高一数学教案：直线点法向式方程、直线的一般式方程教案

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标 题: 关键词: 11.1（２）直线方程 直线点法向式方程、直线的一般式方程 教学目标 在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力. 教学重点与难点 描 述: 直线的点法向式方程以及一般式方程； 理解直线点法向式方程以及一般式方程的推导. 学 科: 媒体格式: 资源类型: 作 者: 地 址: Email:

高二年级>数学第二册>11.1（2） 语 种: 教学设计.doc 文本类素材 朱敏慧 双阳路388号 zhuminhui@sohu.com 学习者: 教育类型: 单 位: 汉语 学生 高中教育>高中二年级 上海市控江中学

11．1 （２）直线方程

上海市控江中学 朱敏慧 一、教学内容分析

本节的重点是直线的点法向式方程以及一般式方程的推导及应用.在上一堂课的基础上，通过向量垂直的充要条件（对应坐标的关系式）推导出直线的点法向式方程.引导同学发现直线的点方向式方程、点法向式方程都可以整理成关于x、y的一次方程ax?by?c?0（a、b不全为零）的形式.

本节的难点是通过对直线与二元一次方程关系的分析，初步认识曲线与方程的关系并体会解析几何的基本思想！从而培养学生用坐标法对平面直线（和以后的圆锥曲线）的研究能力. 二、教学目标设计

在理解直线方程的意义，掌握直线的点方向式方程的基础上，进一步探究点法向式方程以及一般式方程；学会分类讨论、数形结合等数学思想，形成探究能力. 三、教学重点及难点

直线的点法向式方程以及一般式方程； 四、教学流程设计

复习上节课内容 用心 爱心 专心

引导学生自主探究点法向式方程 一般式方程 运用与深化(例题解析、巩固练习) 五、教学过程设计 一、复习上一堂课的教学内容 课堂小结并布置作业 二、讲授新课 （一）点法向式方程 1、概念引入

从上一堂课的教学中，我们知道，在平面上过一已知点P，且与某一方向平行的直线l是惟一确定的．同样在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l也是惟一确定的． 2、概念形成

直线的点法向式方程

在平面上过一已知点P，且与某一方向垂直的直线l是惟一确定的.建立直角坐标平面，设P的坐标是

(x0,y0)?n，方向用非零向量?(a,b)表示.

直线的点法向式方程的推导

?????????PQ?nPQ?n(x,y)Q设直线l上任意一点的坐标为，由直线垂直于非零向量n，故.根据的

a(x?x0)?b(y?y0)?0(x,y)充要条件知PQ?n?0，即：①；反之，若11为方程⑤的任意

一解，即

a(x1?x0)?b(y1?y0)?0，记

(x1,y1)为坐标的点为

Q1，可知

??????PQ1?n，即

Q1在直

线l上.综上，根据直线方程的定义知，方程⑤是直线l的方程，直线l是方程①的直线. 我们把方程向量. 3、概念深化

从上面的推导看，法向量n是不唯一的，与直线垂直的非零向量都可以作为法向量. 若直线的一个方向向量是(u,v)，则它的一个法向量是(v,?u). 4、例题解析 例1 已知点

A??1，2?，B?3，4?a(x?x0)?b(y?y0)?0?ln叫做直线的点法向式方程，非零向量叫做直线l的法

，求AB的垂直平分线l的点法向式方程.

解 由中点公式，可以得到AB的中点坐标为

?1,3?，AB?????4,2?是直线l的法向量，

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所以，AB的垂直平分线l的点法向式方程.4?x?1??2?y?3??0 [说明]关键在于找点和法向量！

例2已知点A(1,6),B(?1,?2)和点C(6,3)是三角形的三个顶点，求 （1）BC边所在直线方程；

（2）BC边上的高AD所在直线方程.

解（1）因为BC边所在直线的一个方向向量BC＝（7，5），且该直线经过点B(?1,?2)，所以BC边所在直线的点方向式方程为

x?1?y?25

7

（2）因为BC边上的高AD所在的直线的一个法向量为BC＝（7，5），且该直线经过点A(1,6)，

所以高AD所在直线的点法向式方程为

7(x?1)?5(y?6)?0

５、巩固练习 练习11.1（2） （二）一般式方程 1、概念引入

由直线的点方向式方程和点法向式方程，我们可以发现，平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于

x,y的二元一次方程表示；那么每一个关于x,y的二元一次方程

ax?by?c?0（a，b不同时为0）是否都表示一条直线呢？

2、概念形成

直线的一般式方程的定义

直线的点方向式方程和直线的点法向式方程经过整理，成为x,y的二元一次方程

ax?by?c?0.

