题型最全的递推数列求通项公式的习题

高考递推数列题型分类归纳解析

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。 类型1 an 1 an f(n)

解法：把原递推公式转化为an 1 an f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1. 已知数列 an 满足a1

11，an 1 an 2，求an。 2n n

变式: 已知数列{an}中a1 1，且a2k=a2k－1+(－1)K, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,…….

（I）求a3, a5；（II）求{ an}的通项公式. 类型2 an 1 f(n)an 解法：把原递推公式转化为例1:已知数列 an 满足a1 例2:已知a1 3，an 1

an 1

f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2n

an，求an。 ，an 1

3n 13n 1 an (n 1)，求an。 3n 2

变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{an}，满足a1=1，an a1 2a2 3a3 (n 1)an 1 (n≥2)，则{an}的通项an 类型3 an 1 pan q（其中p，q均为常数，(pq(p 1) 0)）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an 1 t p(an t)，其中t 例:已知数列 an 中，a1 1，an 1 2an 3，求an. 变式:（2006，重庆,文,14）

在数列 an 中，若a1 1,an 1 2an 3(n 1)，则该数列的通项an _______________ 变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分） 已知数列 an 满足a1 1,an 1 2an 1(n N*). （I）求数列 an 的通项公式； （II）若数列{bn}滿足4142 4n（Ⅲ）证明：

b 1b 1

b 1

n 1 1

n 2___

q

，再利用换元法转化为等比数列求解。 1 p

(an 1)bn(n N*),证明：数列{bn}是等差数列；

an1a1a2n

... n (n N*). 23a2a3an 12

类型4 an 1 pan qn（其中p，q均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)）。 （或an 1 pan rqn,其中p，q, r均为常数） 。 解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以q系数法解决。

例:已知数列 an 中，a1

n 1

，得：

an 1pan1anp1

b b b 引入辅助数列（其中），得：再待定bn 1nnn

qqqn 1qqnqqn

511n 1

,an 1 an ()，求an。 632

412

an 2n 1 ，n 1,2,3, 333

变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分） 设数列 an 的前n项的和Sn

n

32n

，证明： Ti （Ⅰ）求首项a1与通项an；（Ⅱ）设Tn ，n 1,2,3,

2Sni 1

类型5 递推公式为an 2 pan 1 qan（其中p，q均为常数）。

解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an 2 san 1 t(an 1 san) 其中s，t满足

s t p

st q

解法二(特征根法)：对于由递推公式an 2 pan 1 qan，a1 ,a2 给出的数列 an ，方程x2 px q 0，叫做数列 an 的特征方程。

n 1n 1

若x1,x2是特征方程的两个根，当x1 x2时，数列 an 的通项为an Ax1，其中A，B由a1 ,a2 决定（即把a1,a2,x1,x2和 Bx2n 1n 1n 1n 1,2，代入an Ax1，得到关于A、B的方程组）；当x1 x2时，数列 an 的通项为an (A Bn)x1，其中A，B由a1 ,a2 Bx2n 1决定（即把a1,a2,x1,x2和n 1,2，代入an (A Bn)x1，得到关于A、B的方程组）。

解法一（待定系数——迭加法）:

数列 an ：3an 2 5an 1 2an 0(n 0,n N)， a1 a,a2 b，求数列 an 的通项公式。 例:已知数列 an 中，a1 1,a2 2,an 2 变式:

1.已知数列 an 满足a1 1,a2 3,an 2 3an 1 2an(n N*).

（I）证明：数列 an 1 an 是等比数列；（II）求数列 an 的通项公式； （III）若数列 bn 满足4142...4n

b 1b 1

b 1

21

an 1 an，求an。 33

(an 1)bn(n N*),证明 bn 是等差数列

2.已知数列3.已知数列

an 中，a1 1,a2 2,an 2 2an 1 1an，求an

3

3

an 中，Sn是其前n项和，并且Sn 1 4an 2(n 1,2, ),a1 1，

an 1 2an(n 1,2, )，求证：数列 bn 是等比数列；

an

,(n 1,2, )，求证：数列 cn 是等差数列；⑶求数列 an 的通项公式及前n项和。 n2

⑴设数列bn

⑵设数列cn

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Sn f(an)) 解法：这种类型一般利用an 去an进行求解。

例：已知数列 an 前n项和Sn 4 an

S1 (n 1)

与an Sn Sn 1 f(an) f(an 1)消去Sn (n 2)或与Sn f(Sn Sn 1)(n 2)消

Sn Sn 1 (n 2)

12n 2

.

（1）求an 1与an的关系；（2）求通项公式an.

