流体力学第三章习题

第三章 流体动力学基础

????3－1 已知速度场为u?2(x?y)i?(x?y)j?(x?z)k (m/s)，求(2，3，1)点的速度和

加速度。

已已知知：：ux?2(x?y)，uy?x?y，uz?x?z 解解析析：：(1) (2，3，1)点的速度为

ux?2(x?y)?10m/s，uy?x?y??1m/s，uz?x?z?1m/s u?ux?uy?uz?10?(?1)?1?10.10m/s (2) (2，3，1)点的加速度为

222222

ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z

?0?2(x?y)?2?(x?y)?2?0?6x?2y?6?2?2?3?18m/2s

ay??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z

?0?2(x?y)?1?(x?y)?(?1)?0?x?3y?2?3?3?11m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z

?0?2(x?y)?1?0?(x?z)?(?1)?x?2y?z?2?2?3?1?9m/2s a?222ax?ay?az?182?112?92?22.93m/s2

????23－2 已知速度场为u?(3x??)i?2(??y)j?(4y?3)zk (m/s)，求τ＝2秒时，位

于(2，2，1)点的速度和加速度。

已已知知：：ux?3x??，uy?2(??y2)，uz?(4y?3)z 解解析析：：(1) τ=2秒、位于(2，2，1)点的速度为

ux?3x???8m/， suy?2(??y)??4m/，suz?(4y?3)z?5m/s u?ux?uy?uz?8?(?4)?5?10.25m/s (2) τ=2秒、位于(2，2，1)点的加速度为

2222222

ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z

?1?(3x??)?3?0?0?3(3x??)?1?3?(3?2?2)?1?25m/2say?

?uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z

?2?0?2(??y2)?(?4y)?0?8y(y2??)?2?8?2?(22?2)?2?34m/2saz??uz?u?u?u?uxz?uyz?uzz???x?y?z

?0?0?2(??y2)?4z?(4y?3)2z?8z(??y2)?(4y?3)2z?8?1?(2?22)?(4?2?3)2?1?9m/2s

a?222ax?ay?az?252?342?92?43.15m/s2

???3－3 已知二维流场的速度分布为u?(4y?6x)?i?(6y?9x)?j (m/s)。问：

(1)该流动是稳定流还是非稳定流？是均匀流还是非均匀流？ (2)τ＝1秒时，(2，4)点的加速度为多少？ (3)τ＝1秒时的流线方程？

已已知知：：ux?(4y?6x)?，uy?(6y?9x)?

解解析析：：(1) 因为速度与时间有关，所以该流动是非稳定流动；由下述计算得迁移加速度为零，流线为平行直线，所以该流动是均匀流动。

(2) 加速度的计算式为

ax??ux?u?u?u?uxx?uyx?uzx???x?y?z ?(4y?6x)?(4y?6x)??(?6?)?(6y?9x)??4??2(2y?3x)

ay??uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z

?(6y?9x)?(4y?6x)??(?9?)?(6y?9x)??(6?)?3(2y?3x)则τ=1秒、位于(2，4)点的加速度为

ax?4m/s，ay?6m/s；a? (3) 将速度分量代入流线微分方程，得 (6y?9x)?dx?(4y?6x)?dy?0 分离变量，积分得 (9x?4y?12xy)??C 或写成 (3x?2y)2222222ax?ay?7.21m/2s

??C

简化上式，得τ=1秒时的流线方程为 (3x?2y)?C?

3－4 已知速度场为ux?2y???，uy?2x?，uz?0。求τ＝1时，过(0，2)点的流线方

3程。

已已知知：：ux?2y?＋?3，uy?2x?，uz?0 解解析析：：将速度分量代入流线微分方程，得

2x?dx?(2y???3)dy?0? ?

dz?0?积分上式，得

(x2?y2)??y?3?C1? ?

z?C2?则 τ=1秒时，过(0，2)点的流线方程为

x2?y2?y?6?0? ?

z?C?3－5 20℃的空气在大气压下流过0.5m直径的管道，截面平均流速为30m/s。求其体积流量、质量流量和重量流量。

已已知知：：在大气压下20℃空气的密度为1.205kg/m3，管道直径为0.5m，截面平均流速为30m/s。

解解析析：：(1) 体积流量为 Q?uA?11?d2u???0.52?30?5.89m3/s 441122(2) 质量流量为 M??uA??d?u???0.5?1.205?30?7.09kg/s

44(3) 重量流量为

11?d2?gu???0.52?1.205?9.81?30?69.60N/s 44y23－6 流体在两平行平板间流动的速度分布为 u?umax[1?()]

b G??guA?式中umax为两板中心线y＝0处的最大速度，b为平板距中心线的距离，均为常数。求通过两平板间单位宽度的体积流量。

2已已知知：：速度分布为 u?umax[1?()]

yb解解析析：：由体积流量计算式，得 Q?y24udy?2u[1?()]dy?buma x?A?0maxb3b3－7 下列各组方程中哪些可用来描述不可压缩流体二维流动？ (1) ux?2x2?y2，uy?x3?x(y2?2y) (2) ux?2xy?x2?y，uy?2xy?y2?x2 (3) ux?x??2y，uy?x?2?y?

