汽车保险问题探讨

汽车保险问题探讨——建模优秀获奖论文

汽车保险问题探讨

徐小平，张义伟，曹 栋

（中国矿业大学，徐州 221008）

摘要

本文所研究的问题为实行安全法规后，因死亡率下降及医疗费用下降，从而引起保险公司所定汽车基本保险费变化的情况。结合汽车保险的相关知识，我们从“基本保险费总收入=总偿还退回+总索赔支出”的角度来讨论基本保险费用的变化情况。建立的模型是一个预测模型，即用当年的收支来预测将来的收支。首先对问题进行整体分割，建立“基本保险费总收入”、“总偿还退回”、“总索赔支出”三个模块并对之进行具体分析。然后从所建的模块中，分析出基本保险费变化与死亡率下降、医疗费用减少、新增投保人数三者之间的关系。

1 问题重述

某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内,若客户没有要求赔偿，则给予额外补助。所有参保人被分为0,1,2,3四类。类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时,新客户属于0类，在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，

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否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。

现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降。这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果果真会出现吗？这是保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为,医疗费会减少20%到40%。假设当前年度该保险公司的统计如下表1和表2。

保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题,并以表1和表2的数据为例，验证你的方法。并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。

表1 本年度发放的保险单数

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基本保险费：775元；总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元；

支出：149百万元，索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。

表2 本年度的索赔款

总修理费：1981百万元，总医疗费：2218百万元， 总死亡赔偿费：1894百万元，总索赔费:6093百万元。

2问题的分析

保险费是投保人为取得保险保障而交付给保险人的费用。汽车保险费由纯保费和附加保费两部分构成。纯保费用于承担保险责任（合

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同中约定的死亡、伤残等给付），附加保费用于保险公司的各项开支，这部份费用可假定是不变的。因而问题的关键就在于纯保费的变化。纯保费在数量上等于保险期间赔款的期望值。因而通过对下一年的赔款期望值的估算来确定下一年的纯保费的金额。本题所要解决的主要问题也就是下一年的事故赔偿费总额（由偿还退回费用部分和索赔支出费用部分构成）的估算和总投保人数的估算。最后通过各类保险费的折扣率、该类的投保人数以及事故赔偿费总额就可以计算出下一年基本保险费。

由于政府实施安全带法规，死亡的司机会减少40%，医疗费会减少20%-40%。如果该保险公司的基本保险费保持不变，那么由于死亡人数减少以及医疗费减少，从而导致索赔支出明显减少，那么该保险公司的盈利就会明显增加。所以政府期望减少保险费的数额。我们从医疗费分别减少20%及40%来分别考虑，只求解在两种情况下该保险公司收支平衡时的基本保险费。根据等式：“基本保险费总收入= 总偿还退回+总索赔支出” 我们可以先分别确定各个部分的量，最后再代入该等式从而确定该保险公司基本保险费。保险公司可以根据这种情况下求得的基本保险费来自主确定其具体基本保险费。

3合理假设

1) 保险公司只提供一年期的综合保险单业务。

2) 若客户在这一年内没有提出赔偿要求，则给予额外补助。 3) 客户被分成0，1，2，3类，新客户属于0类。

4) 当客户续保时，若上一年没有要求赔偿，则提高一个类别，

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若上一年中要求过赔偿，则降低两个类别或归为0类。

5) 客户注销时保险公司将退还保险金的适当部分。 6) 每一类别中总投保人数等于续保人数与新投保人数之和。 7) 注销人数等于自动终止保险人数与死亡人数之和。 8) 自动终止保险人数与总投保人数比例不变。 9) 死亡司机人数与索赔人数比例不变。 10)每年的平均死亡赔偿费不变。 11)每年的平均修理费不变。 12)每年公司日常支出不变。

