近世代数练习题
更新时间:2024-05-12 11:50:01 阅读量: 综合文库 文档下载
近世代数练习题(一) 1 判断题:
1.1 设A与B都是非空集合,那么A?B?xx?A且x?B。( ) 1.2 A×B = B×A ( )
1.3 只要f是A到A的一一映射,那么必有唯一的逆映射f1.4 如果?是A到A的一一映射,则??1???1。( )
[?(a)]=a。( )
1.5 集合A到B的可逆映射一定是A到B的双射。( )
1.6 设A、B、D都是非空集合,则A?B到D的每个映射都叫作二元运算。( ) 1.7 在整数集Z上,定义“?”:a?b=ab(a,b∈Z),则“?”是Z的一个二元运算。( ) 1.8 整数的整除关系是Z的一个等价关系。( ) 填空题:
2.1 若A={0,1} , 则A?A= _____________________________________________。 2.2 设A = {1,2},B = {a,b},则A×B =_________________。 2.3 设={1,2,3} B={a,b},则A?B=_______。 2.4 设A={1,2}, 则A?A=_____________________。
2.5 设集合A???1,0,1?;B??1,2?,则有B?A?____________________ 。 2.6 如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,则f?12
?f?a???_________。
2.7 设A ={a1, a2,?a8},则A上不同的二元运算共有____________________个。 2.8 设A、B是集合,| A |=| B |=3,则共可定义_______个从A到B的映射,其中有______________个单射,有_______个满射,有_________个双射。
2.9 设A是n元集,B是m元集,那么A到B的映射共有____________个. 2.10 设A={a,b,c},则A到A的一一映射共有__________个. 2.11 设A={a,b,c,d,e},则A的一一变换共有______个.
2.12 集合A的元间的关系~叫做等价关系,如果~适合下列三个条件:_____________________________________________。
2.13 设A ={a, b, c},那么A的所有不同的等价关系的个数为______________。
2.14 设~是集合A的元间的一个等价关系,它决定A的一个分类:?a?,?b?是两个等价类。则?a???b??______________。
2.15 设集合A有一个分类,其中Ai与Aj是A的两个类,如果Ai?Aj,那么
Ai?Aj?______________。
2.16 设A ={1, 2, 3, 4, 5, 6},规定A的等价关系~如下:a ~ b?2|a-b,那么A的所有不同的等价类是______________ 。
2.17 设M是实数域R上的全体对称矩阵的集合,~是M上的合同关系,则由~给出M
的所有不同的等价类的个数是______________。
2.18 在数域F上的所有n阶方阵的集合Mn(F)中,规定等价关系~:A~B?秩(A)=秩(B),则这个等价关系决定的等价类有________个。
2.19 设M100 (F)是数域F上的所有100阶方阵的集合,在M100 (F)中规定等价关系~如下:A~B?秩(A)=秩(B),则这个等价关系所决定的等价类共有_______个。
2.20 若 M={有理数域上的所有3级方阵},A,B?M,定义A~B?秩(A)=秩(B),则由”~”确定的等价类有_____________________个。
3 证明题:
3.1 设?是集合A到B的一个映射,对于a,b?A,规定关系“~”:
a~b??(a)??(b).证明:“~”是A的一个等价关系.
3.2 在复数集C中规定关系“~”:a~b?|a|?|b|.证明:“~”是C的一个等价关系. 3.3 在n阶矩阵的集合
Mn(F)中规定关系“~”
:A~B?|A|?|B|.证明:“~”是
Mn(F)的一个等价关系.
3.4 设“~”是集合A的一个关系,且满足:(1)对任意a?A,有a~a;(2)对任意a,b,c?A,若a~b,a~c,就有b~c.证明:“~”是A的一个等价关系.
?1g?Gb?gag.a~b?3.5 设G是一个群,在G中规定关系“~”:存在于,使得证
明:“~”是G的一个等价关系.
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