(4) ux?(x?2y)x?，uy?(2x?y)y? 已已知知：：速度分布方程。

解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程： (1)

?ux?uy??4x?2xy?2x?0，不可用来描述不可压缩流体二维流动； ?x?y?ux?uy(2) ??2y?2x?2x?2y?0，可以用来描述不可压缩流体二维流动；

?x?y(3)

?ux?uy??????0，可以用来描述不可压缩流体二维流动； ?x?y?ux?uy(4) ??2x??2y??2x??2y??4x??0，不可用来描述不可压缩流体二

?x?y维流动。

3－8 下列两组方程中哪个可以用来描述不可压缩流体空间流动？

1(x?2?y?)z2 21222234(2) ux?y?2xz，uy?xyz?2yz，uz?xz?xy

2(1) ux?xyz?，uy??xyz?，uz?2已已知知：：速度分布方程。

解解析析：：将以上各速度分量分别代入不可压缩流体的连续性方程：

?ux?uy?uz(1) ???yz??xz?2?(x?2?y?)z?0，可以用来描述不可压缩流体

?x?y?z空间流动；

?ux?uy?uz(2) 不可用来描述不可压缩流体???2z?x2z?2z?x2z?2x2z?0，

?x?y?z空间流动。

3－9 已知不可压缩流体二维流动在y方向的速度分量为uy?y?2x?2y，求速度在x方向的分量ux。

2已已知知：：不可压缩流体二维流动的速度分量 uy?y?2x?2y

2解解析析：：由不可压缩流体二维连续性方程

?ux?uy??0，得 ?x?y ux????ydx???(2y?2)dx??(2xy?2x)?f(y)

?uy3－10 已知不可压缩流体在r、θ方向的速度分量分别为ur?z方向的分量uz。

已已知知：：不可压缩流体在r、θ方向的速度分量为 ur?解解析析：：由不可压缩流体三维柱坐标的连续性方程

4,uθ?4r，求速度在2r4,uθ?4r。 r2ur?ur?uθ?uz????0，得 r?rr???z uz??(?ur?ur?u?48??)dz???(3?3)dz?4r?3z?f(r，?) r?rr??rr3－11 设不可压缩流体空间流动的两个速度分量为 (1) ux?ax2?by2?cz2，uy??dxy?eyz?fzx

y2z2x2z2(2) ux?ln(2?2)，uy?sin(2?2)

bcac其中a、b、c、d、e、f均为常数。已知当z＝0时uz＝0。试求第三个速度分量。 已已知知：：不可压缩流体空间流动的两个速度分量。 解解析析：：(1) 由不可压缩流体空间流动的连续性方程

?ux?uy?uz???0，得 ?x?y?z

uz???(?ux?uy?)dz???(2ax?dx?ez)dz?x?y

1??(2axz?dxz?ez2)?f(x，y)212ez)。 2当z=0时，uz?0，则f(x，y)?0，所以 uz??(2axz?dxz?(2) uz??(??ux?uy?)dz???(0?0)dz?f(x，y) ?x?y当z=0时，uz?0，则f(x，y)?0，所以 uz?0。

3－12 已知不可压缩理想流体的压力场为p?4x?2y?yz?5z (N/m2)，若流体密

322????度ρ＝1000kg/m。g＝9.8m/s。求流体质点在r?3i?j?5k m位置上的加速度。

3

2

3222已已知知：：p?4x?2y?yz?5z(N/m)，ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。

解解析析：：由压力分布式得

?p?p?p?12x2；??4y?z2；??2yz?5； ?x?y?z由已知条件，得fx?0，fy?0，fz??g。代入以下欧拉运动微分方程，

1?pdux?dux1?p1?2?a??f??0??12xxx???xd??d???x???dudu?1?p1?p1?yy? fy??fy??0??(?4y?z2)? ? 得 ay???yd??d???y??duz1?p1?1?pduz?a??f???g??(?2yz?5)fz??zz??d???z???zd???fx?将ρ=1000 kg/m3；g=9.8 m/s2；x=3，y=1，z=－5代入上式，得 ax??0.108 m/2s；ay?0.029m/2s；az??9.815m/2s； a?222ax?ay?az?(?0.108)2?0.0292?(?9.815)2?9.816m/2s

3－13 已知不可压缩理想流体稳定流动的速度场为

????22232 u?(3x?2xy)i?(y?6xy?3yz)j?(z?xy)k (m/s)

