自动控制原理电子教案

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第一章 自动控制原理的基本概念

主要内容：

? 自动控制的基本知识 ? 开环控制与闭环控制 ? 自动控制系统的分类及组成 ? 自动控制理论的发展

§1.1 引言

控制观念

生产和科学实践中，要求设备或装置或生产过程按照人们所期望的规律运行或工作。

同时，干扰使实际工作状态偏离所期望的状态。

例如：卫星运行轨道，导弹飞行轨道，加热炉出口温度，电机转速等控制 控制：为了满足预期要求所进行的操作或调整的过程。 控制任务可由人工控制和自动控制来完成。

§ 1.2 自动控制的基本知识 1.2.1 自动控制问题的提出

一个简单的水箱液面，因生产和生活需要，希望液面高度h维持恒定。当水的流入量与流出量平衡时，水箱的液面高度维持在预定的高度上。

当水的流出量增大或流入量减小，平衡则被破坏，液面的高度不能自然地维持恒定。

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所谓控制就是强制性地改变某些物理量(如上例中的进水量)，而使另外某些特定的物理量（如液面高度h）维持在某种特定的标准上。人工控制的例子。

这种人为地强制性地改变进水量，而使液面高度维持恒定的过程，即是人工控制过程。

1.2.2 自动控制的定义及基本职能元件 1. 自动控制的定义

自动控制就是在没有人直接参与的情况下，利用控制器使被控对象(或过程)

的某些物理量(或状态)自动地按预先给定的规律去运行。

当出水与进水的平衡被破坏时，水箱水位下降(或上升)，出现偏差。这偏差由浮子检测出来，自动控制器在偏差的作用下，控制阀门开大(或关小)，对偏差进行修正，从而保持液面高度不变。

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2. 自动控制的基本职能元件

自动控制的实现,实际上是由自动控制装置来代替人的基本功能，从而实现自动控制的。画出以上人工控制与动控制的功能方框图进行对照。

比较两图可以看出，自动控制实现人工控制的功能，存在必不可少的三种代替人的职能的基本元件：

? 测量元件与变送器（代替眼睛） ? 自动控制器（代替大脑） ? 执行元件（代替肌肉、手）

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这些基本元件与被控对象相连接，一起构成一个自动控制系统。下图是典型控制系统方框图。

1.2.3 自动控制中的一些术语及方框图 1.常用术语

控制对象 控制器 系统 系统输出 操作量 参考输入 扰动 特性

2.系统方框图

将系统中各个部分都用一个方框来表示，并注上文字或代号，根据各方框之间的信息传递关系，用有向线段把它们依次连接起来，并标明相应的信息。

§1.3 自动控制系统的基本控制方式

控制方式：开环控制和闭环控制

1.3.1 开环控制

定义:控制量与被控量之间只有顺向作用而没有反向联系。

开环控制系统的典型方框图如图所示。

例如：交通指挥红绿灯，自动洗衣机，自动售货机

1.按给定控制

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下图是一个直流电动机转速控制系统。

工作原理：

以上的控制过程，用方框图简单直观地表示出来。

2.按扰动控制

图示是一个按扰动控制的直流电动机转速控制系统。

控制过程可用方框图表示成如图示的形式。

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把负载变化视为外部扰动输入，对输出转速产生的影响及控制补偿作用，分别沿箭头的方向从输入端传送到输出端，作用的路径也是单向的，不闭合的。有时我们称按扰动控制为顺馈控制。

