北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5：数列[来源：学优

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北京2013届高三理科数学最新模拟试题分类汇编5：数列题

一、选择题

1 ．（2013届北京西城区一模理科）等比数列{}n a 中，

10a >，则“13a a <”是“36a a <”的

（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必

要条件

D ．既不充分也不必要条件

2 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）若数列{}n a 满足:存在正整数T ,对于任意正整数n 都有

n T n a a +=成立,则称数列{}n a 为周期数列,周期为T . 已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>,11, 1=1, 0 1.n n n n n

a a a a a +->??

?<≤??，

则下列结论中错误．．

的是 （ ）

A ．若34a =,则m 可以取3个不同的值 B

．若m =则数列{}n a 是周期为3的数列

C ．T ?∈*

N 且2T ≥,存在1m >,{}n a 是周期为T 的数列

D ．Q m ?∈且2m ≥,数列{}n a 是周期数

3 ．（2013届东城区一模理科）已知数列{}n a 中，1

2a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的

前10项和等于 （ ）

A ．130

B ．120

C ．55

D ．50

4 ．（2013北京顺义二模数学理科试题及答案）已知数列

{}n a 中,54+-=n a n ,等比数列{}n b 的公比q 满

足()21≥-=-n a a q n n ,且21a b =,则=+++n b b b 21 （ ）

A ．n

41-

B ．14-n

C ．341n

-

D ．3

14-n

5 ．（2013届房山区一模理科数学）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若19418,7a a a +==，则10S =

（ ）

A ．55

B ．81

C ．90

D ．100

6 ．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列,且134a a ?=,48a =,

则1a q +的值为 （ ）

A ．3

B ．2

C ．3或2-

D ．3或3-

第2页，共26页 7 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S

a +=,则n S = （ ） A ．12n - B ．21n - C ．13n -

D ．1(31)2n - 8 ．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）设等比数列}{n a 的公比为q ,其前n 项的积为n T ,并且满足

条件11a >,9910010a a ->,99100101

a a -<-.给出下列结论: ① 01q <<; ② 9910110a a ?->;

③ 100T 的值是n T 中最大的;④ 使1n T >成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是

（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④

9 ．（2013届北京丰台区一模理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则

31S a （ ） A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 二、填空题 10．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）在等差数列{a n }中,a l =-2013,其前n 项和为S n ,若

10121210

S S -=2,则2013S 的值等于___________. 11．（2013届北京西城区一模理科）设等差数列{}n a 的公差不为0，其前n 项和是n S ．若23S S =，0k S =，

则k =______．

12．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）在数列{}n a 中,如果对任意的*n ∈N ,都有211n n n n

a a a a λ+++-=(λ为常数),则称数列{}n a 为

比等差数列,λ称为比公差.现给出以下命题:

①若数列{}n F 满足1212(3)n n n F F F F F n --=+≥=1,=1,,则该数列不是比等差数列; ②若数列{}n a 满足123-?=n n a ,则数列{}n a 是比等差数列,且比公差0=λ;

③等比数列一定是比等差数列,等差数列一定不是比等差数列; ④若{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则数列{}n n a b 是比等差数列.

其中所有真命题的序号是____ .

13．（2013届北京西城区一模理科）记实数12,,,n x x x 中的最大数为12max{,,,}n x x x ，最小数为

12min{,,,}n x x x .设△ABC 的三边边长分别为,,a b c ，且a b c ≤≤，定义△ABC 的倾斜度为

max{,,}min{,a b c a t b c a b =?,}b c c a

． （ⅰ）若△ABC 为等腰三角形，则t =______；（ⅱ）设1a =，则t 的取值范围是______．

14．（2013届北京市延庆县一模数学理）以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与

第3页，共26页 闭区间]4,0[对应的线段，对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间]4,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后)1(≥n ，恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为)(n f ，则=)3(f ；=)(n f .

15．（2013届东城区一模理科）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其

中每一行比上一行增加两项，若n n a a =(0)a ≠， 则位于第10行

的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）

{}

n a 16．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）在等比数列中,32420a a a -=,则3a =______,{}n b 为等差数列,且33b a =,则数列{}n b 的前5项和等于_______.

