高等数学基础例题讲解

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

第1章 函数的极限与连续

lim

例1．求

x 0

xx．

x 0

解：当x 0时，

lim

xx

lim lim1 1

x 0x 0xx，

当x 0时，

x 0

lim

xx

lim lim( 1) 1xx 0 xx 0

，

lim

由极限定义可知，

x 0

x

x不存在（如图）．

sinmx

例2．求x 0x（m是非零常数）．

解：令mx u，显然当x 0时u 0，于是

sinmxsinmxsinulim limm mlim mx 0x 0u 0xmxu．

2

lim(1 )x

x． 例3．求x

xt

2，当x 时，有t ， 解：令

lim

22 211

lim(1 ) lim[(1 )t]2 [lim(1 )t]2 e2

t t xtt原式x

x

x2 x

lim

x例4．求x 0．

解：

21 x 0x 02

x 0ax 1lim

例5．求x 0x．

x

解：令a 1 t，则x loga(1 t)，x 0时t 0，于是

ax 1ttlim lim lim lnax 0t 0log(1 t)t 0xa

lna

第2章 一元函数微分及其应用

解：f(x) 2x为初等函数，在其定义域

3

例1．讨论函数f(x) 2x在x 0处的可导性与连续性．

( , )上连续，

所以在x 0处连续．又

f(0 h) f(0)f

(0) lim

h 0h 0h

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

h 0

f (0)不存在．所以函数f(x) 2x在x 0处连续，但不可导．事实上，曲线

f(x) 23x在(0,0)点的切线斜率趋于无穷大，在原点处具有垂直于x轴的切线x 0（如

图）．

例2．求y sinx的各阶导数． 解：

y cosx sin(x

2，

)

y cos(x

2

) sin[(x

2

)

] sin(x 2 )

22，

y cos(x 2 ) sin[(x 2 ) ] sin(x 3 )

2222，

…….

y(n) sin(x n )2， (sinx)(n) sin(x n )

2． 所以：

y

例3

．求

解：此函数直接求导比较复杂，先取对数再求导可简化运算． 此函数的定义域为[ 2, 1) ( 1, ) 当x 1时，y 0，函数式两边取对数得：

x)4(x 1)5

的导数．

1

ln(x 2) 4ln(3 x) 5ln(x 1)2 y 1111 4 52x 2x 3x 1 因此上式两边对x求导，得 y

lny

y

整理后得，

x 2(3 x)4145[ ]2(x 2)x 3x 1 (x 1)5

当 2 x 1时可得同样结论．

11

例4．x 1lnxx 1．

lim

解：这是“ ”型，通分即可化为“0”型．

11

11x 1 lnxxlim lim limx 1lnxx 1x 1x 1(x 1)lnxx 1

lnx

x

x 111

lim lim x 1xlnx x 1x 1lnx 1 12．

例5．求内接于半径为R的球内的圆柱体的最大体积．

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

2

解：设圆柱的底半径为r，高为h则体积v rh，而

h

r2 ()

2 R2

2

故问题

v(h) h(R2 h2/4) (R2h h3/4)（0 h 2R），

转化为求函数v(h)的最大值．

由

去）．

根据实际问题，圆柱体的体积不能超过球的体积，因而是有最大值的，而最大值显然不

h h 处取得．即当，能在端点h 0，h 2R处取得，故只在唯一驻点

3h v (h) (R2 h2) 0

（负值不合题意舍4得驻点

r

Rvmax R3

3时圆柱体的体积最大，最大体积．

第3章 一元函数的积分学

例1．

1x a

2

2

dx

（a 0）．

解：当x a时，设x asect(

0 t

2)，dx asecttantdt代入有：

原式

asecttantdt

．

为将变量t还原为x，借助如图的直角三角形（或利用三角

sectdt ln(sect tant) C

xsect tant a恒等式）有，从而：

ln(x C．

当x a时，令x u，则u，由上，我们有：

ln(u C1 ln( x C1

ln( x C．

综合以上结论得，

lnx C

．

sinx

dx 1 sinx cosx例2．求． xtan t

sinx2tdxdt2 (t 1)(t 1) 解：1 sinx cosx

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1t 11

2)dt ln|1 t| ln|1 t2| arctant ct 1t 12 xxx ln|sin cos| c222．

1

dxp 1x例3．讨论积分的收敛性． 1

dx lnx 11p 1x解：当时，，发散；当p 1时， (

11 p11 p 1b1 limx lim(b 1)dxb 1 pb 1 pp 1xpdx blim 1x1；

111 pdx limb 0 1xp

p 1，广义积分收敛； 当p 1时，有b ，所以1dxlimb p 1p 1b x当时，有，从而是发散的．

2

例4．求曲线y x 0和x y 2围成的图形的面积．

1 p

b

选x为积分变量，把面积分成两部分

1

4

1

y2 x 0

解：由 x y 2得交点( 1, 1)，( 4,2) A ( x 2))dx

2

2

92．

另解：选y为积分变量，积分区间[ 1,2]，

图3-14

A ( y ( y 2))dy ( y2 y 2)dy

1

1

2

11

( y3 y2 2y)