开环控制的特点：

? 结构简单、调整方便、成本低。 ? 给定一个输入，有相应的一个输出。 ? 作用信号是单方向传递的，形成开环。 ? 输出不影响输入。

? 若系统有外界扰动时，系统输出量不可能有准确 的数值，即开环控制精度不高，或抗干扰能力差

1.3.2 闭环控制

定义：凡是系统输出信号对控制作用有直接影响的系统，都叫做闭环控制系统。

常用术语：

反馈控制系统 闭合 闭环控制系统

? 反馈控制原理：被控变量作为反馈信号，与希望值比较得到偏差输入； 根据输入偏差大小，调整控制信号；控制信号通过执行器的操作消除偏差，实现控制目标。

反馈：输出量经测量后的信号回送到输入端。 反馈连接方式有负反馈和正反馈。

负反馈：反馈信号的极性与输入信号相反，使被控对象的输出趋向希望值。

直流电动机转速闭环控制的例子。

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闭环控制的特点：

? 由负反馈构成闭环，利用偏差信号进行控制； ? 抗干扰能力强，精度高；

? 存在稳定性问题。系统元件参数配合不当，容易产生振荡，使系统不能正常工作；

? 自动控制理论主要研究闭环系统。 闭环控制系统的典型方框图如图所示。

一、开环与闭环控制系统的比较 二、复合控制方法 常见的方式有以下两种： 1.附加给定输入补偿

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2. 附加扰动输入补偿

§ 1-4 自动控制系统的分类基本组成 1.4.1 按给定信号的特征划分

1. 恒值控制系统：

? 系统任务：c(t)=r(t) r(t)常数

? 分析设计重点:研究干扰对被控对象的影响,克服扰动 液位控制系统，直流电动机调速系统等等。 2. 随动控制系统：

? 系统任务：c(t)=r(t) r(t)随机变化 ? 分析设计重点:系统跟踪的快速性，准确性

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跟踪卫星的雷达天线系统 3. 程序控制系统：

? 系统任务：c(t)=r(t) r(t)按预先规定时间函数变化 ? 分析设计重点:输出按一定的规律变化 机械加工中的程序控制机床等等。

1.4.2 按系统的数学描述划分

1.线性系统

当系统各元件输入输出特性是线性特性，系统的状态和性能可以用线性微分（或差分）方程来描述时，则称这种系统为线性系统。 2.非线性系统

系统中只要存在一个非线性特性的元件，系统就由非线性方程来描述，这种系统称为非线性系统。

1.4.3 按信号传递的连续性划分

1.连续系统

连续系统的特点是系统中各元件的输入信号和输出信号都是时间的连续函数。这类系统的运动状态是用微分方程来描述的。

连续系统中各元件传输的信息在工程上称为模拟量，其输入输出一般用

r(t)和c(t)表示。

2.离散系统

控制系统中只要有一处的信号是脉冲序列或数码时，该系统即为离散系统。这种系统的状态和性能一般用差分方程来描述。

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1.4.4 按系统的输入与输出信号的数量划分

1.单变量系统（SISO） 2.多变量系统（MIMO）

1.4.5 自动控制系统的基本组成

在形形色色的自动控制系统中，反馈控制是最基本的控制方式之一。一个典型的反馈控制系统总是由控制对象和各种结构不同的职能元件组成的。除控制对象外，其他各部分可统称为控制装置。每一部分各司其职，共同完成控制任务。 下面给出这些职能元件的种类和各自的职能。

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给定元件：其职能是给出与期望的输出相对应的系统输入量，是一类产生系统控制指令的装置。

测量元件：其职能是检测被控量，如果测出的物理量属于非电量，大多情况下要把它转换成电量，以便利用电的手段加以处理。

比较元件：其职能是把测量元件检测到的实际输出值与给定元件给出的输入值进行比较，求出它们之间的偏差。

放大元件：其职能是将过于微弱的偏差信号加以放大，以足够的功率来推动执行机构或被控对象。

执行元件：其职能是直接推动被控对象，使其被控量发生变化。

校正元件：为改善或提高系统的性能，在系统基本结构基础上附加参数可灵活调整的元件。工程上称为调节器。常用串联或反馈的方式连接在系统中。

§ 1.5 对控制系统的要求和分析设计 1.5.1 对系统的要求

各类控制系统为达到理想的控制目的，必须具备以下两个方面的性能 (基本要求) ：

1.使系统的输出快速准确地按输入信号要求的期望输出值变化。 2.使系统的输出尽量不受任何扰动的影响。 对自控系统性能的要求一般可归纳为三大性能指标： (1) 稳定性：要求系统绝对稳定且有一定的稳定裕量。

(2) 瞬态质量：要求系统瞬态响应过程具有一定的快速 性和变化的平稳性。

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(3)稳态误差：要求系统最终的响应准确度，限制在工程允许的范围之内，是系统控制精度的恒量。

1.5.2 控制系统的分析和设计

1.系统分析

系统给定，在规定的工作条件下，对它进行分析研究，其中包括稳态性能和动态性能分析，看是否满足要求，以及分析某个参数变化时对上述性能指标的影响，决定如何合理地选取等。 2.系统的设计

系统设计的目的，是要寻找一个能够实现所要求性能的自动控制系统。因此，在系统应完成的任务和应具备的性能已知的条件下，根据被控对象的特点，构造出适合的控制器是设计的主要任务。应进行的步骤如下： （1）熟悉对系统性能的要求。

