幂级数的部分练习题及答案

题目部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分) 一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1] (2分)[2] (A) ??1,1? (B) ??1,1? (C) ??1,1? (D) ??1,1?

答( )

(2分)[3] 设级数?bn?x?2?n在x??2处收敛，则此级数在

n?0?xn函数项级数?n?1n?的收敛域是

x?4处

(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( )

(3分)[4]设级数?an?x?3?n在x??1处是收敛的，则此级数在

n?0?x?1处

(A)发散； (B)绝对收敛； (C)条件收敛；

(D)不能确定敛散性。

答：( ) (2分)[5]设级数?an?x?1?n的收敛半径是1，则级数在x?3点

n?0?(A)发散； (B)条件收敛； (C)绝对收敛； (D)不能确定敛散性。

答：( ) (2

?an?11分)[6]如果lim?,则幂级数?anx3nn??a8n?0n

(A)当x?2时,收敛； (B) 当x?8时,收敛； (C) 当x?1时,发散； (D) 当

81x?时,发散； 2 答( ) (2分)[7]若幂级数?anxn的收敛半径为R,那么

n?0?an?1(A)limn??an?R,

(B) limn??an?R, an?1(C)liman?R, n??an?1(D)lim不一定存在 . n??an 答( )

(3分)[8] 若幂级数?anxn在x?2处收敛，在x??3处发散，

n?0?则 该级数

(A)在x?3处发散； (B)在x??2处收敛； (C)收敛区间为??3,2?

;

(D)当x?3时发散。

答( )

(2分)[9] 如果f?x?在x0点的某个邻域内任意阶可导，那么

?f?n??x0???x?x0?n?的和函数 幂级数??n!n?0??? (A) 必是f?x?， (B)不一定是f?x?， (C)不是f?x?， (D)可能处处不存在。

答( )。

(2分)[10]如果f?x?能展开成x的幂级数，那么该幂级数 (A) 是f?x?的麦克劳林级数； (B)不一定是f?x?的麦克劳林级数；

(C)不是f?x?的麦克劳林级数； (D) 是f?x?在点x0处的泰勒级数。 答( )。 二、填空 (54小题,共166.0分) (2

分)[1]函数项级数?an?1?2xrcta3n2x?n的收敛域

是 。

(2分)[2]讨论x值的取值范围，使当_____________时

(n?x)n?nn?xn?1?收敛

(n?x)n当_____________时?n?xnn?1? (3分)[3]

发散

x2n?1设级数?un?x?的部分和函数sn?x??2n，

x?1n?1?级数的通项un?x??(2

分

)[4]

级

数

πn??1??(2n)!3nn?0?n。 的

和

是 。

(2分)[5] 级数??nxe?nx??n?1?xe??n?1?x?在?0,1?上的和

n?1?函数是 。 (3分)[6]设

x不是负整数，对

p的值讨论级数

???1??x?n?nn?1?1p?p?0?的收敛性

得 当 时，绝对收敛， 当 时，条件收敛。

(2

分)[7] 幂级数???1?n?11?2x?3?n的收敛域

2n?1n?0?是 。

n?1??1?x2n?1(3分)[8]幂级数?的收敛半径是 ，和

?2n?1?!n?1?函数是 。

(1分)[9] 如果幂级数?an?x?1?n的收敛半径是1，则

n?0?级数在开区间 内收敛。 (2

an分)[10]如果lim?2n??an?1，则幂级数?an?x?1?n在开区间

n?0?内收敛。

(2分)[11] 设幂级数?anxn的收敛半径是R?0?R????，

n?0?则幂级数?anx2n的收敛半径是 。

n?0?(2分)[12]如果幂级数?an?x?1?n在x??1处收敛，在x?3处发

n?0?散，则它的收

敛域是 . (5分)[13]

2222233244幂级数x?x?x?x??的通项

251017是 ，收敛域是 。 (6分)[14]

?2n3n?n幂级数???n?n2??x的收敛域是 n?1???? 。

(4分)[15] 幂级数?n4n?1xn的收敛区间是 。

n?0

?u?x????f?x??f?x??，

nnn?1n?2n?2??其中

1n?1?k?fn?x???f?x??

nk?0?n?? n?1,2,?

