题库 运筹学 清华版 1-5章 - 图文

第一部分 线性规划的基本概念

一、填空题

1．线性规划问题是求一个线性目标函数_在一组线性约束条件下的极值问题。 2．图解法适用于含有两个变量的线性规划问题。 3．线性规划问题的可行解是指满足所有约束条件的解。 4．在线性规划问题的基本解中，所有的非基变量等于零。

5．在线性规划问题中，基可行解的非零分量所对应的列向量线性无关

6．若线性规划问题有最优解，则最优解一定可以在可行域的顶点（极点）达到。 7．线性规划问题有可行解，则必有基可行解。

8．如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在其基可行解_的集合中进行搜索即可得到最优解。

9．满足非负条件的基本解称为基本可行解。

10．在将线性规划问题的一般形式转化为标准形式时，引入的松驰数量在目标函数中的系数为零。

11．将线性规划模型化成标准形式时，“≤”的约束条件要在不等式左_端加入松弛变量。 12．线性规划模型包括决策（可控）变量，约束条件，目标函数三个要素。 13．线性规划问题可分为目标函数求极大值和极小_值两类。

14．线性规划问题的标准形式中，约束条件取等式，目标函数求极大值，而所有变量必须非负。

15．线性规划问题的基可行解与可行域顶点的关系是顶点多于基可行解

16．在用图解法求解线性规划问题时，如果取得极值的等值线与可行域的一段边界重合，则这段边界上的一切点都是最优解。

17．求解线性规划问题可能的结果有无解，有唯一最优解，有无穷多个最优解。 18.如果某个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要引入一松弛变量。

19.如果某个变量Xj为自由变量，则应引进两个非负变量Xj , Xj,同时令Xj＝Xj－ Xj。 20.表达线性规划的简式中目标函数为max(min)Z=∑cijxij。

21..(2.1 P5))线性规划一般表达式中，aij表示该元素位置在i行j列。 二、单选题

1． 如果一个线性规划问题有n个变量，m个约束方程(m

行解的个数最为_C_。

′

〞

′

A．m个 B．n个 C．Cn D．Cm个 2．下列图形中阴影部分构成的集合是凸集的是 A

mn

3．线性规划模型不包括下列_ D要素。

A．目标函数 B．约束条件 C．决策变量 D．状态变量 4．线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将_B_。

A．增大 B．缩小 C．不变 D．不定 5．若针对实际问题建立的线性规划模型的解是无界的，不可能的原因是B__。

A．出现矛盾的条件 B．缺乏必要的条件 C．有多余的条件 D．有相同的条件

6．在下列线性规划问题的基本解中，属于基可行解的是 D

A．(一1，0，O) B．(1，0，3，0) C．(一4，0，0，3)0，5)

7．关于线性规划模型的可行域，下面_B_的叙述正确。

A．可行域内必有无穷多个点B．可行域必有界C．可行域内必然包括原点D．可行域必是凸的

8．下列关于可行解，基本解，基可行解的说法错误的是_D__.

A．可行解中包含基可行解 B．可行解与基本解之间无交集 C．线性规划问题有可行解必有基可行解 D．满足非负约束条件的基本解为基可行解

9.线性规划问题有可行解，则 A A 必有基可行解 B 必有唯一最优解 C 无基可行解 D无唯一最优解 10.线性规划问题有可行解且凸多边形无界，这时 C A没有无界解 B 没有可行解 C 有无界解 D 有有限最优解 11.若目标函数为求max，一个基可行解比另一个基可行解更好的标志是 A A使Z更大 B 使Z更小 C 绝对值更大 D Z绝对值更小 12.如果线性规划问题有可行解，那么该解必须满足 D

A 所有约束条件 B 变量取值非负 C 所有等式要求 D 所有不等式要求

T

T

T

T

D．(0，一1，

13.如果线性规划问题存在目标函数为有限值的最优解，求解时只需在D集合中进行搜索即可得到最优解。

A 基 B 基本解 C 基可行解 D 可行域 14.线性规划问题是针对 D求极值问题.

A约束 B决策变量 C 秩 D目标函数 15如果第K个约束条件是“≤”情形，若化为标准形式，需要 B A左边增加一个变量 B右边增加一个变量 C左边减去一个变量D右边减去一个变量 16.若某个bk≤0, 化为标准形式时原不等式 D A 不变 B 左端乘负1 C 右端乘负1 D 两边乘负1 17.为化为标准形式而引入的松弛变量在目标函数中的系数应为 A A 0 B 1 C 2 D 3 12.若线性规划问题没有可行解，可行解集是空集，则此问题 B

A 没有无穷多最优解 B 没有最优解 C 有无界解 D 有无界解 三、多选题

1． 在线性规划问题的标准形式中，不可能存在的变量是D .