求流体质点在(2，3，1)点处的压力梯度。ρ＝1000kg/m3，g＝9.8m/s2。 已已知知：：ux?3x2?2xy；uy?y2?6xy?3yz2；uz??(z3?xy2)； ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2。 解解析析：：由加速度计算式，得

ax?

dux?ux?u?u?u??uxx?uyx?uzxd????x?y?z?(3x2?2xy)(6x?2y)?(y2?6xy?3yz2)(?2x) ?18x3?6x2y?2xy2?6xyz2ay?

duyd???uy???ux?uy?x?uy?uy?y?uz?uy?z?(3x2?2xy)(?6y)?(y2?6xy?3yz2)(2y?6x?3z2)?(z3?xy2)?6yz ?18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4az?duz?uz?u?u?u??uxz?uyz?uzzd????x?y?z

?(3x2?2xy)y2?(y2?6xy?3yz2)?2xy?(z3?xy2)(?3z2) ?9x2y2?3xy2z2?3z5将上式代入欧拉运动微分方程，

1?pdux????xd???1?pduy?f?? y?

??yd??1?pduz?fz?????zd??fx?dux??p3222??(f?)???(18x?6xy?2xy?6xyz)x??xd??duy??p??(fy?)???(18x2y?6xy2?2y3?9y2z2?36xyz2?6xy3z?3yz4) 得 ?d???y??pdu??(fz?z)???(g?9x2y2?3xy2z2?3z5)?d???z将ρ=1000 kg/m3，g=9.8 m/s2；x=2，y=3，z=1代入上式，得

?p?p?p3 ??72kN/m3；?288kN/m3；??282.8kN/m?x?y?z????p??p??p?3则 gradp? i?j?k??72i?288j?28.28kkN/m?x?y?z???3－14 已知不可压缩理想流体的速度场为u?(x?2y)?i?(y?2x)?j (m/s)，流体密

度ρ＝1500kg/m3，忽略质量力，求τ＝1s时位于(x，y)处及(1，2)点处的压力梯度。

?已已知知：：ux?(x?2y)?，uy?(y?2x)?；ρ=1500kg/m；f?0。

3

解解析析：：由加速度计算式，得

ax?

?ux?u?u?uxx?uyx?(x?2y)?(x?2y)????(y?2x)??(?2?)???x?y?uy???uy?x?uy?y

?(x?2y)(1??2)?2(y?2x)?2ay??ux?uy?(y?2x)?(x?2y)??(?2?)?(y?2x)????(y?2x)(1??2)?2(x?2y)?2当τ=1秒时，ax?6(x?y)，ay??6(x?y) 代入欧拉运动微分方程，得

?p?p???ax??6?(x?y)，???ay?6?(x?y) ?x?y则τ＝1s时位于(x，y)处的压力梯度为

?????p??p?d?i?j??6?(x?y)i?6?(x?y)j??6?(x?y)(i?j) grap?x?yτ＝1s时位于(1，2)点处的压力梯度为

???? gradp??6?(x?y)(i?j)?9000(i?j)N/m3

???3－15 已知不可压缩理想流体的速度场为u?Axi?Ayj (m/s)，单位质量力为

??f??gk m/s2，位于坐标原点的压力为p0，求压力分布式。

已已知知：：ux?Ax，uy??Ay；f??gk；p(0，0)?p0 解解析析：：由加速度计算式，得

???ux?u?u?uxx?uyx?A2x???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?A2y

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???A2x，???ay???A2y，???(g?az)???g ?x?y?z

dp??p?p?pdx?dy?dz???A2xdx??A2ydy??gdz?x?y?z

1?A2(x2?y2)??gz?C 2???A2(xdx?ydy)??gdz积分上式，得 p??当x=0，y=0，z=0时，p=p0，则C=p0。代入上式，得压力分布式为

p?p0?1?A2(x2?y2)??gz 23－16 已知不可压缩理想流体在水平圆环通道中作二维稳定流动，当圆周速度分别为

uθ?k；uθ?kr；uθ?k时，求压力p随uθ和r的变化关系式。 rk已已知知：：(1) uθ?k；(2) uθ?kr；(3) uθ?；ur?uz?0。 r解解析析：：根据已知条件，简化欧拉运动微分方程，

2?ur?ur?uruθ1?p?urfr???ur?uθ?uz???r???rr???zr fθ?1?1fz??????u?u?uuu??p?uθ??urθ?uθθ?uzθ?rθ? r?????rr???zr???u?u?u?p?uz??urz?uθz?uzz??z???rr???z?2?uθ2uθ1?pdr 可以得到 ??? 或写成 dp?r??rr将已知条件代入上式，得 (1) uθ?k时， dp??k2dr2 积分得 p??klnr?C1 r1?k2r2?C2 2k12?22dr(3) uθ?时， dp??k3 积分得 p???kr?C3 r2r(2) uθ?kr时， dp??k2rdr 积分得 p?3－17 已知不可压缩理想流体的速度分量为ux?ay，uy?bx，uz?0，不计质量力，求等压面方程。