17．（2013北京东城高三二模数学理科）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若

23=a ,245S S =,则1a 的值为___,4S 的值为___.

18．（2013北京西城高三二模数学理科）在等差数列{}n a 中,25a =,1412a a +=,则n a =______;设

*21()1

n n b n a =∈-N ,则数列{}n b 的前n 项和n S =______. 19．（2013届门头沟区一模理科）在等差数列{}n a 中，13a =，42a =，则4731n a a a ++++等于 ． 20．（2013北京朝阳二模数学理科试题）数列{21}n -的前n 项1,3,7,,21n -组成集合

{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ,从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n =个数,其所有可能的k 个数的乘积的和为k T (若只取一个数,规定乘积为此数本身),记12n n S T T T =+++.例如当1n =时,1{

1}A =,11T =,11S =;当2n =时,2{1,3}A =,113T =+,213T =?,213137S =++?=.则当3n =时,3S =______;试写出n S =______.

三、解答题

21．（2013届房山区一模理科数学）对于实数x ，将满足“10<≤y 且y x -为整数”的实数y 称为实数x 的小数部分，用记号x 表示．例如811.20.2 1.20.877=-==,,

.对于实数a ，无穷数列{}n a 满足如下条件：

第4页，共26页 1a a =，1100

0n n n n a a a a +?≠?=??=?,, 其中123n =,,,. （Ⅰ）若2=

a ，求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当4

1>a 时，对任意的n ∈*N ，都有a a n =，求符合要求的实数a 构成的集合A ； （Ⅲ）若a 是有理数，设q

p a = （p 是整数，q 是正整数，p ,q 互质），对于大于q 的任意正整数n ，是否都有0=n a 成立，证明你的结论．

22．（2013北京昌平二模数学理科试题及答案）本小题满分14分)

设数列{}n a 对任意*N n ∈都有112

()()2()n n kn b a a p a a a +++=++(其中k 、b 、p 是常数) . (I)当0k =,3b =,4p =-时,求123n a a a a ++++;

(II)当1k =,0b =,0p =时,若33a =,915a =,求数列{}n a 的通项公式;

(III)若数列{}n a 中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项,则称该数列是“封闭数列”.当1k =,0b =,0p =时,设n S 是数列{}n a 的前n 项和,212a a -=,试问:是否存在这样的“封闭数列” {}n a ,使得对任意*N n ∈,都有0n S ≠,且12311111111218

n S S S S <++++<.若存在,求数列{}n a 的首项1a 的所有取值;若不存在,说明理由.

23．（2013届北京海滨一模理科）设(,),(,)A A B B A x y B x y 为平面直角坐标系上的两点，其中,,,A A B B x y x y ∈Z .

令B A x x x ?=-，B A y y y ?=-，若x ?+=3y ?,且||||0x y ???≠，则称点B 为点A 的“相关点”，

记作：()B A τ=. 已知0P 0000

(,)(,)x y x y ∈ Z 为平面上一个定点，平面上点列{}i P 满足：1()i i P P τ-=，且点i P 的坐标为(,)i i x y ，其中1,2,3,...,i n =.

（Ⅰ）请问：点0P 的“相关点”有几个？判断这些“相关点”是否在同一个圆上，若在同一个圆上，写出圆的方程；若不在同一个圆上，说明理由；

（Ⅱ）求证：若0P 与n P 重合，n 一定为偶数；

（Ⅲ）若0(1,0)P ，且100n y =，记0n

i i T x ==∑，求T 的最大值.

第5页，共26页 24．（2013北京海淀二模数学理科试题及答案）(本小题满分13分)

设A 是由m n ?个实数组成的m 行n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.

