地大大学物理习题3解答

作业12 真空中静电场的强度

??12-1 关于电场强度定义式E?F/q0，下列说法中哪个是正确的？[ B ]

?(A) 场强E的大小与试探电荷q0的大小成反比．

?(B) 对场中某点，试探电荷受力F与q0的比值不因q0而变．

??(C) 试探电荷受力F的方向就是场强E的方向．

??(D) 若场中某点不放试探电荷q0，则F= 0，从而E= 0．

?12-2 在电场中某点P放入试探电荷q0，测得电场力为F，则该点的场强为

??Fq0；若放入另一试探电荷?q0，测得电场力为F?，则该点的场强为[ C ]．

??????(A) F?q0?Fq0； (B) F?q0??Fq0； (C) ?F?q0?Fq0；(D) 0；．

(原3题变) 解：试探电荷不影响场强，但影响其自身的受力．

12-3 电子所带电量最先是由蜜立根通过油滴实验测定的．其原理是：一个很小

?的油滴处在匀强电场内，调节电场强度E，是作用在油滴上的作用力与油滴

10?4 cm，油密度为0.851 ×103 kg/m3， 的重力平衡．如果油滴的半径为1.64 ×

105 V/m．则油滴上的电量 q = 8.02 ×10?19 C．平衡的电场强度为1.92 ×

???4πR3?g43

=…= 8.02 ×10?19 C 解： ?F?qE?mg?0 → qE?πR?g → q?3E312-4 两个间距为r的正电荷q1与q2 ，如图所示，在引入一个电荷q3 后，三个

电荷处于平衡状态，则q3位于q1与q2连线之 间 (填“间”或“外”)；q3与q1

的距离为r13 = r13?q1q1?q2r ，q3的电量为q3 = q3??q1q2(q1?q2)2 . r(原2题) 解：取向右为正 q1q2题12-4图 1q1q21q1q31q2q3F12??F??F?，， 1323224π?0r1224π?0r134π?0r23而 F12??F13，F23??F21?F12，解得：…… 12-5 在正方形的两个相对的角上各放一个点电荷Q，在其他两个相对的角上各

放一个点电荷q，如果作用在Q上的力为零，则Q与q的关系为

yQ = Q??22 q ． （原6题） 3q4Q解：F1x??F12?F13sin225??0, F1y??F14?F13cos225??0

QqQ22???0 ? Q??22 q 24π?0a4π?0(2a)22

1

?QF121??F14F13q2x12-6 把某一电荷分成q与 (Q?-?q) 两个部分，且此两部分相隔一定距离，如果

使这两部分有最大库仑斥力，则Q与q的关系为：Q = Q?2 q 解：F?q?(Q?q)dF， 令 ?0， 即 1?(Q?q)?q?0， 解得 Q?2q

dq4π?0r2

12-7 半径为R，长度为L的均匀带电圆柱面，其单位长度带电量为?，在带电

圆柱的中垂面上有一点P，它到轴线距离为r（r ? R），则P点的电场强度

的大小：当r ?? L时，E = E???L ；当r ?? L时，E = E? ． 2π?0r4π?0r2（原11题）解：r <

r>>L时，可视为点电荷，q??L

12-8 如图所示，一根细玻璃棒被弯成半径为R的半圆周，沿其上半部分均匀分

布有电荷?q，沿其下半部分均匀分布有电荷?q，求半圆中心O点的场强．

(原8题) ?q解: 建立坐标系xOy，相对于x 轴对称分布的正负电荷元产生的

R场强的x分量将相互抵消，y分量相等且沿y负向,

O???????2q(πR)

dq????dl???Rd??2qd?π

?q题12-8图

y 而 dE??dq?12qd??

4π?0R24π?0R2π?q∴ E??2dEco?s??20π2?π2?π201qco?s d?

2π2?0R2?dE → ROx dE → E →

q?4q??? ???2sin?222?π?0R?4π?0R?0?q?E向下

2

12-9 用不导电的塑料棒弯成一个半径为50.0 cm，两端间空隙为2.0 cm的环，

-电量为3.12×109C的正电荷均匀分布在棒上，求环心处场强的方向和大小． （原7题）解：（补偿法），如下图示

q?????l

→ EO → EO

＋ ＝ ＝ O O O O

∵ 均匀带电圆环圆心O处 E = 0 ，

而 ?l??R(半径) ∴ q?可视为点电荷 ∴ EO?q?4π?0R2?????lqq 而 ???4π?0R22πR??l2πR∴ EO???1q??l9?= -0.715(V/m)，指向空隙． ???9?10E34π?02πR?

