2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题07二次函数与幂函数(教学案)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料

1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3

，y ＝x 12，y ＝1x 的图象，了解它们的变化情况；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

1．幂函数 (1)幂函数的定义

一般地，形如y ＝x α

的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象

(3)常见的5种幂函数的性质

函数

特征

性质

y ＝

x

y ＝x 2 y ＝x 3

y ＝x 1

2

y ＝x －1

定义域

R

R R

[0，＋

∞)

{x |x ∈R ， 且x ≠0}

值域

R

[0，＋

∞)

R

[0，＋

∞)

{y |y ∈R ，

且y ≠0} 奇偶性

奇 偶

奇

非奇非

偶

奇 2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )．

零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点．

(2)二次函数的图象和性质

解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域

(－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ????

??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在? ????－∞，－b 2a 上单调递减； 在????

??－b 2a ，＋∞上单调递增 在?

????－∞，－b 2a 上单调递增； 在??????－b 2a ，＋∞上单调递减 对称性 函数的图象关于x ＝－b

2a 对称

高频考点一 幂函数的图象和性质

例1、(1)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点? ??

??12，22，则k ＋α等于( ) A.12 B ．1 C.32

D ．2 (2)若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12

，则实数m 的取值范围是( ) A.? ????－∞，－5－12 B.????

??5－12，＋∞ C ．(－1，2) D.????

??5－12，2 解析 (1)由幂函数的定义知k ＝1.又f ? ????12＝22

， 所以? ??

??12α

＝22，解得α＝12，从而k ＋α＝32. (2)因为函数y ＝x 12

的定义域为[0，＋∞)， 且在定义域内为增函数，

所以不等式等价于?????2m ＋1≥0，m 2＋m －1≥0，2m ＋1>m 2＋m －1.

解得?????m ≥－12，

m ≤－5－12或m ≥5－12

，－1＜m ＜2， 即5－12

≤m <2. 答案 (1)C (2)D 【方法规律】幂函数的图象特征

(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．

(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

【变式探究】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝

f (x )的图象是( )

(2)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)xn

2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )

A ．－3

B ．

1 C ．

2 D ．1或2

高频考点二 二次函数的图象与性质

例2、已知函数f (x )＝x 2

＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]．

(1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；

(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数；

(3)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．

解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]，

∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增，

∴f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，

故f (x )的最大值是35.

(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，

故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．

(3)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝?????x 2＋2x ＋3＝（x ＋1）2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝（x －1）2＋2，x >0， 其图象如图所示，

又∵x ∈[－4，6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0，1)上为减函数，在区间[－1，0)和[1，6]上为增函数．

【方法规律】解决二次函数图象与性质问题时要注意：

(1)抛物线的开口、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论；

(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)，事半功倍．

【变式探究】 (1)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2

＋bx ＋c 的图象可能是(

)

(2)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．

解析 (1)由A ，C ，D 知，f (0)＝c <0，

从而由abc >0，所以ab <0，所以对称轴x ＝－b 2a

>0，知A ，C 错误，D 满足要求；由B 知f (0)＝c >0， 所以ab >0，所以x ＝－b 2a

<0，B 错误． (2)由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称，

∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2，

又f (x )的值域为(－∞，4]，

∴2a 2＝4，

故f (x )＝－2x 2＋4.

答案 (1)D (2)－2x 2＋4

高频考点三 求二次函数的解析式

例3、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解 解法一：(利用一般式)

设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．

由题意得????? 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得????? a ＝－4，b ＝4，c ＝7.

∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.

解法二：(利用顶点式)

设f (x )＝a (x －m )2

＋n (a ≠0)．

∵f (2)＝f (－1)，

∴抛物线的对称轴为x ＝2＋－2＝12. ∴m ＝12

.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8. ∴y ＝f (x )＝a ? ??

??x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ? ??

??2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4? ??

??x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.

【方法技巧】确定二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

【变式探究】 已知二次函数f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (0)＝0，f (1)＝1，求f (x )的解析式． 解 解法一：(一般式)设f (x )＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)， 则????? c ＝0，a ＋b ＋c ＝1，－b 2a ＝1?????? a ＝－1，b ＝2，c ＝0，∴f (x )＝－x 2

＋2x . 解法二：(两根式)∵对称轴方程为x ＝1，

∴f (2)＝f (0)＝0，f (x )＝0的两根分别为0,2.

∴可设其解析式为f (x )＝ax (x －2)．

又∵f (1)＝1，可得a ＝－1，

∴f (x )＝－x (x －2)＝－x 2＋2x .

解法三：(顶点式)由已知，可得顶点为(1,1)，

∴可设其解析式为f (x )＝a (x －1)2＋1.

又由f (0)＝0，可得a ＝－1，

∴f (x )＝－(x －1)2＋1＝－x 2

＋2x .

高频考点四 二次函数的应用

例4、 (2016·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )(x ∈R)满足f (x )＝f (2－x )，若函数y ＝|x 2－2x －3|与y ＝f (x )图象的

交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x m ，y m )，则∑i ＝1

m x i ＝( )

A ．0

B ．m

C ．2m

D ．4m

【方法规律】(1)对于函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，若是二次函数，就隐含着a ≠0，当题目未说明是二次函数时，就要分a ＝0和a ≠0两种情况讨论．

(2)由不等式恒成立求参数的取值范围，常用分离参数法，转化为求函数最值问题，其依据是a ≥f (x )?a ≥f (x )max ，a ≤f (x )?a ≤f (x )min .