(Ⅰ) 数表A 如表1所示,若经过两次“操作”,使得到的数表

每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次

“操作”后所得的数表(写出一种方法即可);表1

(Ⅱ) 数表A 如表2所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数,求整数．．a 的所有可能值; (Ⅲ)对由m n ?个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A , 能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之

表2

和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

【答案】(I)解:法1:

42123712371237210121012101

-?????→?????→----改变第列改变第行 法2:

24123712371237210121012101

--?????→?????→----改变第行改变第列 法3:

14123712371237210121012101

----?????→?????→--改变第列改变第列 (II) 每一列所有数之和分别为2,0,2-,0,每一行所有数之和分别为1-,1;

①如果首先操作第三列,则

22

22

1212a a a a a a a a ----- 则第一行之和为21a -,第二行之和为52a -,

这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,

所以 12a ≤

或52a ≥ 当12

a ≤时,则接下来只能操作第一行, 22

2

21212a a a a a a a a ------

此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a ---

必有2220a -≥,解得0,1a =-

当52

a ≥时,则接下来操作第二行 22

22

1212a a a a a a a a ------

第6页，共26页 22

22

1212a a a a a a a a ------ 此时第4列和为负,不符合题意

② 如果首先操作第一行

2

222

1212a a a a a a a a ----- 则每一列之和分别为22a -,222a -,22a -,22a

当1a =时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉

当1a ≠时,22a -,22a -至少有一个为负数,

所以此时必须有2220a -≥,即11a -≤≤,所以0a =或1a =-

经检验,0a =或1a =-符合要求

综上:0,1a =-

(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数.证明如下: 记数表中第i 行第j 列的实数为ij c (1,2,

,;1,2,,i m j n ==),各行的数字之和分别为12,,,m a a a ,各列的数字之和分别为12,,

,n b b b ,12m A a a a =+++,12n B b b b =+++,数表中m n ?个实数之

和为S ,则S A B ==.记 {}

112211221min 11(1,2,,)0|i i n in l i i n in i m K k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=+++=-=+++≠或且{}

112211221min 11(1,2,,)0|j j m mj s j j m mj j n T t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=+++=-=+++≠或且 {}min ,K T λ=.

按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起A (和B )增大,从而也就使得S 增加,增加的幅度大于等于2λ,但是每次操作都只是改变数表中某行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中m n ?个实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止.终止之时,必是所有的行和与所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,S 就又会继续上升,导致矛盾,故结论成立 25．（2013届北京丰台区一模理科）设满足以下两个条件的有穷数列12,,,n a a a ???为n （n=2,3,4,…,）阶“期

待数列”：

① 1230n a a a a +++

+=； ② 1231n a a a a ++++=.

（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

（Ⅱ）若某2k+1(*k N ∈)阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

（Ⅲ）记n 阶“期待数列”的前k 项和为(1,2,3,,)k S k n =，

第7页，共26页 试证：（1）21≤k S ； （2）111.22n i i a i

n =≤-∑

【答案】解：（Ⅰ）数列11,0,22

-为三阶期待数列…………………………………1分 数列3113,,,8888

--为四阶期待数列,………………..…..3分(其它答案酌情给分) （Ⅱ）设等差数列12321,,,

,(1)k a a a a k +≥的公差为d ， 123210k a a a a ++++

+=， ∴12(21)(21)0,2k k d k a +++

=所以10a kd +=， 即10k a +=， 2,k a d +∴= …………………………………4分

当d=0时,与期待数列的条件①②矛盾， ………………………………………5分 当d>0时,据期待数列的条件①②得：

23211,2k k k a a a +++++

+= ∴(1)11,22(1)

k k kd d d k k -+==+即 由10k a +=得11110,(1)1

a k a k k k +?==-++即， ∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n k k k k k k k *=-+-=-∈≤++++………7分 当d<0时， 同理可得(1)11,22(1)

k k kd d d k k -+=-=-+即 由10k a +=得11110,(1)1

a k a k k k -?==++即， ∴111(1)(,21).1(1)(1)n n a n n N n n k k k k k k *=--=-+∈≤++++……8分

第8页，共26页 （Ⅲ）（1）当k=n 时，显然

102

n S =≤成立；……………………9分 当k

+=-++???+， 即n

k k k k a a a a a a S +++=+++=++ 2121， ∴12122k k k k n S a a a a a a ++=+++++++ 12121k k k n a a a a a a ++≤++

+++++=, ∴1(1,2,3,,).2k S k n ≤

=…………………………11分 311241(2)12341n i n n i a a a a a a a i

n n -==++++++-∑ 32431212112341n n n n S S S S S S S S S S S n n --------=++++++-

311242233445

(1)n n S S S S S S n n n -=++++++???- 31

1242233445(1)n S S S S S n n -≤

+++++???- 11111122233445

(1)n n ??≤+++++ ????-?? 1111111111222334451n n ??=+-+-+-++-= ?-??11.22n - ………………14分