试确定?un?x?的收敛域及和函数。

n?2(4分)[6] 试求幂级数??2n?1?1?xn的和函数。

n?0?(5分)[7]试求幂级数?n?0??n?1?5x2n的收敛域。

2n?1(4

n2分)[8]试求级数?nn?1x?的收敛域。

(3分)[9] 试求级数lgx??lgx?2??lgx?3??的收敛域。 (4分)[10] 试求幂级数?n?1???x?5?n的收敛半径及收敛域。

n(4分)[11]

n3xn试求幂级数?4n?1n?16?的收敛域。

nn??1??x?1?(5分)[12]求幂级数?的收敛域。 n??3n?12n?1?(4分)[13]已知幂级数?anxn的收敛半径R0?0，试求

n?0anxn?nn?0b??b?0?的收敛半径。

?(5

2n?1x2n?1分)[14]试求幂级数?2n?0?4n?3??的收敛半径及收敛域。

(5分)[15] 试求幂级数?2nn?1x3n的收敛域。

n?18(5分)[16]试求幂级数?3nn?0?2xn2的收敛域。

(5分)[17]

xn?1试求幂级数?n的收敛域。

n?3?lnnn?2?n?x?1?(5分)[18] 试求幂级数?的收敛域。 2n?1?n?1?ln?n?1??(6分)[19] 试求幂级数???1?n?0??n3n?2?x?2?n的收敛域。 n?12?n!?2n(5分)[20] 试求幂级数?x的收敛半径。

!n?1?2n?2n?x?3?(6分)[21] 试求幂级数?的收敛域。 n?1?n?1?ln?n?1??(5

1?n分)[22]试求幂级数?2???x的收敛半径及收敛域。 n2n?0?n?(4分)[23] 试求幂级数?n?1xn在其收敛域上的和函数。

n?1?n(5分)[24]

x4n?1试求幂级数?在收敛域上的和函数。

n?14n?1(2分)[25] 试求级数ex?e2?x???enx?? 的收敛域。

!nx的收敛半径。 (3分)[26]试求幂级数??2n?2k?1?n!??!nx的收敛半径。 (2分)[27] 试求幂级数??3n?2k?1?n!??(6分)[28] 设f?x?????1?nnxn?1，确定f?x?的连续

n?1?区间，

并求积分?f?x?dx的值。 (6分)[29] 设

xn?1f?x???n?n，确定f?x?的连续区间

2n?0?130并计算?0f?x?dx的值。 (6分)[30] 设f?x???n?0?1??1?nxn，g?x??n!?x,?x?1?，

nn?0?试用幂级数表示f?x??g??x?。 (6分)[31] 设

xnf?x???n?0n!? g?x???xn,?x?1?，

n?0?试用幂级数表示f??x??g?x?。

(6分)[32] 设f?x???xnn?0??x?1?，

1??g?x???2nxn,?x??

2??n?0?试用幂级数表示F?x??f?x??g?x?。 (6分)[33] 设??R,3nxnf?x???nn?1?，试确定R,使得f?x?在

?1?R?上可微，并计算f???的值。

?4?xnf?x???n?1n?(6分)[34] 设，确定R,使得f?x?在??R,R?上可微，

1?并计算f????的值。

?2?(3分)[35] 设f?x??5x3?4x2?3x?2，求f?x?h?关于 h的麦克劳林级数。

(3分)[36] 试求函数f?x???0e?tdt关于x的幂级数.

2x

====================答案==================== 答案部分，(卷面共有100题,349.0分,各大题标有题量和总分)

一、选择 (10小题,共22.0分) (2分)[1][答案] C

(2分)[2][答案] B

(2分)[3][答案]

B (3分)[4][答案]

D (2分)[5][答案]

A (2分)[6][答案]

A (2分)[7][答案]

( D ) (3分)[8][答案]

( D ) (2分)[9][答案]

(B)

(2分)[10][答案]

(A) 二、填空 (54小题,共166.0分) (2分)[1][答案]

(??,??)

(2分)[2][答案]

________x?1x?1

________(3分)[3][答案]

?x2n?2x2?11?x2n?21?x2n?? ???(2分)[4][答案]

cos?3 。

(2分)[5][答案] 0 (3分)[6][答案]

p?10?p?1

(2分)[7][答案]

?1,2?