32

显然选y为积分变量计算较简单．

例5．计算曲线x arctant，

2

1

92．

y

1

ln(1 t2)2从t 0到t 1的弧长．

解：

s

4

ln(1．

1

t tanu

40

secudu ln|secu tanu|

第4章 常微分方程

dyx y

例1．求齐次方程dxx y的通解．

一些基本典型例题的讲解,极具代表性哦。

y

dy

dyx yyydydudx 1 u x u

dx，x，解：原方程变形为设x，则dx代入方程dxx y有：

du1 u2du1 u

u x x

dx1 u dx1 u，

1

分离变量积分有：

1 u112

du dxarctanu ln(1 u) ln|x| c1

1 u2 x 2，

即：x(1 u) e

2

2

2arctanu c

222arctanu c

x y e（这里c 2c1），

所以，原方程的通解为x y e

22

y

2 c

x

．

dy2 y (x 1)3

例2．求解微分方程dxx 1．

dy2 y 0dxx 1解：对应齐次方程为：，分离变量后积分，可得其通解为：

y c(x 1)2；

dy2 y (x 1)32

设y c(x)(x 1)，代入方程dxx 1有：

2

c (x)(x 1)2 2c(x)(x 1) c(x)(x 1)2 (x 1)3

x 1

1

c(x) (x 1)2 c

2解得：c (x) x 1 ， 1

y [(x 1)2 c](x 1)2

2所以原方程的通解为：． dyx xsinx ydx例3．求微分方程的通解．

dy1

y sinx

解法一：原方程化为：dxx，对应齐次方程为：

dy1 y dxx0，

cy

x； 分离变量积分得对应齐次方程的通解为：

c(x)dy1y y sinx

x，代入方程dxx设有：

c (x)x c(x) 11c(x)

sinx2

xxx

解得：c (x) xsin(x) c(x) xcosx sinx c，

所以原方程的通解为：

解法二：直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式求解，有：

y

xcosx sinx c

x．

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dxP(x)dx P(x)dx dx

y ( Q(x)e dx c) e ( sinxexdx c) ex

11

1

( xcosx sinx c)x

x

y xe例4．求的通解．

解：连续积分三次得：

y xexdx xdex xex exdx xex ex c1

，

y [(x 1)ex c1]dx (x 1)dex c1dx (x 1)ex exdx c1x

(x 2)ex c1x c2，

y (x 3)ex

1

c1x2 c2x c32．

x2

一般将通解写成：y (x 3)e c1x c2x c3．

例5．求微分方程xy y 的通解．

解：这是一个不显含y的二阶微分方程，令y p(x)，则y p (x)，代入原方程得：

dpdx

xp p，这是一个可分离变量方程，分离变量：px，

cc

积分得：ln|p| ln|x| c p ex y c1x（这里c1 e），

所以原方程的通解为：

y c1xdx

1

c1x2 c222，一般写成：y c1x c2．

c1x

y ce2故原方程的通解为：．

第5章 空间解析几何

例1．设点A(1,0, 1)，

值；（2）点B的坐标．

解：（1）由cos

2

AB 10

00

，AB的方向角 60， 45，求：（1） 的

cos2 cos2 1有

cos2 1 cos2600 cos2450

1

4，

所以

cos

1

6000

1202或；

（2）设B(x,y,z)，有

x 1 10cos600 0

x6 y 0 10cos45

z 1 10cos

，y z 4（或 6），则B

点的坐标为

或 6)．

例2．证明三角形的三条高线交于一点.

PA a，PB b，PC c，B ba ，BC c b，CA a c，

有A

证明：如图，设 ABC在边AC，BC上的高交于点P，且令

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再由PA BC，PB CA有a (c b) 0，b (a c) 0，

两式相加有a c b c 0 (a b) c 0 BA PC 0，

从而有PC AB，所以， ABC的三条高线交于一点.

