复变函数与积分变换 - 图文

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全国2009年4月自考复变函数与积分变换试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

1．设z=1-i,则Im(1z2)=（ ）

A．-1 B．-12

C．12 D．1

2．复数z=3?i2?i的幅角主值是（ ）

A．0 B．π4

C．π2 D．3π4

3．设n为整数，则Ln（-ie）=（ ） A．1-π2i

B．(2nπ?π2)i

C．1+2(nπ?π2)i

D．1+2(nπ?π2)i4．设z=x+iy.若f (z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，则（ A．m=-3,n=-3 B．m=-3,n=1 C．m=1,n=-3 D．m=1,n=1

i5．积分?2ieπzdz?（ ）

A．1?(1?i) B．1+i C．

2i

D．

2??

6．设C是正向圆周z?1?1,则?sin(?z/3)Cz2?1dz=（ ） A．?32?i B．?3?i C．

34?i D．

32?i 7．设C是正向圆周z?3，则

?sinzCdz=（ ） (z??2)3A．?2?i B．??i C．?i

D．2?i

8．点z=0是函数f(z)?(ez?1)sinzz2(z?1)的（ ）

A．可去奇点 B．一阶极点 C．二阶极点

D．本性奇点

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

1

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9．函数f(z)?A．z＜2 C．z＜3 10．设f(z)?A．-1 C．

z在z?1的泰勒展开式的收敛圆域为（ ）

(z?2)(z?3)B．z?1＜2 D．z?1＜3

sinz,则Res[f (z),0]=（ ） 2z(1?z)B．-

1 21 2D．1

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 11．复数-1-i的指数形式为__________.

12．设z=x+iy满足x-1+i(y+2)=(1+i)(1-i)，则z=__________. 13．区域0

?4在映射w=z3下的像为__________.

14．设C为正向圆周z?2,则15．函数f(z)?16．设f(z)??Ce2zdz?__________. z?11在圆环域0

z2(1?z)1z(ez?1),则Res[f (z),0]=__________.

三、计算题（本大题共8小题，共52分）

17．（本题6分）将曲线的参数方程z=3eit+e-it（t为实参数）化为直角坐标方程.

1ezdz. 18．（本题6分）设C是正向圆周z?1?,计算Cz2?3z?22z在z?0处的泰勒展开式，并指出收敛圆域. 19．（本题6分）求f(z)?(z?1)(z?2)2z?120．（本题6分）求f(z)?在圆环域1

(z?1)(z?2)?21．（本题7分）计算z=(1+i)2i的值.

y22．（本题7分）设v (x,y)=arctan(x?0),f(z)是在右半平面上以v (x,y)为虚部的解析函数，求f (z).

xezdz. 23．（本题7分）设C是正向圆周z?2，计算I?Cz2(z?1)224．（本题7分）设C是正向圆周z?1，计算I?(1?z2)sindz.

Cz??四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分）

125．（1）求f(z)?2在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型；

z?2z?2（2）求出f(z)eiz在以上奇点处的留数；

??cosx（3）利用以上结果，求积分I?dx.

??x2?2x?2?26．设D为Z平面上的带形区域：0

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

2

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（3）w=f (z)将D映射成W平面的单位圆盘D2∶|w|<1. 27．求函数f(t)?3(t?1)2?5e?2tsin3t的拉普拉斯变换.

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

3

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全国2008年7月复变函数与积分变换真题

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)

11．设z=?1?i，则z为（ ） ?1?i?1?iA．2

B．2

1?i1?iC．2 D．2

2．下列集合为有界闭区域的是（ ）

?A．0< arg (z+3)≤2 B．Re (z-i)<1 C．1≤Imz≤2

D．1≤

z?i≤4

3．Ln(-4+3i)的主值是（ ）

44A．ln5+i(-π-arctg3) B．ln5+i(π-arctg3)

33C．ln5+i(-π-arctg4) D．ln5+i(π-arctg4)

4．正弦函数sinz=（ ）

eiz?e?izeiz?e?izA．2i B．2 eiz?e?izeiz?e?izC．2i

D．2

i5．复积分

?0eizdz的值是（ ）

A．-（1-e-1）i B．e-1i C．（1-e-1）i D．-e-1i

6．复积分z?1??ezi?2z?idz的值是（ ）

A．ei

B．e-i

C．2πiei

D．2πie-i 1?cosz7．z=0是函数z2的（ ）

A．本性奇点B．可去奇点 C．一阶极点 D．二阶极点

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

4

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8．Res?ctg?z,1?=（ ）

11A．-? B．?