（2）根据要求的性能指标综合确定系统的数学模型。

（3）若控制对象是已知的，根据确定的系统数学模型和已知部分的数学模型，

求得控制器的数模和控制 规律。

（4）按综合确定的数模进行系统分析，验证它在各种信号作用下是否满足要求。

若不满足,及时修正。

（5）样机设计制造和试验，验证设计结果。

§ 1-6 自动控制理论的发展概况

三个时期： ? 早期的自动控制工作 ? 经典控制理论 ? 现代控制理论

作业：1.2 1.3

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学习指导与小结

? 通过示例介绍了控制系统的基本概念 1.反馈控制原理 2.控制系统的基本组成 3.控制系统的基本类型 ? 给出控制系统的基本要求 1.稳 2.准 3.快

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第二章 控制系统的数学模型

主要内容：

? 数学模型的概念、建模原则 ? 线性系统的传递函数 ? 系统的结构图 ? 信号流图及梅逊公式 § 2-1 引言

什么是数学模型？

所谓的数学模型，是描述系统内部各物理量(或变量)之间关系的数学表达式。 2.1.1 数学模型的特点 1.相似性 2.简化性和准确性 3.动态模型 4.静态模型

? 静态模型和动态模型 一、静态模型

1.不含时间变量t的代数方程 2.平衡状态下各变量间对应关系 3.变化量不随时间而变化 二、动态模型

1.表达式是含时间变量t的微分方程 2.描述了系统的非平衡过程 3.变量随时间而变化 4.静态模型包含在静态模型中 2.1.2 数学模型的类型 1.微分方程

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2.传递函数

3.状态空间表达式

2.1.3 数学模型的建模原则 数学模型的建立方法： 1. 分析法(微分方程和代数方程) 2.实验法

数学模型的建模原则：

1.建模之前,要全面了解系统的自然特征和运动机理,明确研究目的和准确

性要求,选择合适的分析方法。

2.按照所选分析法，确定相应的数学模型的形式。

3.根据允许的误差范围，进行准确性考虑然后建立尽量简化的、合理的数学

模型。

§2.2 系统微分方程的建立 2.2.1 列写微分方程式的一般步骤

1.分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中间变量，

搞清各变量之间的关系。

2.做出合乎实际的假设，以便忽略一些次要因素，使问题简化。 3.根据支配系统动态特性的基本定律，列出各部分的原始方程式。 4.列写各中间变量与其他变量的因果式。 5.联立上述方程，消去中间变量。 6.将方程式化成标准形。 2.2.2 机械系统举例

例2-1 弹簧-质量-阻尼器串联系统。试列出以外力F(t)为输入量，以质量的位移y(t)为输出量的运动方程式。

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解：遵照列写微分方程的一般步骤有：

1.确定输入量为F(t),输出量为y(t)，作用于质量m的力还有弹性阻力Fk(t)和粘滞阻力Ff(t)，均作为中间变量。

2.设系统按线性集中参数考虑，且无外力作用时，系统处于平衡状态。

3.按牛顿第二定律列写原始方程，即

d2y(t)?F?F(t)?Fk(t)?Ff(t)?mdt2 4.写中间变量与输出量的关系式

Fk(t)??ky(t)Ff(t)??fdy(t) dt5.将以上辅助方程式代入原始方程,消去中间变量,得

d2y(t)dy(t)m??ky(t)?f?F(t)dt2dt6.整理方程得标准形

md2y(t)fdy(t)1??y(t)?F(t)2kdtkdtk令Tm2 = m/k，Tf = f/k ，则方程化为

d2y(t)dy(t)1T?T?y(t)?F(t)fdt2dtk2m2.2.3 电路系统举例

例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。

L-R-C网络 ur?L?di?i?R?uC dt i?C?uc

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?L?C?u?c??R?C?u?c?uc

???uc?? ? ucRL11uc?ur ── 2阶线性定常微分方程 LCLC2.2.4 实际物理系统线性微分方程的一般特征

观察实际物理系统的运动方程，若用线性定常特性来描述，则方程一般具有以下形式：

式中，c(t)是系统的输出变量，r(t)是系统的输入变量。 列写微分方程式时，一般按以下几点来写：

1.输出量及其各阶导数项写在方程左端，输入量写在右端；

2.左端的阶次比右端的高。这是因为实际物理系统均有惯性或储能元件； 3.方程式两端的各项的量纲应一致。利用这点，可以检查微分方程式的正确与否。

4.方程的系数均为实常数，是由物理系统自身参数决定的。 §2.3 非线性数学模型线性化 3.2.1 线性化意义和常用方法 ? 为什么要线性化？

1.实际对象总存在一定的非线性 2.线性系统具有较完整的理论 ? 线性化条件

1.实际工作情况在某平衡点附近(静态工作点) 2.变量变化是小范围的

3.函数值与各阶导数连续,至少在运行范围内如此。 满足上述条件，则工作点附近小范围内各变量关系近似线性 ? 线性化方法 1.泰勒级数展开 2.取线性部分

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dnc(t)dn?1c(t)dc(t) a0?a???a?anc(t)1n?1dtndtn?1dtdmr(t)dm?1r(t)dr(t)?b0?b???b?bmr(t)1m?1dtmdtm?1dt.

? 线性化定义：是指将非线性函数在工作点附近展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的线性化方程，来替代原来的非线性函数。 假如元件的输出与输入之间关系x2=f(x1)的曲线如图，元件的工作点为(x10，x20)。将非线性函数x2= f(x1)在工作点(x10，x20)附近展开成泰勒级数 ：

当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成 ：

dfK?其中 为工作点(x10，x20)处的斜率，即此时以工作点处的切线x10dx1x2?f(x1)?f(x10)?1d2f?2!dx12x10dfdx1x10(x1?x10)(x1?x10)2?? x2?f(x10)?dfdx1x10(x1?x10)?x20?K(x1?x10) 代替曲线，得到变量在工作点的增量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。

例 已知某装置的输入输出特性如下，求小扰动线性化 方程。

y(x)?E0cos[x(t)]解：在工作点(x0, y0)处展开泰勒级数

y(x)?y(x0)?y?(x0)(x?x0)?1y??(x0)(x?x0)2??2!取一次近似，且令

?y(x)?y(x)?y(x0)??E0sinx0?(x?x0)既有 ?y??Esinx??x00.

