2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中云东校区高二(下)期末数学试

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2019-2020学年山西省朔州市怀仁一中云东校区高二（下）

期末数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，且z 1=2+i ，则z 2=( )

A. 2+i

B. ?2+i

C. 2?i

D. ?2?i

2. 函数y =x|x|的图象的形状大致是( ) A. B. C. D.

3. 在△ABC 中，能使sinA >√32成立的充分不必要条件是( ) A. A ∈(0,π3) B. A ∈(π3,2π3)

C. A ∈(π3,π2)

D. A ∈(π2,5π6) 4. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )

A. 关于点(π3,0)对称

B. 关于直线x =π4对称

C. 关于点(0,π4)对称

D. 关于直线x =π3对称 5. 已知变量x 与y 负相关，且由观测数据算得样本平均数x =4，y =4.5，则由该观

测数据算得的线性回归方程可能是( )

A. y ?=0.4x +2.3

B. y

?=2x ?2.4 C. y ?=?0.3x ?3.3 D. y

?=?2x +12.5 6. △ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB ????? =a ? ，CA ????? =b ? ，|a ? |=1，|b ? |=2，

则CD ????? =( )

A. 13a ? +23b ?

B. 23a ? +13b ?

C. 35a ? +45b ?

D. 45a ? +35b ? 7. 设a =log 37，b =23.3，c =0.81.1，则( )

A. b

B. c

C. c D. a

8. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=9，S 6=36，则a 7+a 8+a 9=( )

A. 63

B. 45

C. 36

D. 27

9. 已知等比数列{a n }中，a 3a 11=4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7=a 7，则b 5+b 9等

于( )

A. 2

B. 4

C. 8

D. 16

10. 已知椭圆C 的中心在原点，左焦点F 1，右焦点F 2均在x 轴上，A 为椭圆的右顶点，

B 为椭圆短轴的端点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2//AB ，则此椭圆的离心率等于( )

A. 12

B. √22

C. 13

D. √55

11. 已知直线ax ?by ?2=0与曲线y =x 3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则a b 为( )

A. 13

B. 23

C. ?23

D. ?13

12.以椭圆x2

169+y2

144

=

1的右焦点为圆心，且与双曲线x2

9

?y2

16

=1的渐近线相切的圆的方程是()

A. x2+y2?10x+9=0

B. x2+y2?10x?9=0

C. x2+y2+10x+9=0

D. x2+y2+10x?9=0

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.命题：“对任意k>0，方程x2+x?k=0有实根”的否定______．

14.若关于实数x的不等式|x?5|+|x+3|

15.如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角

三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的

面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为

α，tanα=______．

16.已知A,B,C,D四点在半径为5√2

2

的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=√41，AB= CD，则三棱锥D?ABC的体积是_________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m??? =(2cos A

2

,?sin A

2

)，n?=

(cos A

2

,??2sin A

2

)，m??? ?n?=?1，

(Ⅰ)求cos A的值；

(Ⅱ)若a=2√3，b=2，求c的值．

18.某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数

学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

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(1)从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概

率；

(2)若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成

P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001

k0 2.706 3.841 6.63510.828

．

附：K2=n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

19.如图，三棱柱ABC?A1B1C1，A1A⊥底面ABC，且

△ABC为正三角形，A1A=AB=6，D为AC中点．

(Ⅰ)求三棱锥C1?BCD的体积；

(Ⅱ)求证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

(Ⅲ)求证：直线AB1//平面BC1D.

20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的一点M(2,y0)到焦点F的距离等于3．

(1)求抛物线C的方程；

(2)若过点D(3,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，求△ABF面积的最小值．

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第4页，共13页 21. 设函数f(x)=alnx ?x ，g(x)=ae x ?x ，其中a 为正实数．

(Ⅰ)若f(x)在(1,+∞)上是单调减函数，且g(x)在(2,+∞)上有最小值，求a 的取值范围；

(Ⅱ)若函数f(x)与g(x)都没有零点，求a 的取值范围．

22. 在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系

xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系、设曲线C 参数方程为{x =√3cosθy =sinθ