(3分)[8][答案]

??

……

sinx

2?

(1分)[9][答案] ?0,

(2分)[10][答案] ??1,3?

(2分)[11][答案]

R

(2分)[12][答案] ??1,3?

(5分)[13][答案]

2nnx 2n?1?1?,??2

1? 2??(6分)[14][答案]

?11??, ???33?

(4分)[15][答案]

?1??,?41?? 4?

(4分)[16][答案] ?0?

(4分)[17][答案]

R1=R2

(3分)[18][答案]

3

(2分)[19][答案]

??1,1?，

?ln?1?x?。

(3分)[20][答案]

2e3x

(3分)[21][答案]

??1,1?

1?x

(2分)[22][答案] ?0,1?

11?x

(2分)[23][答案] ??R,R?

(2分)[24][答案]

min?R1,R2?

或为???bn??an? (3分)[25][答案] ??R,R?

?

s??x???nanxn?1n?1(3分)[26][答案]

??R,xR?

? ?s?x?dx??anxn?1

0n?0n?1

(4分)[27][答案] ??(?1)?n/2?2xn?n?02?n! ???,???

(3分)[28][答案]

?1??????1?????n?1?xn n?1n! ??1,1? (3分)[29][答案]

??ln2a?xn n?0n! ???,???

(3分)[30][答案]

??xn n?0 ??1,1? (3分)[31][答案]

????1?nxn ??1,n?0(5分)[32][答案]

?

1

x2n?12? 2n?1n?1? ??1,1?

(6分)[33][答案]

?n?1???1?n?12n?1xn

n?1??,?21? 2??

(4分)[34][答案]

?ln2????1?n?1xn?2n ??2,n?1n(4分)[35][答案]

????1?n?n?0?cos???2sin?2n?1?2n?!xn??2n?1?!x?????,??? (3分)[36][答案]

1n!fn?0? (2分)[37][答案]

??xn n?0n! ???,???

(2分)[38][答案]

????1?nx2n?1?m?1? n?0! ???,???

(2分)[39][答案] ????1?n?1xnn?1n 2?

??1,1? (4分)[40][答案]

xn??n?1n???1,1?

??n?1?! (3分)[41][答案]

x2n??1???2n?!n?0?n???,???

?0cos?n??0???k???1?n?2k?1n?2k,k?0,1,2?,

(5分)[42][答案]

n??1?xn?1 ?n?0n!?n?1?????,n?1,2,?

???

??1?n?1

(4分)[43][答案]

x2n?1 ?!n?0?2n?1?? ???,?1???0???

?sinxh??n?x?on?2k?1n?2k

(4分)[44][答案]

x2n ???2n!n?0?k?0,1,2,?

???,1???

?coshx??n?x?o???n?2kn?2k?1?0

(2分)[45][答案]

x2n?2n?2n?0a?k?0,1,?

??a,n?2k?1,a?

??0?f?n??0?????2k?!??a2k?2

n?2k,k?0,1,?

(6分)[46][答案]

n?1??1?22n?1x2n ? ???,?2n?!n?1????

?sinx???2nx?00???????1?k?122k?1?n?2k?1,n?2k, (3分)[47][答案]

?311???,? 4??4k?1,2,?

(3分)[48][答案]

对于该邻域内的任意x，有

limRn?x??0

n??

(3分)[49][答案]

n?x?3? ???1?n?1 ?nn?03 ?0,6?

(3分)[50][答案]

???1?n?0?nx2n?2 ?2n?!

x????,???

(3分)[51][答案]

x4?n?1???1? ???2n?1!n?0?n

x????,???

(3分)[52][答案]

381 ?5001000000(注：填 2?63?81也得10分) 61010

2?(2分)[53][答案]

k?1；

(2分)[54][答案]

?1 3840

15!25(注：答案形式为?也给分)

三、计算 (36小题,共161.0分) (3分)[1][答案]

sn?x??3x??2n?1x?5x?3x?????2n?1x?2n?1x?

