小学数学所有概念、定律、公式、单位换算、典型应用题

小学数学概念、定律、公式、问题和单位换算

方程、代数与等式

等式：等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。

等式的基本性质：等式两边同时乘以（或除以）一个相同的数，等式仍然成立。 方程式：含有未知数的等式叫方程式。

一元一次方程式：含有一个未知数，并且未知数的次 数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 代数： 代数就是用字母代替数。

代数式：用字母表示的式子叫做代数式。如：3x =ab+c 分数

分数：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。

分数大小的比较：同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较；若分子相同，分母大的反而小。

分数的加减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。

分数的加、减法则：同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减，先通分，然后再加减。

倒数的概念：如果两个数乘积是1，我们称一个是另一个的倒数。这两个数互为倒数。1的倒数是1，0没有倒数。 分数除以整数（0除外），等于分数乘以这个整数的倒数。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小。 分数的除法则：除以一个数（0除外），等于乘这个数的倒数。

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真分数：分子比分母小的分数叫做真分数。

假分数：分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于或等于1。 带分数：把假分数写成整数和真分数的形式，叫做带分数。

分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分数的大小不变。 比

什么叫比：两个数相除就叫做两个数的比。如：2÷5或3:6或1/3 比的前项和后项同时乘以或除以一个相同的数（0除外），比值不变。

什么叫比例：表示两个比相等的式子叫做比例。如3:6＝9:18 比例的基本性质：在比例里，两外项之积等于两内项之积。 解比例：求比例中的未知项，叫做解比例。如3:χ＝9:18

正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着化，如果这两种量中相对应的的比值（也就是商k）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。如：y/x=k( k一定)或kx=y 反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系就叫做反比例关系。 如：x×y = k( k一定)或k / x = y 百分数

百分数：表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。

把小数化成百分数，只要把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。其实，把小数化成百分数，只

要把这个小数乘以100％就行了。把百分数化成小数，只要把百分号去掉，同时把小数点向左移动两位。

把分数化成百分数，通常先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。其

实，把分数化成百分数，要先把分数化成小数后，再乘以100％就行了。

把百分数化成分数，先把百分数改写成分数，能约分的要约成最简分数。

要学会把小数化成分数和把分数化成小数的化发。

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倍数与约数

最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。公因数有有限个。其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数。

最小公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。公倍数有无限个。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

互质数： 公约数只有1的两个数，叫做互质数。相临的两个数一定互质。两个连续奇数一定互质。1和任何数互质。

通分：把异分母分数的分别化成和原来分数相等的同分母的分数，叫做通分。（通分用最小公倍数）约分：把一个分数的分子、分母同时除以公约数，分数值不变，这个过程叫约分。

最简分数：分子、分母是互质数的分数，叫做最简分数。分数计算到最后，得数必须化成最简分数。质数（素数）：一个数，如果只有1和它本身两个约数，这样的数叫做质数（或素数）。

合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的约数，这样的数叫做合数。1不是质数，也不是合数。质因数：如果一个质数是某个数的因数，那么这个质数就是这个数的质因数。 分解质因数：把一个合数用质因数相成的方式表示出来叫做分解质因数。

倍数特征：

2的倍数的特征：各位是0，2，4，6，8。

3（或9）的倍数的特征：各个数位上的数之和是3（或9）的倍数。 5的倍数的特征：各位是0，5。

4（或25）的倍数的特征：末2位是4（或25）的倍数。 8（或125）的倍数的特征：末3位是8（或125）的倍数。

7（11或13）的倍数的特征：末3位与其余各位之差（大-小）是7（11或13）的倍数。 17（或59）的倍数的特征：末3位与其余各位3倍之差（大-小）是17（或59）的倍数。 19（或53）的倍数的特征：末3位与其余各位7倍之差（大-小）是19（或53）的倍数。 23（或29）的倍数的特征：末4位与其余各位5倍之差（大-小）是23（或29）的倍数。

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倍数关系的两个数，最大公约数为较小数，最小公倍数为较大数。 互质关系的两个数，最大公约数为1，最小公倍数为乘积。 两个数分别除以他们的最大公约数，所得商互质。