已已知知：：ux?ay，uy?bx，uz?0；f?0。 解解析析：：由加速度计算式，得

??ux?u?u?uxx?uyx?0?0?abx?abx???x?y?uy?uy?uy ay??ux?uy?0?aby?0?aby

???x?y?u?u?uaz?z?uxz?uyz?0???x?yax?代入由欧拉运动微分方程，得

?p?p?p???ax???ab，x???ay???ab，y???az?0 ?x?y?z?p?p?pdx?dy?dz???abxdx??abydy???ab(xdx?ydy) ?x?y?z则 dp?在等压面上，dp?0，则等压面微分方程为 (xdx?ydy)?0 积分上式，得等压面方程 x?y?C

3－18 若在150mm直径管道内的截面平均流速为在200mm直径管道内的一半，问流过该两管道的流量之比为多少？

已已知知：：d1=150mm，d2=200mm；u2=2u1。 解解析析：：根据流量计算式，可得

22Q1A1u1du150219??(1)2(1)?()()??0.28 Q2A2u2d2u22002323－19 蒸气管道的干管直径d1＝50mm，截面平均流速u1＝25m/s，密度ρ1＝2.62kg/m3，蒸气分别由两支管流出，支管直径d2＝45mm，d3＝40mm，出口处蒸气密度分别为ρ2＝2.24kg/m3，ρ3＝2.30kg/m3，求保证两支管质量流量相等的出口流速u2和u3。

已已知知：：d1=50mm，d2=45mm，d3=40mm，u1=25m/s， ρ1=2.62kg/m3，ρ2=2.24kg/m3，ρ3=2.30kg/m3，M2=M3。

解解析析：：根据已知条件列连续性方程，

111?d12?1u1??d22?2u2??d32?3u3 ① 444

11?d22?2u2??d32?3u3 ② 442 ③ ?1u1d12?2?2u2d2将②式代入①式，得

则 u2?代入②式，得

1?1d1212.6250 ()()u1??()?()2?25?18.05m/s2?2d222.2445 u3?(?2d222.2445 )()u2?()?()2?18.05?22.25m/s?3d32.30403－20 水射器如图所示，高速水流uj由喷嘴射出，带动管道内的水体。已知1截面管道内的水流速度和射流速度分别为u1＝3m/s和uj＝25m/s，管道和喷嘴的直径分别为0.3m和85mm，求截面2处的平均流速u2。

已已知知：：D=0.3m，d=85mm，u1=3m/s，uj=25m/s 解解析析：：列连续性方程，

111?(D2?d2)u1??d2uj??D2u2 444d2d0.08520.0852)]u1?()2uj?[1?()]?3?()?25?4.766m/s DD0.300.30则截面②处的平均流速为 u2?[1?(3－21 已知圆管中流速分布为u?umax(y17)，r0为圆管半径，y为离管壁的距离，umaxr0为管轴处的最大流速，求流速等于截面平均流速的点离管壁的距离yc。

已已知知：：速度分布为 u?umax(解解析析：：截面平均流速为

y17) r01 u??r02令 u?uma(x得 yc?(?r00y7yy49 u?2?rdr?2uma?()(1?)d()?umaxx0rr0r060011y1749 )?u?umaxr060497)r0?0.2423r0 603－22 管道末端装一喷嘴，管道和喷嘴直径分别为D＝100mm和d＝30mm，如通过的流量为0.02m3/s，不计水流过喷嘴的阻力，求截面1处的压力。

已已知知：：D=100mm，d=30mm，Q=0.02m3/s，pm2=0。 解解析析：：由连续性方程，得

3－33 直径为d1＝700mm的管道在支承水平面上分支为d2＝500mm的两支管，A－A截面压力为70kN/m2，管道中水的体积流量为Q＝0.6m3/s，两支管流量相等。(1)不计压头损失，求支墩受水平推力；(2)压头损失为支管流速压头的5倍，求支墩受水平推力。不考虑螺栓连接的作用。

已已知知：：d1=700mm，d2=500mm，Q=0.6m3/s，pm1=70kN/m2 解解析析：：(1) 依题意知 Q2?11Q??0.6?0.3m3/s，α=30°。 22u1?