13)施行了法规以后，每个类别的死亡司机比没有施行法规时都减少40％。

14)注销人平均所得到的偿还退回金金额不变。

15)新投保人数的增长率与汽车保有量的增长率间存在简单的线性关系。

16)投保人数的变化不依赖于保险费的变化。

4变量声明

X 下一年的基本保险费。 s总i s自i

下一年第i类投保中的总投保人数。

下一年第i类投保中注销的人数中自动退保的人数。

s自索i 下一年第i类投保中注销的人数中自动退保的索赔过的人数。

s自非索i

下一年第i类投保中注销的人数中自动退保的未索赔

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过的人数。

s死i

s索i

s注i

Fi

Gi Ki Ri m总i m自i

m自索i

的人数。

m自非索i 过的人数。

m死i

m索i

m注i n h

r E b 下一年第i类投保中死亡的人数。 下一年第i类投保中索赔的人数。 下一年第i类投保中注销的人数。 表示第i类投保的平均修理费。

表示第i类投保的平均死亡赔偿费。 表示第i类投保的平均医疗费。

表示第i类投保中死亡人数占索赔人数的百分比。 当年第i类投保中总的投保人数。 当年第i类投保中的注销人数中的自动退保人数 当年第i类投保中的注销人数中的自动退保的索赔过

当年第i类投保中的注销人数中的自动退保的未索赔当年第i类投保中死亡人数。 当年第i类投保中索赔人数。

当年第i类投保中注销的人数。 下一年新投保的人数。 汽车拥有量。

总收入。 公司日常支出。 当年偿还退回总数。

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医疗费的下降率。

自动退保人数占总投保人数的百分比。

i类投保人没有索赔时的补贴比例（即所交基本保险费

Pi

βi 的折扣率）。

5模型的建立与求解

1)基本保险费总收入模块计算

根据我们所画的框图和对问题的基本假设，有下面的几个关系式成立。

（Ⅰ）0类下一年总投保人数=下一年的新投保人数+0类索赔人数—0类死亡人数―0类自动退保人中索赔过的人数+1类索赔人数—1类死亡人数―1类自动退保人中索赔过的人数+2类索赔人数—2类死亡人数―2类自动退保人中索赔过的人数，即：

s总0 n m索0 m死0 m自索0 m索1 m死1 m自索1 m索2 m死2 m自索2 (1)

（Ⅱ）1类下一年总投保人数=0类总投保人数—0类注销人数—0类索赔人数+0类死亡人数+0类自动退保人中索赔过的人数+3类索赔人数—3类死亡人数―3类自动退保人中索赔过的人数，即：

s总1 m总0 m注0 m索0 m死0 m自索0 m索3 m死3 m自索3 (2)

（Ⅲ）2类下一年总投保人数=1类当年投保总人数—1类降为0类的人数（即索赔人数）—1类注销人数+1类死亡人数+1类自动退保人中索赔过的人数，即：

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s总2 m总1 m索1 m注1 m死1 m自索1 (3)

（Ⅳ）3类下一年总投保人数=3类当年总投保人数—3类降为1类的人数（索赔人数）—3类注销人数+3类死亡人数+3类自动退保人中索赔过的人数+2类总投保人数—2类索赔人数—2类注销人数+2类死亡人数+2类自动退保人中索赔过的人数，即：

s总3 m总3 m索3 m注3 m死3 m自索3 m总2 m索2 m注2 m死2 m自索2

(4)

（Ⅴ）下一年新投保人数设为：

n=f2(h) (其中h的含义见符号说明部分)

则根据以上条件可以计算保险公司的总收入为： r=[s

总0

+s

总1

×(1-25%)+s

总2

×(1-40%)+s

总3

×(1-50%)]×

X (5)

注：下面分别介绍第i类索赔人数、新投保人数和m自索i(当年第i类投保注销人数中的自动退保的索赔过的人数)的计算方法。

① 第i类索赔人数的估计

对于第i类总投保人数中的每一个人，因为他由于发生事故而索

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赔的概率很小，所以这个索赔的事件是个小概率事件，从而服从泊松分布，所以他索赔k次的概率p为：

pi(K k) (e k i) k!

( i 0) (6)

（上式中K为随机变量,即索赔这个事件,下同） 所以，他至少索赔一次的概率 为：

i pi(K 1) 1 pi(K 0) e i (7)

所以在m总i个投保者中有x个人向保险公司索赔的概率为：

xxm总i xk m总i k

pi(x) Cm (1 ) C (1 e) (e) ii总im总i

(8)

索赔人数用它的期望来表示即为： m

m索i [pi(x) x] m总i (1 e )

x 1

(9)

所以：

i lnm总i ln(m总i m索i) (10)

由上所述可得到索赔人数与总投保人数的关系为：

总i

i

m索i m总i (1 e i) (11)