(θ为参数)，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ?π4)=2√2．

(1)写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；

(2)求曲线C 上的点到直线l 的最大距离．

第5页，共13页 答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：∵z 1=2+i ，∴z 1在复平面内对应点的坐标为(2,1)，

由复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称，可知z 2在复平面内对应的点的坐标为(?2,1)，

∴z 2=?2+i ，

选：B ．

由z 1得到z 1在复平面内对应的点的坐标，结合题意求得z 2在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．

本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

2.【答案】A

【解析】解：当x >0时，y =x|x|=x 2>0，

故此时函数图象在第一象限，

当x <0时，y =x|x|=?x 2<0，

故此时函数图象在第三象限，

故函数的图象过一，三象限，

故选：A

分x >0和x <0两种情况，讨论函数值的符号，进而分析出函数图象所在的象限，可得答案．

本题考查了函数的图象，考查了分类讨论思想，属于中档题．．

3.【答案】C

【解析】解：在△ABC 中，A ∈(0,π)，

∴由sinA >√32

得：π3

，故A 错误； 对于B ，A ∈(π3,π2)?sinA >√32

， ∴A ∈(π3,π2)是能使sinA >√32

成立的充要条件，故B 错误； 对于C ，A ∈(π3,π2)?sinA >√32

， ∴A ∈(π3,π2)是能使sinA >√32

成立的充分不必要条件，故C 正确； 对于D ，当A ∈(2π3,

5π6)时，sinA <√32，故D 错误． 故选：C ．

在△ABC 中，A ∈(0,π)，由sinA >√32，解得：π3

本题考查充分条件、充要要条件、必要条件的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

4.【答案】A

第6页，共13页 【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx +π3)(ω>0)的最小正周期为π，

∴2πω=π，

∴ω=2，f(x)=sin(2x +π3)，

令x =π3，则2x +π3=π，f(x)=0，故函数的图象关于点(π3,0)对称，故A 满足条件，D 不满足条件；

令x =π4，则2x +π3=

5π6π，f(x)=12，故函数的图象不关于直线x =π4对称，也不关于点(π4,0)对称，故B 不满足条件，

令x =0，则2x +π3=π3，f(x)=√32，故函数的图象不关于点(0,π4)对称，故C 不满足条件；

故选：A ．

利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

本题主要考查正弦函数的周期性以及图象的对称性，属于基础题．

5.【答案】D

【解析】解：变量x 与y 负相关，排除选项A ，B ；

回归直线方程经过样本中心，

把x =4，y =4.5，代入C 不成立，代入D 成立．

故选：D

利用变量x 与y 负相关，排除选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可． 本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，基本知识的考查．

6.【答案】B

【解析】解：∵CD 为角平分线，

∴BD AD =BC AC =12，

∵AB ????? =CB ????? ?CA ????? =a ? ?b ? ，

∴AD ?????? =23AB ????? =23a ? ?23b ? ， ∴CD ????? =CA ????? +AD ?????? =b ? +2a ? ?2b ? =2a ? +1b ? 故选：B ．

由△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，根据三角形内角平分线定理，我们易得

到BD AD =BC AC =12，我们将CD ????? =CA ????? +AD ?????? 后，将各向量用a ? ，b ? 表示，即可得到答案．

本题考查了平面向量的基础知识，解答的核心是三角形内角平分线定理，即若AD 为三角形ABC 的内角A 的角平分线，则AB ：AC =BD ：CD

7.【答案】B

【解析】解：12，c =0.81.1<1，

则c

故选：B．

分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．

本题主要考查函数值的大小比较，根据指数和对数的性质即可得到结论．

8.【答案】B

【解析】解：由等差数列性质知S3、S6?S3、S9?S6成等差数列，即9，27，S9?S6成等差，∴S9?S6=45

∴a7+a8+a9=45

故选：B．

观察下标间的关系，知应用等差数列的性质求得．

本题考查等差数列的性质．

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等差数列以及等比数列的通项公式以及简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．