26．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）设3>m ,对于项数为m 的有穷数列{}n a ,令k b 为

)(,,,21m k a a a k ≤ 中的最大值,称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列3,5,4,7的创新数列为3,5,5,7.考查自然数)3(,,2,1>m m 的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . (Ⅰ)若5m =,写出创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c ;

(Ⅱ)是否存在数列{}n c 的创新数列为等比数列?若存在,求出符合条件的创新数列;若不存在,请说明理由;

(Ⅲ)是否存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有符合条件的数列{}n c 的个数;

第9页，共26页 若不存在,请说明理由.

【答案】(Ⅰ)由题意,创新数列为3,5,5,5,5的所有数列{}n c 有6个, 3,5,1,2,4;

3,5,1,4,2;

3,5,2,1,4;

3,5,2,4,1;

3,5,4,1,2;

3,5,4,2,1;

(Ⅱ)存在数列{}n c 的创新数列为等比数列. 设数列{}n c 的创新数列为}{n e , 因为m e 为前m 个自然数中最大的一个,所以m e m =.若}{n e 为等比数列, 设公比为q ,因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ,所以1≥q 当1=q 时,}{n e 为常数列满足条件,即为数列m m m ,,, 当1>q 时,}{n e 为增数列,符合条件的数列只能是m ,,2,1 , 又m ,,2,1 不满足等比数列.综上符合条件的创新数列只有一个. (Ⅲ)存在数列{}n c ,使它的创新数列为等差数列,

设数列{}n c 的创新数列为}{n e ,因为m e 为前m 个自然数中最大的一个, 所以m e m =.若}{n e 为等差数列,设公差为d ,

因为)1,,2,1(1-=≥+m k e e k k ,所以0≥d .且*N d ∈

当0=d 时,}{n e 为常数列满足条件,即为数列m m m ,,, (或写通项公式),,2,1(m n m e n ==),

此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个排列,共有11m m A --个数列;

当1=d 时,符合条件的数列}{n e 只能是m ,,2,1 ,此时数列{}n c 是m ,,2,1 , 有1个;

当2≥d 时,)1(2)1(11-+≥-+=m e d m e e m 21-++=m m e 又3>m 02>-∴m m e m >∴这与m e n =矛盾,所以此时}{n e 不存在. 综上满足条件的数列{}n c 的个数为1

11m m A --+个(或回答1)!1(+-m 个). 27．（2013届东城区一模理科）设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：12(,,,,,)i n A a a a a =.其中

i a (1,2,,)i n =称为数组A 的“元”

，i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数

第10页，共26页 组A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组. 定义两个数组12(,,,)n A a a a =，12(,,,)n B b b b =的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++. （Ⅰ）若11(,)22A =-

，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；

（Ⅱ）若A =，(0,,,)B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；

（Ⅲ）若数组),,(321a a a A =中的“元”满足2221231a a a ++=.设数组(1,2,3,,)m B m n =含有四个“元”1234,,,m m m m b b b b ，且22221234m m m m b b b b m +++=，求A 与m B 的所有含有三个“元”的子数组的关系数(,)m C A B (1,2,3,

,)m n =的最大值.

【答案】解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2． （Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等及B 中c b a ,,三个“元”的对称性，

可以只计算(,))C A S a b =+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=，

得

a b ≤+≤

当且仅当0c =

，且a b ==

b a +

于是(,))C A S a b =+= ②当0不是S

中的“元”时，计算(,))C A S a b c =

++的最大值， 由于1222=++c b a ，

所以bc ac ab c b a c b a 222)(2

222+++++=++． 3)(3222=++≤c b a ，

当且仅当c b a ==时，等号成立．

第11页，共26页 即当33===c b a 时，c b a ++

(,))13

C A S a b c =++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1．

（Ⅲ）因为1234(,,,)m m m m m B b b b b =满足22221234m m m m b b b b m +++=．

由1234,,,m m m m b b b b 关系的对称性，只需考虑234(,,)m m m b b b 与123(,,)a a a 的关系数的情况． 当10m b =

时，有2221++=．

2222

222341232222m m m b b b a a a m m m a a a ++++≤++ 22222212323422m m m a a a b b b m ++++=+

11122

=+=． 即10m b =

，且1a =

，2a =

，3a =

122334m m m a b a b a b ++

当10m b ≠时，222234m m m b b b m ++<，

得122334m m m a b a b a b ++

所以(,)m C A B

(1,2,3,,)m n =．

28．（2013北京东城高三二模数学理科）已知数列{}n a ,11a =,2n n a a =,410n a -=,411n a +=(*)n ∈N .