C．-2i D．2i

39．??z把Z平面上区域0<θ<π映射成W平面上的区域（ ）

A．-3π

?B．-3

?C．0

1t2?210．函数f(t)=2?e的傅氏变换

?f(t)?为（ ）

A．eC．

??2 B．e??22

?2e2? D．e

2二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分) 11.复数1-3i的三角表达式是_________________. 12.tgz的所有零点为_________________.

13．

z?3i?1?ezcoszdz=______________.

14．幂级数

?nznnn?12?的收敛半径是____________.

n15．设

znf(z)?(?1)2nn?0??(10)f(0)=___________. ，则

16．分式线性映射

??z?1?iz?1?i把上半平面Imz>0映射成___________.

三、计算题（本大题共8小题，共52分） 17．（本题6分）用cos?与sin?表示cos5?． 18．（本题6分）已知z≠时将它表示成z的函数形式． 19．（本题6分）计算积分I=

??x?yx2?y2为调和函数，求解析函数f(z)?u?i?的导数f?(z)，并

?c(x?y?ix2)dz，其中C为从0到1+i的直线段．

20．（本题6分）将函数f(z)=ln(z2-3z+2)在z=0处展开为泰勒级数．

21．（本题7分）函数f(z)=x2-y2-x+i(2xy-y2)在复平面上何处可导？何处解析？

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

5

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1dzc(z?1)(z2?1)22．（本题7分）计算积分I=，其中C为正向圆周x2+y2-2x=0.

?2e2zdzc(z?1)2z23．（本题7分）利用留数计算积分I=，其中C为正向圆周=2．

?f(z)?24．（本题7分）将函数

z?1z(z?1)在圆环域0

2四、综合题（下列３个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，若两题全做，以26题计分。每小题8分，共16分）

25．（1）求

f(z)?z2z4?z2?1在上半平面内的所有孤立奇点． （2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数．

（3）利用以上结果计算积分I=???x2??x4?x2?1dx．

26．设Z平面上区域D：

z<2且

z?i>1．试求以下保角映射:

11 （1）?1?f1(z)把D映射成W1平面上的带形域D1：4

（2）?2?f2(?1)把D1映射成W2平面上的带形域D2：0

??f3(?2)把D2映射成W平面上的区域D3：Imω>0;

（4）综合以上三步，求保角映射??f(z)把D映射成Imω>0. 27.（1）求sint的拉氏变换（sint）； （2）设F（p）=

?y(t)?，其中函数y(t)可导，且y(0)??1,求?y?(t)?.

??y??y?sint （3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：?y(0)??1

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

6

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全国2008年4月自学考试试题复变函数与积分变换试卷

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设z为非零复数，a,b为实数，若z_?a?ib，则a2z+b2的值（ ） A．等于0 B．等于1 C．小于1

D．大于1

2．设z?3?i,w?z2,则（ ） A．argw???3 B．argw?6

C．argw???6

D．argw???3

3．ln2i?（ ） A．ln2 B．ln2??2i

C．ln2??2i D．ln2?iArg2i

4．设C为正向圆周|z|=1,则?Czdz=（ ）

A．6?i B．4?i C．2?i

D．0

5．设C为正向圆周|z-1|=2,则?ezCz?2dz=（ ） A．e2 B．2?e2i C．?e2i

D．?2?e2i

6．设C为正向圆周|z|=2，则?z?ezC(z?1)4dz=（ ）

A．

??3ei B．

6e C．2?ei

D．?e3i

?7．1n2?z的幂级数展开式

?anz在z=-4处（ ）

n?0A．绝对收敛 B．条件收敛

C．发散 D．收敛于16

?8．幂级数?1n(1?i)nzn的收敛半径为（ ） ?0A．2

B．1 C．12

D．0

9．函数ztanz在z=0点的留数为（ ） A．2

B．i

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

7

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C．1 D．0

eiaz?eibz10．函数(a、b为实数,a≠b)在z=0点的留数为（ ）

z2A．i(b?a) C．a?b

B．b?a D．i(a?b)

二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

_3111．设z???i，则z?____________.

101012．方程lnz?1??3i的解为____________.

