双曲线的简单几何性质2

学习目标： 1.掌握直线与双曲线的位置关系； 2.掌握与直线、双曲线有关的弦长、中点等 问题； 3.了解与双曲线有关的应用问题.

复习回顾 1:直线与椭圆的位置关系有那些?如何判定? 2:点与椭圆的位置关系有哪些？如何判断？x2 y2 x2 y2 3 椭圆 + 2=1 和双曲线 2- =1 有共同的焦点， 则实数 34 n n 16 n 的值是( B )A.± B.± C.25 D.9 5 3

4.双曲线 3x2-y2=3 的渐近线方程是( C ) 1 3 A.y=± 3x B.y=± x C.y=± 3x D.y=± x 3 3 2 2 x y 5.如果双曲线 2- 2=1 的两条渐近线互相垂直，则双曲 a b

线的离心率为( A )A. 2

B. 2

C. 3

D. 2 2

探究:1.如何判断点与双曲线的位置关系？ 2.判断下列直线和双曲线 的位置关系 (1)直线L1:x-y+1=0; (2)直线L2:2x+y-1=0; (3)直线L3:2x-y+ =0 通过这道题目的解答你认为解决直线和双曲线的 位置关系与解决直线和椭圆的位置关系有那些 相同点?有那些不同点?

例1: 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),试讨 论实数k的取值范围. (1) 直线与双曲线有两个公共点. (2) 直线与双曲线有且仅有一个公共点. (3) 直线与双曲线没有公共点. 分析: 消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0

当1-k2=0,即 ,直线L与双曲线渐近线平行, 方 程化为2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即直线与 双曲线相交,且只有一个公共点.

当

,即 即

时 且K

(1)

方程(*)有两个不同实数解,即直线与双曲线有两个公共点.

(2)

即k=

时,

方程(*)有两个相同的实数解,即直线与双曲线有一个公共 点. (3) 即k<或 k> 时

方程(*)无实数解,即直线与双曲线无公共点.

例2:过双曲线 的弦AB,求弦AB的长.

的左焦点F1,作倾斜角为

解:双曲线的焦点F1(-2,0),F2(2,0),直线AB方程为 代入双曲线方程,得8x2-4x-13=0.y 设A(x1,y1),B(x2,y2),

,A B

· f1

o

· f2 x

=

y2 例 3.已知双曲线 x2- =1,过点 P(1,1)的直线 l 与双曲 4 线只有一个公共点，求直线 l 的斜率 k 的值.

5 k= 或 k=± 或 k 不存在 2 2

例 4.已知曲线 C:x -y =1 和直线 l:y=kx-1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A,B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为 2,求实数 k 的值.(1)k 的取值范围为(- 2,-1)∪(-1,1)∪(1, 2)

2

2

6 6 (2)k 的取值为 0, ,- 2 2

达标检测 1 直线 B 弦AB的长是( ) 被双曲线 A:1 B:2 截得的 C:3 D:4

4 2过点A(0,2)可以作___条直线与双曲线 有且仅有一个公共点. A:1 B:2 C:3

D:4

3.直线L与双曲线 交于A,B两点,若线 2x-y-15=0 段AB的中点坐标为(8,1),则直线L的方程为__________.4.若直线 共点，求 与双曲线 只有一个公

的值.

【归纳延伸:】1:直线和双曲线的位置关系有三种： (1)相切(2)相离,(3)相交. 有一点必须注意: 直线与双曲线有唯一公

共点是 直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2 : 直线与双曲线相交时,用“设而不求”的思路求弦 长是一种常规的方法. 3:弦长问题可以利用弦长公式，中点弦问题可使用点 差法. 4:解题时要考虑直线斜率不存在的情形，相交弦或中 点弦问题一定要保证相交.

【作业】:B组4

1.已知双曲线2x2-y2=2,直线 l 经过点 P(1,1), 问 斜率k为何值时，(1) 与双曲线有两个公共点； (2) 与双曲线只有一个公共点； (3) 与双曲线无公共点。

2.经过双曲线x y 1的左焦点F1作倾斜角为2 2

3

的弦AB, 求 AB。 AB 1 k

2

x

1

x 2 4 x1 x 22

7 4 3 2 4 4 22

探究 1.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求： (1)以2为斜率的弦的中点轨迹； (2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹； (3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程. (4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由； 2 y2 1 与双曲线C有相同的焦点,直线 y 3 x 2.椭圆：x 8 4 为C的一条渐近线 .(1)求双曲线C的方程； (2)过点P(0,4)的直线 l,交双曲线C于A、B两点，交

x轴于Q点(Q点与C的顶点不重合),当 PQ 1QA 2 QB 且 1 2 8 时，求Q点的坐标。 3

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