高二数学苏教版选修2-2阶段质量检测(二) 推理与证明

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阶段质量检测(二) 推理与证明 [考试时间：120分钟 试卷总分：160分]

一、填空题(本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上) 1．(新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．

2．周长一定的平面图形中圆的面积最大，将这个结论类比到空间，可以得到的结论是________．

3．下列说法正确的是________．(写出全部正确命题的序号) ①演绎推理是由一般到特殊的推理 ②演绎推理得到的结论一定是正确的 ③演绎推理的一般模式是“三段论”形式

④演绎推理得到的结论的正误与大、小前提和推理形式有关

4．“因为AC ，BD 是菱形ABCD 的对角线，所以AC ，

BD 互相垂直且平分．”以上推理的大前提是________________________________．

5．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．

6．(陕西高考)观察分析下表中的数据：

． 7．由“正三角形的内切圆切于三边的中点”，可类比猜想出正四面体的一个性质为________．

8．已知x ，y ∈R ＋

，当x 2＋y 2＝________时，有x 1－y 2＋y 1－x 2＝1.

9．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n －

1＝2n －1(n ∈N *)的过程如下：

①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；

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②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －

1＝2k －1； ③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k

＝1－2k ＋1

1－2＝2k ＋1－1，则当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任何n ∈N *，等式都成立．

上述证明步骤中错误的是________．

10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内切于正

方形ABCD ，任取圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则14

是m 2，n 2

的等差中项；现有一椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)内切于矩形ABCD ，任取椭圆上一点P ，若OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R )，则m 2，n 2的等差中项为________．

11．(安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝2 2.

过点 A 作BC 的垂线，垂足为A 1 ；过点 A 1作 AC 的垂线，垂足为 A 2；

过点A 2 作A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推．设BA ＝a 1 ，AA 1

＝a 2 , A 1A 2＝a 3 ，…， A 5A 6＝a 7 ，则 a 7＝________.

12．已知x >0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，…，可推广为x ＋a x n ≥n ＋1，则a 的值为________．

13．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中共有________个顶点．

14．(湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数

1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12

n .记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12

n ， 正方形数 N (n,4)＝n 2，

五边形数 N (n,5)＝32n 2－12

n ， 六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ，

……

可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________.

二、解答题(本大题共6个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

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雨衣专享 15．(本小题满分14分)设a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：1a ＋1b ＋1ab

≥8.

16．(本小题满分14分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋a n ＋1＝???

?15n (n ∈N *)，若T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －

1，b n ＝6T n －5n a n ，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，求数列{b n }的通项公式．

17．(本小题满分14分)观察 ①sin 210°＋cos 240°＋sin 10°cos 40°＝34

； ②sin 26°＋cos 236°＋sin 6°cos 36°＝34

. 由上面两式的结构规律，你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．

18．(本小题满分16分)已知实数a 、b 、c 满足0

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雨衣专享 19.(本小题满分16分)数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *)．

(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项a n 的表达式；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝13

x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，

(1)证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．

(2)试比较

11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n

与1的大小，并说明理由．

答 案

1．解析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．

答案：A

2．解析：平面图形中的图类比空间几何体中的球，周长类比表面积，面积类比体积． 故可以得到的结论是：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大．

答案：表面积一定的空间几何体中，球的体积最大

3．解析：如果演绎推理的大前提和小前提都正确，则结论一定正确．大前提和小前提中，只要有一项不正确，则结论一定也不正确．故②错误．

答案：①③④

4．形对角线互相垂直且平分

5．解析：V 1V 2＝13S 1h 113

S 2h 2＝????S 1S 2·h 1h 2＝14×12＝18. 答案：1∶8

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6．解析：三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.

答案：F ＋V －E ＝2

7．解析：正三角形的边对应正四面体的面，即正三角形所在的正四面体的侧面，所以边的中点对应的就是正四面体各正三角形的中心，故可猜想：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心．

答案：正四面体的内切球切于四个侧面各正三角形的中心

8．解析：要使x 1－y 2＋y 1－x 2＝1，

只需x 2(1－y 2)＝1＋y 2(1－x 2)－2y 1－x 2，

即2y 1－x 2＝1－x 2＋y 2.

只需使(1－x 2－y )2＝0， 即1－x 2＝y ，∴x 2＋y 2＝1.