两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。 两个数的公约数一定是这两个数最大公约数的约数。 1既不是质数也不是合数。

用6去除大于3的质数，结果一定是1或5。

奇数与偶数

偶数：个位是0，2，4，6，8的数。 奇数：个位不是0，2，4，6，8的数。

偶数±偶数＝偶数 奇数±奇数＝奇数 奇数±偶数＝奇数 偶数个偶数相加是偶数，奇数个奇数相加是奇数。 偶数×偶数＝偶数 奇数×奇数＝奇数 奇数×偶数＝偶数 相临两个自然数之和为奇数，相临自然数之积为偶数。 如果乘式中有一个数为偶数，那么乘积一定是偶数。 奇数≠偶数 整除

如果c｜a， c｜b，那么c｜(a±b) 如果，那么b｜a，c｜a

如果b｜a，c｜a，且(b,c)=1，那么bc｜a 如果c｜b，b｜a，那么c｜a

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小数

自然数：用来表示物体个数的整数，叫做自然数。0也是自然数。 纯小数：个位是0的小数。 带小数：各位大于0的小数。

循环小数：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做循环小数。如3.141414

不循环小数：一个小数，从小数部分起，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做不循环小数。如3.141592654

无限循环小数：一个小数，从小数部分到无限位数，一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限循环小数。如3.141414??

无限不循环小数：一个小数，从小数部分起到无限位数，没有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数叫做无限不循环小数。如3.141592654??

算术定律

1、加法交换律：两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律：a + b = b + a 3、乘法交换律：a × b = b × a

4、乘法结合律：a × b × c = a ×(b × c) 5、乘法分配律：a × b + a × c = a × b + c 6、除法的性质：a ÷ b ÷ c = a ÷(b × c)

7、除法的性质：在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。0除以任何不是0的数都得0。

8、简便乘法：被乘数、乘数末尾有0的乘法，可以先把0前面的相乘，0不参加运算，有几个0都落下，添在积的末尾。

9、有余数的除法： 被除数＝商×除数+余数

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四则运算规则 1. 加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a 。 2. 加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加它们的和不变，即（a+b)+c=a+(b+c) 。 3. 乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。 4. 乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘以第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(a×b)×c=a×(b×c) 。 5. 乘法分配律：

两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。6. 减法的性质：

从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c) 。 7.除法的运算性质：

一个数除以两个数的积，等于这个数依次除以积的两个因数。即a÷(b×c) = a÷b÷c

数量关系计算公式

1、 每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数 2、 1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数 3、 速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度 4、 单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价

5、 工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷工作时间＝工作效率 6、 加数＋加数＝和 和－一个加数＝另一个加数

7、 被减数－减数＝差 被减数－差＝减数 差＋减数＝被减数 8、 因数×因数＝积 积÷一个因数＝另一个因数

9、 被除数÷除数＝商 被除数÷商＝除数 商×除数＝被除数

数学图形计算公式 1 、正方形

C：周长 S：面积 a：边长

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1) 周长＝边长×4 C=4a 2) 面积=边长×边长 S=a×a 2 、正方体 V：体积 a：棱长

1) 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6 2) 体积=棱长×棱长×棱长 V=a×a×a 3 、长方形

C：周长 S：面积 a：边长 1) 周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 2) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体

V：体积 s：面积 a：长 b：宽 h：高

1) 表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 2) 体积=长×宽×高 V=abh 5 、三角形

S：面积 a：底 h：高 面积=底×高÷2 S=ah÷2 三角形高=面积 ×2÷底 三角形底=面积 ×2÷高 6 、平行四边形 S：面积 a：底 h：高 面积=底×高 S=ah 7 、梯形

S：面积 a：上底 b：下底 h：高

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S=2(ab+ah+bh)