A．可控变量B．松驰变量c．剩余变量D．人工变量 2．下列选项中符合线性规划模型标准形式要求的有BCD

A．目标函数求极小值B．右端常数非负C．变量非负D．约束条件为等式E．约束条件为“≤”的不等式

3．某线性规划问题，n个变量，m个约束方程，系数矩阵的秩为m(m

A．基可行解的非零分量的个数不大于mB．基本解的个数不会超过Cn个C．该问题不会出现退化现象D．基可行解的个数不超过基本解的个数E．该问题的基是一个m×m阶方阵 4．若线性规划问题的可行域是无界的，则该问题可能ABCD

A．无有限最优解B．有有限最优解C．有唯一最优解D．有无穷多个最优解E．有有限多个最优解

5．判断下列数学模型，哪些为线性规划模型(模型中a．b．c为常数；θ为可取某一常数值

的参变量，x，Y为变量) ACDE

m

6．下列模型中，属于线性规划问题的标准形式的是ACD

7．下列说法错误的有_ABD_。

A． 基本解是大于零的解 B．极点与基解一一对应

C．线性规划问题的最优解是唯一的 D．满足约束条件的解就是线性规划的可行解 8.在线性规划的一般表达式中，变量xij为 ABE A 大于等于0 B 小于等于0 C 大于0 D 小于0 E 等于0 9.在线性规划的一般表达式中，线性约束的表现有 CDE A ＜ B ＞ C ≤ D ≥ E = 10.若某线性规划问题有无界解，应满足的条件有 AD

A Pk＜0 B非基变量检验数为零 C基变量中没有人工变量 Dδj＞O E所有δ

j

≤0

11.在线性规划问题中a23表示 AE A i =2 B i =3 C i =5 D j=2 E j=3 43.线性规划问题若有最优解，则最优解 AD

A定在其可行域顶点达到 B只有一个 C会有无穷多个 D 唯一或无穷多个 E其值为0

42.线性规划模型包括的要素有 CDE A．目标函数 B．约束条件 C．决策变量 D 状态变量 E 环境变量 四、名词

1基：在线性规划问题中，约束方程组的系数矩阵A的任意一个m×m阶的非奇异子方阵B，称为线性规划问题的一个基。

2、线性规划问题：就是求一个线性目标函数在一组线性约束条件下的极值问题。 3 .可行解：在线性规划问题中，凡满足所有约束条件的解称为线性规划问题可行解 4、行域：线性规划问题的可行解集合。

5、本解：在线性约束方程组中，对于选定的基B令所有的非基变量等于零，得到的解，称为线性规划问题的一个基本解。

6.、图解法：对于只有两个变量的线性规划问题，可以用在平面上作图的方法来求解，这种方法称为图解法。

7、本可行解：在线性规划问题中，满足非负约束条件的基本解称为基本可行解。 8、模型是一件实际事物或实际情况的代表或抽象，它根据因果显示出行动与反映的关系和客观事物的内在联系。

四、把下列线性规划问题化成标准形式：

2、minZ=2x1-x2+2x3

五、按各题要求。建立线性规划数学模型

1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：

根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。月销售分别为250，280和120件。 问如何安排生产计划，使总利润最大。

2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?

1． 某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—2 最少?

服务员数 4 8 10 7 12 4 每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数

第二部分 线性规划的基本方法

一、填空题

1．线性规划的代数解法主要利用了代数消去法的原理，实现基可行解的转换，寻找最优解。 2．标准形线性规划典式的目标函数的矩阵形式是_ maxZ=CBB1b+(CN－CBB1N)XN 。

－

－

3．对于目标函数极大值型的线性规划问题，用单纯型法求解 时，当基变量检验数δj_≤_0时，当前解为最优解。

4．用大M法求目标函数为极大值的线性规划问题时，引入的人工变量在目标函数中的系数应为－M。

5．在单纯形迭代中，可以根据最终_表中人工变量不为零判断线性规划问题无解。 6．在线性规划典式中，所有基变量的目标系数为0。

7．当线性规划问题的系数矩阵中不存在现成的可行基时，一般可以加入人工变量构造可行基。

8．在单纯形迭代中，选出基变量时应遵循最小比值θ法则。

9．线性规划典式的特点是基为单位矩阵，基变量的目标函数系数为0。

10．对于目标函数求极大值线性规划问题在非基变量的检验数全部δj≤O、问题无界时，问

题无解时情况下，单纯形迭代应停止。

11．在单纯形迭代过程中，若有某个δk>0对应的非基变量xk的系数列向量Pk_≤0_时，则此问题是无界的。

12．在线性规划问题的典式中，基变量的系数列向量为单位列向量_ 13.对于求极小值而言，人工变量在目标函数中的系数应取-1 14.(单纯形法解基的形成来源共有三 种 15.在大M法中，M表示充分大正数。 二、单选题 1．线性规划问题C

