第11讲向量组的秩与向量空间

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第十一讲 向量组的秩与向量空间

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§4.3 向量组的秩 §4.5 向量空间

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第三节

向量组的秩

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一、向量组的秩1.极大线性无关组 极大线性无关组 如果在A中能选出 个向量a 设有向量组 A ,如果在 中能选出 r 个向量 1 , a2 ,…,ar,满足： 满足： 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 向量组A 线性无关； 向量组 2)向量组 中的任一向量均可被向量组 0线性表示； 向量组A中的任一向量均可被向量组 向量组 中的任一向量均可被向量组A 线性表示； 或者满足： 或者满足： 1)向量组 向量组A 线性无关； 1)向量组 0:a1,a2,…,ar线性无关； 2)向量组 中的任何r+1个向量都线性相关 向量组A中的任何 个向量都线性相关； 2)向量组 中的任何 个向量都线性相关； 那么称向量组A 是向量组A的一个极大线性无关组 的一个极大线性无关组. 那么称向量组 0是向量组 的一个极大线性无关组.

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向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。 一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。 一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。 2.向量组的秩 向量组的秩 向量组 A 中的一个极大无关组中所含有的向 的秩，记为R 量个数 r 称之为向量组 A 的秩，记为 A。 定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 定理：矩阵的秩等于它的列向量组的秩， 它的行向量组的秩。 它的行向量组的秩。 阶子式D 证：设 A=(a1,a2,…,ar),R(A)=k,并设 阶子式 k , ,并设k阶子式 ≠0,则Dk所在的 列线性无关，又由 中所有 所在的k列线性无关 又由A中所有 列线性无关， 中所有k+1阶 ， 阶 子式均为零知， 中任意 中任意k+1个列向量都线性相关， 个列向量都线性相关， 子式均为零知，A中任意 个列向量都线性相关 因此D 所在的k列是 列是A的列向量组的一个极大 因此 k所在的 列是 的列向量组的一个极大

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无关组，所以列向量组的秩等于 。 无关组，所以列向量组的秩等于k。 同理可证明行向量组的秩也等于k。 同理可证明行向量组的秩也等于 。▌

... ... 定理.向量组B b ,b2 , ,bp能由向量组A a1,a2 , , :1 : am线性表示的充要条件是 R(a1,a2 , ,am ) = R(a1,a2 , ,am ,b ,b2 , ,bp ) ... ... ... 1定理：设向量组 ： ,a ,…,a 可由向量组B: 定理：设向量组A:a1, 2,…, m可由向量组 ： b1,b2 ,…,bn线性表示，则：RA≤RB , 线性表示， 的一个极大无关组为 证：设向量组A的一个极大无关组为 设向量组 的一个极大 A0:a1,a2,…,ar,向量组 的一个极大无关组为 0: 向量组B 的一个极大无关组为B b1,b2,…,bs,由于 与A0等价，B与B0等价，所 由于A与 等价， 与 等价，

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可由B 线性表示，由前面的定理可知， 以

, A0可由 0 线性表示，由前面的定理可知， r≤s,故RA≤RB ▌ , 推论1:等价向量组的秩相等； 推论 ：等价向量组的秩相等； 推论2:设向量组B是向量组 的一个部分组，若 是向量组A的一个部分组 推论 ：设向量组 是向量组 的一个部分组， 向量组B线性无关，且向量组 能由向量组 能由向量组B线性 向量组 线性无关，且向量组A能由向量组 线性 线性无关 表示，则向量组 是向量组 的一个极大无关组。 是向量组A的一个极大无关组 表示，则向量组B是向量组 的一个极大无关组。

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2 1 1 1 2 例1.设矩阵A = 1 1 2 1 4 ,求矩阵A的列向量 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 组的 一个 极大 线性 无关组 ，并 把不 属于最 大无 关组 的向 量用最 大无 关组 线性 表示 .

解：对A施行初等行变换化A为行最简矩阵，即 1 1 2 1 4 1 0 1 0 4 A : 0 1 1 1 0 : 0 1 1 0 3 0 0 0 1 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 知R( A) = 3,故列向量组的最大无关组中含有 3个

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4 列向量，而三个非零行的三个非零首元在1,2,列， 故a1、a2、a4为列向量组的一个极大无关组.且 a3 = a1 a2、a5 = 4a1 + 3a2 3a3

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第三节

向量空间

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一、向量空间定义对于加法及数乘两种运算封闭， 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称集 为向量空间。 合 V 为向量空间。 说明: 集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭指 说明: 维向量的集合， 非空， 定设 V 为 n 维向量的集合，如果集合 V 非空，且

α ∈ V , β ∈ V , 有 α + β ∈ V ; α ∈ V , k ∈ R, 有 kα ∈ V .