面积=(上底+下底)×高÷2 S=(a+b)× h÷2 8 、圆形

S：面积 C：周长 πd=直径 r=半径 周长=直径×∏=2×π×半径 C=πd=2πr 面积=半径×半径×π S=πr2

9、 圆柱体

V：体积 h：高 S：底面积 r：底面半径 c：底面周长 1) 侧面积=底面周长×高 S=ch

2) 表面积=侧面积+底面积×2 S=2πr +2πrh=2π(d÷2) +2π(d÷2)h=2π(C÷2÷π) +Ch 3) 体积=底面积×高 V=πr h=π(d÷2) h=π(C÷2÷π) h 4) 体积＝侧面积÷2×半径 10、 圆锥体

V：体积 h：高 S：底面积 r：底面半径

体积=底面积×高÷3 V=Sh÷3=πr h÷3=π(d÷2) h÷3=π(C÷2÷π) h÷3 和差问题

(和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数

和倍问题

和÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或者 和－小数＝大数)

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差倍问题

差÷(倍数－1)＝小数 小数×倍数＝大数 (或 小数＋差＝大数)

植树问题

1．非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形: ⑴、如果在非封闭线路的两端都要植树,那么:

株数＝段数＋1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数－1) 株距＝全长÷(株数－1)

⑵、如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那么:

株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数

⑶、如果在非封闭线路的两端都不要植树,那么:

株数＝段数－1＝全长÷株距－1 全长＝株距×(株数＋1) 株距＝全长÷(株数＋1)

2．封闭线路上的植树问题的数量关系如下

株数＝段数＝全长÷株距 全长＝株距×株数 株距＝全长÷株数

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盈亏问题

(盈＋亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大盈－小盈)÷两次分配量之差＝参加分配的份数 (大亏－小亏)÷两次分配量之差＝参加分配的份数

相遇问题

相遇路程＝速度和×相遇时间 相遇时间＝相遇路程÷速度和 速度和＝相遇路程÷相遇时间

追及问题

追及距离＝速度差×追及时间 追及时间＝追及距离÷速度差 速度差＝追及距离÷追及时间

流水问题

顺流速度＝静水速度＋水流速度 逆流速度＝静水速度－水流速度 静水速度＝(顺流速度＋逆流速度)÷2 水流速度＝(顺流速度－逆流速度)÷2

浓度问题

溶质的重量＋溶剂的重量＝溶液的重量 溶质的重量÷溶液的重量×100%＝浓度 溶液的重量×浓度＝溶质的重量

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溶质的重量÷浓度＝溶液的重量

利润与折扣问题

利润＝售出价－成本

利润率＝利润÷成本×100%＝(售出价÷成本－1)×100% 涨跌金额＝本金×涨跌百分比

折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 利息＝本金×利率×时间

税后利息＝本金×利率×时间×(1－20%)

*时间：一般以年或月为单位，应与利率的单位相对应）

*利率：利息与本金的比值叫做利率。一年的利息与本金的比值叫做年利率。一月的利息与本金的比值叫做月利率。

长度单位换算 (一)、什么是长度

长度是一维空间的度量。 (二)、长度常用单位

* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um) (三)、单位之间的换算 1千米=1000米 1米=10分米 1米=100厘米 1分米=10厘米 1厘米=10毫米

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面积单位换算 （一）、什么是面积

面积，就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。 （二）、常用的面积单位

* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米 （三）、面积单位的换算 1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米

体(容)积单位换算

（一）、什么是体积、容积 体积，就是物体所占空间的大小。

容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 （二）、常用单位 1、 体积单位

* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米 2 、容积单位 * 升 * 毫升 （三）、单位换算 1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升

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重量单位换算 （一）、什么是重量

重量，就是表示表示物体有多重。 （二）、常用单位

* 吨 t * 千克 kg * 克 g （三）、常用换算 1吨=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤

人民币单位换算

（一）、什么是货币

货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表，可以购买任何别的商品。（二）、常用单位 * 元 * 角 * 分 （三）单位换算 1元=10角 1角=10分 1元=100分

时间单位换算

（一）、什么是时间

是指有起点和终点的一段时间 （二）、常用单位

世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒 （三）单位换算

1世纪=100年 1年=12月

大月(31天)有:1\\3\\5\\7\\8\\10\\12月 小月(30天)的有:4\\6\\9\\11月

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平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天 1日=24小时 1时=60分 1分=60秒 1时=3600秒