(Ⅰ)求4a ,7a ;

(Ⅱ)是否存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=; (Ⅲ)设3122310101010n n a a a a S =+++++,问S 是否为有理数,说明理由.

【答案】(共13分)解:(Ⅰ)4211a a a ===; 74210a a ?-==. (Ⅱ)假设存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=.

则存在无数个正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=.

设T 为其中最小的正整数.

若T 为奇数,设21T t =-(*t ∈N ), 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====.

第12页，共26页 与已知411n a +=矛盾.

若T 为偶数,设2T t =(*t ∈N ),则22n T n n a a a +==,而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=. 而t T <,与T 为其中最小的正整数矛盾.

综上,不存在正整数T ,使得对任意的*n ∈N ,有n T n a a +=. (Ⅲ)若S 为有理数,即S 为无限循环小数,

则存在正整数0N ,T ,对任意的*n ∈N ,且0n N ≥,有n T n a a +=. 与(Ⅱ)同理,设T 为其中最小的正整数.

若T 为奇数,设21T t =-(*t ∈N ),

当041n N +≥时,有41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====.与已知411n a +=矛盾. 若T 为偶数,设2T t =(*t ∈N ),

当0n N ≥时,有22n T n n a a a +==,而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=. 而t T <,与T 为其中最小的正整数矛盾.

故S 不是有理数

29．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

的任意一个全排列,定义1011()|23|k k k S x

x τ+==-∑,其中111x x =.

(Ⅰ)若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=,求()S τ的值;

(Ⅱ)求()S τ的最大值;

(Ⅲ)求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数.

第13页，共26页 北京市朝阳区高三年级第一次综合练

【答案】解:(Ⅰ)1011()|23|7654321012857k k k S x

x τ+==-=+++++++++=∑

(Ⅱ)数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下:

20,18,16,14,12,10,8,6,4,2,

30,27,24,21,18,15,12,9,6,3

其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=,所以()131S τ≤.

对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=,此时0()131S τ=,

所以()S τ的最大值为131

(Ⅲ)由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数,而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数,所以使

()S τ取最大值的排列中,必须保证数1,2,3,4互不相邻,数7,8,9,10也互不相邻;而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面,又不能排在1,2,3,4之一的前面.设11x =,并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○

其中2,3,4任意填入3个□中,有6种不同的填法;7,8,9,10任意填入4个圆圈○中,共有24种不同的填法;5填入4个△之一中,有4种不同的填法;6填入4个△中,且当与5在同一个△时,既可以在5之前又可在5之后,共有5种不同的填法,所以当11x =时,使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880???=,由轮换性知,使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800

30．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知{}n a 为等差数列,且8,152=-=a a .

(I)求数列{}n a 的前n 项和;

(II)求数列{}

n n a ?2的前n 项和.

【答案】解:(I)设等差数列{}n a 的公差为d , 因为8,152=-=a a ,

第14页，共26页 所以???=+-=+84,11

1d a d a 解得3,41=-=d a ,

所以()73134-=-+-=n n a n , 因此?

??≥-=+-=-=3,73,2,1,7373n n n n n a n 记数列{}

n a 的前n 项和为n S ,

当1=n 时,411==a S ,

当2=n 时,5212=+=a a S ,

当3≥n 时,n n a a a S S ++++= 432 ()()()737437335-++-?+-?+=n

=()()[]102

11232732252+-=-+-+n n n n , 又当2=n 时满足此式,

综上,?????≥+-==2,102112

3,1,42n n n n S n (II)记数列{}

n n a 2的前n 项和为n T .

则n n n a a a a T 222233221++++= , n n n n n a a a a a T 11342312222222+-+++++= ,

所以()

n n n n a d a T 132122222+-++++=- .