二、子空间1.定义： 为向量空间V 的一个非空子集， 1.定义：设 S 为向量空间 的一个非空子集，如果 定义 S 对于 中的加法运算与数乘运算也能构成向量空 对于V 称为V 的子空间。 间，则S 称为 的子空间。

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是一个向量空间。 例1. 3维向量的全体 R 3 是一个向量空间。 维向量的全体 n维向量的全体 R n,也是一个向量空间。 维向量的全体 也是一个向量空间。 为两个已知的n维向量 例2. 设 a,b为两个已知的 维向量，判断集合 ， 为两个已知的 维向量，

V = { x = λ a + µ b λ , µ ∈ R} 是否是向量空间？ 是否是向量空间？2.生成子空间 2.生成子空间 给定V 给定 中一组向量 a1 , a2 ,…,am,那么它的一切 可能的线性组合显然也构成子空间， 可能的线性组合显然也构成子空间，把这样的子 所生成的子空间， 空间就称为由向量 a1,a2,…,am 所生成的子空间， 记作： 记作：L(a1,a2,…,am)

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维数、 三、维数、基与坐标1.定义：在向量空间V 1.定义：在向量空间 中，如果存在 n 个元素 定义 a

1,a2,…,an满足： 满足： 1)a1,a2,…,an线性无关； 线性无关； 2)V 中任一元素 a 总可由 1,a2,…,an线性表示， 总可由a 线性表示， 那么， 就称为向量空间V 的一个基， 那么， a1,a2,…,an就称为向量空间 的一个基， 称为向量空间V 的维数. 基中元素的个数 n 称为向量空间 的维数 维向量空间， 维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间，记 作Vn。

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为向量空间V 的一个基， 若a1,a2,…,an为向量空间 n的一个基，则由基的定 义，Vn可表示为

Vn = {a = x1a1 + ... + xnan | xi ∈ R}2.定 2.定义：设a1, a2 ,...,an是向量空间Vn的一个基， a∈ 对于任一元素a∈Vn,总有且仅有一组有序数 x1, x2 ,..., xn,使 a = x1a1 + ... + xnan x1, x2 ,..., xn这组有序数就称为元素a在基a1, a2 ,... an下的坐标，并记为 a = ( x1, x2 ,..., xn )T

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由前面的定理可知， 由前面的定理可知，向量空间的基是不唯一 的，但不同的两个基中含有的元素的个数是相同 维向量空间中， 的。n 维向量空间中，任意 n 个线性无关的向量 都可充当该向量空间的一个基。 都可充当该向量空间的一个基。 n维向量空间的常用的一组基 维向量空间的常用的一组基: 维向量空间的常用的一组基

1 0 1 0 , , L M M 0 0

,

0 0 M 1

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2 2 1 1 4 例3. 设A = 2 1 2 ,B = 0 3 ,验证A 的 1 2 2 4 2 3 三个列向量a1, a2 , a3是R 的一个基，并求B 列 的 向量b1, b2在这个基下的坐标.解：要证a1, a2 , a3是R3的一个基，只要能证a1, a2 , a3线性无关，即只要证A ~ E x1 y1 ,记 设(b1, b2 ) = (a1, a2 , a3) x2 y2 ,记B = AX x y 3 3 对矩阵(A B)进行初等行变换，若A 变成E, | )进 能

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则a1, a2 , a3为R3的一个基，且当A变为E时，B 1 就变为X = A B. 2 2 1 1 4 1 2 2 4 2 ( A | B ) = 2 1 2 0 3 ~ 0 3 6 8 7 1 2 2 4 2 0 6 3 7 8 1 2 2 4 2 1 0 0 2 4 3 3 8 7 2 ~ 0 1 2 3 3 ~ 0 1 0 3 1 0 0 1 1 2 0 0 1 1 2 3 3 因有A ~ E,故a1 , a2 , a3为R 3的一个基，且b1 , b2 在a1 , a2 , a3下的坐标为： 4 2 T 2 2 T 1 ( , , 1) ,( , , ) 3 3 3 3

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4 例 .在R 中取定一组基a1,a2 , a3,再取一个新基 b1, b2 , b3,记A = (a1,a2 ,a3 ),B = (b1, b2 ,b3 ),求用 a1,a2 ,a3表示b1,b2 , b3的表示式(基变换公式),并 求向量在两个基中的坐标之间的关系式(坐标 变换公式). Q 解： (a1, a2 , a3 ) = (e1, e2 ,e3 )A , ∴(e1,e2 , e3 ) = (a1, a2 , a3 )A 1, 又(b1, b2 ,b3 ) = (e1,e2 , e3 )B ∴(b1, b2 , b3 ) = (a1, a2 , a3 )A 1B ( 即基变换公式为

: b1, b2 , b3 ) = (a1, a2 , a3 )P 其中P = A 1B.3

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设向量x在旧基和新基中的坐标分别是： (y1, y2 , y3 )T,(x1, x2 , x3 )T,即有 y1 x1 x = (a1, a2 ,a3 ) y2 ,x = (b1, b2 ,b3 ) x2 y x 3 3 y1 x1 y1 x1 故:A y2 = B x2 y2 = A 1B x2 y x y x 3 3 3 3 y1 x1 y2 = P x2 即 y x 3 3

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5 例 .已知R3的两个基为： 1 1 1 1 2 a1 = 1 ,a2 = 0 ,a3 = 0 及b1 = 2 ,b2 = 3 , 1 1 1 1 4 3 b3 = 4 ,求由基a1,a2 , a3到基b1, b2 , b3的过渡矩 3 阵.

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1 1 1 1 2 3 解：A = 1 0 0 、B = 2 3 4 1 1 1 1 4 3 (b1,b2,b3 ) = (a1,a2,a3 )P,且P = A 1B 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 而(A | E ) = 1 0 0 0 1 0 ~ 0 1 0 1 0 1 2 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 2 2 2 由基a1 , a2 , a3到基b1 , b2 , b3的过渡矩阵 0 1 0 1 2 3 2 3 4 P = A 1 B = 1 0 1 2 3 4 = 0 1 0 . 2 1 1 1 2 1 4 3 1 0 1 2 2

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