东华大学数值分析研究生试题08-09第1学期A

东华大学2008~ 2009学年第__1__学期期_末_试题A

踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。 课程名称______数值分析___________使用专业__ __研究生08_ 班级_____________________姓名________________学号__________

试题得分 一 二 三 四 五 六 七 总分 一、(20分) 考虑方程组 ?x?2y?2z?0??2x?6y?3z?3 ?2x?3y?5z??2?(1) 用选列主元的Gauss消去法解上述方程组；

(2) 求系数矩阵A分解式 A?LDL, 这里L为对角线元素为1的下三角矩阵，D为对角矩阵，利用此分解式解上述组； (3) 计算A的?-范数和L的1-条件数。

*二、(15分) 设方程 x?0.5cosx?0的解为x,

T(1) 取适当的迭代格式和初值，使迭代过程收敛到x*，证明它的收敛性(不必求解)。 (2) 用牛顿迭代法求解，计算至结果具有三位有效数字为止。

三(10分) 求a,b, 用经验公式y?ax?bx拟合右表数据，并计算拟合误差平方和. . x y 四（13分）(1) 对于函数f(x)，求右表的二次Hermite插值多项式H(x)；

(2) 设f(x)在[0,1] 上有连续的3阶导数，证明其余项公式为：

1 0.5 2 0.9 3 1.0 3f'''(?x)2f(x)?H(x)?x(x?1)

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x 0 1 f(x) －1 2 f'(x) 0 五、(22分) (1) 确定如下数值积分公式的系数A1,A2,A3，使其具有尽可能高的代

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数精度

?10f(x)dx?1Af(0?)2?f (0);Af(?1)3A(2) 导出(1)的余项公式；

(3) 用适当变换，使得可以利用(1)的公式解 (4) 在(3) 基础上导出将[0,1] n 等分

?baf(x)dx，写出求解公式；

?10f(x)dx 的复化求积公式；

10(5) 如果用(4) 复化求积公式计算

?f(x)dx，当x?[0,1],f| ''(x?)|0.01|f'''(x)|?0.001, 为了使得计算精度达到第6位小数，n 需要取多大？

(6) 用 (4) 复化求积公式计算

?10(ax2?bx?c)dx的误差为多大？

六 (18分) 确定参数a,b使得常微分方程y’= f(x,y)的下列差分格式为二阶方法

??yn?1?yn?h(aK1?bK2),? ?K1?f(xn,yn),?2h2h?K2?f(xn?,yn?K),331? (2) 分析上述格式的绝对稳定性，对于常微分方程y'??5y，步长h必须取多大才能保证计算绝对稳定？

(3) 写出由上述格式求解2阶微分方程y''?xy?2y'的求解格式(不必求解).七、(12分) 设n 阶方阵 A对称正定，它的特征值为?1??2????n?0 (1) 试问用迭代公式 X(k?1)?X(k)??(b?AX(k)),k?0,1,2,?

解线性方程组 AX?b时，参数?满足什么条件，迭代法收敛？

(2) 当?取何值时，上述迭代法收敛最快？

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