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§ 2-4 线性系统的传递函数 一.复习拉氏变换及其性质 1.定义

X(s)??x(t)e?stdt0?记 X(s) = L[x(t)] 2.进行拉氏变换的条件

(1) t ? 0，x(t)=0；当t ? 0，x(t)是分段连续； (2) 当t充分大后满足不等式 ? x(t)? ? Mect,M,c是常数。 3.性质和定理 (1)线性性质

L[ ax1(t) + bx2(t)] = aX1(s) + bX2(s)

(2)微分定理

?dx(t)?L??sX(s)?x(0)?dt???d2x(t)?2?(0)L??sX(s)?sx(0)?x2??dt??(0)???0 ， 则： 若 x(0)?x

?dx(t)?L??sX(s)?dt???d2x(t)?2L??sX(s)2??dt?…

?dnx(t)?nL??sX(s)n?dt??(3)积分定律

L?x(t)dt???11X(s)?x(?1)(0)ss11(?1)1(?2)X(s)?x(0)?x(0)22sssL??x(t)dt???.

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若x?1(0)= x?2(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，

L?x?t?dt???1X?s?s1X?s?2sL??x?t?dt?…

??

??1L?????x?t?dt??nX?s??????s?n?(4)终值定理

若x(t)及其一阶导数都是可拉氏变换的，lim x(t)存在，并且sX(s)除原点为单极点外，在jω轴上及其右半平面内应没有其它极点，则函数x(t)的终值为：

(5)初值定理

limx(t)?limsX(s)t??s?0limsX(s)存在，则 如果x(t)及其一阶导数是可拉氏变换的，并且 s??

(6)延迟定理

x(0?)?limsX(s)s??L[ x(t ? ?)?1(t ? ?)] = e??sX(s)

L[e?at x(t)] = X(s + a)

(7)尺度变换

(8)卷积定理

tX1(s)?X2(s)?L??x1(t??)x2(?)d?????0???t??L?x????aX(as)??a??.

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4.举例

例2-3 求单位阶跃函数 x(t)=1(t)的拉氏变换。 解：

X(s)?L?x(t)???e?stdt0?1?st?1 ??e? 0ss例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。

解：

X(s)?L?x(t)???te?stdt0?t ??e?sts?0???01?st1edt?2ss例2-5 求正弦函数x(t) = sinωt 的拉氏变换。 解：

ej?t?e?j?tsin?t?2jX?s????0ej?t?e?j?t?stedt2j??1?11???2j??s?j?s?j???s2??2例2-6 求函数x(t)的拉氏变换。

0?t?t0?A x(t)??t?0,t?t0?0 解： x(t) = x1(t) + x2(t)

=A?1(t) ? A?1(t ?t0 )

X(s)?AA?t0sA?e?(1?e?t0s)sss.

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例2-7 求e at 的拉氏变换。 解:

?

X(s)??eate?stdt?01(a?s)t?1e?0a?ss?aX(s)?L1(t)eat???1s?a例2-8 求e ?0.2 t 的拉氏变换。 解：

Le?t???1s?1?t5Le?0.2t?L?e??????5??5s?11例2-9 求x(0)， x(?)。 L?x(t)??s?a

解： x(0)?limsX(s)?lims??

二.复习拉氏反变换

s?0s?1s??s?as?0s?ax(?)?limsX(s)?lims?0 1.定义 由象函数X(s)求原函数x(t)

1??j?x(t)?L?X(s)??X(s)estdt (t?0)?2?j??j??1 2.求拉氏反变换的方法

① 根据定义，用留数定理计算上式的积分值 ② 查表法 ③部分分式法

一般，象函数X(s)是复变量s的有理代数公式，即

B(s)b0sm?b1sm?1???bm?1s?bmX(s)??nA(s)s?a1sn?1???an?1s?an.

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通常m < n，a1 , … , an； b0 , … , bm 均为实数。首先将X(s)的分母因式分解，则有

b0sm?b1sm?1???bm?1s?bmX(s)?(s?s1)(s?s2)?(s?sn)式中s1 , … , sn是 A(s) = 0的根，称为X(s)的极点。分两种情况讨论： (1) A(s) = 0无重根。

nc1c2cnciX(s)??????(s?s1)(s?s2)(s?sn)i?1(s?si)式中ci 是待定常数，称为X(s)在极点si 处的留数。

?1ci?lim(s?si)X(s)s?si?nci?nsitx(t)?L[X(s)]?L???ce?i??i?1(s?si)?i?1?1(2) A(s) = 0有重根。设有r个重根s1 ，则

X(s)?B(s)(s?s1)r(s?sr?1)?(s?sn)ncrcr?1c1ci ??????(s?s1)r(s?s1)r?1(s?s1)i?r?1(s?si)1d(j)cr?j?lim(j)[(s?s1)rX(s)] j = 0,1, …, r-1 j!s?s1ds

ci?lim(s?si)X(s) i = r+1, …, n s?si

x(t)?L?1[X(s)]?c?c ??rtr?1?r?1tr?2???c2t?c1?es1t(r?2)!?(r?1)!? ?i?r?1sitce?in.