4Q4?0.6??1.56m/s，22?d13.14?0.74Q24?0.3??1.53m/s22?d23.14?0.5

u2?(2) 列A-A至B-B及C-C间的伯努利方程 pm1? pm21212?u1?pm2??u2 22112?pm1??(u12?u2)?70?103??103?(1.562?1.532)?70046N/m2

22(3) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，

pm1A1?2pm2A2cos??Rx?2?Q2u2cos???Qu1 那么，支墩所受的水平推力为

Rx?pm1A1?2pm2A2cos???Q(u2cos??u1)

1???(0.72?70?0.52?70.046?cos30??2)?103 4?103?0.6?(1.53?cos30??1.56)?325.86N121212?u1?pm2??u2?5??u2 222112?pm1??(u12?6u2)?70?103??103?(1.562?6?1.532)?64194N/m2

22(4) 假若压头损失为支管流速压头的5倍，则A-A至B-B及C-C间的伯努利方程为 pm1?则 pm2(5) 取A-A、B-B和C-C截面间的流体作为控制体，设支墩对水流的水平反推力为Rx，列动量方程，坐标系的方向为u1的方向，

pm1A1?2pm2A2cos??Rx?2?Q2u2cos???Qu1 那么，支墩所受的水平推力为

Rx?pm1A1?2pm2A2cos???Q(u2cos??u1)

1???(0.72?70?0.52?64.194?cos30??2)?103 4?103?0.6?(1.53?cos30??1.56)?524N63－34 水流经180°弯管自喷嘴流出，如管径D＝100mm，喷嘴直径d＝25mm，管道前

端测压表读数M＝196.5kN/m2，求法兰盘接头A处，上、下螺栓的受力情况。假定螺栓上下前后共安装四个，上下螺栓中心距离为175mm，弯管喷嘴和水重为150N，作用位置如图。

已已知知：：D=100mm，d=25mm，M=196.5kN/m2，W=150N，dn＝175mm。

解解析析：：取法兰盘A至喷嘴出口间的弯曲流段作为控制体，取喷嘴轴线所在水平面为基准面，建立坐标系如图所示。

(1) 列连续性方程

11d?D2u1??d2u2 或写成 u1?()2u2 ① 44D(2) 列A至喷嘴出口间的伯努利方程

2u12u2 ② ?z1???2g2gpm1将式①代入式②，得

2u2pd [1?()4]?m1?z1

2gD?2g(pm1/??z1)2?9.81?(196.5?103/9810?0.3)所以 u2???20.01m/s 441?(d/D)1?(0.025/0.10)d20.0252)u2?()?20.01?1.25m/s D0.101122?33 Q??du2???0.025?20.01?9.817?10m/s

44 u1?((3) 设弯管对流体的反作用力为R，方向如图所示，列控制体的动量方程 R?pm1所以反推力为

1?D2??Q(u2?u1) 41R?pm1?D2??Q(u2?u1)4

1?196.5?103???0.102?1000?9.817?10?3(20.01?1.25)?1751.23N4(4) 流体对管壁的总推力由4个螺栓分担，但并非均匀分担。由于螺栓群所受的逆时针方向的力矩为

M?0.3W?0.3?Qu2?0.3(W??Qu2)?0.3?(150?1000?9.817?10?20.01)??13.93N?mR1751.23??437.8N 44?3

所以，左右两个螺栓受力各为：

上螺栓受力为：

RM13.93??437.8??358.2N 4dn0.175下螺栓受力为：

RM13.93??437.8??517.4N 4dn0.1753－35 下部水箱重224N，其中盛水重897N，如果此箱放在秤台上，受如图的恒定水流作用。问秤的读数是多少？

已已知知：：d=0.2m，h0=1.8m，h=6.0m，G=897N，W=224N。 解解析析：：(1) 列两水池液面至管口的伯努利方程，基准面取在管口所在的水平面上，可得到管出口的流速为

u0?2gh0?2?9.81?1.8?5.94m/ s(2) 列上水池液面至下水池液面间的伯努利方程，基准面取在下水池液面上，可得到冲击下水池的流股的流速为

u?2g(h0?h)?2?9.81?(1.8?6.0)?12.37m/s

(3) 取下池水体为控制体，并设池底对水体的反作用力为R，列动量方程，坐标系的方向垂直向下，得

?R?11?d2?u0(u0?u)???0.22?103?5.94?(5.94?12.37)??1199N 449 所以 R?119N则下水箱的总重量为 W0?R?G?W?1199?897?224?2320N

3－36 求水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力。假定A、B两截面间水重为2.69kN，而且截面B流出的流动可以认为是自由射流。

已已知知：：h0=2.1m，hA=0.6m，hB=0.9m，B=1.0m，W=2690N。 解解析析：：(1) 取上部流线为对象，列水池截面至A截面的伯努利方程，基准面取在池底所在的水平面上，

2uA得 h0?hA?

