0.8) 0.9 5

r2

1000 5 5

(5 1000 0.8) 0.9 0.6 5 0.6 5

r3

1000 5 5 5

r1 1

r2 1 r3 10 c1 1000 c2 600 c3 50

将上面模型化为标准形式：

污水处理问题

minF 5 c1 5 c2 5 c3 1050

s..t 0.004975 c1 0.796 1

0.00446 c1 0.00495 c2 0.71287 1

0.00266 c1 0.00296 c2 0.00493 c3 0.42562 1

0 c1 100

0 c2 60

0 c3 50

模型二：

minF 1 (100 ) (60 ) (50 ) 5

c1c2c3 (5 1000 0.8) 0.9 s..t s2

1000 5

s3

(5

1000 0.8) 0.9 0.6 5

1000 5 5

0.6

s2 1 s3 1

0 c1 1000 c2 600 c3 50

将上面模型化简为标准形式：

minF 5 c1 5 c2 5 c3 1050

s..t 0.004478 c1 0.71642 1

0.00267 c1 0.00297 c2 0.42772 1

0 c1 100 0 c2 60

0 c3 50

（二）、应用单纯形法求解的计算步骤： 1、把一般得LP问题化为标准形式；

2、建立初始单纯形法表,求出初始得基本可行解x(0)及对应的目标函数值z0； 3、判别现行解是否是最优解。若是，计算结束；否则转到第4步。判别得

污水处理问题

方法：

（1）计算检验数rj cj zj，其中zj cBTYj,j 1,2,...,n； （2）若所有的rj 0,j 1,2,...,n，则现行解为最优解。 4、确定进基向量。方法是： 计算minrjrj 0 rk，则ak进基。 5、确定主元素和离基向量。

若yik 0,i 1,2,...,m，则LP问题得可行域R无界，LP问题没有有限得最优值，计算结束；否则计算

min

y

i0

yik

yjk 0

yi0

yrk

这时，主元素为yrk，ar应为离基。

6、以yrk为主元素，进行换基计算，求得一个新得基本可行解，然后返回第3步。具体做法：

（1）用yrk除以第r行，使xk得系数变为1；

（2）将r行乘以适当倍数加到其他行，使其他行中的xk得系数都变为0。 简言之，即将ak化为单位向量。使主元素处为1，其余元素均为0。 （三）计算机算法的实现，这里应用专业PL软件Lingo，通过编程求解模型。 模型一（程序见附录及完整结果1），主要结果：

Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 489.6743 Variable Value Reduced Cost PC1 41.00503 0.000000 PC2 21.06012 0.000000 PC3 50.00000 0.000000

由此可知：在污水处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为41.01 mg/l、21.06 mg/l和50.00 mg/l时，江面上所有地段的水污染达到国家标准，且最小处理费用为489.67万元；

污水处理问题

由以上求解结果，根据模型，可以求出江水面上所有地段的水污染浓度，具体图为：

由此图可直观看到，见面的水污染浓度均达到国家标准。 模型一（程序见附录及完整结果2），主要结果：

Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 183.3631 Variable Value Reduced Cost PC1 63.32738 0.000000 PC2 60.00000 0.000000 PC3 50.00000 0.000000

由此可知：在处理厂1、处理厂2和处理厂3出口的浓度依次为63.33 mg/l、60 mg/l和50 mg/l时，为三个居民点上游的水污染达到国家标准，且最小处理费用为183.36万元。

由以上求解结果，根据模型，可以求出江水面上所有地段的水污染浓度，具体图为：

污水处理问题

六．结果分析与检验

在为使江面所有地段的水污染达到国家标准的模型求解结果，可知污水处理厂3处于停止工作状态，即工厂3排放的污水直接排入河流，此时污水处理厂3的污水处理费用为0。

在为使居民点上游水污染达到国家标准的模型求解结果，可知污水处理厂2和污水处理厂3处于停止工作状态，即工厂2和工厂3排放的污水直接排入河流，此时污水处理厂2和污水处理厂3的污水处理费用为0。

下面是用matlab画出的模型一和模型二求解结果污水处理厂对面江水污染浓度和其下一个对面居民点上游江水浓度的图：

模型一（程序见附录三）：

模型二（程序见附录四）：

11.11.21.31.41.51.61.71.81.92

由图可以直观看到，处理厂对面的江水污水浓度总是大于其下一个居民点上游污水浓度。由于在为使江面水污染达到国家标准，则应是每个处理厂对面江水

污水处理问题

的污染浓度达到国家标准1mg/l时，且由于江水自净能力，使其浓度到达下一个居民点对面时进一步降低。且由于江水的流量(1000 1012min)远大于工厂排出的污水的流量(5 10