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小学数学典型应用题

一、归一问题

例1、买5支铅笔要0.6元钱，买同样的铅笔16支，需要多少钱？ 解（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱？0.12×16＝1.92（元） 列成综合算式0.6÷5×16＝0.12×16＝1.92（元） 答：需要1.92元。

【含义】在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。

【数量关系】总量÷份数＝1份数量1份数量×所占份数＝所求几份的数量 另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。

例2、3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？ （2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？ 列成综合算式 答：5台拖拉机6天耕地

例3、5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次？ 解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？ （2）7辆汽车1次能运多少吨钢材？ （3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？ 列成综合算式

答：需要运

练习1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度，5台拖拉机6时可耕地多少公顷？ 2．4台织布机5时可以织布2600米，24台织布机几小时才能织布24960米？ 3．一种幻灯机，5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子？

4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度，5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？

5．平整一块土地，原计划8人平整，每天工作7.5时，6天可以完成任务。由于急需播种，要求5天完成，并且增加1人。问：每天要工作几小时？

6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋，原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了，他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元？ 7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后，由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤。问：这些煤共可以供暖多少天？

二、 归总问题

例1、服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布，现在可以做多少套？

解（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米） （2）现在可以做多少套？2531.2÷2.8＝904（套） 列成综合算式3.2×791÷2.8＝904（套） 答：现在可以做904套。

【含义】解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等。 【数量关系】1份数量×份数＝总量总量÷1份数量＝份数 总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。

例2、小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》？

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解（1）《红岩》这本书总共多少页？ （2）小明几天可以读完《红岩》？ 列成综合算式 答：小明 天可以读完《红岩》。

例3、食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天？ 解（1）这批蔬菜共有多少千克？ （2）这批蔬菜可以吃多少天？ 列成综合算式 答：这批蔬菜可以吃 天。

三、 和差问题

例1、甲乙两班共有学生98人，甲班比乙班多6人，求两班各有多少人？ 解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人） 乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人） 答：甲班有52人，乙班有46人。

【含义】已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】大数＝（和＋差）÷2 小数＝（和－差）÷2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例2、长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。 解长＝ （厘米）宽＝ （厘米） 长方形的面积＝ （平方厘米） 答：长方形的面积为 平方厘米。

例3、有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知 甲袋化肥重量＝ 丙袋化肥重量＝ 乙袋化肥重量＝

答：甲袋化肥重 千克，乙袋化肥重 千克，丙袋化肥重 千克。

例4、甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐？

解“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是 ，甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝ （筐） 乙车筐数＝

答：甲车原来装苹果 筐，乙车原来装苹果 筐。

四、 和倍问题

例1、果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：杏树有62棵，桃树有186棵。

【含义】已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数总和－较小的数＝较大的数 较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例2、东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨？

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解（1）西库存粮数＝ （2）东库存粮数＝ 答：东库存粮 吨，西库存粮 吨。

例3、甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

解：每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，那么，几天以后甲站的车辆数减少为 所求天数为 答：

例4、甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少？ 解乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍； 又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；

这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么， 甲数＝ 乙数＝ 丙数＝

答：甲数是 ，乙数是 ，丙数是 。

五、 差倍问题

例1、果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵） （2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵） 答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵。

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数 较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例2、爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁？ 解（1）儿子年龄＝ （2）爸爸年龄＝

答：父子二人今年的年龄分别是 和 。

例3、商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元？

解如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就相当于上月盈利的 倍，因此上月盈利＝ 本月盈利＝

答：上月盈利是 万元，本月盈利是 万元。

例4、粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？ 解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差 。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么， 就相当于 倍，因此 剩下的小麦数量＝ 运出的小麦数量＝ 运粮的天数＝

答： 天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

六、 倍比问题

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例1、100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少？ 解（1）3700千克是100千克的多少倍？3700÷100＝37（倍） （2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克） 列成综合算式40×（3700÷100）＝1480（千克） 答：可以榨油1480千克。

【含义】有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数，再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。