2g则A截面的平均速度为

uA?2g(h0?hA)?2?9.81?(2.1?0.6)?5.425m/s 列A、B两截面间的伯努利方程，取中间流线为对象，得

22uAuB1 hA? ?hB?22g2g则B截面的平均速度为 uB?1122g(hA?hB)?uA?2?9.81?(?0.6?0.9)?5.4225?4.202m/ s22(2) 由A、B之间的连续性方程 aBuA?bBuB，得挑流坎出口流股的宽度b为

b?a(uA5.425)?0.6?()?0.775m uB4.202那么，A、B上的总压力分别为 PA?112?BhA??9810?1.0?0.62?1765.8N 221Bb211.0?0.7752??9810??416.46N PB???2cos?2cos45(3) 设挑流坎AB作用于水流的水平分力和铅直分力分别为Rx和Ry，列A、B间的动量方程

PA?PBco?s?Rx??Q(uBco?s?uA)Ry?PBsin??G??QuBsin?

Rx?PA?PBcos???Q(uBcos??uA)

?1765.8?4166.4?cos45??1000?0.6?5.425?(4.202?cos45??5.42)5 ?680.66N

Ry?PBsin??G??QuBsin??4166.4?sin45?2690?1000?0.6?5.425?4.202?sin45?15307.5N??

所以，水流对1m宽的挑流坎AB作用的水平分力和铅直分力分别为6806.6N和15307.5N。

3－37 水流垂直于纸面的宽度为1.2m，求它对建筑物的水平作用力。 已已知知：：h1=1.5m，h2=0.9m，B=1.2m。

解解析析：：(1) 取上部流线，列建筑物上下游两流动截面间的伯努利方程和连续性方程，基准面取在底面上，

2u12u2 h1? ?h2?2g2g u1h1B?u2h2B 或写成 u1?u2(代入伯努利方程，得

u2?h2) h12g(h1?h2)2?9.81?(1.5?0.9) ??4.289m/sh220.921?()1?()1.5h1h20.9)?4.289?()?2.573m/ sh11.53 u1?u2( Q?u2h2B?4.289?0.9?1.2?4.632m/s (2) 建筑物上下游两流动截面上的总压力分别为

121?h1B??9810?1.52?1.2?1324.53N 22121?0.92?1.2?476.77N P2?p2A2??h2B??981022 P1?p1A1?(3) 设建筑物对水流的反作用力为R，列建筑物上下游两流动截面间的动量方程，坐标系的方向为流体的流动方向，得

P1?P2?R??Q(u2?u1) 所以，水流对建筑物的水平作用力为

R?P1?P2??Q(u2?u1)?13243.5?4767.7?1000?4.632?(4.289?2.573)?527.3N

3－38 有一圆柱体放在两无限宽的平行平板中间，平板间距B为1m，圆柱体前水流为均匀分布，流速u1＝5m/s，流过圆柱体后，流速近似三角形分布，求单位长度圆柱体对水流的阻力。平板对水流的摩擦阻力不计。

已已知知：：u1=5m/s，B=1m。

解解析析：：(1) 选取圆柱体前后两截面间的空间为控制体，建立坐标系，并假定物体对水流的阻力为F，方向如图，摩擦阻力不计。上游截面上的速度为均匀分布，u1＝5m/s；设下游截面上的速度分布为u2=ay＋b，a、b为待定系数，由边界条件和连续性条件确定。当y=0时，u2=0，得b=0；列上下游两截面间的连续性方程

u1B?2得 a??B201aydy?aB2

44u14?5??20 B1所以 u2?20y

列x方向上的动量方程(圆柱体为单位长度)，

?F??(?A22u2dy?u12B)

2所以 F??(u1B??2A22u2dy)??[u12B?2?(20y)2dy]

020.5N ?1000?(5?1.0?2?20??0.5)??8333这里说明，在题设的理想条件下，圆柱体对流体不会产生阻力，而且阻力为负。

3－39 理想流体平面射流以θ角冲击在无限宽(垂直纸面方向)的平板上，如射流的单宽流量为q0，速度为u0，遇平板后两侧的单宽流量为q1和q2，求：(1)用θ函数表示的q1/q2；(2)射流对单宽平板的作用力。

已已知知：：θ、u0、q1、q2、q0。

解解析析：：(1) 建立坐标系如图，取冲击流股为控制体，设平板对射流流体的反作用力为T，列0-1和0-2间的伯努利方程，忽略重力，并注意到 p1=p2=p0=pa，得

133

22u0u12u2?? 或写成 u0?u1?u2 222(2) 对控制体列x方向的动量方程，得 0??q1u1??q2u2??q0u0co?s

或者 q1?q2?q0cos? ① 由连续性方程可知，q2?q0?q1 ② 代入①式，整理后得 q1?代入②式得 q2?所以

1?cos?q0 21?cos?q0 2q11?cos? ?q21?cos?(3) 对控制体列y方向的动量方程，得 T??q0u0sin?