?1,x?0 s?x??limsn?lim2n?1x??n??n???0,x?0

(3分)[2][答案]

sn?x??x?(x2?x)?(x3?x2)???(xn?xn?1)?xn

于是，

?0,0?x?1 s?x??limsn?x??limxn??n??n??x?1?1,(3分)[3][答案]

所给级数是以e?x为公比的等比级数 因此，当x>0,

0?e?x?1,级数?x2e?nx收敛

n?0?x2且和函数s?x??1?e?x

又x=0时，x2e?nx?0 ，级数收敛 且s(x)=0

?x2?1?e?x???0??,,x?0综上所述 s(x)=

x?0

(4分)[4][答案] 解法一

s(x)=

?nxn?1?n?1?x??nxn?1

2n?1?

?

?2?=x??xn???n?1??

?x?x???1?x??2 =??

?

x2?2

?1?x?? 解法二

?s(x)??nxn?1

n?1 ?x2?2x3?3x4???nxn?? ?(x2?x3?x4???xn??)? (x3?x4?x5??)????

xn?xn?1?xn?2????? x2?1?x?x31?x???xn1?x?? ?x21?x?11?x

2???x??1?x?? (4分)[5][答案]

设?sn?x?为?un?x?的部分和，则

n?21n?1s?x??f??k?nn?x??f?x?n?f?x?n???f?x?k?0?x????,???

…所求

和

s?x??lims1n??n?x???0f?x?t?dt?f?x?

x????,???收敛域

???,???…

函

数

所求

为

…

(4分)[6][答案]

11??,?， 幂级数的收敛域是???22?11?所以当x????,?时，有

?22? ?s?x????2n?1?1?xn

n?0 ????2n?1xn? n?0?xnn?0

?211?2x?1?x (5分)[7][答案]

设u?n?1?5x2nn?x??2n?1

因为limun?1?x?n??u?x2 n?x?所以当x?1时，级数收敛； 又当x?1 ，级数发散， 故收敛域为??1,1?。 (4分)[8][答案]

令1???t,原级数化为n2tnx, n?1当且仅当?t?1时，级数?n2tn收敛， n?1所以原级数的收敛域是???,?1???1,(3分)[9][答案]

令lgx?t,级数化为??tn, n?1

??? 。

当且仅当t?1时, ?tn收敛，

n?1?所以当

1?x?10时,原级数收敛， 10?,10?.

1收敛域为??

?10?(4分)[10][答案] 令??x?5??t,级数?tnn?1n的收敛半径是1,

收敛域是??1,1? , 故原级数收敛半径是1, 收敛域是?4,6?

. (4分)[11][答案]

由于liman?1n??a?1，所以R?1，

n当x?1时，级数发散； 当x??1时，级数收敛； 故收敛域为??1,1?. (5分)[12][答案]

令?x?1,原级数化为???1?ntnt?n, n?1?3n?1?2此级数的收敛半径是2, 收敛域是??2,故原级数的收敛域是??1,3?

. (4分)[13][答案]

利用两级数之间的关系，可得:

2? ,

当当

x?Ro, b即

?x?x?bRo时,级数?an???b?n?0?n?n收敛，

?x?x?bRo时,级数?an???b?n?0发散,

所以收敛半径是bRo. (5分)[14][答案]

设u2n?1x2n?1n?x???4n?3?2

因为

limun?1?x???un?x??2x2n

所以收敛半径R?12， 而且x?12时,级数收敛。 故收敛域为??11???2,2??。 (5分)[15][答案] 设un?x??2n?1n8nx3

u3因为limn?1?x?xn??u?,

n?x?8所以 R?2, 且x?2时，级数发散， 故收敛域是??2,2?。 (5分)[16][答案] 设u2n?x??3nxn2

,

?

?因??

为

un?1?x?2n?1??3x? un?x?

所以当x?1时，级数收敛，

3当x?1时，级数发散，

3故收敛域为

????13,?