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3. 举例

s?2X(s)?2例2-10 ，求原函数x(t)。

s?4s?3

解： s2 + 4s + 3 = (s + 3)(s + 1)

s??1s??3X(s)?s?2cc?1?2(s?3)(s?1)s?3s?1c1?lim(s?3)X(s)?lims?21?s??3s?12c2?lim(s?1)X(s)?lim1?x(t)?(e?3t?e?t)2s?21?s??1s?32s?3例2-11 求 的原函数x(t)。 X(s)?2s?2s?2

解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 ? j)

c1?lim?s?1?j?X(s)?s??1?jX(s)?s?3c1c2???s?1?j??s?1?j?s?1?js?1?j?4?j?2j?4?j2jc2?lim?s?1?j?X(s)?s??1?j.

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s?2X(s)?例2-12 求 的原函数x(t)。

s(s?1)2(s?3)

x(t)?L?1?X(s)??4?j??1?j?t?4?j??1?j?te?e2j2j ?e?t?cost?4sint?

X(s)?c2c1c3c4???(s?1)2s?1ss?3c4?lim?s?3?X(s)?s??3112c3?limsX(s)?s?022312c2?lim?s?1?X(s)??s??1c1?limd32?s?1?X(s)??s??1ds4??1221?x(t)??e?t(t?)??e?3t233122.4.1. 线性常系数微分方程的求解

用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1.对微分方程两边进行拉氏变换。

2.求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3.求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。

dy2(t)dy(t)?3?2y(t)?5?1(t)例2-13 求解方程： dt2dt初始条件：y(0)= ?1, y?(0) =2

解：两边取拉氏变换

s2Y(s) ? sy(0) ? y?(0) + 3sY(s) ? 3y(0) +2Y(s)=5/s .

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5/s?s?2?3?s2?s?5?s2?s?5Y(s)?2??2s?3s?2s(s?3s?2)s(s?1)(s?2)5/253/2 ???ss?1s?2y(t) = 5/2 ? 5 e? t + 3/2 e?2t

例2-14 图2-5所示的RC电路，当开关K突然接通后，试求出电容电压uc(t)的变化规律。

解：设输入量为ur (t)，输出量为uc (t)。写出电路运动方程

RCduc(t)?uc(t)?ur(t)dt电容初始电压为uc(0)，对方程两端取拉氏变换

RCsUc(s)?RCuc(0)?Uc(s)?Ur(s)Uc(s)?1RCUr(s)?uc(0)RCs?1RCs?1当输入为阶跃电压ur (t) = u0 1(t)时， 得

uc(t)?u0(1?eRC?RC?1Uc(s)?u0????uc?0?RCs?1?sRCs?1??1tRC)?uc?0?e?1tRC 式中右端第一项是由输入电压ur (t)决定的分量，是当电容初始状态uc(0)

.

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=0 时的响应，故称零状态响应；

第二项是由电容初始电压uc(0)决定的分量，是当输入电压ur (t)=0时的响应，故称零输入响应。

根据线性系统的叠加原理，将初始电压uc(0)视为一个输入作用，则可在复数域内分别研究RC电路的零状态响应及零输入响应。若令uc(0) = 0，则有

当输入电压ur(t)给定时，其拉氏变换Ur(s)亦是确定的。于是，输出电压便完全由1/(RCs+1)所确定。这时，上式也可写成

Uc(s)1?Ur(s)RCs?1Uc(s)?1Ur(s)RCs?1上式表明，输出电压Uc(s)与输入电压Ur(s)之比，是s的一个有理分式函数，它只与电路的结构形式及其参数有关，故可以作为在复数域内描述RC电路输入----输出关系的数学模型，称为传递函数，记作G(s)。

G(s)?Uc(s)1?Ur(s)RCs?1Uc(s) = G(s) Ur(s)

2.4.2 传递函数的定义

定义：在线性（或线性化）定常系统中，初始条件为零时，系统输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。 设线性定常系统的微分方程式为

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dnc(t)dn?1c(t)dc(t) a0?a???a?anc(t)1n?1nn?1dtdtdtdmr(t)dm?1r(t)dr(t)?b0?b???b?bmr(t)1m?1dtmdtm?1dt式中，r(t)是输入量，c(t)是输出量。

在零初始条件下，对上式两端进行拉氏变换得 (a0sn + a1sn?1 +? + an?1s + an )C(s)=

(b0sm + b1sm?1 +? + bm?1s + bm )R(s)

求出传递函数为

C(s)b0sm?b1sm?1???bm?1s?bmG(s)??R(s)a0sn?a1sn?1???an?1s?an传递函数的实际意义

零初始条件有两方面的含义：一是输入在t =0以后才作用于系统，即输入及其各阶导数在t =0的值为零；二是系统在输入作用前是相对静止的，即输出量及其各阶导数在t =0的值为零。

传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。（零状态解）

对于非零初始条件的响应，可用叠加原理进行处理。

§ 2-5 典型环节及其传递函数 典型环节有6种，分述如下： 1.比例环节

运动方程式 c(t) = K? r(t) 传递函数 G(s) = K 单位阶跃响应 C(s) = G(s) R(s) = K/s c(t) = K?1(t)

.

