专题18+恒成立问题 - 最值分析法-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展+Word版含解析

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专题18 恒成立问题——最值分析法

【热点聚焦与扩展】

不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数a?f?x?恒成立(a?f?x?max可)或a?f?x?恒成立

（a?f?x?min即可）；② 数形结合(y?f?x?图象在y?g?x? 上方即可)；③ 最值法：讨论最值f?x?min?0或f?x?max?0恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设f?x?的定义域为D

（1）若?x?D，均有f?x??C（其中C为常数），则f?x?max?C （2）若?x?D，均有f?x??C（其中C为常数），则f?x?min?C 3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

① 观察函数f?x?的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：

通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号. （3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.

【经典例题】

例1．【2018届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在错误！未找到引用源。上的偶函数错误！未找到引

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用源。在错误！未找到引用源。上单调递减，若不等式错误！未找到引用源。对任意错误！未找到引用源。恒成立，则实数错误！未找到引用源。的取值范是（ ）

A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 【答案】A

【解析】 因为定义在错误！未找到引用源。上的偶函数错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上递减，所以错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上单调递增， 若不等式错误！未找到引用源。对于错误！未找到引用源。上恒成立， 则错误！未找到引用源。对于错误！未找到引用源。上恒成立， 即错误！未找到引用源。对于错误！未找到引用源。上恒成立，

（2）当错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上恒成立，错误！未找到引用源。单调递减，

因为最大值错误！未找到引用源。，最小值错误！未找到引用源。，所以错误！未找到引用源。， 综合可得，错误！未找到引用源。无解，

（3）当错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。时，在错误！未找到引用源。上，错误！未找到引用源。恒成立，错误！未找到引用源。为减函数，

在错误！未找到引用源。上，错误！未找到引用源。恒成立，错误！未找到引用源。单调递增， 故函数最小值为错误！未找到引用源。，

若错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，则最大值为错误！未找到引用源。，

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此时，由错误！未找到引用源。，求得错误！未找到引用源。， 综上可得错误！未找到引用源。；

若错误！未找到引用源。，即错误！未找到引用源。，因为错误！未找到引用源。，则最大值为错误！未找到引用源。，

点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上恒成立，令错误！未找到引用源。，求的函数错误！未找到引用源。的最大值和最小值，从而得到实数错误！未找到引用源。的取值范围.

例2.若关于错误！未找到引用源。的不等式错误！未找到引用源。，对任意错误！未找到引用源。恒成立，则错误！未找到引用源。的取值范围是( )

A. 错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 C. 错误！未找到引用源。 D. 错误！未找到引用源。 【答案】B

【解析】设y=x﹣3x﹣9x+2，则y′=3x﹣6x﹣9， 令y′=3x﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3， ∵3?[﹣2，2]，∴x2=3（舍）， 列表讨论：

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∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0， f（﹣1）=﹣1﹣3+9+2=7， f（2）=8﹣12﹣18+2=﹣20，

∴y=x﹣3x﹣9x+2在x∈[﹣2，2]上的最大值为7，最小值为﹣20， ∵关于x的不等式x﹣3x﹣9x+2≥m对任意x∈[﹣2，2]恒成立， ∴m≤﹣20， 故选：B．

例3．已知函数f?x??3

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ax2x?e?1y?e?0.其中1,f1，曲线在点处的切线方程为y?fx????????xbe?1e?2.71828为自然对数的底数

（1）求a,b的值

（2）如果当x?0时，f?2x??【答案】（1）1,1；（2）k?0. 【解析】解：（1）f'?x??1?k恒成立，求实数k的取值范围 xea?bex?1??bexax?bex?1?2

?f?x??x xe?12x1?k?，若参变分离，则分离后的函数过于复杂，不利于求得最值，所以

e2x?1ex2x（2）思路：恒成立不等式为：

考虑利用最值法，先变形不等式，由于e不等式变形为：?1?k?e2x?1的符号不确定（以x?0为界），从而需进行分类讨论.当x?0时，

?2xex??1?k??0，设g?x???1?k?e2x?2xex??1?k?，可观察到g?0??0，

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则若要x?0时，g?x??0，则需g'?0??0，进而解出k?0，再证明k?0时，g?x??0即可.将k的范围缩至k?0时再证明x?0时，g?x??0即可. 解：由（1）可得恒成立的不等式为：当x?0时，

2x1?k? 2xxe?1e2x1?k??2xex??1?k??e2x?1? 2xxe?1e ??1?k?e2x?2xex??1?k??0 设g?x???1?k?e2x?2xex??1?k?，可得g?0??0

g'?x??2?1?k?e2x?2?x?1?ex

xg'?x??2?1?k?e2x?2?x?1?ex?2ex?1?ke?x?1?????

k?0 ??1?k?ex?x?1?ex?x?1?0

?g'?x??0 ?g?x?在?0,???单调递增 ?g?x??g?0??0，即不等式恒成立

当x?0时，

2x1?k??2xex??1?k??e2x?1? 2xxe?1e2x ??1?k?e?2xex??1?k??0?g?x??0

xk?0 ?同理，g'?x??2ex?1?ke?x?1??????0

?g?x?在???,0?单调递增 ?g?x??g?0??0

即k?0时不等式在x????,0? 恒成立 综上所述，k?0 .

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2例4．设函数f(x)?aex(x?1)（其中e?2.71828....），gx()x?bx??2，已知它们在x?0处有相同的切线.

（1）求函数f(x)，g(x)的解析式；

（2）若对?x??2,kf(x)?g(x)恒成立，求实数k的取值范围.

2?1,e【答案】（1）f?x??2ex?x?1?,g?x??x2?4x?2；（2）k????.

解：令F?x??2kex?x?1???x2?4x?2?，?只需F?x?min?0

F'?x??2kex?x?2??2x?4?2?kex?1??x?2? ?x??2?

令F?x??0?ke?1

'xx??2,F(x)?0均成立，?F?0??2k?2?0 ?k?1（上一步若直接求单调增区间，则需先对k的符号进

0行分类讨论.但通过代入x?0（e?1，便于计算），解得了k要满足的必要条件，从而简化了步骤.）

11?x?ln x???2,??? kk1下面根据x?ln是否在??2,???进行分类讨论：

k12① ln??2?k?e

k?解得ex??F?x?在??2,???单调递增. ?F?x?min?F??2???2ke?2?2?22?e?k??0 e22

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