由(I)可知,73,3,41-==-=n a d a n , 所以()

()()111

2103202732

121438++-?---=?----?+-=-n n n n n n T , 故()1210320+?-+=n n n T

31．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且点()n S n ,在函数221-=+x y 的图像上.

第15页，共26页 (I)求数列{}n a 的通项公式;

(II)设数列{}n b 满足:()*,011N ∈=+=+n a b b b n n n ,求数列{}n b 的前n 项和公式; (III)在第(II)问的条件下,若对于任意的*N ∈n 不等式1+

【答案】解:(I)由题意可知,221

-=+n n S .

当2≥n 时,()n n n n n n S S a 2222211=---=-=+-, 当1=n 时,2221111=-==+S a 也满足上式, 所以()*2N ∈=n a n n

(II)由(I)可知()*21N ∈=++n b b n

n n ,即()*21N ∈=++k b b k k k .

当1=k 时,1

122=+b b ,①

当2=k 时,2

232=+b b ,所以2232-=--b b ,②

当3=k 时,3342=+b b ,③

当4=k 时,4452=+b b ,所以4452-=--b b ,④ 当1-=n k 时(n 为偶数),1

12--=+n n n b b ,所以112---=--n n n b b 1

-n 以上1-n 个式子相加,得1432122222-++-+-=+n n b b ()[]()212121----=-n ()

32121-+=n

32

32+=n .

又01=b ,

所以,当n 为偶数时,32

32+=n

n b .

同理,当n 为奇数时,1432122222--+-+-=+-n n b b ()[]()322

212121n

n -=----=-,

所以,当n 为奇数时,32

32-=n

n b

第16页，共26页 因此,当n 为偶数时,数列{}n b 的前n 项和n n b b b T +++= 21

???? ??+++???? ??++???? ??-+???? ??++??? ??-=323

23232323232323232432n 3232322n +++= ()

323221212311-=--?=+n n ; 当n 为奇数时,数列{}n b 的前n 项和n n n b b b b T ++++=-121

???? ??-+???? ??+++???? ??++??? ??-=-323232323232323212n n 323232322-???

? ??+++=n 34321-=+n .

故数列{}n b 的前n 项和 ()()

???????--=++为奇数为偶数n n T n n n 34

32323211 (III)由(II)可知()

()???????-+=为奇数为偶数n n b n n n 32

3

23232 ①当n 为偶数时,2232122223

23232321111++=-+=-+=++++n n n n n n n

b b , 所以1

+n n b b 随n 的增大而减小, 从而,当n 为偶数时,1+n n b b 的最大值是13

2=b b . ②当n 为奇数时,223212222323232321111

+-=+-=+-=++++n n n n n n n b b , 所以1

+n n b b 随n 的增大而增大,

第17页，共26页 且12

12232111<<+-=++n n n b b . 综上,1

+n n b b 的最大值是1. 因此,若对于任意的*N ∈n ,不等式1+λ, 故实数λ的取值范围是()+∞,1

32．（2013北京朝阳二模数学理科试题）已知实数12,,,n x x x (2n ≥)满足||1(1,2,3,,)

i x i n ≤=,记121(,,,)n i j i j n S x x x x x ≤<≤=∑. (Ⅰ)求2

(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值;

(Ⅱ)当3n =时,求123(,,)S x x x 的最小值;

(Ⅲ)求12(,,

,)n S x x x 的最小值. 注:1i j i j n x x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x (1i j n ≤<

≤)的乘积之和. 【答案】解:(Ⅰ)由已知得2

22(1,1,)11333

S --=-+-=-. (1,1,1,1)1111112S --=----+=-

(Ⅱ)设123(,,)S S x x x =.

当3n =时,12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤==

=++∑.

若固定23,x x ,仅让1x 变动,此时12132323123()S x x x x x x x x x x x =++=++, 因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-.

同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-. 2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---.

以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值1±的123,,x x x 所达到, 于是12311,2,3

min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥. 当1k x =±(1,2,3k =)时,22221231231[()()]2

S x x x x x x =++-++

第18页，共26页 212313()22

x x x =++-. 因为123||1x x x ++≥,所以13122S ≥

-=-,且当121x x ==,31x =-时,1S =-. 因此min 1S =-

(Ⅲ)设121(,,,)n i j i j n S S x x x x x ≤<≤==∑

121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++

++++++. 固定23,,,n x x x ,仅让1x 变动,此时

2312321()()n n n n S x x x x x x x x x x -=+++?+++++,

因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥-.