(3)涉及二次函数的零点常与判别式有关，常借助函数的图象的直观性实施数形转化．

【变式探究】(1)(已知f (x )＝x 2

＋2(a －2)x ＋4，如果对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，则实数a 的取值范围为________．

(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x ，如果函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点，则m 的取值范围是________．

解析 (1)因为f (x )＝x 2＋2(a －2)x ＋4，

对称轴x ＝－(a －2)，

对x ∈[－3，1]，f (x )＞0恒成立，

所以讨论对称轴与区间[－3，1]的位置关系得：

?????－（a －2）＜－3，f （－3）＞0，或?

????－3≤－（a －2）≤1，Δ＜0， 或?????－（a －2）＞1，f （1）＞0，解得a ∈?或1≤a ＜4或－12＜a ＜1，

所以a 的取值范围为? ??

??－12，4. (2)函数g (x )＝f (x )－m (m ∈R)恰有4个零点可化为函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 恰有4个交点，作函数y ＝f (x )与y ＝m 的图象如图所示，

故m 的取值范围是(－1，0)．

答案 (1)? ??

??－12，4 (2)(－1，0) 高频考点五、分类讨论思想在二次函数最值中的应用

例5、已知函数f (x )＝－x 2

＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求实数a 的值．

解 当对称轴x ＝a <0时，如图1所示，当x ＝0时，y 有最大值y max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a <0，∴a ＝－1.

当0≤a ≤1时，如图2所示，当x ＝a 时，y 有最大值y max ＝f (a )＝－a 2＋2a 2＋1－a ＝a 2－a ＋

1.

∴a 2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52

. ∵0≤a ≤1，∴a ＝1±52

(舍去)．

当a >1时，如图3所示．

当x ＝1时，y 有最大值．

y max ＝f (1)＝2a －a ＝2.

∴a ＝2，且满足a >1，∴a ＝2.

综上可知，a 的值为－1或2.

【变式探究】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．

解 (1)当a ＝0时，f(x)＝－2x 在[0,1]上递减，

∴f(x)min＝f(1)＝－2.[2分]

(2)当a>0时，f(x)＝ax2－2x 图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a

. ①当1a ≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x 图象的对称轴在[0,1]内，∴f(x)在[0，1a ]上递减，在[1a

，1]上递增． ∴f(x)min＝f(1a )＝1a －2a ＝－1a

. ②当1a

>1，即0

(3)当a<0时，f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向下，

且对称轴x ＝1a

<0，在y 轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x 在[0,1]上递减．

∴f(x)min ＝f(1)＝a －2.[11分]

综上所述，f(x)min ＝????? a －2， a<1，－1a

，a≥1. 【方法与技巧】

1．二次函数的三种形式

(1)已知三个点的坐标时，宜用一般式．

(2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时，常使用顶点式．

(3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f(x)更方便．

2．研究二次函数的性质要注意：

(1)结合图象分析；

(2)含参数的二次函数，要进行分类讨论．

3．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧

在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．

【失误与防范】

1．对于函数y ＝ax2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a ＝0和a≠0两种情况．

2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．

【举一反三】设函数f (x )＝x 2

－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．

解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.

当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋

1)＝t 2＋1；

当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1； 当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2

－2t ＋2. 综上可知，f (x )min ＝????? t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，

t 2－2t ＋2，t >1.

1. （2018年天津卷）已知a∈R，函数若对任意x∈［–3，+），f(x )≤恒成立，则a的取值范围是__________．

【答案】［，2］

【解析】分类讨论：①当时，即：，

整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当时，，则；

②当时，即：，整理可得：，

由恒成立的条件可知：，

结合二次函数的性质可知：

当或时，，则；

综合①②可得的取值范围是.

1．[2017·浙江高考]若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m( ) A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关

C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关

答案

B

4.[2017北京,11,5分][文]已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是.

答案:[,1]

解析:解法一 由已知可得,y=1-x ,代入x 2+y 2,得x 2+y 2=x 2+(1-x )2=2x 2-2x+1=2(x-)2

+,x ∈[0,1],当x=0或x=1时,x 2+y 2取得最大值1,当x=时,x 2+y 2取得最小值,所以x 2+y 2的取值范围是[,1]. 解法二 设直线x+y=1与两坐标轴的交点分别为A (0,1),B (1,0),点P (x ,y )为线段AB 上一点,则P 到原点O 的距离为|PO|=≥=,又|PO|≤|AO|=1,所以≤≤1,所以x 2+y 2

的取值范围是[,1]. 解法三 令x=t cos α,y=t sin α,α∈[0,],x+y=t (cos α+sin α)=t sin(α+)=1,解得t=,α+∈[,],≤sin(α+)≤1,1≤

sin(α+)≤,所以t ∈[,1],x 2+y 2=t 2∈[,1]. 1、[2016·浙江高考]已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

答案 A

解析 因为f (x )＝x 2＋bx ＝? ????x ＋b 22－b 24，其最小值为f ? ????－b 2＝－b 24.因为f (f (x ))＝[f (x )]2＋b ·f (x )＝?

?????f x ＋b 22－b 24.因为f (x )min ＝－b 24，若f [f (x )]与f (x )的最小值相等，当且仅当f (x )＝－b 2≥－b 24时成立，解得b <0或b >2，所以“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．故选A.

2、[2016·全国卷Ⅲ]已知a ＝2 43 ，b ＝4 25 ，c ＝25 13 ，则( )

A ．b

B ．a

C ．b D ．c

答案 A

解析 因为a ＝2 43 ＝4 23 ，c ＝25 13 ＝5 23 ，函数y ＝x 23 在(0，＋∞)上单调递增，所以4 23 <5 23 ，即a

又因为函数y ＝4x 在R 上单调递增，所以4 23 <4 23 ，即b

1、【2015高考安徽，文11】=-+-1)21(2lg 225lg . 【答案】-1

【解析】原式＝12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+-

1．（2014·江苏卷） 已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈ [m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．

【答案】? ?

?

??－22，