利用等比中项的特点求出a7，然后利用等差中项的性质求解即可．

【解答】

解：等比数列{a n}中，a3a11=4a7，

可得a72=4a7，解得a7=4，且b7=a7，

∴b7=4，

数列{b n}是等差数列，则b5+b9=2b7=8．

故选C．

10.【答案】D

【解析】解：如图，

设椭圆方程为：x2

a2+y2

b2

=1；

∴x=?c时，y2=b4

a ，∴P(?c,b2

a

)，F2(c,0)；

又A(a,0)，B(0,b)，PF2//AB；∴k PF

2

=k AB；

∴?b2

2ac =?b

a

；

∴b=2c；

a=√b2+c2=√5c；

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∴c

a =√5

5

；

即椭圆的离心率为：√5

5

．故选D．

先画出图形，设椭圆方程为x2

a2+y2

b2

=1，求出P，F2，A，B四点的坐标，从而根据PF2//AB

即可得k PF

2

=k AB，从而可得到b=2c，根据a2=b2+c2即可得出a=√5c，从而得到

该椭圆的离心率c

a

．

考查椭圆的标准方程，根据椭圆标准方程可表示椭圆的焦点及顶点坐标，根据椭圆的方程，已知椭圆上点的横坐标能求其纵坐标，根据两点坐标求直线斜率，以及两平行直线的斜率关系，椭圆离心率的概念计算出结果．

11.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了导数的几何意义，两直线垂直．属于基础题．

由导数的几何意义可求曲线y=x3在(1,1)处的切线斜率k，然后根据直线垂直的条件可

求a

b

的值．

【解答】

解：设曲线y=x3在点P(1,1)处的切线斜率为k，则k=f′(1)=3，

因为直线ax?by?2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，

所以a

b =??1

3

，

故选D．

12.【答案】A

【解析】解：由椭圆的方程得a=13，b=12，根据椭圆的简单性质得：c=√132?122= 5，

所以右焦点坐标为(5,0)，即所求圆心坐标为(5,0)，

由双曲线的方程得到a=3，b=4，所以双曲线的渐近线方程为y=±4

3

x，即±4x?3y= 0，

由双曲线的渐近线与所求的圆相切，得到圆心到直线的距离d=|20|

5

=4=r，

则所求圆的方程为：(x?5)2+y2=16，即x2+y2?10x+9=0．

故选：A．

要求圆的方程，首先求圆心坐标，根据椭圆的简单性质找出a与b的值，求出c的值，写出椭圆右焦点的坐标即为圆心坐标，然后找半径，根据双曲线的简单性质找出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到渐近线的距离d即为圆的半径，最后根据圆心坐标和半径写出圆的标准方程即可．

此题考查了椭圆及双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系及圆的标准方程．掌握椭圆及双曲线的简单性质是解本题的关键，同时注意直线与圆相切时圆心到直线的距离等于圆的半径．

13.【答案】存在k∈R，方程x2+x?k=0无实根

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【解析】解：“有实根”的否定是“无实根”．

故命题：“对任意k>0，方程x2+x?k=0有实根”的否定是“存在k∈R，方程x2+ x?k=0无实根”．

故答案为：存在k∈R，方程x2+x?k=0无实根．

根据命题的否命题的定义是对条件、结论同时否定，“任意”的否定是“存在”

本题考查逻辑用语、真假命题，主要考查命题的否否命题的形式：对条件、结论同时否定．注意与命题的否定的区别．

14.【答案】(?∞,8]

【解析】解：由于|x?5|+|x+3|表示数轴上的x对应点到5和?3对应点的距离之和，其最小值为8，

再由关于实数x的不等式|x?5|+|x+3|

故答案为：(?∞,8]．

利用绝对值的意义求得|x?5|+|x+3|最小值为8，由此可得实数a的取值范围．

本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求得|x?5|+|x+3|最小值为8，是解题的关键，属于中档题．