13．设C为从i到1+i的直线段，则

?CRezdz?____________.

14．设C为正向单位圆周在第一象限的部分，则积分(z)3zdz?____________.

C?_15．设C为正向圆周|z|=2，则

??cosz(z?2C?2dz?____________.

3)16．若在幂级数

?n?0bnzn中，limbn?1?3?4i，则该幂级数的收敛半径为____________.

n??bn三、计算题（本大题共8小题，共52分）

i17．（本小题6分）设复数z?

(i?1)(i?2)（1）求z的实部和虚部；（2）求z的模；（3）指出z是第几象限的点. 18．（本小题6分）

设z?x?iy.将方程|z|?Rez?1表示为关于x,y的二元方程，并说明它是何种曲线. 19．(本小题7分)

设f(z)?ax3?bxy2?i(y3?cx2y)为解析函数，试确定a,b,c的值. 20．(本小题7分)

设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是解析函数，其中u(x,y)?y2?x2?2xy， 求v(x,y).

21．（本小题6分）

2求f(z)??在圆环域1?|z?1|?3内的罗朗级数展开式.

(z?4)(z?2)22．（本小题6分）

1设f(z)?sin的幂级数展开式为

1?z23．（本小题7分）

1设C为正向简单闭曲线，a在C的内部，计算I=

2?i??aznn?0n，求它的收敛半径，并计算系数a1,a2.

?Czezdz.

(z?a)324．（本小题7分）

1求f(z)?3在各个孤立奇点处的留数.

z(z?i)四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题，两题都做按前一题评分。

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

8

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每小题8分，共16分）

25．利用留数计算积分I????x2??(x2?1)(x2?9)dx. 26．设D为Z平面上的扇形区域0?argz??3,|z|?1.求下列保角映射：

（1）w1?f1(z)把D映射为W1平面的上半单位圆盘D1； （2）w?f2(w1)把D1映射为W平面上的第一象限； （3）w?f(z)把D映射为W平面上的第一象限. 27．求函数F(p)?p2?4(p2?4)2的拉氏逆变换.

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

9

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全国2007年7月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题(本大题共15小题，每小题2分，共30分) 1.z=2-2i，|z2|=（ ） A.2 B.8 C.4

D.8

2.复数方程z=cost+isint的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆

D.双曲线

3.Re(e2x+iy)=（ ） A.e2x B.ey C.e2xcosy

D.e2xsiny 4.下列集合为有界单连通区域的是（ ） A.0<|z-3|<2 B.Rez>3 C.|z+a|<1

D.12??argz?? 5.设f(z)=x3-3xy2+(ax2y-y3)i在Z平面上解析，则a=（ ） A.-3 B.1 C.2

D.3

6.若f(z)=u(x，y)+iv(x，y)在Z平面上解析，v(x,y)=ex(ycosy+xsiny)，则u(x，y)=（A.ex(ycosy-xsiny) B.ex(xcosy-xsiny) C.ex(ycosy-ysiny)

D.ex(xcosy-ysiny)

7.?dz=（ ）

|z?i|?3zA.0 B.2π C.πi D.2πi

8.

?sinzdzz2=（ ）

|z?1|?1?z?12A.0 B.2πisin1

C.2πsin1 D.12?isin1 9.

?3zcosz20dz=（ ）

A.

1sin9 12B.

2cos9 C.cos9

D.sin9

10.若f(z)=tgz，则Res[f(z)，?2 ]=（ ） A.-2π

B.-π

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

10

）

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C.-1 D.0

11.f(z)=coszz(z?i)2在z=1处泰勒展开式的收敛半径是（ ）

A.0 B.1 C.2

D.3

12.z=0为函数cos1z的（ ） A.本性奇点 B.极点 C.可去奇点 D.解析点

13.f(z)=

1(z?2)(z?1)在0<|z-2|<1内的罗朗展开式是（ ）

?A.?(?1)nzn

B.1?n?0(z?2)zn n??0???C.

(z?2)n D.

nz?2)n?1

n?0?(?1)(n?014.线性变换ω=

i?zz?i（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1

15.函数f(t)=t的傅氏变换J [f(t)]为（ ） A.δ(ω) B.2πiδ(ω) C.2πi??(ω)

D.??(ω)

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 16.若zπ

1=e1+i,z2=3+i，则z1·z2=________.

