广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数

广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学文试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.已知集合A?{xx?1}，B?{xx2?2x?0}，则A?B?（ ）

A. {xx?0} B. {xx?1} C. {x1?x?2} D. {x0?x?2}2.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（ ） （0,??）A．y?x?1 B．y?log2x C．y?|x| D．y??x2 3．设i为虚数单位，则复数

[来源学科网]i等于（ ） 2?i12121212A．?i B． ??i C．?i D．??i

55555555?4．sin480的值为（ ）

A．?1133 B．? C． D． 22225．中心在原点的双曲线，一个焦点为F(0，3)，一个焦点到最近顶点的距离是3?1，则双曲线的方程是（ ）

x2y2y2x2222?1 B．x??1 C．x?A．y??1 D．y??1 222226．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的

正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）

A．?

主视图 左视图 3B．2? C．3?

2

D．4?

俯视图 7．经过圆x2?2x?y2?0的圆心且与直线x?2y?0平行的直线方程是（ ） A．x?2y?1?0 B．x?2y?2?0 C．x?2y?1?0 D．x?2y?2?0

（第6题）

?y?x?8．已知实数x,y满足?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为（ ）

?y??1?1A．6 B．5 C． D． ?3

29.如右上图，在?ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD?（ ）

ACDB（第9题）

A．

21AB?AC332112AB?AC AB?AC C． B．

3333D．

12AB?AC 33

10．用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A?B??且A?B?1，设实数a的所有可能取值构成集合S，A??1，2?，B??x|(x2?ax)(x2?ax?2)?0?，则C(S)?（ ） A．4 B．1 C．2 D． 3

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答4小题，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11.设等比数列{an}的公比q?2，则12.直线y???C(A)?C(B)，C(A)?C(B) 若

?C(B)?C(A)，C(A)?C(B)S4? ． a411x?b是函数f(x)?的切线，则实数b? ． 4x13.在?ABC中，?A??3，AB=2，且?ABC的面积为3，则边BC的长为_________. 2A14．（几何证明选讲选做题）如右图，圆O的割线PAB交圆 O于A、B两点，割线PCD经过圆心。已知PA?6，

BP1AB?7，PO?12。则圆O的半径R?____．

3

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系( ? , ?)中，直线??C?OD?4（第14题）

（??R）被圆??2sin?截

得的弦的长是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本题满分12分）已知函数f(x)?cosx?sinxcosx，x?R． （1）求f()的值； （2）若sin??2?63???，且??(,?)，求f(+). 52224

17. （本题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：

高校 A B

相关人数 抽取人数

x 18 36

2

（1）求x,y；

(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言， 求这2人都来自高校C的概率.

C 54

y

18．（本题满分14分）在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分

别为AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥．

（1）请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明； （2）证明AB?平面BEF； （3）求四棱锥E?AFNM的体积．

BEADMBNFEMFNCA19．（本题满分14分）数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n?N，总有

*an，Sn，an2成等差数列．

(1)求a1；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn?

20．（本题满分14分）已知点M(4,0)、N(1,0)，若动点P满足MN?MP?6NP． （1）求动点P的轨迹曲线C的方程；

（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线：x?2y?12?0的距离最小．

1，求证:对任意正整数n，总有Tn?2． 2an

21．（本题满分14分）已知函数f(x)?1312ax?x?cx?d(a,c,d?R)满足f(0)?0，f?(1)?0且34f'(x)?0 在R上恒成立.

(1)求a,c,d的值； (2)若h(x)?32b1x?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0； 424(3)是否存在实数m，使函数g(x)?f'(x)?mx在区间[1,2]上有最小值?5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由.

珠海市2013年9月高三摸底考试 试题与参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.

1.（集合）已知集合A?{xx?1}，B?{xx2?2x?0}，则A?B?（ ） A. {xx?0} B. {xx?1} C. {x1?x?2} D. {x0?x?2}

（0,??）2.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数为（ ）

A．y?x?1 B．y?log2x C．y?|x| D．y??x2 3．（复数的除法）设i为虚数单位，则复数

i等于（ ） 2?i12121212A．?i B． ??i C．?i D．??i

55555555?4．（三角函数）sin480的值为（ ）

A．?1133 B．? C． D． 22225．（圆锥曲线）中心在原点的双曲线，一个焦点为F(0，3)，一个焦点到最近顶点的距离是3?1，则双曲线的方程是（ ）

x2y2y2x2222?1 B．x??1 C．x?A．y??1 D．y??1 222226．（三视图）如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的 正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）

A．?

主视图 左视图 3B．2? C．3?

