03 分式乘方法则与幂的运算性质有何关系？

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分式乘方法则与幂的运算性质有何关系？

解答 根据乘方的意义和分式乘法法则，可得分式乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．即

an ?b???＝ bn（n为正整数）． ?a?n a

由于 b表示a除以b的商，所以分式乘方的法则实质上就是商的乘方法则，这个法则与整式的乘除中幂的运算法则组成了系统的幂的五种运算性质．即关于正整数m、n有： （1）am·an＝am+n，

（2）am÷an＝am-n（a≠0，m＞n）， （3）（am）n＝amn，

（4）（ab）n＝anbn， an ?b?（5）??＝ bn（b≠0）．

?a?n加强幂的运算性质“双向应用”的练习，有利于熟练掌握幂的运算性质，发展思维，提高灵活解决有关幂的各类问题的能力．

2a3 2 2a3b 3 －bc 4

例1 计算（ c）÷（）·（ a）

－c2 2a3 2 2a3b 3 －bc 4

解：（ c）÷（）·（ a）

－c2 4a6 c6 b4c4 ＝ c2· 8a9b3· a4 bc8 ＝－7 2a

正向应用幂的运算性质解题时，应注意以下几点．

（1）“分子、分母各自乘方”是针对分子与分母的整体而言，如果分子、分母是积的形式，应按照积的乘方法则进行运算，如本例中 2a3 2 22·（a3）2 4a6 （ c）＝＝ c2 ．

c2

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（2）计算带有负号的分式乘方时，按照负数乘方的规律“偶次方为正，奇次方为负”，首先决定结果的符号，如本例中

．

（3）乘方与乘除法混合运算时，应首先计算乘方，然后颠倒除式的分子与分母的位置，再与被除式相乘，进行约分化简． 例2 已知2a＝5，2b＝4，2c＝10，求22a+b-3c的值．

分析：本题应通过逆向应用幂的运算性质，将22a+b-3c用2a，2b与2c的式子表示出来，再代入求值．

解：22a+b-3c

22a+b mn

＝3c （a÷a＝am-n的逆向应用） 2 22a·2b mnm+n＝的逆向应用） 3c （a·a＝a 2 （2a）2·2b mnmn＝c 3（（a）＝a的逆向应用） （2） 52×4 ＝

103 ＝ 1 ． 10 例3 求（0.5）10×（-8）3的值．

解：（0.5）10×（－8）3

＝

1

×（－1） 2

1． 2

＝－

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注意：把（0.5）10写成

9119199×（），以及进一步把（ ）×（－2）写成 2 2 2

?1?（）?（－2）的形式，是逆向应用幂的运算性质解题的常用技巧，也是解决本???2?题的关键．

例4 比较－460与－6520的大小．

分析：由60＝20×3，可考虑将－460转化为－（43）20后求解． 解：－460＝－（43）20＝－6420， ∵ 6420＜6520， ∴ －6420＞－6520， 即 －460＞－6520．

逆向思维就是从与正向对立的角度去考虑问题的思维形式，逆向思维能力是指从正向思维到逆向思维的转移能力．培养逆向思维能力有助于发展思维的敏捷性与深刻性，提高分析问题和解决问题的能力．

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