【数量关系】总量÷一个数量＝倍数另一个数量×倍数＝另一总量 【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。

例2、今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵？ 解（1）48000名是300名的多少倍？ （2）共植树多少棵？

列成综合算式: 答：全县48000名师生共植树 棵。

例3、凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元？

解（1）800亩是4亩的几倍？ （2）800亩收入多少元？ （3）16000亩是800亩的几倍？ （4）16000亩收入多少元？

答：全乡800亩果园共收入 元，全县16000亩果园共收入 元。

七、 相遇问题

例1、南京到上海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇？ 解392÷（28＋21）＝8（小时） 答：经过8小时两船相遇。

【含义】两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速） 总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例2、小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间？

解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。因此总路程为: 相遇时间:

答：二人从出发到第二次相遇需 秒时间。

例3、甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是 千米，因此: 相遇时间: 两地距离: 答：两地距离是 千米。 八、 追及问题

例1、好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马？ 解（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米） （2）好马几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天） 列成综合算式75×12÷（120－75）＝900÷45＝20（天）

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答：好马20天能追上劣马。

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。这类应用题就叫做追及问题。

【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速） 追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例2、小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

解:小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了 米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。又知小明跑200米用40秒，则跑500米用 秒， 所以小亮的速度是 答：小亮的速度是每秒 米。

例3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人？

解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是 小时，这段时间敌人逃跑的路程是 千米，甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间:

答：解放军在 小时后可以追上敌人。

例4、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

解这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车 千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

这个时间为

所以两站间的距离为 列成综合算式 答：甲乙两站的距离是 千米。

例5兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远？

解要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走

（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走 米，那么，二人从家出走到相遇所用时间为: 家离学校的距离为: 答：家离学校有 米远。

例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度。

解手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到 分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了 分钟。如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用 分钟。所以 步行1千米所用时间为 跑步1千米所用时间为 跑步速度为每小时 答：孙亮跑步速度为每小时 千米。

九、 植树问题

例1、一条河堤136米，每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解136÷2＋1＝68＋1＝69（棵）

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答：一共要栽69棵垂柳。

【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1 环形植树棵数＝距离÷棵距 方形植树棵数＝距离÷棵距－4 三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。

例2、一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树，一共能栽多少棵白杨树？ 解: 答：一共能栽 棵白杨树。

例3、一个正方形的运动场，每边长220米，每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯？ 解 答：一共可以安装 个照明灯。

例4、给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖，所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖？

解 答：至少需要 块地板砖。

例5一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？

解（1）桥的一边有多少个电杆？ （2）桥的两边有多少个电杆？ （3）大桥两边可安装多少盏路灯？ 答：大桥两边一共可以安装 盏路灯。

十、 年龄问题

例1、爸爸今年35岁，亮亮今年5岁，今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解35÷5＝7（倍）（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，明年爸爸的年龄是亮亮的6倍。

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化。

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法。

例2、母亲今年37岁，女儿今年7岁，几年后母亲的年龄是女儿的4倍？ 解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁？ （2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？ 列成综合算式 答： 年后母亲的年龄是女儿的4倍。

例3、3年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍，父子今年各多少岁？ 解今年父子的年龄和应该比3年前增加 岁，今年二人的年龄和为

把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相当于 倍，因此，今年儿子年龄为 今年父亲年龄为 答：今年父亲年龄是 岁，儿子年龄是 岁。

例4、甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是多少？

解:这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

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甲 乙 过去某一年 □岁 4岁 今年 △岁 □岁 将来某一年 61岁 △岁 表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示同一个数。

因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4，□，△，61成等差数列，所以，61应该比4大3个年龄差，因此二人年龄差为 甲今年的岁数为 乙今年的岁数为

答：甲今年的岁数是 岁，乙今年的岁数是 岁。

十一、 行船问题

例1、一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时？

解由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用32小时。

【含义】行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速 （顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2 逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例2、甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间？

解由题意得甲船速＋水速＝ 甲船速－水速＝ 可见 相当于水速的2倍，

所以，水速为每小时 又因为，乙船速－水速＝ 所以，乙船速为 乙船顺水速为

所以，乙船顺水航行360千米需要 答：乙船返回原地需要 小时。

例3、一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米，风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3小时到达，顺风飞回需要几小时？