15.【答案】3

4

【解析】解：由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，∴2=10cosα?10sinα，

∴cosα?sinα=1

5

.由于α为锐角，cos2α+sin2α=1，∴cosα=4

5

，sinα=3

5

，

∴tanα=3

4

，

故答案为3

4

．

求出大正方形的边长、小正方形的边长，结合图形得出2=10cosα?10sinα，再由cos2α+sin2α=1，解得cosα和sinα，进而得到tanα值．

本题考查同角三角函数的基本关系，结合图形得出2=10cosα?10sinα，是解题的关键．

16.【答案】20

【解析】

【分析】

本题考查三棱锥体积的计算，考查学生的计算能力，构造长方体是关键．

构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D?ABC，计算出长方体的长宽高，即可求得三棱锥D?ABC的体积．

【解答】

解：由题意，构造长方体，其面上的对角线构成三棱锥D?ABC，

如图所示，

设长方体的长宽高分别为a，b，c，

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第10页，共13页 则{a 2+b 2+c 2=50b 2+c 2=41a 2+c 2=25

,

解得a =3，b =5，c =4

∴三棱锥D ?ABC 的体积是V =4×3×5?4×13×12×4×3×5=20，

故答案为20．

17.【答案】解：(Ⅰ)∵m ??? =(2cos A 2,?sin A 2)，n ? =(cos A 2,??2sin A 2

)，m ??? ?n ? =?1， ∴2cos 2

A 2?2sin 2

A 2=?1．

∴cosA =?12

． (Ⅱ)由(Ⅰ)知cosA =?12，且0

2π3． ∵a =2√3，b =2，

由正弦定理得a sinA =b sinB ，即2√3sin 2π3=2sinB ，

∴sinB =12．

∵0∴C =π?A ?B =π6.∴c =b =2．

【解析】(I)利用向量的数量积公式化简，利用二倍角的余弦公式求出要求的式子的值； (II)先根据(I)求出角A ，然后利用三角形中的正弦定理求出角B ，最后利用三角形的内角和为180°求出角C ，从而求出c 的值．

本题考查向量的数量积公式、考查三角形的正弦定理、考查三角形的内角和为180°、考查利用三角函数的单调性求三角函数值的范围，属于中档题

18.【答案】解：(1)由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名， 分数小于等于110分的学生中，

男生人有60×0.05=3(人)，记为A 1，A 2，A 3；

女生有40×0.05=2(人)，记为B 1，B 2；

从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：

(A 1,A 2)，(A 1,A 3)，(A 2,A 3)，(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，

(A 2,B 1)，(A 2,B 2)，(A 3,B 1)，(A 3,B 2)，(B 1,B 2)；

其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：

(A 1,B 1)，(A 1,B 2)，(A 2,B 1)，

(A 2,B 2)，(A 3,B 1)，(A 3,B 2)；

故所求的概率为P =610=35．

(2)由频率分布直方图可知，

在抽取的100名学生中，男生 60×0.25=15(人)，女生40×0.375=15(人)； 据此可得2×2列联表如下：

女生152540合计3070100

所以得K2=n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(15×25?15×45)2

60×40×30×70

≈1.79；

因为1.79<2.706，

所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”．

【解析】(1)根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；

(2)由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．

本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了分层抽样原理以及独立性检验的应用问题，是基础题目．

19.【答案】(本小题满分12分)

解：(Ⅰ)∵△ABC为正三角形，D为AC中点，

∴BD⊥AC，

由AB=6可知，CD=3,BD=3√3，

∴S△BCD=1

2?CD?BD=9√3

2

．

又∵A1A⊥底面ABC，且A1A=AB=6，∴C1C⊥底面ABC，且C1C=6，

∴V C

1?BCD =1

3

?S△BCD?C1C=9√3.…(4

分)

(Ⅱ)∵A1A⊥底面ABC，

∴A1A⊥BD．

又BD⊥AC，

∴BD⊥平面ACC1A1．

又BD?平面BC1D，

∴平面BC1D⊥平面ACC1A1.…(8分)

(Ⅲ)连接B1C交BC1于O，连接OD，

在△B1AC中，D为AC中点，O为B1C中点，

所以OD//AB1，

又OD?平面BC1D，

∴直线AB1//平面BC1D. …(12分)

【解析】(Ⅰ)先根据△ABC为正三角形，D为AC中点，得到BD⊥AC，求出△BCD的面积；再根据C1C⊥底面ABC即可求出三棱锥C1?BCD的体积；

(Ⅱ)先根据A1A⊥底面ABC，得到A1A⊥BD，再结合BD⊥AC即可得到BD⊥平面ACC1A1.即可证：平面BC1D⊥平面ACC1A1；

(Ⅲ)连接B1C交BC1于O，连接OD，根据D为AC中点，O为B1C中点可得OD//AB1，即可证：直线AB1//平面BC1D.