例3．平面过三个定点P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)（a，b，c均不为零），求该平面的方程．

解：如图，设所求平面方程为：Ax By Cz D 0，由所求平面过三点P(a,0,0)，

Q(0,b,0)，R(0,0,c)有：

DaAa D 0

D

Bb D 0 B

b Cc D 0 DC

c，代入所设平面方程得：

DDDxyz x y z D 0 1abc abc．

A

x 1y 1z

2 1，求过点P(2,1,3)并且与直线L垂例4．已知点P(2,1,3)和直线L：3

直相交的直线方程．

x 1y 1z

2 1垂直的平面方程为：解法一：过点P(2,1,3)且与直线L：3

3(x 2) 2(y 1) (z 3) 0，即3x 2y z 5 0，

x 1 3t

y 1 2t z t

N(x,y,z)L再设直线与此平面的交点为，则将直线 代入上面的平面方程得：

3( 1 2t 2) 2(1 2t 1) ( t 3) 0解得

126246

NP , , {2, 1,4}

7777．

取所求直线的方向向量s {2, 1,4}，则所求直线方程为

x 2y 1z 3

2 14．

t

32133

N(,, )

7，从而有交点777，所以

解法二：设垂足为P0(x0,y0,z0)，其在直线L上对应的参数为t0，则：

PP0 s PP0 s 0 3(3t0 3) 2(2t0) ( 1)( t0 3) 0，

x0 1 3t0

y0 1 2t0

z t0 00 3t0 3,2t0, t0 3 ，由 ，PP

12624321336

P0(,, )P0P {, , {2, 1,4}t0

777，所以 77777，从而有垂足解得．

x 2y 1z 3

14．

取垂线的方向向量s {2, 1,4}，则所求垂直相交的直线方程为2

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从此例我们也顺便得到了点P到直线L的距离为：

|P0P| 222

例5．设圆柱面x y R上有一质点，它一方面绕z轴以等角速度 旋转，另一

方面同时以等速度v0平行于z轴的正方向移动，开始时（t 0），质点在A(R,0,0)处，求质点运动的方程．

解：如图，设时间t时，质点在点M(x,y,z)，M 是M(x,y,z)在xoy平面上的投影，则 AOM t，

x OM cos Rcos t，

y OM sin Rsin t，

z MM v0t． 所以质点运动的方程为

x Rcos t

y Rsin t z vt

0 ．

此方程称为螺旋线的参数方程．

第6章 多元函数微分学

x2y

lim

(x,y) (0,0)x4 y2

例1．求．

解：当(x,y)沿直线y kx趋于(0,0)时有：

x2yx2yx2 kxlim lim 0(x,y) (0,0)x4 y2x 0x4 y2 lim4

x 0x (kx)2y kx

但仍不能说函数f(x,y)在(0,0)存在极限．

实际上，当(x,y)沿曲线y x趋于(0,0)时有：

2

x2yx2 x21

lim4 lim x 0x y2x 0x4 (x2)222

y x

．

x2y

lim

(x,y) (0,0)x4 y2

所以不存在．

x2y2

f(x,y) 2 2

ab在点(x,y)处沿其梯度方向的方向导数． 例2．求函数

2x 2y

gradf 2i 2j

ab，其方向余弦 解：

xy

cos cos

x2y2x2y222

a b

a4b4，a4b4

所以，函数在点(x,y)沿其梯度方向的方向导数为

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f l4242 ． 22

z lnx y例3．设，求其二阶偏导数． zx zy 2 222

解： xx y， yx y，

2z(x2 y2) x 2xy2 x2 2z2xy

x2(x2 y2)2(x2 y2)2， x yx2 y2， 2z2xy 2zx2 y2

2 2

22

y xx y， y(x y2)2．

z z

2uu xyv x yz esinv例4．设，，，求 x， y

解：由公式（1）得：

z z u z v

uu

x u x v x esinv y ecosv 1

eu(ysinv cosv) exy[ysin(x y2) cos(x y2)] z z u z v

y u y v y eusinv x eucosv 2y

eu(xsinv 2ycosv) exy[xsin(x y2) 2ycos(x y2)]