解这道题可以按照流水问题来解答。

（1）两城相距多少千米？ （2）顺风飞回需要多少小时？ 列成综合算式 答：飞机顺风飞回需要 小时。

十二、 列车问题

例1、一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米？

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解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和。 （1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米） （2）这列火车长多少米？2700－2400＝300（米） 列成综合算式900×3－2400＝300（米） 答：这列火车长300米。

【含义】这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速－乙车速） 火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）÷（甲车速＋乙车速） 【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例2、一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥，用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米？ 解火车过桥所用的时间是2分5秒＝ 秒，所走的路程是 米，这段路程就是（200米＋桥长），所以，桥长为

答：大桥的长度是 米。

例3、一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶，一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间？

解从追上到追过，快车比慢车要多行 米，而快车比慢车每秒多行 米，因此，所求的时间为 答：需要 秒。

例4、一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以每秒3米的速度迎面走来，那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间？

解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题。

答：火车从工人身旁驶过需要 秒钟。

例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒，以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的车速和车身长度各是多少？

解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同，是因为隧道比大桥长。可知火车在 秒的时间内行驶了 米的路程，因此，火车的车速为每秒 进而可知，车长和桥长的和为 米，因此，车长为

答：这列火车的车速是每秒 米，车身长 米。

十三、 时钟问题

例1、从时针指向4点开始，再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解钟面的一周分为60格，分针每分钟走一格，每小时走60格；时针每小时走5格，每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格。4点整，时针在前，分针在后，两针相距20格。所以 分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）＝2（分钟） 答：再经过2分钟时针正好与分针重合。

【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类比。

【数量关系】分针的速度是时针的12倍，二者的速度差为11/12。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。

【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。 例2、四点和五点之间，时针和分针在什么时候成直角？ 解钟面上有60格，它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）。四点整的时候，分针在时针后（5×4）格，如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走 格，

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如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走 格。再根据1分钟分针比时针多走 格就可以求出二针成直角的时间。

答： 及 时两针成直角。

例3、六点与七点之间什么时候时针与分针重合？

解六点整的时候，分针在时针后 格，分针要与时针重合，就得追上时针。这实际上是一个追及问题。 答： 的时候分针与时针重合。

十四、 盈亏问题 例1、给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个就少1个。问有多少小朋友？有多少个苹果？ 解按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系： （1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人） （2）有多少个苹果？3×12＋11＝47（个） 答：有小朋友12人，有47个苹果。

【含义】根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题。

【数量关系】一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏，则有： 参加分配总人数＝（盈＋亏）÷分配差 如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差 参加分配总人数＝（大亏－小亏）÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

例2、修一条公路，如果每天修260米，修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天。这条路全长多少米？

解题中原定完成任务的天数，就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加分配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

原定完成任务的天数为 这条路全长为 答：这条路全长 米。 例3、学校组织春游，如果每辆车坐40人，就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完。问有多少车？多少人？ 解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，于是就有 （1）有多少车？ （2）有多少人？ 答：有 辆车，有 人。

十五、 工程问题

例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？

解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天） 答：两队合做需要6天完成。

【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

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工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率 工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例2、一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个？

解设总工作量为1，则甲每小时完成 ，乙每小时完成 ，甲比乙每小时多完成 ，二人合做时每小时完成 。因为二人合做需要 小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件， 所以（1）每小时甲比乙多做多少零件？ （2）这批零件共有多少个？ 答：这批零件共有 个。

解二上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为 由此可知，甲比乙多完成总工作量的 所以，这批零件共有

例3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成？

解必须先求出各人每小时的工作效率。如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为

12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数 ，则甲乙丙三人的工作效率分别是 因此,余下的工作量由乙丙合做还需要 答：还需要 小时才能完成。

例4、一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管？

解注（排）水问题是一类特殊的工程问题。往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为 ，2个进水管15小时注水量为 ，从而可知

