第十章排列组合和二项式定理（第12课）二项式定理(1)

高中数学教案 第十章排列组合和二项式定理（第12课时） 王新敞

课 题： 10 4

二项式定理(一)

教学目的：

1掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式.

2.会利用二项展开式及通项公式解决有关问题. 教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．

通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．

二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．

二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习 教学过程：

一、复习引入：

02122 ⑴(a?b)2?a2?2ab?b2?C2a?C2ab?C2b；

0312233⑵(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3?C3a?C3ab?C3ab2?C3b ⑶(a?b)?(a?b)(a?b)(a?b)(a?b)的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，a3432234404011的系数是C4；恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的

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223情况有C4种，ab的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是4344，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4， C422304132223344∴(a?b)4?C4a?C4ab?C4ab?C4ab?C4b．

二、讲解新课：

0n1nrn?rrnn二项式定理：(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)

⑴(a?b)n的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

an，anb，…，an?rbr，…，bn，

⑵展开式各项的系数：

00每个都不取b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn； 11恰有1个取b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……， r恰有r个取b的情况有Cn种，ann?rnnrbr的系数是Cn，……，

nn有n都取b的情况有Cn种，b的系数是Cn，

0n1nrn?rrnn∴(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，

这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a?b)的二项展开式，

r⑶它有n?1项，各项的系数Cn(r?0,1,?n)叫二项式系数，

rn?rrrn?rr⑷Cnab． ab叫二项展开式的通项，用Tr?1表示，即通项Tr?1?Cn1rr⑸二项式定理中，设a?1,b?x，则(1?x)n?1?Cnx???Cnx???xn n三、讲解范例： 例1．展开(1?)．

4112334解一： (1?)?1?C4()?C4()?C4()?()?1?1x41x1x1x1x1x4641?2?3?4． xxxx新疆奎屯市第一高级中学 第 2页（共5页）

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444413123x4?C4x?C4x?C4x?1?解二：(1?)?()(x?1)?()??? xxx111?1?例2．展开(2x?4641?2?3?4． xxxx16)． x解：(2x?161)?3(2x?1)6

xx?16152433221[(2x)?C(2x)?C(2x)?C(2x)?C(2x)?C(2x)?1] 666663x60121?64x3?192x2?240x?160??2?3．

xxx例3．求(x?a)12的展开式中的倒数第4项 解：(x?a)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

912?99339T9?1?C12xa?C12xa?220x3a9．

例4．求（1）(2a?3b)，（2）(3b?2a)的展开式中的第3项．

2解：（1）T2?1?C6(2a)4(3b)2?2160a4b2， 2 （2）T2?1?C6(3b)4(2a)2?4860b4a2．

66点评：(2a?3b)，(3b?2a)的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同 66例5．（1）求(?x339)的展开式常数项； x39)的展开式的中间两项 x（2）求(?x339?rx3r9?r解：∵Tr?1?C9()()r?C9r?32r?9x2，

3x新疆奎屯市第一高级中学 第 3页（共5页）

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∴（1）当9?（2）(?36r?0,r6?时展开式是常数项，即常数项为T7?C9 ?33?2268；2x339)的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项， x498?9T5?C?3x9?12159?42510?9?3，T6?C9?3x2?378x3 x四、课堂练习：

1.求?2a?3b?的展开式的第3项. 2.求?3b?2a?的展开式的第3项. 3.写出(3x?66123x7)n的展开式的第r+1项.

4.求x?2x?3?的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.

5.用二项式定理展开： （1）(a?3b)5；（2）(x25?). 2x512?1246.化简：（1）(1?x)?(1?x)；（2）(2x?3x7．x?xlgx5)?(2x?3x)

12?124??展开式中的第3项为10，求x．

561?? 8．求?x??展开式的中间项 x??2n2答案：1. T2?1?C6(2a)6?2(3b)2?2160a4b2 2. T2?1?C6(3b)r3n26?2(2a)2?4860a2b4 3. Tr?1?C(x)n?rn?2r?1?r3 (?3)????Cnx2x?2?1rr4.展开式的第4项的二项式系数C7?35，第4项的系数C72?280 333新疆奎屯市第一高级中学 第 4页（共5页）

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5. （1）(a?3b)5?a5?5a43b?10a33b2?10a2b?5ab3b?b3b2； （2）(x25125xxx?)?xx?xx?5x?20?402?323. 2328xxxx6. （1）(1?x)5?(1?x)5?2?20x?10x2； （2）(2x?3x)?(2x?3x)?192x?7. x?xlgx12?12412?124432 x??展开式中的第3项为Cx523?2lgx5?106?x3?2lgx?105

510 ?x?10,x?21000?2lg2x?3lgx?5?0?lgx?1,lgx??1??n8. ?x??展开式的中间项为(?1)nC2n x??2n五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： 七、板书设计（略） 八、课后记：

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