(5分)[17][答案] 设a1n?n?3n?lnn

由于limann??a?3，故R?3， n?1且当x?3时，级数发散; 当x??3时，级数收敛。 所以收敛域是??3,3?。

(5分)[18][答案] 因为limann??a?1，所以R?1， n?1且当x?1?1 即x?0时，级数收敛； 当x?1??1 即x??2时，级数收敛, 所以收敛域是??2,0?。

(6分)[19][答案]

由于liman?1n??a?1，所以R?1，

n1?3??。

且当x?2?1时，级数收敛， 当x?2??1时，级数发散， 故收敛域是?1,3?。

(5分)[20][答案]

un?1?x?x2因为lim?n??u?x?4n，

所以当x?2时，级数收敛， 故收敛半径R?2。 (6分)[21][答案]

un?1?x?2 因为lim??x?3?， n??u?x?n所以当x?3?1时，级数收敛， 且当x?3?1时，级数发散， 故收敛域是?2,4?。

(5分)[22][答案]

n 因为limn??un?x??1x 2

所以收敛半径R=2， 且当|x|=2时，级数发散。

故收敛域为(-2，2)。 (4分)[23][答案]

幂级数的收敛域是??1,1?， 所以当x???1,1?时，有

xns?x???x??n?1n?1n?n?

?x?ln?1?x? 1?x

(5分)[24][答案]

幂级数的收敛域是??1,1?， 当x???1,1?时，有

??4n?s?x?????x?dx

x0

?n?1?

??x?11?4lnx1?x?12arctanx (2分)[25][答案]

这是以ex为公比的等比级数 令ex?1 解得x?0 故所所求收敛域为???,0?。 (3分)[26][答案]

?liman?1n??a?lim2?2n?1?n??n?1?4 n?

级数的收敛半径R?14 (2分)[27][答案] ?liman?1n??a?lim3?3n?1??3n?2??nn??n?1? ? 级数的收敛半径R?0。 (6分)[28][答案]

因为幂级数的收敛域是??1,1?，所以f?x?在??1,1?上的连续，

且可逐项积分。

?f?x??????1?nnxn?1dx

n?1 ????1?n?1n3n?1?130?130??14

(6分)[29][答案]

由于幂级数的收敛域是??2,2?，所以

f?x?在??2,2?上连续，且可逐项积分。故

?0f?x?dx???0n?01?1n?xn?1dx n2? ??1n2n?0?2

(6分)[30][答案]

由于?xn的收敛区域是??1,1?，当

n?0?x???1,1?时，g?x?可微，而且

g??x????xn?0?n????n?1?x，

nn?0??所以

????1?nxnf?x??g??x?????n!?n?0????????n?1?xn?， ????n?0?m (6分)[31][答案] 因为

xnf?x???n?0n!?m?k????1?????x????k?1??m?k?!?。 m?0?k?0?

的收敛区域是???,???，

f?x?在任意点可微，且可逐项微分。

????xn?xn?1f??x?????n!?????n?1?!?f?x?， ?n?0?n?1??xn???k?f??x??g?x?????n!????x? ?n?0??k?0?

故

?m1?m?????x。 m?0?k?0k!??

(6分)[32][答案]

由于?x、?2nxn的收敛半径分别为1,nn?0n?0??1， 2所以两幂级数乘积的收敛半径是1，

21故当x????,?21??时， 2???n???nn?F?x????x???2x??n?0??n?0???????2k?xnn?0?k?0???n

???2n?1?1?xn

n?0(6分)[33][答案]

1 幂级数的收敛域是???,?31?,所以f?x?在???31??， 3?

1??上可微，且可逐项微分， 3?1???3nxn??f???????n??4??n?1???x?14

?12

?1???3n????4?n?1?n?1

(6分)[34][答案]

因为幂级数的收敛半径R?1，所以f?x?，

在??1,1?内连续，可微， 且

1???xn???f?????????2?n?1?n??x?12?1?????n?1?2??n?1?2

(3分)[35][答案] 由于

f?x?h??5?x?h??4?x?h??3?x?h??232??5x3?4x2?3x?2???15x2?8x?3?h ??15x?4?h2?5h3x?(??,??) h?(??,??)

由级数表示的唯一性，即知上式就是所求级数。 (3分)[36][答案] 因为

f??x??e?x2

x2n ????1?n!n?0x????,????n 所以

x2n?1f?x?????1? ?2n?1?n!n?0x????,????n

级数lnx?ln2x???lnnx??的收敛域是 (A) x?e (B) x?e

(C)

1e?x?e (D)1e?x?e

答( )

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