同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥-.

2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥---.

以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值1±的12,,

,n x x x 所达到,于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k n S S x x x =±=≥.

当1k x =±(1,2,

,k n =)时,222212121[()()]2

n n S x x x x x x =+++-+++ 2121()22

n n x x x =+++-. ①当n 为偶数时,2n S ≥-, 若取1221n x x x ====,12221n n

n x x x ++====-,则2n S =-,所以min 2

n S =-. ②当n 为奇数时,因为12||1n x x x ++

+≥,所以1(1)2S n ≥--, 若取12121n x x x -==

==,1112221n n n x x x --++====-,则1(1)2S n =--, 所以min 1(1)2

S n =-

- 33．（2013北京丰台二模数学理科试题及答案）已知等差数列{}n a 的通项公式为a n =3n-2,等比数列{}

n b 中,1143,1b a b a ==+.记集合{},*,n A x x a n N ==∈ {},*n B x x b n N ==∈,U A B =?,把集合U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列{}n c .

第19页，共26页 (Ⅰ)求数列{b n }的通项公式,并写出数列{}n c 的前4项;

(Ⅱ)把集合U C A 中的元素从小到大依次排列构成数列{}n d ,求数列{}n d 的通项公式,并说明理由; (Ⅲ)求数列{}n c 的前n 项和.n

S 【答案】解:(Ⅰ)设等比数列{}n b 的公比为q,

11431,18b a b a ===+=,则q 3=8,∴q=2,∴b n =2n-1,

数列{}n a 的前4项为1,4,7,10,数列{b n }的前4项为1,2,4,8,

∴数列{}n c 的前4项为1,2,4,7;

(Ⅱ)据集合B 中元素2,8,32,128?A,猜测数列{}n d 的通项公式为d n =22n-1. d n =b 2n ,∴只需证明数列{b n }中,b 2n-1∈A,b 2n ?A(n N *∈).

证明如下:

b 2n+1-b 2n-1=22n -22n-2=4n -4n-1=3×4n-1,即b 2n+1=b 2n-1+3×4n-1,

若?m∈N *,使b 2n-1=3m-2,那么b 2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若b 2n-1∈A,则b 2n+1∈A.因为b 1∈A,重复使用上述结论,即得b 2n-1∈A(n N *∈).

同理,b 2n+2-b 2n =22n+1-22n-1=2×4n -2×4n-1=3×2×4n-1,即b 2n+2=b 2n +3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1” 数列{}n a 的公差3的整数倍,所以说明b 2n 与b 2n+2()n N *∈同时属于A 或同时不属于A, 当n=1时,显然b 2=2?A,即有b 4=2?A,重复使用上述结论,

即得b 2n ?A,∴d n =22n-1;

(Ⅲ)(1)当n=1时,所以因为111b a ==,所以S 1=1;

(2)当n≥2时,由(Ⅱ)知,数列{b n }中,b 2n-1∈A,b 2n ?A,则k N *?∈,且k

211n k k n i i i i S a b -===+∑∑12()()(14)()(331)2(41)21423k k n k n k a a b n k n k --+-----=+=+

- 下面讨论正整数k 与n 的关系:

数列{}n c 中的第n 项不外如下两种情况:

① 2k n b c =或者② n k n a c -=,

若①成立,即有213()223(1)2k n k n k ---<<-+-,

若②成立,即有212123()22k k n k -+<--< ,

∴有212123123233k k k k n --+-++<<或者212123223233

k k k k n -+++++<<, 显然212323

k k -++=222[(21)]3k k -+?+?N *,所以212123123233k k k k n -++-++<<.

第20页，共26页

综上所述,21211,1

()(331)2(41)231232,(,)(,)2333k k k n n S n k n k k k n k n N -+*

=??=?----+-+++∈∈?

?

.

34．（2013北京西城高三二模数学理科）已知集合1212{(,,,)|,,,n

n n S x x x x x x =是正整数1,2,3,

,n 的

一个排列}(2)n ≥,函数

1,0,()1,0.

x g x x >?=?