17.若cosz=0，则z=________.

18.设f′(z)=

?e?cos ?L(??z)2dζ　　(|z|?5)，L：｜?｜?5，则f(z)?________. ?19.幂级数

?n!zn的收敛半径是________.

n?1nn20.线性映射ω=z是关于________的对称变换. 三、计算题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

21.计算复数z=3?27的值.

22.已知调和函数v=arctgyx,x>0，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式.

23.设f(z)=x2+axy+by2+i(-x2+2xy+y2)为解析函数，试确定a，b的值.

24.求积分I=?idz的值，其中C：|z|=4为正向.

Cz2?2

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

11

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ez25.求积分I=dz的值，其中C：|z|=2为正向.

Ci4(z?)2dz26.利用留数计算积分I=，其中C为正向圆周|z|=1.

Czsinz??27.将函数f(z)=ln(3+z)展开为z的泰勒级数.

228.将函数f(z)=在圆环域0<|z|<2内展开为罗朗级数.

z?z?2?四、综合题(下列3个小题中，第29小题必做，第30、31小题中只选做一题。每小题10分，共20

分) 29．（1）求f(z)=

ziz1?z2e在上半平面的所有孤立奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；

（3）利用以上结果计算积分I=???xsinx??1?x2dx.

30.设D是Z平面上的带形区域：10； （4）综合以上三步，求把D映射成D3的保角映射ω=f(z). 31.(1)求et的拉氏变换L [e t];

(2)设F（p）=L [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，L [y′(t)]、L [y″(t)]存在，且y(0)=0，y′(0)=0，求L [y′(t)]、L [y″(t)];

?y???2y??y?et(3)利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：?y(0)?0,y(0)?0.

??

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

12

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全国2007年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1

D.Im z<0

2.设v(x,y)=eaxsiny是调和函数，则常数a=（ ） A.0 B.1 C.2

D.3

3.设f(z)=z3+8iz+4i，则f′(1-i)=（ ） A.-2i B.2i C.-2

D.2

4.设C为正向圆周|z-a|=a(a>0)，则积分

?dzCz2?a2=（ ）

A.??i2a B. ??ia

C. ?i2a

D. ?ia

5.设C为正向圆周|z-1|=1，则?z3C(z?1)5dz?（ ）

A.0 B.πi C.2πi D.6πi

6.f(z)=11?z2在z=1处的泰勒展开式的收敛半径为（ ） A.

32 B.1 C.2

D.3

7.下列级数中绝对收敛的是（ ）

??(3?4i)n?nA.

B. n?1n!?(1?3i)

n?12??n?C. i

D.

?(1?i)n

n?1nn?1n?18.可以使f(z)=

1z(z?3)3在点z=0处的罗朗展开式收敛的区域是（ A.0<|z|<2或2<|z|<+∞ B. 0<|z|<+∞ C. 0<|z-2|<2

D. 0<|z-2|<+∞

9.点z=-1是f(z)=(z+1)5sin

1(z?1)的（ ）

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

13

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A.可去奇点 C.五阶零点

B.二阶极点 D.本性奇点

10.设C为正向圆周|z|=1，则cotzdz?（ ）

c?A.-2πi C. -2π

B. 2πi D. 2π

二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.arg (-1+3i)= . 12.已知f(z)=u+iv是解析函数，其中u=13.设C为正向圆周|z|=1,则

1?vln(x2?y2),则? . 2?y?ez2?c?2dz? . i14.z=0是f(z)=15. f(z)=

ln(1?z)的奇点，其类型为 . z1在圆环域0<|z|<1内的罗朗展开式为 . z?z211nn??1?(z?1)???(?1)(z?1)??,则Res[f(z),1]= . 16.设f(z)=2(z?1)(z?1)

三、计算题（本大题共8小题，共52分）

17．（本题6分）求z=（-1+i）6 的共轭复数z及共轭复数的模|z|. 18．(本题6分) 设t为实参数，求曲线z=reit+3 (0≤t＜2π的直角坐标方程. 19．(本题6分) 设C为正向圆周|z|=1，求I=zec1?z2dz.

20．(本题6分) 求f(z)?1在z=0处的泰勒展开式.

(z?1)(z?2)21．(本题7分) 求方程sin z+cos z=0 的全部根.