2 D．4?

俯视图 7．（直线与圆）经过圆x2?2x?y2?0的圆心且与直线x?2y?0平行的直线方程是（ ） A．x?2y?1?0 B．x?2y?2?0 C．x?2y?1?0 D．x?2y?2?0

?y?x?8．（线性规划）已知实数x,y满足?x?y?1，则目标函数z?2x?y的最大值为（ ）?y??1?A．6 B．5 C．

[来源:Zxxk.Com] C1 D． ?3 2DAB????9.（向量）如右上图，在?ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则AD?（ ） ?1?????2?????1?????2????2???1???2???1???A．AB?AC B．AB?AC C．AB?AC D．AB?AC

33333333

10．（信息题）用C(A)表示非空集合A中元素的个数，定义A?B??

?C(A)?C(B)，C(A)?C(B)?C(B)?C(A)，C(A)?C(B)若A??1，2?，B?x|(x2?ax)(x2?ax?2)?0，且A?B?1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C(S)?（ ） A．4 B．1 C．2 D． 3

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 11.（等比数列）设等比数列{an}的公比q?2，则12.（导数）直线y????S415 ． ? 8a411x?b是函数f(x)?的切线，则实数b? 1或-1 ． 4x13.（解三角形）在?ABC中，?A?___3______. ?3，AB=2，且?ABC的面积为

3，则边BC的长为214．（几何证明选讲选做题）如右图，圆O的割线PAB交圆 O于A、B两点，割线PCD经过圆心。已知PA?6，

APB1AB?7，PO?12。则圆O的半径R? 8 ．

3

15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系( ? , ?)中，直线??C?OD?4

（??R）被圆??2sin?截

得的弦的长是 2 ．

三、解答题：本大题共6小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（三角函数）已知函数f(x)?cos2x?sinxcosx，x?R （1）求f()的值； （2）若sin???63???，且??(,?)，求f(+). 52224解: (1)f()?cos?2?66?sin?6cos?6 ?(3213 )??222?2分

3+3………………………………………………………………………………………4(2) f(x)?cosx?sinxcosx

2?4分

1+cos2x1?sin2x………………………………………………………………………22

?11?（sin2x+cos2x） 22?分 12??sin(2x+)………………………………………………………………………6224??12??f(+)??sin(?++)……………………………………………………………822422124分

?12??sin(?+) 2231213?(sin???cos??)……………………………………………………12222?0分 因为sin??分 所3?4)，，且??(,?所以cos???………………………………………………11525以f(

?2??1???????………………………………12分 +2217.（概率）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人） （1）求x,y；

(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言， 求这2人都来自高校C的概率. 解: (1)由题意可得:高校 A B C

相关人数 抽取人数

x 18 36 54

x2?18362 y

,即x?1………………………………………………………………………2分 y2? ,5436即y?3………………………………………………………………………4分

A(2)设事件：2人都来

C…………………………………………………………………………5分 记高校B的两人为b1,b2，高校C的两人为c1,c2,c3

自

高

校

则选取2人的所包含的基本事件共有：b1和b2，b1和c1，b1和c2，b1和c3，

b2和c1，b2和c2，b2和c3，c1和c2，c1和c3，c2和c3 共有10种情况…………………………9

分

选取2人都来自高校C的所包含的基本事件有：c1和c2，c1和c3，c2和c3共3种情况………11

分

所以P(A)? m3?…………………………………………………………………………………12分 n1018．（立几）在边长为4cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为

AB、CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，重合后的点记为B，构成一

个三棱锥．

（1）请判断MN与平面AEF的位置关系，并给出证明； （2）证明AB?平面BEF； （3）求四棱锥E?AFNM的体积．

MADBNFEMFNABEC解：（1）MN平行平面AEF……………………………………………………………………2分

证明：由题意可知点M、N在折叠前后都分别是AB、CF的中点（折叠后B、C两点重合）

所以MN平行AF…………………………………………………………………………………3分

?MN?面AEF?因为?AF?面AEF，所以MN平行平面AEF………………………………………………5

?MN平行AF?分

（2）证明：由题意可知AB?BE的关系在折叠前后都没有改变

因为在折叠前AD?DF，由于折叠后AD与AB重合，点D与F重合，所以AB?BF……6分

?AB?BE?AB?BF??因为?BE?面BEF，所以AB?平面BEF……………………………………………………10

?BF?面BEF???BE?BF=B分

（3）

VE?AFNM?VE?ABF?VE?MBN…………………………………………………………………………11分

?VA?BEF?VM?BEN…………………………………………………………………………

12分

11?S?BEF?AB?S?BEN?MB……………………………………………………………3313分

1111???2?2?4???2?1?2 3232?2…………………………………………………………………………………………14分

19．（数列）数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n?N，总有an，Sn，an2成等差数列 (1)求a1；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)设数列{bn}的前n项和为Tn，且bn?**1，求证:对任意正整数n，总有Tn?2 2an解：（1）由已知：对于任意的n?N，总有an，Sn，an2成等差数列