则射流对单宽平板的作用力为T???q0u0sin?。

3－40 直径为10cm、速度为20m/s的水射流垂直冲击在一块圆形平板上，不计阻力，问： (1)平板不动时，射流对平板的冲击力为多大？

(2)如平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为多少？水流离开平板时，其流速的大小和方向是什么？

已已知知：：d0=10cm，u0=20m/s；U=5m/s。

解解析析：：(1) 平板不动时，取平板前的水射流为控制体，坐标x的方向与射流速度u同向，设平板对射流的反作用力为T，重力不计，对控制体列x方向的动量方程，得

T??u0A0?21?3.14?0.12?1000?202?3140N 4所以，平板不动时，射流对平板的冲击力为3140N。

(2) 当平板以速度5m/s向左运动时，射流与平板之间的相对速度为u0+U，列x方向的动量方程，得

T??(u0?U)A0?21?3.14?0.12?1000?(20?5)2?4906N 4所以，当平板以速度5m/s向左运动，射流对平板的冲击力为4906N。

列射流出口至板缘间的伯努利方程，并注意到 p= pa，相对速度u=u0+U，得

2(u0?U)2u2? 22则 u2?u0?U?20?5?25m/s

则水流离开平板时，其流速的大小为25m/s，方向平行于板面，沿径向流出。

3－41 有一直径由20cm变至15cm的90°变径弯头，其后端连一出口直径为12cm的喷嘴，水由喷嘴射出的速度为20m/s，求弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV。不计弯头内的水体重量。

已已知知：：d1=20cm，d2=15cm，d3=12cm，u3=20m/s。

解解析析：：(1) 建立坐标系如图，取弯头内的水体为控制体，设弯头对水体的反作用力为F，其水平分力和垂直分力分别为FH和FV，重力不计。列连续性方程，

111?d12u1??d22u2??d32u3 444得 u1?u3(d320.122)?20?()?7.2m/ sd10.20d320.122)?20?()?12.8m/s d20.15 u2?u3((2) 分别列出1-3和2-3间的伯努利方程，注意到pm3＝0。

12121212?u1??u3； pm2??u2??u3 222211222220/m所以 pm1??(u3?u1)??1000?(20?7.2)?17408N

2211222220/m pm2??(u3?u2)??1000?(20?12.8)?11808N

22 pm1?(3) 对控制体列x方向和y方向的动量方程，得

2 ?FH?pm2A2??u2A2； pm1A1?FV???u12A1

N 所以 FH??pm2A2??u2A2???3.14?0.15(118080?1000?12.8)??4979122412201000?7.22)??7094N FV??pm1A1??u1A1???3.14?0.20?(17408?42弯头所受的水平分力FH和铅垂分力FV分别为4979N和7094N。

3－42 图示为一矩形容器，水由①、②两管流入，由③管流出，①、②、③管的直径分别为20cm、20cm和25cm，①、②两管的流量同为0.2m3/s，管口相对压力皆为32kN/m2，③管出口为大气压，倾角θ为30°。三根短管都位于同一水平面上，如容器仅由A点支撑，求xoy平面上作用于A点的力和力矩。

已已知知：：d1=d2=20cm，d3=25cm，Q1=Q2=0.2m3/s，Q3=2Q1。 pm1=pm2=32kN/m2，pm3=0，θ=30°，其它尺寸如图。 解解析析：：(1) 由连续性方程，得

u1?u2?4Q14?0.2??6.37m/ s?d123.14?0.22 u3?4Q34?0.2?2 ??8.15m/s22?d33.14?0.25(2) 取容器内的水体为控制体，建立坐标系如图所示，设A点所受的力为F，其分量分别为Fx和Fy，对控制体列动量方程，得

?Fx?pm2A2??Q3u3cos???Q2u2 ?Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1

Fx??pm2A2??Q3u3cos???Q2u2

??(32?103???510N23.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?cos30??1000?0.2?6.37) 4Fy?pm1A1??Q3u3sin???Q1u1

?32?103??64.88N3.14?0.22?1000?0.2?2?8.15?sin30??1000?0.2?6.37 4 F?2Fx2?Fy2?(?510)2?64.882?514N3

(3) 对A点列动量矩方程，得

M??Fr??Q3u3sin?x3??Q3u3cos?y3??Q1u1x1??Q2u2y2

?1000?0.2?[2?8.15?(3?sin30??5?cos30?)?6.37?(2?2.5)] ??14959N?m?14.96kN?m3－43 如图所示的盛水容器，已知H＝6m，喷口直径d＝100mm，不计阻力，求： (1) 容器不动时，水流作用在容器上的推力；

(2) 容器以2m/s的速度向左运动，水流作用在容器上的推力。 已已知知：：H=6m，d=100mm；U=2m/s。

解解析析：：(1) 列容器液面至喷嘴出口的伯努利方程，可得喷口速度为 u?2gH?2?9.81?6?10.85m/ s流量为 Q?11?d2u??3.14?0.12?10.85?0.0852m3/s 44取容器中的水体为控制体，坐标系建在容器上，方向向左，设容器对水流的反作用力为F，列动量方程，得