22．(本题7分) 设u=e2xcos 2y 是解析函数f(z)的实部，求f(z). 23．(本题7分) 设C为正向圆周|z-i|=

1dz,求I=?.

cz(z2?1)2ez24．(本题7分)设C为正向圆周|z|=1，求I=?5dz.

Cz

四、综合题（下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分） 25．（1）求f(z)=

z

在上半平面内的孤立奇点，并指出其类型； 2

z?1

14

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

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（2）求f(z)eiz在以上奇点的留数； （3）利用以上结果，求I=

???xsinx??x2?1dx.

26．设D为Z平面的单位圆盘去掉原点及正实轴的区域. 求下列保角映射： （1）w1=f1(z)把D映射成W1平面的上半单位圆盘D1； （2）w=f2(w1)把D1映射成W平面的第一象限； （3）w=f(z)把D映射成W平面的第一象限. 27．求函数3f(t)+2sint的付氏变换，

其中 f(t)=??1,|t|?1?0,|t|?1 .

2005年4月自考复变函数与积分变换试卷答案

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全国2006年7月自考复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.arg(2-2i)=（ ）

A.?3?B.??4

4 C.?4 D.3?4 2.复数方程z=3t+it表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆

D.双曲线

3.设z=x+iy，则|e2i+2z|=（ ） A.e2+2x B.e|2i+2z| C.e2+2z

D.e2x 4.下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4

D.32??argz?2? 5.设f(z)=ex(xcosy+aysiny)+iex(ycosy+xsiny)在Z平面上解析，则a=（ A.-3 B.-1 C.1

D.3

6.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z平面上解析，u(x,y)=x2-y2+x，则v(x,y)=（ A.xy+x

B.2x+2y C.2xy+y

D.x+y

7.dz|z|??2(z?i)2?（ ） A.0 B.1 C.2π D.2πi

8.

coszdz?（ ） |z?1?|?2zA.0 B.1 C.2π

D.2πi

9.?2　　?2i0zdz?（ ）

A.i B.2i C.3i D.4i

10.设f(z)=

2zz2?1，则Res[f(z),1]=（ ）

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A.0 B.1 C.π D.2π

11.f(z)?1(z?2)(z?i)在z?0处泰勒展开式的收敛半径是（ ）

A.0 B.1 C.2

D.3

12.z=2i为函数f(z)?ezz2(z2?4)2的（ ）

A.可去奇点 B.本性奇点 C.极点 D.解析点

13.f(z)?1z(z?1)2在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（ ）

A.??n?(?1)zn B.

1n(z?1)z

n?02?n?0C.

??n?(?1)(z?1)n

D.

?(?1)n(z?1)n?2

n?0n?014.线性变换??2z1?z（ ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Imω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Imω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 15.δ函数的傅氏变换F [?(t)]为（ ） A.-2 B.-1 C.1

D.2

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

16.若z?1?i3?i，则z=___________.

17.若sinz=0，则z=___________.

18.设f(z)??sin?L??zd?,(|z|?3),L:|?|?3，则f(z)?___________. ?19.幂级数

?n的收敛半径是___________.

n?03nzn20.映射??1z是关于___________的对称变换.

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.解方程z4=-1.

22.已知调和函数u=(x-y)(x2+4xy+y2)，求f′(z)，并将它表示成z的函数形式. 23.设f(z)=my3+nx2y+i(x3-3xy2)为解析函数，试确定m、n的值.

24.求积分I＝?（32Cz?2?z?i）dz的值，其中C:|z|=4为正向.

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25.求积分I＝?ez?3z4Cdz的值，其中C:|z|=1为正向.

26.利用留数计算积分I?27.将函数f(z)?4(z?1)(z?4)|z|?2?ezdz.

1在z?0展开为泰勒级数.

(z?1)(z?2)128.将函数f(z)?在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.

z(z?1)四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题。每小题10分，共20分）

）求f(z)?ei2z29.（14?z2在上半平面的所有孤立奇点；

（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；

（3）利用以上结果计算积分I????cos2x??x2?4dx.