12

min)，当居民点上游的污水与其对面工厂排出的污水混合达

到国家标准时，污水处理厂就可以不工作。正是这样模型一和模型二中污水处理厂3和污水处理厂2不工作了。模型二中污水处理厂三的下游居民点已对其排污不构成约束。因此，在模型二中，污水处理厂3也不工作。

七．模型评价与推广

（一）、模型评价

（1）、本模型是针对一般问题建立的，因此模型自壮性好。

（2）、本模型是建立在一般情况下污水处理问题的，因此模型的应用广泛 （3）、模型表达式复杂，若为工厂较多情况下，求解需对模型进行标准化，使得模型效益降低。但在运用Lingo软件求解时，其有集合输入功能，可大量简化其求解。

（4）、在模型求解中，对模型标准化中，变量的系数采用了近似值，使得求解精度方面稍有欠缺。

（二）误差分析

在对江水自净方面，本文根据问题采用了可以评估的江面区段的自净系数。事实上，污染物的降解量与流经时间t、污染物的量C直接相关。计算t时间后末

dC

点的污染物量， KC表示，两边对t积分得C末 Ce-Kt，其中C末

dt

为时间末点的污染量。采用微分方程的方法可使求解精度提高。

（三）模型推广

本模型实际解决的是一个最优化问题。在对污水处理问题上，本文做了合理的假设，并对各个概念的理解在模型分析中进行了详细的解释。在满足本文假设的情况下，对模型中需要的已知量进行测量或评估，即可应用此模型。但采用单纯形法求解在大量数据下降低了模型的使用效率，因此推荐使用Lingo软件。它的表达语言接近LP模型，且有集合输入的功能，可大量简化模型求解，提高模型使用效率。

八．参考文献

[1]唐焕文，贺明峰.数学模型（第三版）.北京.高等教育出版社.2006. [2] 姜启源.数学模型（第三版）.北京.高等教育出版社.2003.

污水处理问题

[3] 费培之，《数学模型实用教程》.成都.四川大学出版社.1998年. [4] 张志让等.《数学实验》.北京.科学出版社.1999年.

[5] 云舟工作室.《MATLAB 6 数学建模基础教程》.北京人民邮电出版社.2001年.

九．附录

附录1： MODEL:

min=-5*pc1-5*pc2-5*pc3+1050; 0.004975*pc1+0.796<=1;

0.00446*pc1+0.00495*pc2+0.71287<=1;

0.00266*PC1+0.00296*PC2+0.00493*PC3+0.42562<=1; pc1<=100; pc2<=60; pc3<=50; PC1>0; PC2>0; pc3>0; END

Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 489.6743

Variable Value Reduced Cost PC1 41.00503 0.000000 PC2 21.06012 0.000000 PC3 50.00000 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price 1 489.6743 -1.000000 2 0.000000 99.48734

污水处理问题

3 0.000000 1010.101 4 0.1564687 0.000000 5 58.99497 0.000000 6 38.93988 0.000000 7 0.000000 5.000000 8 41.00503 0.000000 9 21.06012 0.000000 10 50.00000 0.000000 附录2： MODEL:

min=-5*pc1-5*pc2-5*pc3+1050; 0.004478*pc1+0.71642<=1;

0.00267*pc1+0.00297*pc2+0.4277<=1; pc1<=100; pc2<=60; pc3<=50; PC1>0; PC2>0; pc3>0; END

Global optimal solution found at iteration: 3 Objective value: 183.3631

Variable Value Reduced Cost PC1 63.32738 0.000000 PC2 60.00000 0.000000 PC3 50.00000 0.000000

污水处理问题

Row Slack or Surplus Dual Price 1 183.3631 -1.000000 2 0.000000 1116.570 3 0.2250159 0.000000 4 36.67262 0.000000 5 0.000000 5.000000 6 0.000000 5.000000 7 63.32738 0.000000 8 60.00000 0.000000 9 50.00000 0.000000 附录3：a=[1,2];

b=[1,1]; c=[0.9,0.6]; plot(a,b); hold on plot(a,c) a=[1,2]; b=[1,1]; c=[0.9,0.6]; plot(a,b,'*'); hold on plot(a,c,'+')

附录4：a=[1,2];

b=[1.11,1.29]; c=[1,0.78]; plot(a,b); hold on plot(a,c); a=[1,2]; b=[1.11,1.29];

污水处理问题

c=[1,0.78]; plot(a,b,'*'); hold on plot(a,c,'+')

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f2vj.html