本题主要考查平面与平面垂直的判定以及直线与平面平行的判定和棱锥体积的计算．在证明线面平行时，一般常用做法是证明面面平行或证明线线平行．

20.【答案】解：(1)抛物线的准线方程为x=?p

2

，

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第12页，共13页 ∴M(2,y 0)到焦点的距离为2+p 2=3，

∴p =2．

∴抛物线方程为y 2=4x ．

(2)设AB 的方程为x =my +3．

联立方程组{y 2=4x x =my +3

，得y 2?4my ?12=0． 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=?12．

∴|y 1?y 2|=√(y 1+y 2)2?4y 1y 2=√16m 2+48．

∴S △ABF =12|FD||y 1|+12|FD||y 2|=|y 1|+|y 2|=|y 1?y 2|=√16m 2+48≥4√3． ∴m =0时，S △ABF 取得最小值4√3．

【解析】(1)根据抛物线的定义得出M 到准线的距离为3，列方程解出p ；

(2)设AB 方程为x =my +3，与抛物线方程联立方程组得出A ，B 两点纵坐标的关系，得出△ABF 的面积关于m 的函数，求出最小值即可．

本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．

21.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=a?x x (x >0，a >0)，

∵0a 时，f′(x)<0，

∴f(x)在(0,a)上是增函数，在(a,+∞)上是减函数，

又f(x)在(1,+∞)上是减函数，∴0

又g′(x)=ae x ?1，

∴x >ln 1a 时，g′(x)>0，x

∴x =ln 1a

时，g(x)取最小值， ∵g(x)在(2,+∞)上有最小值，

∴ln 1a >2时，∴0

∴a ∈(0,1e 2)； (Ⅱ)由(Ⅰ)知x =a 时，f(x)取得最大值，x =ln 1a ，g(x)取得最小值，

同时当x 趋近0时，f(x)趋近于负无穷，当x 趋近于+∞时，g(x)趋近于+∞， ∴f(x)和g(x)都没有零点等价于f(a)<0且g(ln 1a )>0，

∴{alna ?a <0a ?1a ?ln 1a >0，

∴1e

【解析】本题考查了导数中函数的单调性、最值问题，及函数的零点问题，是一道中档题．

(Ⅰ)利用导数研究函数f(x)的的单调递减区间，利用导数研究g(x)取得最小值的条件，与已知对照，进而求出a 的范围即可；

(Ⅱ)分别求出f(x)的最大值和g(x)的最小值，然后根据零点存在定理得到关于a 的不等式组，解出即可．

第13页，共13页 22.【答案】解：(1)由ρcos(θ?π4)=2√2得ρ(cosθ+sinθ)=4，

∴直线l ：x +y ?4=0．

由{x =√3cosθy =sinθ

得C ：x 23+y 2=1． (2)在C ：x 23+y 2=1上任取一点P(√3cosθ,sinθ)，

则点P 到直线l 的距离为d =√3cosθ+sinθ?4|√2=|2?sin(θ+π3)?4|

√2≤√2=3√2． ∴当sin(θ+π3)=?1，即θ=?56π+2kπ，k ∈z 时，d max =3√2．

【解析】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程、参数方程与普通方程的互化，点到直线距离公式、三角变换等内容，属于中档题．

(1)利用两角差的余弦公式及极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l 的普通方程；利用同角三角函数的基本关系，消去θ可得曲线C 的普通方程．

(2)由点到直线的距离公式、两角和的正弦公式，及正弦函数的有界性求得点P 到直线l 的距离的最大值．