数学方法论研究报告

数学方法论研究报告

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数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律，数学的思想方法以及数学中的发现、发明与创新等法则的一门学问。数学是一门工具性很强的科学，它和别的科学比较起来还具有较高的抽象性等特征，为了有效地发展它、改进它、应用它或者把它很好地传授给学生们，就要求对这门科学的发展规律、研究方法、发现与发明等法则有所掌握，因此，数学研究工作者、数学教师、科技工作者，以及高年级大学生、研究生等都需要知道一些数学方法论。

我国著名数学家、数学方法论的倡导者和带头人徐利治先生指出：“方法沦(methodology)就是把某种共同的发展规律和研究方法作为讨论对象的一门学问……。

数学方法对于数学的发展起着关键性的推动作用，许多比较困难的重大问题的解决，往往取决于数学概念和数学方法上的突破，如历史上古希腊三大尺规作图难题，就是笛卡尔创立解析几何之后，数学家们借助解析几何，采用了RMI(关系——映射——反演)方法，才得到彻底的解决；这又启发了后来的数学家们采用类似的办法解决了欧氏几何与实数理论的相对相容性问题。又如，代数方程的根式解的问题，也是在伽罗瓦群论思想方法的指导下，才得以圆满解决；不仅如此，群论的思想方法还使得代数学的研究发生了巨大的变革，从古典的局部性研究转向了近代的系统结构整体性的研究。

对数学方法论的早期研究，十七世纪就已经开始了，法国数学家笛卡尔和德国数学家莱布尼兹都曾做过这方面的探讨，并出版过专著，历史上不少著名的大数学家，如欧拉，高斯、庞加莱、希尔伯特等人也曾就数学方法沦的问题发表过许多精辟的见解，但是，对数学方法论进行系统地研究，还是最近几十年间的事，在这方面做了突出的贡献，当首推美国数学家和数学教育家波利亚，最近几十年来．由于现代电子计算机技术已经进入了人工智能和摸拟思维的阶段，就更加促使数学方法论蓬勃发展起来；信息论，控制论、认知科学和人工智能的最新研究成果相继引进了数学方法论的领域。而徐利治先生正式提出“数学方法论”这一名称，并使其成为一门独立的学科，迄今仅二十来年。 数学科学和数学史料是数学方法论的源泉，同时，数学方法论还涉及到哲学、思维科学，心理学、一般科学方法论、系统科学等众多的领域。

数学方法论分为宏观数学方法论与微观数学方法论。 数学宏观方法论所研究的是整个数学的产生、形成和发展的规律，数学理论的构造，以及数学与其它科学之间的关系。研究宏观方法论的主要途径之一是研究数学史。研究宏观方法论的另一条主要途径是研究数学理论体系的构造。

数学微观方法论所研究的是一些比较具体数学方法，特别是数学发现和数学创造的方法。包括数学思维方法、数学解题心理与数学解题理论等

数学方法论经典数学问题详解

1. 蒲丰投针试验问题：

1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针试验问题.平面上画有等距离为a(a>0)的一些平行直线,现向此平面任意投掷一根长为

b( b

解答：以x表示针投到平面上时，针的中点M

?表示针与该平行直到最近的一条平行直线的距离，

（x,?)完全线的夹角，那么针落在平面上的位置可由

确定。

投针试验的所有可能结果与矩形区域

S?（{x,?)|0?x?a,0????}中所有的点一一对应。 2由投掷的任意性可知： 这是一个几何概型问题. 所关心的事件：

A={针与某一平行直线相交}的 充分必要条件为S中的点满足条件： 0?x?bsin?,0???π.2

P(A)?

μ(G)G的面积?μ(S)S的面积πbsin?d? ??02a?π2 b2b??.a?πaπ2

2. 6人集会问题

1958年，美国《数学月刊》上登载过一道趣味题：证明：在任意6人的集会中，总有3人互相认识或者相不认识。

解答：这6人分别用A、B、C、D、E、F表示，（2人相互认识用实线连接，2人相互不认识用虚线连接）由于任意2个人要么相互认识，要么相互不认识。有抽屉

原理可得：AB、AC、AD、AE、AF5条中至少有3条实线或者3条虚线， 假设有3条实线，如AB、AC、AD连实线，那么BD、BC、CD3条中，要么3条都是虚线（则BCD3人相互不认识，结论成立），要么至少有1条实线（设BD是实线，则ABD3人相互认识，结论成立），所以结论成立。

同理可得：假设有3条虚线，结论成立。

3.任意9人中，必有3人彼此认识，或者4人彼此不认识

解答：如果A至少和其中4个人认识，则这4人中只要有2人相互认识，满足3人认识；或者这4人互相不认识。

如果A和其中不足4人认识，则A至少和其中5人不认识，如果有6人不认识A,他们中有三人相互不认识,加上A则有四人相互不认识, 所以8个人中,A至少认识3个,最多认识3个,只能认识3个，否则结论成立。

BCDFAE下面讨论：“8个人中,A至少认识3个,最多认识3个,只能认识3个”的情形。所以对于每个人来说,都认识其余八人中的三人.考虑,9个人组成一个图,认识关系为实线.彼此不认识用虚线。则该图每个点出发的实线为3条

总条数为:9×3÷2=13.5是小数,所以矛盾!所以至少有一个点出发的实线不是3条。

则原命题得证.

4.17位科学家两两通信讨论三个问题，且每两位科学家讨论同一个问题，求证：至少有三位科学家之间讨论同一个问题

解：在17位科学家中任选一位，记为A，A与其余16位讨论仅三个问题，由鸽笼原理知，

他至少与其中的6位讨论同一问题．

设这6位科学家为B，C，D，E，F，G，讨论的是甲问题． 若这6位中有两位之间也讨论甲问题，则结论成立． 否则他们6位只讨论乙、丙两问题．

这样又由鸽笼原理知B至少与另三位讨论同一问题， 不妨设这三位是C，D，E，且讨论的是乙问题．

若C，D，E中有两人也讨论乙问题，则结论也就成立了． 否则，他们间只讨论丙问题，这样结论也成立．

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