.

可见，当输入量r(t)=1(t)时，输出量c(t)成比例变化。 2.惯性环节

T 微分方程式：

dc(t)?c(t)?r(t)dt

1G(s)?传递函数： Ts?1式中，T是惯性环节时间常数。惯性环节的传递函数有一个负实极点 p = ?1/T，无零点。 单位阶跃响应:

阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。 3.积分环节

微分方程式： c(t)?

1TtC(s)?11111R(s)????Ts?1Ts?1sss?1/Tc(t)?1?e?tT t?0?r(?)d?0

1传递函数： Ts单位阶跃响应： C(s)?1?1TssG(s)?c(t)?1tT.

.

当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突然除去，积分停止，输出维持不变，故有记忆功能。 4.微分环节

dr(t)c(t)?T 微分方程式为： dt传递函数为： G(s)=Ts 单位阶跃响应： C(s)?Ts?1?Ts c(t) = T?(t)

由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变， 其他时刻均不变化，所以微分环节对

阶跃输入的响应只在t = 0时刻产生一个响应脉冲。

5.振荡环节

d2c(t)dc(t)T?2?T?c(t)?r(t)微分方程式为： 2dtdt1传递函数为： G(s)?T2s2?2?Ts?12

或

2?nG(s)?22s?2??ns??n式中，T > 0，0 < ? <1，?n = 1/T，T 称为振荡环节的时间常数， ? 为阻尼比，?n为无阻尼振荡频率。振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：

s1,2????n?j?n1??2????n?j?dc(t)?1?单位阶跃响应：

11??2式中，β=cos－1? 。响应曲线是按指数衰减振荡的，故称振荡环节。

e???ntsin(?dt??).

.

6.延迟环节

微分方程式为： c(t) = r(t ? ?) 传递函数为： G(s) =e ??s 单位阶跃响应： C(s)?e??s?1sc(t) = 1(t ?? ) § 结构图

2.6.1 结构图的定义及基本组成 1.结构图的定义

定义: 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。

例如讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图来描述其结构和作用原理，见图。

把各元件的传递函数代入方框中去，并标明两端对应的变量，就得到了系统的动态结构图。

2-6 系统的

.

.

2.结构图的基本组成

? 画图的4种基本元素如下：

信号传递线 是带有箭头的直线，箭头表示信号的传递方向，传递线上标明被传递的信号。

分支点 表示信号引出或测量的位置，从同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。

相

加点 对两个以上的信号进行代数运算，“ + ”号表示相加，可省略不写，“ ? ”号表示相减。

方框 表示对信号进行的数学运算。方框中写入元部件的传递函数。

2.6.2 结构图的绘制步骤

(1) 列写每个元件的原始方程，要考虑相互间负载效应。

.

.

(2) 设初始条件为零,对这些方程进行拉氏变换，并将每个变换后的方程,分别以一个方框的形式将因果关系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典型环节的形式。

(3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成完整的结构图。 例2-15 画出下图所示RC网络的结构图。

解：(1) 列写各元件的原始方程式

(2)取拉氏变换，在零初始条件下，表示成方框形式

?u1?i?R?u2??1u?idt2??C??U1(s)?I(s)R?U2(s)??1U(s)?I(s)2?Cs?(3)将这些方框依次连接起来得图。

2.6.3 结构图的基本连接形式 1.三种基本连接形式

(1) 串联。相互间无负载效应的环节相串联，即前一个环节的输出是后一

.

.

个环节的输入，依次按顺序连接。

由图可知： U(s)=G1(s)R(s) C(s)=G2(s)U(s) 消去变量U(s) 得 C(s)= G1(s)G2(s)R(s) = G(s)R(s) 故环节串联后等效的传递函数等于各串联环节传递函数的乘积。

(2) 并联。并联各环节有相同的输入量，而输出量等于各环节输出量之代数和。 由

图

有

C1(s) =

G1(s)R(s)

C2(s) = G2(s)R(s)

C(s) = C1(s) ? C2(s) 消去G1(s) 和G2(s)，得

C(s) = [G1(s) ? G2(s)]R(s)

故环节并联后等效的传递函数等于各并联环节传递函数的代数和。

(3) 反馈连接。连接形式是两个方框反向并接，如图所示。相加点处做加

.

.

法时为正反馈，做减法时为负反馈。

由图有 C(s) = G(s)E(s) B(s) = H(s)C(s) E(s) = R(s) ? B(s) 消去B(s) 和E(s)，得

C(s) = G(s)[ R(s) ? H(s)C(s)]

C(s)G(s)?R(s)1?G(s)H(s)上式称为闭环传递函数，是反馈连接的等效传递函数。

G(s):前向通道传递函数

.