-

称i b 为i a 的满意指数.排列12,,

,n b b b 为排列12,,,n a a a 的生成列;排列12,,,n a a a 为排列

12,,,n b b b 的母列.

(Ⅰ)当6n =时,写出排列3,5,1,4,6,2的生成列及排列0,1,2,3,4,3--的母列; (Ⅱ)证明:若12,,

,n a a a 和12,,,n

a a a '''为n S 中两个不同排列,则它们的生成列也不同; (Ⅲ)对于n S 中的排列12,,,n a a a ,定义变换τ:将排列12,,

,n a a a 从左至右第一个满意指数为负数

的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经过有限次变换τ将排列

12,,,n a a a 变换为各项满意指数均为非负数的排列.

【答案】(Ⅰ)解:当6n =时,排列3,5,1,4,6,2的生成列为0,1,2,1,4,3--;

排列0,1,2,3,4,3--的母列为3,2,4,1,6,5 (Ⅱ)证明:设12,,

,n a a a 的生成列是12,,,n b b b ;12,,,n a a a '''的生成列是与12,,,n

b b b '''. 从右往左数,设排列12,,,n a a a 与12,,,n

a a a '''第一个不同的项为k a 与k a ',即:n n

a a '=,11n n a a --'=,,11k k

a a ++'=,k k a a '≠. 显然 n n

b b '=,11n n b b --'=,,11k k

b b ++'=,下面证明:k k b b '≠ 由满意指数的定义知,i a 的满意指数为排列12,,,n a a a 中前1i -项中比i a 小的项的个数减去比i

a 大的项的个数. 由于排列12,,

,n a a a 的前k 项各不相同,设这k 项中有l 项比k a 小,则有1k l --项比k a 大,从而

(1)21k b l k l l k =---=-+. 同理,设排列1

2,,,n

a a a '''中有l '项比k a '小,则有1k l '--项比k a '大,从而21k

b l k ''=-+.

第21页，共26页 因为 12,,,k a a a 与12,,,k

a a a '''是k 个不同数的两个不同排列,且k k a a '≠, 所以 l l '≠, 从而 k k

b b '≠. 所以排列12,,,n a a a 和12,,,n

a a a '''的生成列也不同 (Ⅲ)证明:设排列12,,,n a a a 的生成列为12,,

,n b b b ,且k a 为12,,,n a a a 中从左至右第一个满意指数为负数的项,所以 1210,0,

,0,1k k b b b b -≥≥≥≤- 进行一次变换τ后,排列12,,,n a a a 变换为1211,,,

,,,k k k n a a a a a a -+,设该排列的生成列为12,,,n

b b b '''. 所以 1212()()n n b b b b b b '''+++-+++

121121[()()()][()()()]k k k k k k k k g a a g a a g a a g a a g a a g a a --=-+-+

+---+-++- 1212[()()()]k k k k g a a g a a g a a -=--+-++-

22k b =-≥

因此,经过一次变换τ后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加2. 因为i a 的满意指数1i b i ≤-,其中1,2,3,,i n =,

所以,整个排列的各项满意指数之和不超过(1)123(1)2n n n -+++

+-=, 即整个排列的各项满意指数之和为有限数,

所以经过有限次变换τ后,一定会使各项的满意指数均为非负数

35．（2013届北京大兴区一模理科）已知数列}{n a 的各项均为正整数，且12n a a a <<<，

设集合1{|101}1，，或，或（≤≤）n k i i

i i i i A x x a k n λλλλ====-==∑。

性质 1 若对于k x A ?∈，存在唯一一组i λ（1,2,，i k =???）使1

k

i i i x a λ==∑成立，则称数列}{n a 为完备

数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完备数列。

性质2 若记1（1≤≤）k

k i i m a k n

==∑，且对于任意≤k x m ，x ∈Z ，都有k x A ∈成立，则称数列}{n a 为完整数列，当k 取最大值时称数列}{n a 为k 阶完整数列。

性质3 若数列}{n a 同时具有性质1及性质2，则称此数列}{n a 为完美数列，当k 取最大值时}{n a 称为k 阶完美数列；

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/f00q.html