(a,b不全为0)反之，任意二元一次方程ax?by?c?0都是直线方程么？回答是肯定的.首

ax?b(y?cb)?0先，当b?0时，方程可化为

(0,?c)，根据直线点法向式方程可知，这是过点

b，以(a,b)为一个法向量的直线；当b?0时，方程为ax?c?0，由于a?0，方程

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x??ca，表示过点

(?ca,0)化为

且垂直于x轴的直线.

所以二元一次方程ax?by?c?0(a,b不全为0)是直线的方程，叫做直线的一般式方程. ３、例题解析

例1 ?ABC中，已知A(?1,2)、B(3,4)，求AB边的中垂线的一般式方程. 解 直线过AB中点D(1,3)，

?????n?AB?(4,2)，则其点法向式方程为4(x?1)?2(y?3)?0，

整理为一般式方程2x?y?5?0. [说明]点法向式方程化为一般式方程. 例2（1）求过点A(?2,5)且平行于直线（2）求过点B(3,?4)且垂直于直线2???n?(4,?3)d,?解 （1）解一：

l1:4x?3y?9?0的直线方程；

l:3x?7y?6?0的直线方程.

(3,4，又直线过点A(?2,5)，故直线的方程为

4(x?2)?3(y?5)化简得4x?3y?23?0.

解二：

?n?(4,?3),又直线过点A(?2,5)，故直线的点法向式方程为4(x?2)?3(y?5)?0化

简得4x?3y?23?0. 解三：设与

l1:4x?3y?9?0平行的直线方程为4x?3y?c?0，又直线过点A(?2,5)故

4(?2)?3?5?c?0，c?23，所以直线的方程是4x?3y?23?0.

（2）解一：1的法向量

l??n1?(3,7)为所求直线的方向向量，又直线过点B(3,?4)，故直线的

方程为7(x?3)?3(y?4)化简得7x?3y?33?0. 解二：设与

l2:3x?7y?6?0垂直的直线方程为7x?3y?c?0，又直线过点B(3,?4)故

7?3?3?(?4)?c?0，c??33，所以直线的方程是7x?3y?33?0.

ax?by?c??0(其中c??c)[说明]一般地，与直线ax?by?c?0平行的直线可设为；而与

??直线ax?by?c?0垂直的直线可设为bx?ay?c?0.

例3能否把直线方程2x?3y?5?0化为点方向式方程？点法向式方程？若能，它的点方向式方程和点法向式纺方程是否唯一？并观察x、y的系数与方向向量和法向量有什么联系？

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x?1解： ?3?y?12x?1、

3?y?1x?2y??213x?4?2、?3、?6?y?14……

2(x?1)?3(y?1)?0、4（x+4）+6(y-1)=0……

能够化成点方向式的形式，并且有无数个！

所有的方向向量之间存在：一个非零实数?，使得d1??d2???3,?2?； 易得点法向式方程也是不唯一的，并且有无数个！

所有的法向量之间存在：一个非零实数?，使得n1??n2???2,3? 变式：直线ax?by?c?0的方向向量可以表示为??b,?a? 直线ax?by?c?0的法向量可以表示为??a,b?

[说明]注意直线的一般式方程和点方向式方程与点法向式方程的联系. 三、巩固练习 练习11.1（3） 补充练习

1、（1）若直线过两点A(a,0),B(0,b)，则a,b分别叫做该直线在x,y轴上的截距.当ab?0时，求直线AB的方程；

（2）若过点P(4,?3)的直线l在两坐标轴上截距相等，求直线l的方程. 2、 已知直线l过点P(?2,3)且与x,y轴分别交于A,B两点.

????l（1）若P为AB中点，求直线的方程；（2）若P分AB所成的比为?2，求l的方程.

????3、已知直线l的方程为：

(a?2)x?(1?2a)y?4?3a?0(常数a?R)

（1）求证:不论a取何值，直线l恒过定点；

（2）记（1）中的定点为P，若l?OP（O为原点），求实数a的值.

4、?ABCD中，三个顶点坐标依次为A(2,?3)、B(?2,4)、C(?6,?1)，求（1）直线AD与直线CD的方程；（2）D点坐标.

5、．过点P(?5,?4)作一直线l，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为5个单位面积，求直线l的方程.

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