五年级奥数春季班第1讲 勾股定理

第一讲勾股定理

模块1、常见勾股数及辅助线

例1．（1）如图，下列未知边的长度分别是、、。

?54?313?2524

（2）如图，下列图形的面积分别是、、。

101.36.581.21.5

2解：（1）应用勾股定理：

第1个直角三角形中两条直角边分别是3和4，所以斜边长为5；

第2个直角三角形中斜边长为13，一条直角边长为5，所以另一条直角边的长为12； 第3个直角三角形中，斜边长为25，一条直角边长为24，所以另一条直角边的长为7。 （2）第1个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为8，另一条直角边长为6，

所以三角形的面积是

1?8?6?24； 2第2个直角三角形的斜边长为1.3，一条直角边长为1.2，另一条直角边长为0.5， 所以三角形的面积是

1?1.2?0.5?0.3； 2第3的图形中，小直角三角形的两条直角边分别为2和1.5，它的面积是S1=1.5，

斜边长为2.5，大直角三角形的斜边是6.5，一条直角边长为2.5，所以另一条直角边长为6， 面积S2=

1?2.5?6?7.5， 2于是面积等于S1+S2=9.

例2．（1）如左图，梯形的周长为，面积为；如右图，梯形的周长为，面积为；

10201.30.61.21.5161020120.61.30.51.20.61.50.9

（2）下图的梯形ABCD的对角线AC和BD相互垂直，已知AD=3，AC=9，BD=12，则BC的长度为。

2222ADA123D9BE

解：（1）如图，平移得到直角三角形，斜边为20，一条直角边长为12，所以另一条直角边长为16，

于是周长=20+10+16+22=68，面积=

BCC1?16?(10?22)?256； 2第2个图中，做出两条高线，得到两个直角三角形，求得两条直角边长分别为0.5，0.9， 于是梯形的下底长为0.5+0.6+0.9=2，梯形的周长=0.6+2+1.3+1.5=5.4，面积=（2）如图平移AC到DE，连结CE，CE=AD=3，DE=AC=9， 在直角三角形BDE中，BD=12，DE=9，所以斜边BE=15， 解得BC=BE?CE=15?3=12。

1?1.2?(0.6?2)?1.56。 2模块2、勾股定理及其重要模型

例3．（1）以直角三角形ABC的三边向外做三个正方形，正方形内的数代表正方形的面积，求未知正方形的面积为。

A3B14?C

（2）下面的图形是以直角三角形ABC的三边为直径向外做半圆得到，半圆内的数表示所在半圆的面积，求未知半圆的面积为。

157?

解：（1）AB2=3，BC2=14，所以AC2=3+14=17； （2）最小的半圆面积等于

?2?r1=7，第二个半圆面积等于r22=15， 22所以最大的半圆的面积等于

?22

(r1+r2)=7+15=22. 2

例4．（1）下图是由两个直角三角形构成，求问号处的边长是。

2?12

（2）下图是由一个两条直角边长都是1的直角三角形向外做直角三角形得到的，形成一共一个美丽的螺旋图案，第8个直角三角形的斜边长是；如果一直螺旋下去，第个直角三角形的斜边长是10.

111111111

解：（1）由勾股定理，下面的直角三角形的两条直角边长分别为1、2，斜边的平方=1+4=5，

这样上面的直角三角形的两条直角边的平方分别是5、4，它们的和等于9，所以问号处的边长等于3. （2）最小的直角三角形的斜边长的平方,等于2，第2个直角三角形的斜边的平方等于3，

第3个直角三角形的斜边的平方等于4，……，第8个直角三角形的斜边的平方等于9，斜边长等于3， 第n个直角三角形的斜边的平方等于102=100，所以这是第99个直角三角形。