3

例5．要修建一容积为50m的长方体水池，问其长、宽、高怎样选取才能使用料最省？ 解：设水池的长、宽、高分别为x,y,z，表面积为S，则有xyz 50．

11

xy 100( )

xy （x 0,y 0） 从而：S xy 2yz 2xz

根据实际情况，水池表面积的最小值一定存在，并在函数定义域D内取得，现在函数S在D

内只有唯一驻点，故可判断当长和宽等于m时，水池的表面积最小．

100

S y 0x2 x

Sy x 100 0

3 y2 x y

第7章 多元函数积分学

xyd 例1．计算，其中D是由直线y 1，x 2及y x所围成的闭区域．

D

解法一：如图，积分区域D可看成x 型区域，则

2x212xxyd dxxydy [xy]1dx 1112D

11xx93

(x x)dx ( ) 2 124218

2

42

2

解法二：积分区域D亦可看成y 型区域，则

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22211222xyd ＝dyxydx [xy]ydy (4y y3)dy 1y1221D

1x492

＝(2y )＝2418

xe

例2．计算

2

2

y

2

d

，其中

D

D (x,y)x2 y2 a2,a 0

解：在极坐标系下，积分区域

(r, )0 2 ,0 r a D可表示为D

2

x

e

所以

2

y2

D

d e rrdrd

D

r2

2 0

d e

a

12

rdr 2 ( e r)

2

a

(1 e a)

2

22

z x y例3．求抛物面在平面z 1下面那部分的面积．

22 2xzy 2yzxoyx y 1x 解：如图，在面上的投影区域为，因为，，所以

S

Dxy

fx2 fy2dxdy

Dxy

2 0

d

6

1)

x2y2

2 12

b例4．设曲线L为椭圆a在第一象限的那段弧，求

．

L

xyds

解：L

的方程为

y

0 x a），

ds ，

Lxyds

22

ab(a ab b)ba 2 3(a b)a0

a

xyzdS 例5．计算，其中

22

z x y为曲面被z 1割下的有限部分．

Dxy {(x,y)x2 y2 1}xoy解： 在面上的投影区域，

dS ，所以

xyzdS

xy(x

Dxy

2

y2

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20

4 d

sin cos r0

1

0

2 2sin2 d r0

1

第8章 级数

1

2p

(an bn c)n 1例1．判断级数（a 0，p 0）的收敛性

11/(an2 bn c)p

lim 1 2pn 1/(an2)p

解：由于，所以原级数与n 1(an)具有相同的敛散性，而

11

2p

apn 1(an)

1 2pn 1n，可知

11

p 2p

(an bn c)n 12当时，收敛；

11

0 p 2p

2时，n 1(an bn c)发散． 当

( )n

s ,s 0

例2．讨论级数n 1n（）的敛散性．

n 1sun 1 nlim lim n

sn un (n 1) ，利用比值判别法 n解：

( )n

s

则 当0 1时，n 1n绝对收敛．

( )n s

1当时，n 1n发散．

( 1)n1( )n ( 1)n

ss ssnnn 1n 1nn 1n 1当时，n 1，是一个p级数

当s 1时，绝对收敛．

当0 s 1时，n 1

( 1)n( 1)n

sns是发散的，但利用莱布尼兹定理可判断 n 1n收敛．

( )n

s

所以n 1n为

绝对收敛级数 0 1 发散级数 1

绝对收敛级数 1，s 1 条件收敛级数 1，0 s 1

( 1)n s

所以n 1n条件收敛．

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xn

( 1) n的收敛半径和收敛域． 例3．求级数n 1

1( 1)n 1

a 1R limn limn an 1n 1( 1)n

n 1解： ；

n 1

当x 1时，n 1

( 1)

n 1

xn 1 ( 1)n 1nn 1n收敛；

xn1 nn 1n发散；

当x 1时，n 1

( 1)

n 1

n 1

xn

( 1) n的收敛半径R 1，收敛域为( 1,1]． 所以，级数n 1

nn

nx n

例4．求幂级数n 1的和函数，并求级数n 12的和．

解：可求得级数的收敛区间为( 1,1)；先求n 1

设

nx

n 1

的和函数．

S1(x) nxn 1

n 1

，则

x 0

x0

S1(x)dx

nx

n 1

n 1

dx

n 1

x0

nxn 1dx

x x2 xn

x

1 x

，

x ( 1,1)

1x x

S1(x) S(x) xS(x) 12

(1 x)2，x ( 1,1) 1 x (1 x)所以上式两边求导得

1

n S(1) 2 n11n 12x (1 )2

2时，2当

12

例5．将x 3x 2展开成x 1的幂级数．

1111

11121 x 131 x 1 2

23 解：x 3x 2x 1x 2

1 1 x 1nnx 1n ( 1)() ( 1)n()2n 023n 03

11

( 1)n(n 1 n 1)(x 1)n

23n 0

x 1x 1

1 1

要使上式成立，应有2，3即 1 x 3．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f0hi.html