.

H(s):反馈通道传递函数 H(s)=1 单位反馈系统 G(s)H(s):开环传递函数 2.闭环系统的常用传递函数

考察带有扰动作用下的闭环系统如图所示。它代表了常见的闭环控制系统的一般形式。

(1)控制输入下的闭环传递函数 令N(s) = 0有

(2)扰动输入下的闭环传递函数 令R(s) = 0有

Cn(s)G2(s)?N(s)1?G1(s)G2(s)H(s)Cr(s)G1(s)G2(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)至此，可以给出求单回路闭环传递函数的一般公式为

式中负反馈时取“+”号，正反馈时取“－”号。 (3)两个输入量同时作用于系统的响应

闭环传递函数?前向通道传递函数1?开环传递函数.

.

C(s)?Cr(s)?Cn(s)?G1(s)G2(s)R(s)?G2(s)N(s)1?G1(s)G2(s)H(s)(4)控制输入下的误差传递函数 (D(s)=0)

Er(s)1?R(s)1?G1(s)G2(s)H(s)(5)扰动输入下的误差传递函数(R(s)=0)

EN(s)?G2(s)H(s)?N(s)1?G1(s)G2(s)H(s)(6)两个输入量同时作用于系统时的误差

E(s)?R(s)?G2(s)H(s)N(s)1?G1(s)G2(s)H(s)2.6.4 结构图的等效变换

变换的原则：变换前后应保持信号等效。 1 . 分支点后移

2 . 分支点前移

3 . 比较点后移

.

.

4 .比较点前移

5 .比较点互换或合并

2.6.5 结构图的简化

对于复杂系统的结构图一般都有相互交叉的回环，当需要确定系统的传函时，就要根据结构图的等效变换先解除回环的交叉，然后按方框的连接形式等效，依次化简。

例2-16 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。

解：方法1

.

.

方法2

例2-17 用结构图化简的方法求下图所示系统传递函数。 解：

.

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§ 2-7 信号流图及梅逊公式 2.7.1 信号流图的基本概念

1.定义：信号流图是表示一组联立线性代数方程的图。

先看最简单的例子。有一线性系统，它由下述方程式描述：

x2 = a12 x1

式中，为输入信号(变量)；x2为输出信号(变量)；a12为两信号之间的传输(增益)。即输出变量等于输入变量乘上传输值。若从因果关系上来看，x1为“因”，x2为“果”。这种因果关系，可用下图表示。

下面通过一个例子，说明信号流图是如何构成的。 设有一系统，它由下列方程组描述：

x2 = a12 x1 + a32 x3

x3 = a23 x2 + a43 x4

xaxaxaxxaxax 4 = 24 2 + 34 3 + 44 4

5 = 25 2 + 45 4

.

.

2.信号流图的基本元素

(1) 节点：用来表示变量，用符号“ O ”表示，并在近旁标出所代表的变量。

(2) 支路：连接两节点的定向线段，用符号“??”表示。 支路具有两个特征：

有向性 限定了信号传递方向。支路方向就是信号传递的方向，用箭头表示。

有权性 限定了输入与输出两个变量之间的关系。支路的权用它近旁标出的传输值表示。 3.信号流图的几个术语

输入节点(源节点) 只有输出支路的节点，它代表系统的输入变量。如图中x1。

输出节点(汇节点、阱节点) 只有输入支路的节点，它代表系统的输出变量。如图中x4。

混合节点 既有输入支路，又有输出支路的节点，如图中x2、x3。

通道 从

某一节点开始，沿着支路的箭头方向连续经过一些支路而终止在另一节点的路径。用经过的支路传输的乘积来表示。

开通道 如果通道从某一节点开始，终止在另一节点上，而且通道中的每个节点只经过一次。如a12 a23 a34 。

闭通道(回环) 如果通道的终点就是起点的开通道。如a23 a32 ，a33 (自回环) 。

.

.

前向通道 从源节点到汇节点的开通道。 不接触回路 回路之间没有公共的节点和支路。 4.信号流图的基本性质

(1)信号流图只能代表线性代数方程组。

(2)节点标志系统的变量，表示所有流向该节点的信号之和；而从该节点流向各支路的信号，均用该节点变量表示。

(3)信号在支路上沿箭头单向传递，后一节点变量依赖于前一节点变量，即只有“前因后果”的因果关系。

(4)支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。

(5)对于给定的系统，信号流图不唯一。 2.7.2 信号流图的绘制方法 1.直接法

例2-18 RLC电路如图2-28所示，试画出信号流图

.

.

解：(1)列写原始方程

di(t)?u(t)?L?Ri(t)?uc(t)?rdt?du(t)?i(t)?Ccdt? (2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)

?Ur(s)?LsI(s)?Li(0?)?RI(s)?Uc(s)???I(s)?CsUc(s)?Cuc(0)(3)整理成因果关系

11L??I(s)?U(s)?U(s)?i(0)rc?Ls?RLs?RLs?R?11?Uc(s)?I(s)?uc(0?)Css? (4)画出信号流图如图所示。

2.翻译法

例2-19 画出下图所示系统的信号流图。

.