12-10 电量Q ( Q > 0 ) 均匀分布在长为2L的细棒上，在细棒的延长线上距细棒

中心O距离为x的P点处放一带电量为q ( q > 0 )的点电荷，求带电细棒对该点电荷的静电力． x2L解：建立如图所示的坐标系，

OPQ da 在带电直线上取电荷元 dq?? da?题12-10图 2L它在P点产生的电场强度的大小为 dqQ da ?4π?0r28π?0L(x?a)2?

且各dE均同向(向右)． dE?QQ da∴ E?dE????L8π?L(x?a)28π?0L02LOaxdaPx??L?Q?1?d(x?a)? ??a??L(x?a)28π?0L?x?a?a??La?La?L?Q?11?Q1? ???8π?0L?x?Lx?L?4π?0x2?L2点电荷受力：F?qE?qQ

4π?0(x2?L2)?F的方向：在带电直线延长线上，远离O点．

3

12-11 半径为R的带电细圆环，线电荷密度???0cos?，?0为常数，?为半径

yR与x轴夹角，如图所示，求圆环中心O处的电场强度． （原10题）

解：∵电荷相对于x 轴对称，

∴ O点处的合场强必沿 x 轴．

取 dq?? dl?? R d??R?0co s? d? 而 dE?dq?0co?s d? ?24π?0R4π?0R2πOR?x题12-11图

∴ E?Ex?dEx?dE(?co?s)???02co???04π?0Rs? d? dq R→ → dE ? 2πE??0?0 ??(1?cos2?)d???x→O 8π?0R?04?0RdE ?E沿 x 轴负方向

y

12-12 在一个很大的均匀带电（面电荷密度为

?0）平面的中部开一个半径为R的小圆孔，求通过小圆孔中心O并与平面垂直的直线上P点的电场强度． (原18题)

解: 【不要用补偿法！】

以O点为原点，取x轴垂直于带电平面， 并在带电平面上取极坐标系，如图所示．

则面元 dS?rdrd? ∴ dq??0rdrd? dE?dq?0rdrd? ?4π?0l24π?0(r2?x2)ROP题12-12图 rdSrlPxdE → x由对称性可知: Ey?Ez?0 ∴ E?Ex?dEcos?

?RO??2π0d????0rdr4π?0(r2?x2)R?xr?x22x?0?4?0??d(r2?x2)(r?x)2232r?R?x?02?0x?R22

?E沿 x 轴背离平面

4

12-13 关于高斯定理的理解有下面几种说法，其中正确的是：[ D ]

?(A) 如果高斯面上E处处为零，则该面内必无电荷．

?(B) 如果高斯面内无电荷，则高斯面上E处处为零．

?(C) 如果高斯面上E处处不为零，则高斯面内必有电荷．

(D) 如果高斯面内净电荷不为零，则通过高斯面的电通量必不为零． (E) 高斯定理仅适用于具有高度对称性的电场．

12-14 如图所示，闭合曲面S内有一点电荷q，P为S面上一点，在S面外A

点有一点电荷q?，若将q?移至B点，则 [ B ]

PSq?(A) 穿过S面的电通量改变，P点的电场强度不变；

qAB(B) 穿过S面的电通量不变，P点的电场强度改变；

(C) 穿过S面的电通量和P点的电场强度都不变；

题12-14图 (D) 穿过S面的电通量和P点的电场强度都改变．

解：穿过闭合曲面的电通量与面外电荷无关，P点的电场强度由内外电荷决定.

12-15 有两个点电荷电量都是 +q相距为2a，今以左边的点电荷所在处为球心，

以a为半径，作一球形高斯面．在球面上取两块相等的小面积S1、S2．其位置如图所示．设通过S1、S2的电场强度通量分别为?1、?2，通过整个球面的电场强度通量为?3，则 [ D ] (A) ?1??2，?3?q?0； +q 2a +q (B) ?1??2，?3?2q?0； S2 x O a S1 (C) ?1??2，?3?q?0； SSq q (D) ?1??2，?3?q?0． 题12-15图 (原13题)

12-16 ⑴ 点电荷q位于边长为a的立方体中心，通过此立方体的每一面的电通

量各是多少？⑵ 若电荷移至立方体的一个顶点上，通过每个面的电通量又各是多少？ (原14题)

2 1 解: ⑴∵6个全等的正方形组成一个封闭面，∴ ?1?q6?0 ⑵ 该顶点可视为边长等于2a的大立方体的中心， 通过每个大面的电通量为 q6?0

∴对于小立方体而言，不过该顶点的三个小面上的电通量为：???11q1q? 46?024?05

而通过该顶点的另三个小面的电通量为???0.

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