每小时的排水量为 即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。由此可知

一池水的总工作量为 又因为在2小时内， 每个进水管的注水量为1×2，所以，2小时内注满一池水

至少需要多少个进水管？ 答：至少需要 个进水管。

十六、 正反比例问题

例1、修一条公路，已修的是未修的1/3，再修300米后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米？ 解由条件知，公路总长不变。

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12 现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份，则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为 300÷（4－3）×12＝3600（米） 答：这条公路总长3600米。 【含义】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做

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成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷。

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

例2、张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算，91分钟可以做几道应用题？ 解做题效率一定，做题数量与做题时间成正比例关系 设91分钟可以做X应用题则有 答：91分钟可以做 道应用题。

例3、孙亮看《十万个为什么》这本书，每天看24页，15天看完，如果每天看36页，几天就可以看完？ 解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系 设X天可以看完，就有 答： 天就可以看完。

例4、一个大矩形被分成六个小矩形，其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积。 A 36 25 B 20 16 解由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等。因此， 解这两个比例，得 所以，大矩形面积为 答：大矩形的面积是

十七、 按比例分配问题

例1、学校把植树560棵的任务按人数分配给五年级三个班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三个班各植树多少棵？

解总份数为47＋48＋45＝140

一班植树560×47/140＝188（棵） 二班植树560×48/140＝192（棵） 三班植树560×45/140＝180（棵）

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份数。 【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；

从问题看，求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法，分别求出各部分量的值。

例2、用60厘米长的铁丝围成一个三角形，三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米？ 解

答：三角形三条边的长分别是 厘米、 厘米、 厘米。

例3、从前有个牧民，临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子，大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3，三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分，求三个儿子各分多少只羊。

解如果用总数乘以分率的方法解答，显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解，则很容易得到 答：大儿子分得 只羊，二儿子分得 只羊，三儿子分得 只羊。

例4、某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21，第一车间比第二车间少80人，三个车间共多少人？

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人数 对应的份数 80人 一共多少人？ 解 答：三个车间一共 人。

十八、 百分数问题

例1、仓库里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几？ 解（1）用去的占720÷（720＋6480）＝10% （2）剩下的占6480÷（720＋6480）＝90% 答：用去了10%，剩下90%。

【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”。

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%，两个百分点就是2%。 【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数＝比较量÷标准量标准量＝比较量÷百分数 【解题思路和方法】一般有三种基本类型： （1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）已知一个数，求它的百分之几是多少； （3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。

例2、红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，男职工人数比女职工少百分之几？ 解本题中女职工人数为标准量，男职工比女职工少的人数是比较量，所以

答：男职工人数比女职工少 。

例3、红旗化工厂有男职工420人，女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几？ 解本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量，因此 答：女职工人数比男职工多 。

例4、红旗化工厂有男职工420人，有女职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几？ 解（1）男职工占 （2）女职工占 答：男职工占全厂职工总数的 ，女职工占 。

例5百分数又叫百分率，百分率在工农业生产中应用很广泛，常见的百分率有： 增长率＝增长数÷原来基数×100% 合格率＝合格产品数÷产品总数×100% 出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100% 出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100% 缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100% 发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100% 成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100% 出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100% 出油率＝油的重量÷油料重量×100% 废品率＝废品数量÷全部产品数量×100% 命中率＝命中次数÷总次数×100% 烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100% 及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%

十九、 “牛吃草”问题

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例1、一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？

解草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答： （1）求草每天的生长量

因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以 1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为1×10×20－1×15×10＝50 因此，草每天的生长量为50÷（20－10）＝5 （2）求原有草量

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100 （3）求5天内草总量

5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125 （4）求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头） 答：需要25头牛5天可以把草吃完。

【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题的关键是求出草每天的生长量。

例2、一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？

解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算： （1）求每小时进水量

因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量 10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量 所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14 因此，每小时的进水量为 （2）求淘水前原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝ （3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是 答：17人 小时可以淘完水。

二十、 鸡兔同笼问题

例1、长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？ 解假设35只全为兔，则鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只） 兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡，则兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只） 鸡数＝35－12＝23（只） 答：有鸡23只，有兔12只。