.

解：按照翻译法可直接作出系统结构图所对应的信号流图。

2.7.3 梅逊增益公式 1.梅逊增益公式

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.

输入输出节点间总传输的一般式为

P??PΔkk?1nkΔbcdefΔ?1??La??Lb?Lc??Ld?Le?Lf??a式中 P — 总传输 (增益)；

n — 从源节点至汇节点前向通道总数；

Pk — 第K条前向通路的传输； ? — 信号流图的特征式；

?k — 余因子式(把第K条前向通道除去后的特征式。) 例2-20 求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。

解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道

? =1? (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk) ? bidjfk P1 = abcdefgh ?1 = 1 ? 0 = 1

P?x8P1?Δ1abcdefgh??x0ΔΔ 例2-21 已知系统的信号流图如下，求输入x1至输出x2和x3的传输。 解：单回路： ac，abd，gi，ghj， aegh 两两互不接触回路：

ac与gi，ghj; abd与gi，ghj x1到x2的传输：

P1 = 2ab ?1 = 1 ?(gi + ghj) P2 = 3gfab ?2 = 1 .

.

x1到x3的传输：

P1 = 3 ?1 = 1 ? ( ac + abd ) P2 = 2ae ?2 = 1

例2-22 试求信号流图中的传递函数C(s)/R(s) 。

解： 单回路： ?G1 ，?G2 ，?G3 ，?G1G2

两两互不接触回路: ?G1和?G2 ， ?G1和?G3 ， ?G2和?G3 ，?G1G2和?G3

.

.

三个互不接触回路: ?G1 ， ?G2和?G3

前向通道：P1 = G1 G2G3 K ?1 = 1 P2 = G2G3 K ?2 = 1 + G1 P3 = G3 K ?3 = 1 + G2 P4 = G2 (?1)G3 K ?4 = 1

.

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学习指导与小结 1.基本要求

通过本章学习，应该达到 (1)正确理解数学模型的概念。

(2)了解动态微分方程建立的一般方法。

(3)掌握运用拉氏变换法解微分方程的方法，并理解解的结构、零输入响应、零状态响应等概念。

(4)正确理解传递函数的定义、性质和意义。

(5)正确理解系统的开环传递函数、闭环传递函数、前向通道传递函数，并对重要传递函数如：控制输入下闭环传递函数、扰动输入下闭环传递函数、误差传递函数、典型环节传递函数，能够熟练掌握。

(6)掌握系统结构图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化结构图，并能用梅逊公式求系统传递函数。

2. 内容提要

本章介绍了数学模型的建立方法。

线性定常系统数学模型的形式，介绍了两种解析式（微分方程和传递函数）和两种图解法（结构图和信号流图），对于每一种形式的基本概念、基本建立方法及运算，用以下提要方式表示出来。 (1)微分方程式

基本概念：物理、化学及专业上的基本定律

中间变量的作用 简化性与准确性要求

基本方法 1.

直接列写法：原始方程组

线性化 消中间变量

.

.

化标准形

2转换法：由传递函数?微分方程式

由结构图?传递函数?微分方程 由信号流图?传递函数?微分方程

(2)传递函数 基本概念

1．定义：线性定常系统

零初始条件 一对确定的输入输出

2典型环节：传递函数

零极点分布图 单位阶跃响应特性

基本方法

1．定义法 由微分方程?传递函数 2．图解法： 由结构图?化简?传递函数

由信号流图?梅逊公式?传递函数

(3)结构图 基本概念

数学模型结构的图形表示 可用代数法则进行等效变换

结构图基本元素（方框、相加点、分支点、支路） 基本方法

由原始方程组画结构图 用代数法则简化结构图 由梅逊公式直接求传递函数

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第三章 线性系统的时域分析法

主要内容：

? 典型信号及其性能指标 ? 一节系统分析 ? 二阶系统分析 ? 稳定性分析 ? 稳定性误差分析 § 3.1典型输入信号和时域指标

分析和设计控制系统的首要工作是确定系统的数模，一旦获得系统的数学模型，就可以采用几种不同的方法去分析系统的性能。 线性系统：时序分析法，根轨迹法，频域法 非线性系统：描述函数法，相平面法 采样系统：z变换法

多输入多输出系统：状态空间法 对线性系统，时域分析法的要点是： (1)建立数模（微分方程式，传递函数）

(2)选择合适的输入函数（典型信号）。取决于系统常见工作状态，同时，在所有的可能的输入信号中，选取最不利的信号作为系统的典型输入信号。 (3)求出系统输出随时间变化的关系

C(s) = G(s)R(s) c(t) = L?1[C(s)]

(4)根据时间响应确定系统的性能，包括稳定性快速性和准确性等方面指标，看这些指标是否符合生产工艺的要求。

目前，常用的典型外作用有以下几种： (1)单位阶跃函数 ,其数学表达式为

?0t?01(t)???1t?0.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f0ax.html