答案：1

9．解析：因为③没有用到归纳假设的结果，错误．

答案：③

10．解析：如图，设P (x ，y )，由x 2a 2＋y 2

b 2＝1知A (a ，b )，B (－a ，b )，由OP ＝m OA ＋n OB 可得?????

x ＝(m －n )a ，y ＝(m ＋n )b ，代入x 2a 2＋y 2

b 2＝1可得(m －n )2＋(m ＋n )2＝1，即m 2＋n 2

＝12，所以m 2＋n 22＝14，即m 2，n 2的等差中项为14. 答案：14

11．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1＝a 2＝2，A 1A 2＝a 3＝1，…，A 5A 6＝a 7＝a 1×????226＝14

. 法二：求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，所以AB ＝AC ＝a 1＝2，AA 1

＝a 2＝2，…，A n －1A n ＝a n ＋1＝sin π4·a n ＝22a n ＝2×????22n ，故a 7＝2×????226＝14

. 答案：14

12．解析：由x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x ＋22x 2≥3，x ＋27x 3＝x ＋33x 3≥4，…，可推广为x ＋n n

x n ≥n ＋1，故a ＝n n .

答案：n n

13．解析：设第n 个图形中有a n 个顶点，则a 1＝3＋3×3，a 2＝4＋4×4，…，

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雨衣专享 a n －2＝n ＋n ·n ，

a n ＝(n ＋2)2＋n ＋2＝n 2＋5n ＋6.

答案：n 2＋5n ＋6

14．解析：N (n ，k )＝a k n 2＋b k n (k ≥3)，其中数列{a k }是以12为首项，12

为公差的等差数列；数列{b k }是以12为首项，－12

为公差的等差数列；所以N (n,24)＝11n 2－10n ，当n ＝10时，N (10,24)＝11×102－10×10＝1 000.

答案：1 000

15．证明：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1.

∴1＝a ＋b ≥2ab ，ab ≤12，ab ≤14

， ∴1ab ≥4?

???当a ＝12，b ＝12时等号成立， 又1a ＋1b ＝(a ＋b )????1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b

≥4. ???

?当a ＝12，b ＝12时等号成立 ∴1a ＋1b ＋1ab

≥8. 16．解：因为T n ＝a 1＋a 2·5＋a 3·52＋…＋a n ·5n －1，① 所以5T n ＝a 1·5＋a 2·52＋a 3·53＋…＋a n －1·5n －

1＋a n ·5n ，② 由①＋②得：

6T n ＝a 1＋(a 1＋a 2)·5＋(a 2＋a 3)·52＋…＋(a n －1＋a n )·5n －

1＋a n ·5n ＝1＋15

×5＋????152×52＋…＋????15n －1×5n －1＋a n ·5n ＝n ＋a n ·5n ，

所以6T n －5n a n ＝n ，

所以数列{b n }的通项公式为b n ＝n .

17.解：观察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，

由此猜想：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)＝34

. 证明：sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α·cos(30°＋α)

＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋sin α(cos 30°cos α－sin 30°sin α) ＝sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋32sin αcos α－12

sin 2α ＝12sin 2α＋cos 2(30°＋α)＋34

sin 2α

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雨衣专享 ＝

1－cos 2α4＋1＋cos (60°＋2α)2＋34sin 2α ＝1－cos 2α4＋12＋14cos 2α－34sin 2α＋34

sin 2α ＝34

. 18．证明：假设(2－a )b >1，(2－b )c >1，(2－c )a >1， 则三式相乘：(2－a )b (2－b )c (2－c )a >1①

而(2－a )a ≤????2－a ＋a 22＝1，

同理，(2－b )b ≤1，(2－c )c ≤1，

即(2－a )b (2－b )c (2－c )a ≤1，

显然与①矛盾，

所以原结论成立．

19．解：(1)由S n ＝2n －a n ，得，a 1＝2－a 1，即a 1＝1.

S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，解得a 2＝32

. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，解得a 3＝74

. S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，解得a 4＝158

. 由此猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．

②假设当n ＝k (k ∈N *

)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1， 那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，

则a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k ＝2k ＋1－12

(k ＋1)－1， 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立．

根据①和②，可知猜想对任何n ∈N *都成立，

即a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)． 20．解：(1)证明：∵f ′(x )＝x 2－1，

∴a n ＋1≥(a n ＋1)2－1＝a 2n ＋2a n .

①当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，命题成立；

②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时命题成立，

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雨衣专享 即a k ≥2k －1；那么当n ＝k ＋1时，

a k ＋1≥a 2k ＋2a k ＝a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)

＝22k －1≥2k ＋

1－1. 即当n ＝k ＋1时，命题成立， 综上所述，命题成立．

(2)∵a n ≥2n －1，∴1＋a n ≥2n ，∴11＋a n ≤12n . ∴

11＋a 1＋11＋a 2＋…＋11＋a n ≤12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f28l.html