（2）应用类型4（an 1 pan qn（其中p，q均为常数，(pq(p 1)(q 1) 0)））的方法，上式两边同乘以2由a1 S1 4 a1

n 1

得：2

n 1

an 1 2nan 2

1nnn

a 1 a .于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以 2a 2 2(n 1) 2n2a1nnn

21 22n 1

变式:（2006，陕西,理,2012分)

已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 变式: (2005,江西,文,22．本小题满分14分）

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn－Sn－2=3( )

12

n 1

3

(n 3),且S1 1,S2 ,求数列{an}的通项公式.

2

、0，a 0) 类型7 an 1 pan an b(p 1

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an 1 x(n 1) y p(an xn y)，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为

an xn y 是公比为p的等比数列。

例:设数列 an ：a1 4,an 3an 1 2n 1,(n 2)，求an. 变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分） 已知数列｛an｝中，a1

1

、点（n、2an 1 an）在直线y=x上，其中n=1,2,3… 2

(Ⅰ)令bn an 1 an 3,求证数列 (Ⅱ)求数列 an bn 是等比数列；的通项；(Ⅲ)设Sn、Tn分别为数列 an bn 的前n项和,是否存在实数 ，使得数列 、

r类型8 an 1 pan(p 0,an 0)

Sn Tn

为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由. n

解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an 1 pan q，再利用待定系数法求解。 例：已知数列｛an｝中，a1 1,an 1

12

an(a 0)，求数列 an 的通项公式. a

1

an(4 an),n N. 2

变式:（2005，江西,理,21．本小题满分12分） 已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0 1,an 1

（1）证明an an 1 2,n N; （2）求数列{an}的通项公式an. 变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）

已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… （1） 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列；

（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=

112

，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1

anan 23Tn 1

类型9 an 1

f(n)an

解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an 1 pan q。

g(n)an h(n)

例：已知数列｛an｝满足：an

an 1

,a1 1，求数列｛an｝的通项公式。

3 an 1 1

变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分） 1.已知数列｛an｝满足：a1＝

33nan－1，且an＝ n 2，n N ）22an－1＋n－1

（1） 求数列｛an｝的通项公式；

（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1 a2 ……an 2 n！

2、若数列的递推公式为a1

3,

11

2(n )，则求这个数列的通项公式。 an 1an

3、已知数列{an}满足a1 1,n 2时，an 1 an 2an 1an，求通项公式。

4、已知数列｛an｝满足：an

an 1

,a1 1，求数列｛a｝的通项公式。

3 an 1 1

n

5、若数列｛an｝中，a1=1，an 1=

2an

n∈N ，求通项an．

an 2

类型10 an 1

pan q

ran h

pan qh

（其中p、q、r、h均为常数，且ph qr,r 0,a1 ），

rran h

解法：如果数列{an}满足下列条件：已知a1的值且对于n N，都有an 1

那么，可作特征方程x 等比数列。

1 an x1 px q

,当特征方程有且仅有一根x0时,则 则 是等差数列;当特征方程有两个相异的根x1、x2时， 是

a xa xrx h n0 n2

例：已知数列{an}满足性质：对于n N,an 1

an 4

,且a1 3,求{an}的通项公式.

2an 3

13an 25

.

an 3

例：已知数列{an}满足：对于n N,都有an 1

（1）若a1 5,求an;（2）若a1 3,求an;（3）若a1 6,求an;（4）当a1取哪些值时，无穷数列{an}不存在？ 变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）

数列{an}满足a1 1且8an 1an 16an 1 2an 5 0(n 1).记bn

11an

2

(n 1).

（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值； （Ⅱ）求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前n项和Sn.

类型11 an 1 an pn q或an 1 an pqn

解法：这种类型一般可转化为 a2n 1 与 a2n 是等差或等比数列求解。

例：（I）在数列{an}中，a1 1,an 1 6n an，求an （II）在数列{an}中，a1 1,anan 1 3n，求an 类型12 归纳猜想法 解法：数学归纳法

变式:（2006，全国II,理,22,本小题满分12分）

设数列｛an｝的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1，2，3，… （Ⅰ）求a1，a2； （Ⅱ）｛an 类型13双数列型

解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。

例：已知数列 an 中，a1 1；数列 bn 中，b1 0。当n 2时，an

类型14周期型 解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

11

(2an 1 bn 1),bn (an 1 2bn 1)，求an,bn. 33

例：若数列 an 满足an 1

1

2a,(0 a )n 6 n2 ，若a1 ，则a20的值为___________。

7 2a 1,(1 a 1)

nn 2

变式:（2005，湖南,文，5） 已知数列{an}满足a1 0,an 1

an 33an 1

(n N*)，则a20=

（ ）

A．0

B． C．

D．

2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f2km.html