【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。 【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

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假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2） 第二鸡兔同笼问题：

假设全都是鸡，则有兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2） 假设全都是兔，则有鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

例2、2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？ 解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有

白菜亩数＝ 答：白菜地有10亩。

例3、李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本3.20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？

解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有 作业本数＝ 日记本数＝

答：作业本有 本，日记本有 本。 例4、（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？ 解假设100只全都是鸡，则有

兔数＝ 鸡数＝ 答：有鸡 只，有兔 只。

例5有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

解假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚 共有大和尚

答：共有大和尚 人，有小和尚 人。

二十一、方阵问题

例1、在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排成方阵，每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人？ 解22×22＝484（人）答：参加体操表演的同学一共有484人。 【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题。 【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数＝（每边人数－1）×4 每边人数＝四周人数÷4＋1 （2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数 内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算，则： 总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定。

例2、有一个3层中空方阵，最外边一层有10人，求全方阵的人数。 解＝ 答：全方阵84人。

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例3、有一队学生，排成一个中空方阵，最外层人数是52人，最内层人数是28人，这队学生共多少人？ 解（1）中空方阵外层每边人数＝ （2）中空方阵内层每边人数＝ （3）中空方阵的总人数＝ 答：这队学生共 人。

例4、一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子，问有棋子多少个？

解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝ （2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝ （3）原有棋子数＝ 答：棋子有 只。

例5有一个三角形树林，顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树？

解第一种方法： 第二种方法： 答：这个三角形树林一共有 棵树。

二十二、商品利润问题

例1、某商品的平均价格在一月份上调了10%，到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何？

解设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%），二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

1－（1＋10%）×（1－10%）＝1% 答：二月份比原价下降了1%。

【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题，包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。 【数量关系】利润＝售价－进货价利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100% 售价＝进货价×（1＋利润率）

亏损＝进货价－售价亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

例2、某服装店因搬迁，店内商品八折销售。苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价，那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少？

解要知亏还是盈，得知实际售价52元比成本少多少或多多少元，进而需知成本。因为52元是原价的80%，所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以成本为 可以看出该店是 的， 利率为 答：该店是 的， 利率是 。

例3、成本0.25元的作业本1200册，按期望获得40%的利润定价出售，当销售出80%后，剩下的作业本打折扣，结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣？

解问题是要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知，每册的原定价是 ，所以关键是求出剩下的每册的实际售价，为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差，即

剩下的作业本每册盈利 又可知 答：剩下的作业本是按原定价的 折出售的。

例4、某种商品，甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润定价，乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元，求乙店的定价。 解设乙店的进货价为1，则甲店的进货价为

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甲店定价为 乙店定价为

由此可得乙店进货价为 乙店定价为 答：乙店的定价是 元。

二十三、存款利率问题

例1、李大强存入银行1200元，月利率0.8%，到期后连本带利共取出1488元，求存款期多长。 解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，

所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率， 所以存款月数为（1488－1200）÷1200÷0.8%＝30（月） 答：李大强的存款期是30月即两年半。

【含义】把钱存入银行是有一定利息的，利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关。利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分数。 【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100% 利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

本利和＝本金＋利息＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例2、银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%，三年期8.28%，五年期9%。如果甲乙二人同时各存入1万元，甲先存二年期，到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出，那么，谁的收益多？多多少元？ 解甲的总利息 乙的总利息 谁比谁多： 答： 的收益较多， 比 多 元。

二十四、溶液浓度问题

例1、爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水，需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克？50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50＝10（克） 答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。

【含义】在生产和生活中，我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系。例如，水是一种溶剂，被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液。溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度。

【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质浓度＝溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式。

例2、要把30%的糖水与15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？ 解假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出

这是因为30%的糖水多用了。于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下，用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样，每“换掉”100克，就会减少糖 所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液） 由此可知，需要15%的溶液 克。 需要30%的溶液

答：需要15%的糖水溶液 克，需要30%的糖水 克。

例3、甲容器有浓度为12%的盐水500克，乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中，混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分盐水倒入乙中，使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度。

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