F??Qu?1000?0.0852?10.85?924N 则水流作用在容器上的推力为924N。

(2) 当容器以2m/s的速度向左运动时，其相对速度为u?U，列动量方程，得 F??Q(u?U)?1000?0.0852?(10.85?2)?754N 所以，水流作用在容器上的推力为754N。

3－44 水射流由直径d＝6cm的喷嘴垂直向上喷射，离开喷口的速度为15m/s，若能支撑一块重100N的平板，射流喷射的高度Z为多少？

已已知知：：d=6cm，u1=15m/s，W=100N。 解解析析：：(1) Q?11?d2u1??3.14?0.062?15?42.39?10?3m3/s 44取管嘴出口至平板间的水体为分析对象，建立坐标系，方向垂直向上，设射流冲击平板时的速度为u2，根据动量方程

?W??Q(0?u2) 则 u2?W100??2.36m/s ?Q1000?42.39?10?3(2) 列管嘴出口至平板间的伯努利方程，得

2u12u2 ??z

2g2g2u12?u2152?2.362所以 z???11.2m

2g2?9.813－45 喷嘴直径25mm，每个喷嘴流量为7L/s，若涡轮以100r/min旋转，计算它的功率。 已已知知：：d=25mm，R=0.6m，Q=7×10-3m3/s，n=100r/min。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得喷嘴出流速度为

4Q4?7?10?3 u? ??14.27m/s?d23.14?0.0252喷嘴自身的旋转速度为

u0??R?2?n2?3.14?100?R??0.6?6.28m/s 6060所以，单个喷嘴的射流反作用力为 F??Qu 那么，射流的总功率为

N?4Fu0?4?Quu0?4?1000?7?10?3?14.27?6.28?2509W?2.51kW 3－46 臂长皆为10cm的双臂喷水装置，喷水口直径为1cm，在3cm直径的中心供水管内水流速度为7m/s，求：

(1)转臂不动时需施加的力矩；

(2)使转臂以150r/min的转速反时针方向旋转需施加的力矩。

已已知知：：d=1cm，D=3cm，u0=7m/s，R=10cm；ω=150r/min，q=0.5Q。 解解析析：：(1) 由流量计算式，得 Q?11?D2u0??3.14?0.032?7?4.946?10?3m3/s 444q4?0.5?4.946?10?3喷嘴出口流速为 u???31.5m/s 22?d3.14?0.01那么，根据动量方程，转臂不动时所需施加的力矩为

M?2?quR??QuR?1000?4.946?10?3?31.5?0.1?15.58N?m (2) 当转臂以150r/min的转速逆时针方向旋转时，转臂的旋转速度为

2?nR2?3.14?150?0.1??1.57m/s 6060那么，射流的绝对速度为u?U，这是需要施加的力矩为

U??R? M??Q(u?U)R?1000?4.946?10?3?(31.5?1.57)?0.1?16.36N?m 3－47 有一向后喷射水流作为动力的机动船逆水航行，河水流速为1.5m/s，相对于河岸的船速为9m/s，船尾喷口处相对于船体的流速为18m/s，流量为0.15m3/s，求射流对船体的推力。

已已知知：：u0=1.5m/s，u1=9m/s，u2=18m/s，Q=0.15m3/s。 解解析析：：根据题意知，河水相对于船体的速度为而喷射流体相对于船体的速度为u2，设射流u0?u1，

对船体的推力为F，列动量方程，得

F??Q(u2?u0?u1)?1000?0.15?(18?1.5?9)?112N5

3－48 装在小车上的水箱侧壁有一流线型喷嘴，直径为20mm，已知h1＝1m，h2＝2m，射流恰好平顺地沿小坎转向水平方向离开小车。求：(1)射流对水箱的水平推力；(2)射流对小车的水平推力；(3)射流对小坎的水平推力。

已已知知：：d=20mm，h1=1m，h2=2m。

解解析析：：(1) 设喷嘴出口流速为u1，小坎出口出的流速为u2，分别列出水箱自由液面至喷嘴出口及小坎出口的伯努利方程，可得

u1?2gh 1?2?9.81?1.0?4.43m/s u2?2g(h1?h2)?2?9.81?(1.0?2.0)?7.67m/s Q?11?d2u1??3.14?0.022?4.43?1.39?10?3m3/s 44(2) 设射流对水箱的水平推力为F1；射流对小车的水平推力为F2；射流对小坎的水平推力为F。那么，根据动量方程，得

F1??Qu1?1000?1.39?10?4.43?6.16N

?3 F2??Qu2?1000?1.39?10?3?7.67?10.66N F?F2?F1?10.66?6.16?4.5N

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