② 新投保人数的估计

下面是从中国国家统计局获得的一份数据(其中2002和2003年数据非直接从国家统计局获得)，考虑最近10年的私人汽车拥有量（之所以选择私人汽车拥有量的变化进行统计分析，是因为私人汽车拥有量在所有汽车用量的变化中最为典型，可以以此变化情况代替整个的变化情况），通过计算其年拥有汽车增长率并绘制成图形如下。

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1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003

42.29 60.42 73.12 81.62 96.04 118.20 155.77 205.42 249.96 289.67 358.36 423.65 533.88 625.33 770.78 969.00 1242.77

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根据图中数据得这10年中的汽车拥有量年均增长率为0.2221,加上本文中的假设“新投保人数的增长率与汽车保有量的增长率存在简单的线性关系”，这里我们可以进一步假设两者相等，即新投保人数按下式计算：

n=n0

×

(1+0.2221)^k （12）

(n0为目前的新投保人数，k为从目前开始算起离现在的年份)。 ③m自索i的计算

设第i类中某人在该年的第K天自动退出 ，则该人在前K天中索赔过的概率为：

P(K) =( K

i)/365 （13） 因K是随机变量，且 1 K 365 ，设 P(K=k)= ,易知 =1/365

。

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从而，第K类中自动退出的某一个人索赔过的概率在这一年中的期望为：

365365

i= (P(k) )= ( k i÷365) =

k 1k 1

i/2 （14）

与前面计算索赔人数的期望同样的方法可求得该年中在第i类的自动退出的人群中向保险公司索赔过的人数期望值是：

m

自

索

i = （m

注

i –m

死i

） (1 - e-

)/2 （15）

2)偿还退回模块计算

下一年总退保人数： s自=

s

i 0

3

总i

pi （Pi为自动退保人数占总投保人数的百分

比）

（16）

下一年总死亡人数:

s死= s索i Ri (1 40%) （Ri为死亡人数占索赔人数的百分

i 03

比）

（17）

令C表示每个注销投保人所获得的偿还费用，显然C为一常量，且

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C=70000000/（18264+28240+13857+324114）=182(元) 所以偿还退回费用为：

182×( s索i Ri (1 40%) + s总i pi)

i 03

3

i 0

（18）

3)索赔支出模块计算

总修理费： 理费

（19）

总死亡赔偿费：死亡赔偿费。

（20）

总医疗费： s索i [1 Ri (1 40%)] Ki (1 ) Ki表示第i

i 03

s

i 0

3

索i

Fi Fi表示第i类投保的平均修

s

i 0

3

死i

Gi Gi 表示第i类投保的平均

类投保的平均医疗

费。 （21）

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索赔支出：

s

i 0

3

索i

Fi

+

s

i 0

3

死i

Gi

+

s

i 0

3

索i

[1 Ri (1 40%)] Ki (1 )

（22）

4)基本保险费用确定

因为：基本保险费 0类保费折扣率 0类总投保人数+基本保险费 1类保费折扣率 1类总投保人数+基本保险费 2类保费折扣率 2类总投保人数+基本保险费 3类保费折扣率 3类总投保人数=总偿还退回+总索赔支出，有下面的式子成立

X (1 i)m总i=182×( s索i Ri 0.6 + s总i pi)+

i 0

i 0

3

33

i 0

s

i 0

3

索i

Fi

+

s

i 0

3

死i

Gi

+

s

i 0

3

索i

[1 Ri (1 40%)] Ki (1 )

根据该式带入当年的数据就可以确定下一年的基本保险费了。

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6 模型检验（略） 7模型优缺点分析（略） 8模型的评价及推广（略） 参考文献：

[1]张洪涛 郑功成 ,保险学，中国人民大学出版社，2000.11 [2]王晓东，计算机算法设计与分析，电子工业出版社，2003.12 [3]曹德欣 曹璎珞，计算方法，中国矿业大学出版社，2001.7 [4]盛骤 谢式千，概率论与数理统计，第三版，高等教育出版社，2002.3

[5]MATLAB6.5辅助优化计算与设计，电子工业出版社 2003.1 [6]荆涛, 保险学，对外经济贸易大学出版社，

2003

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[7]伍超标，保险精算学基础，中国统计出版社，1999

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f2e1.html