30.设D是Z平面上的带形区域：100； （3）ω=f3(ω2)把D2映射成ω平面上的单位圆域D3：|ω|<1，且f3(i)=0； （4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D映射成单位圆域D3. 31.(1)求e-t的拉氏变换F[e-t]；

(2)设F(p)=F[y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F[y′(t)]、F[y″(t)]存在，且y(0)=0， y′(0)=1，求F[y′(t)]、F[y″(t)]；

3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：??y???2y??3y?2e?t（y?(0)?1

?y(0)?0,

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全国2006年4月高等教育自学考试

复变函数与积分变换试题

课程代码：02199

一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1.设z=1+2i，则Im z3=（ ） A.-2 B.1 C.8

D.14

2.z=(1+cost)+i(2+sint),0≤t<2π所表示的曲线为（ ） A.直线 B.双曲线 C.抛物线

D.圆

3.ln(-1)为（ ） A.无定义的 B.0

C.πi

D.(2k+1)πi(k为整数)

4.设z=x+iy,则（1+i）z2的实部为（ ） A.x2-y2+2xy B.x2-y2-2xy C.x2+y2+2xy

D.x2+y2-2xy

5.设z=x+iy，解析函数f(z)的虚部为v=y3-3x2y，则f(z)的实部u可取为（ A.x2-3xy2 B.3xy2-x3 C.3x2y-y3

D.3y3-3x3

6.设C为正向圆周|z|=1，则?dz）

Cz2?（ A.0 B.1 C.πi

D.2πi

7.设C为从-i到i的直线段，则?C|z|dz?（ ）

A.i B.2i

C.-i

D.-2i 8.设C为正向圆周|z|=1，则?sinzz?1dz?（ ）

CeA.2πi·sin 1 B.-2πi C.0

D.2πi

n?9.复数列zn?e2i的极限为（

） A.-1 B.0 C.1

D.不存在

10.以z=0为本性奇点的函数是（ ） A.sinz1z

B.

z(z?1)

C.1?coszz2

D.sin1z

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11.f(z)?1ez?1在z=πi处的泰勒级数的收敛半径为（ ） A.πi B.2πi C.π

D.2π

?设f(z)?zn12.n??0n!，则f(10)(0)为（ ）

A.0 B.

110! C.1

D.10！

eiz13.设函数f(z)?(z2?1)2，则Res[f(z),-i]=（ ） A.0 B.?ie4 C.

ie

D.

e44 14.把点z=1，i,-1分别映射为点w=∞,-1,0的分式线性映射为（ ）

A.w?z?1i(z?1)z?1 B.w?1?z

C.w?z?1i(z?1)1?z D.w?z?1

15.w=ez把带形区域0

B.整个复平面

C.割去负实轴及原点的复平面

D.割去正实轴及原点的复平面

二、填空题（本大题共5小题，每小题2 分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 16.arg(3-i)=___________.

17.对数函数w=ln z的解析区域为___________.

18.设C为正向圆周|z|=1，则积分?1Czdz?___________.

19.设nliman?1???a?1?i，则幂级数anzn的收敛半径为___________.

nn??0n?120.设C为正向圆周|?|?1，则当|z|?1时，f(z)??sin2?C(??z)3d??___________.

三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.求方程z3+8=0的所有复根.

22.设u=x2-y2+xy是解析函数f(z)的实部，其中z=x+iy.求f′(z)并将它表示成z的函数形式. 23.设v=eaxsiny，求常数a使v成为调和函数. 24.设C为正向圆周|z|=1，计算积分I??sinzCdz.

(z?1)(z?2)2225.计算积分I??ezC(z?a)3dz，其中C为正向圆周|z|=1，|a|≠1.

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26.(1)求(2)求

1在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式； z在圆环域1<|z-1|<+∞内的罗朗级数展开式.

1z227.求f(z)=ln z在点z=2的泰勒级数展开式，并求其收敛半径.

1dz，其中C为正向圆周|z|=2. 28.计算积分I?Cz2?(1?i)z?四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中选做一题。每小题10分，共20分）

29.（1）求f(z)?1(z2?1)(z2?4)在上半平面的所有孤立奇点； （2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数； （3）利用以上结果计算积分I????dx??(x2?1)(x2?4).

30.设D是上半单位圆：Im z>0,|z|<1，求下列保角映射： （1）w1=f(z)把D映射为第Ⅱ象限D1，且f(1)=0； （2）w2=g(w1)把D1映射为第Ⅰ象限D2； （3）w=h(w2)把D2映射为上半平面D3； （4）求把D映射为D3的保角映射w=F(z).

?te?t31.求函数2?(t)?3f(t)的傅氏变换，其中f(t)??,t?0?0,t?0.

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