例5．（1）某直角三角形三条边长都是整数，其中一条直角边长是8，求另外两条边的长度分别为 和。

（2）某直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，求它的面积为。

（3）如图，长方形ABCD的长是5，宽是1，现将长方形的右下角折到左上角，三角形ABM的面积是。

A1BNM5DC

解：（1）设斜边长为a，另一条直角边的长为b，所以a2?b2=64，得64=(a+b)(a?b)，

64=26，又a+b、a?b都是整数，且a+b与a?b同奇同偶，

所以可以是??a?b?32?a?b?16?a?17?a?10，或?，解得?或?。

?a?b?2?a?b?4?b?15?b?6（2）直角三角形的一条直角边长为6，周长是15，设斜边为a，则另一条直角边是9?a， 得a?36?(9?a)，解得a=6.5，9?a=2.5，所以三角形的面积=

221?6?2.5?7.5； 2（3）设BM=a，MC=5?a，AM=MC=5?a，在直角三角形ABM中，有勾股定理得 AM2=AB2+BM2，得(5?a)?1?a，解得a=2.4，所以三角形ABM的面积=

221?1?2.4?1.2。 2

模块3 有趣的路径问题 例6．（1）如图是一个铁丝围成的长方体铁架，长、宽、高分别为7厘米、2厘米、3厘米，一只蚂蚁在A点，蚂蚁需要爬到B点处，如果只能沿着长方体的棱爬，最短路径是厘米。

B

（2）如图是一个长方体木块，长、宽、高分别为9厘米、7厘米、5厘米，一只蜘蛛在A点蜘蛛需要爬到B点，如果只能沿着长方体木块的表面爬，最短路径为厘米。

BAA

解：（1）7+3+2=12厘米；

（2）有三种路线，分别是7+9?4=7?13≈10.6；

2+9?49=2+58≈9.6；3+49?4=3+53≈10.28； 所以最短路径为9.6厘米。

随堂测试

1．下图是一个长方形点阵，相邻两点距离为1厘米，求图中多边形的周长为厘米。

解：如图，连结两条辅助线，把图形分成一个小正方形和两个直角三角形，

小正方形的边长为1，小直角三角形的斜边长是5，大直角三角形的斜边长是13， 所以图形的周长为5+2+1+13+13=34。

2．如图是一个直角梯形ABCD，其中AD=4，AB=12，BC=9，求阴影三角形的周长为。

A4DA4D1212B9CB4E5C

解：过D做DE垂直于BC，交BC于点E，则BE=4，EC=5，DE=AB=12，

在直角三角形DEC中，斜边DC=13，在直角三角形ABC中，AB=12，BC=9，所以斜边AC=15， 所以三角形ACD的周长是4+13+15=32。

3．下图是由三个直角三角形组成的，求问号处的边长为。

24？16

解：最下面的直角三角形的两条直角边长分别为1和6，所以它的斜边长的平方等于1+36=37，

中间的直角三角形的两条直角边的平方分别为16和37，它的斜边的平方等于53， 最上面的直角三角形的斜边的平方是53，一条直角边的平方等于4， 所以另一条直角边的平方等于53?4=49，于是这条直角边的长度是7。

4．三角形ABC中，AD是一条高，分别以AB、BD、DC、CA为边向外做正方形，一些正方形的面积已知，正方形内的数代表正方形的面积，求问号处正方形的面积为。

27A10B?D6C

解：由图知AC的平方等于10，CD的平方等于6，所以AD的平方等于10?6=4， 问号处的正方形的面积等于BD2，BD2=AB2?AD2=27?4=23

5．如图，一个直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，将直角折到斜边上，即三角形ABD折到

三角形AED的位置，求三角形DEC的面积为。

AEBDC

解：直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，所以斜边AC=13，

由题意知AE=AB，所以AE=5，CE=13?5=8，

设BD=DE=x，则DC=12?x，有勾股定理得DC2=DE2+EC2，

所以(12?x)2=x2+82，解得x=

1011040，所以三角形DEC的面积等于?8?=。 3233

三角形AED的位置，求三角形DEC的面积为。

AEBDC

解：直角三角形ABC的直角边AB长为5，BC长为12，所以斜边AC=13，

由题意知AE=AB，所以AE=5，CE=13?5=8，

设BD=DE=x，则DC=12?x，有勾股定理得DC2=DE2+EC2，

所以(12?x)2=x2+82，解得x=

1011040，所以三角形DEC的面积等于?8?=。 3233

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