?2Sn=an?an2a1=1……………………………………………………………………………2

分

令n?1，?2S1=a1?a12 即2a1=a1?a12

又因为数列{an}的各项均为正数，所以a1=1…………………………………………………4分 （2）?2Sn=an?an2 ①

2?2Sn-1=an-1?an(n?2) ②……………………………………………………………………5-1分

由①-②得：2Sn?2Sn-1=an?an-1?an?an-1

即2an=an?an-1?an?an-1?an?an-1=an?an-1即an?an-1=(an?an-1)(an?an-1)

222222?an,an-1均为正数

?an?an-1=1(n?2)………………………………………………………7分

∴数列{an}是公差为1的等差数列

?an=a1?(n?1)d?1?(n?1)?n……………………………………………………………

…9分 （3）bn?分

当n=1时，Tn?b1=分

111111?????(n?2)…………………………………………10an2n2n?nn?(n?1)n?1n11?=1?2………………………………………………………………11a1212

当n?2时，Tn?b1?b2?b3???bn

?111111111??????????122232n2121?22?3n?1n [来源学§科§网]1111111?1?(?)?(?)???(?)?2??2…………………………131223n?1nn分

所以对任意正整数n，总有Tn?2………………………………………………………………14

分

?????????????20.（解几综合）已知点M(4,0)、N(1,0)，若动点P满足MN?MP?6|NP|．

（1）求动点P的轨迹曲线C的方程；

（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线：x?2y?12?0的距离最小．

?????????????解：（1）设点P坐标为(x,y)，则MN?(?3,0)，MP?(x?4,y)，NP?(x?1,y)，????|NP|?(x?1)2?y2. ?????????????x2y222??1. 因为MN?MP?6|NP|，所以?3(x?4)?0?6(x?1)?y，化简得43x2y2??1……………………………………………………………………6所以动点P的轨迹为43分

x2y2??1上，设点Q坐标为(2cos?,3sin?)，??[0,2?).…………………8(2) 点Q在43分

记Q到直线x?2y?12?0的距离为d

|4sin(??)?12|12?4sin(??)|2cos??23sin??12|66，……………………12d???5512?22分 当?????3时d有最小值8，…………………………………………………………………………13分 5此

时

点

Q坐标为

31,).………………………………………………………………………………14分 2131221．（导数综合）已知函数f(x)?ax?x?cx?d(a,c,d?R)满足f(0)?0，f?(1)?0且

34(

f'(x)?0 在R上恒成立.

(1)求a,c,d的值； (2)若h(x)?32b1x?bx??,解不等式f'(x)?h(x)?0； 424(3)是否存在实数m，使函数g(x)?f'(x)?mx在区间[1,2]上有最小值?5？若存在，请求出实数m的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）?f(0)?0,?d?0；

?f'(x)?ax2?1分 11x?c及f'(1)?0,有a?c?……………………………………………………………22 2 ?f'(x)?0在R上恒成立,即ax? 即ax?21x?c?0恒成立； 211x??a?0恒成立； 22 显然a?0时，上式不能恒成立；…………………………………………………………………………2分 ∴a?0，由于对一切x?R,都有f?(x)?0,则有： ?a?0?a?0,1??a?，即，解得：；…………………………………………3?12?1124(?)?4a(?a)?0(a?)?0???22?4分 ∴d?0，a?c?分 （2）?a?c? 分1 ………………………………………………………………………………………441111. ?f?(x)?x2?x?. 4424121132b1由f?(x)?h(x)?0得：x?x??x?bx???0；…………………………………5424424 [来源:Zxxk.Com] 即x?(b?)x? 分 1b1?0，即(x?b)(x?)?0 ； 22211∴当b?时,解集为(,b)，…………………………………………………………………………622211当b?时,解集为(b,)……………………………………………………………………………227分 当1b?时,解集为?…………………………………………………………………………………8分 21211（3）假设存在实数m使函数g(x)?f?(x)?mx?x?(?m)x?在区间[1,2] 上有最小值－424[来源:学&科&网]5.

g(x)?f?(x)?mx?1211x?(?m)x?图象开口向上且对称轴为x?2m?1. 424，2]上是递增的； ①当2m?1?1,即m?0时，此时函数g(x)在区间[1111?g(1)??5,即?(?m)???5. 424m?5m?0 解得与矛?m?5；……………………………………………………………………10分 ②11?2m?1?2,即0?m?时，此时函数g(x)在区间[1,2m?1]上是递减的，而在区间 2 盾当[2m?1,2]上是递增的， ?g(2m?1)??5. 即111(2m?1)2?(?m)(2m?1)???5 424 解得m??1211211?或m???,均与0?m?产生矛盾； 22222121121……………………………………………………………………12?m???且m???2222分 1时，此时函数g(x)在区间[1，2]上递减的； 21211 ?g(2)??5 即?2?(?m)?2???5. 424211 解得m?,满足m? 8221综上知：当m?时，g(x)?f?(x)?mx在[1,2]上有最小值－5………………………………………148 ③当2m?1?2，即m?分

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