2．在单纯形迭代中，出基变量在紧接着的下一次迭代中B立即进入基底。 A．会 B．不会 C．有可能 D．不一定

3．在单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中B。

A．不影响解的可行性B．至少有一个基变量的值为负C．找不到出基变量D．找不到进基变量

4．用单纯形法求解极大化线性规划问题中，若某非基变量检验数为零，而其他非基变量检验数全部<0，则说明本问题B 。

A．有惟一最优解 B．有多重最优解 C．无界 D．无解

5．线性规划问题maxZ=CX，AX=b，X≥0中，选定基B，变量Xk的系数列向量为Pk，则在关于基B的典式中，Xk的系数列向量为_ D

A．BPK B．BPK C．PKB D．BPK 6．下列说法错误的是B

A． 图解法与单纯形法从几何理解上是一致的 B．在单纯形迭代中，进基变

量可以任选

C．在单纯形迭代中，出基变量必须按最小比值法则选取 D．人工变量离开基底后，不会再进基

7.单纯形法当中，入基变量的确定应选择检验数 C A绝对值最大 B绝对值最小 C 正值最大 D 负值最小 8.在单纯形表的终表中，若若非基变量的检验数有0，那么最优解 A A 不存在 B 唯一 C 无穷多 D 无穷大 9.若在单纯形法迭代中，有两个Q值相等，当分别取这两个不同的变量为入基变量时，获得的结果将是 C

A 先优后劣 B 先劣后优 C 相同 D 会随目标函数而改变 10.若某个约束方程中含有系数列向量为单位向量的变量，则该约束方程不必再引入 C A 松弛变量 B 剩余变量 C 人工变量 D 自由变量 11.在线性规划问题的典式中，基变量的系数列向量为 D

A 单位阵 B非单位阵 C单位行向量 D单位列向量 12.在约束方程中引入人工变量的目的是 D A 体现变量的多样性 B 变不等式为等式 C 使目标函数为最优 D 形成一个单位阵 13.出基变量的含义是 D A 该变量取值不变 B该变量取值增大 C 由0值上升为某值 D由某值下降为0 14.在我们所使用的教材中对单纯形目标函数的讨论都是针对 B 情况而言的。 A min B max C min + max D min ,max任选

T

-1

15.求目标函数为极大的线性规划问题时，若全部非基变量的检验数≤O，且基变量中有人工变量时该问题有 B

A无界解 B无可行解 C 唯一最优解 D无穷多最优解 三、多选题

1． 对取值无约束的变量xj。通常令xj=xj’- x”j，其中xj’≥0，xj”≥0，在用单纯形

法求得的最优解中，可能出现的是ABC

2．线性规划问题maxZ=x1+CX2

其中4≤c≤6，一1≤a≤3，10≤b≤12，则当_ BC时，该问题的最优目标

函数值分别达到上界或下界。

A．c=6 a=-1 b=10 B．c=6 a=-1 b=12 C．c=4 a=3 b=12 D．c=4 a=3 b=12 E．c=6 a=3 b=12

3．设X，X是用单纯形法求得的某一线性规划问题的最优解，则说明ACDE。 A．此问题有无穷多最优解 B．该问题是退化问题 C．此问题的全部最优解可表示为λX+(1一λ)X，其中0≤λ≤1 D．X，X是两个基可行解E．X，X的基变量个数相同

4．某线性规划问题，含有n个变量，m个约束方程，(m

5．单纯形法中，在进行换基运算时，应ACDE。A．先选取进基变量，再选取出基变量B．先选出基变量，再选进基变量C．进基变量的系数列向量应化为单位向量 D．旋转变换时采用的矩阵的初等行变换E．出基变量的选取是根据最小比值法则

6．从一张单纯形表中可以看出的内容有ABCE。A．一个基可行解B．当前解是否为最优解C．线性规划问题是否出现退化D．线性规划问题的最优解E．线性规划问题是否无界 7.单纯形表迭代停止的条件为（ AB ）

A 所有δj均小于等于0 B 所有δj均小于等于0且有aik≤0 C 所有aik＞0 D 所有bi≤0

8.下列解中可能成为最优解的有（ ABCDE ）

MM

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

(1)

(2)

A 基可行解 B 迭代一次的改进解 C迭代两次的改进解 D迭代三次的改进解 E 所有检验数均小于等于0且解中无人工变量

9、若某线性规划问题有无穷多最优解，应满足的条件有（ BCE ）

A Pk＜Pk0 B非基变量检验数为零 C基变量中没有人工变量 Dδj＜O E所有δ

j

≤0

10.下列解中可能成为最优解的有（ ABCDE ）

A基可行解 B迭代一次的改进解 C迭代两次的改进解 D迭代三次的改进解E所有检验数均小于等于0且解中无人工变量 四、名词、简答

1、人造初始可行基：当我们无法从一个标准的线性规划问题中找到一个m阶单位矩阵时，通常在约束方程中引入人工变量，而在系数矩阵中凑成一个m阶单位矩阵，进而形成的一个初始可行基称为人造初始可行基。

2、单纯形法解题的基本思路？ 可行域的一个基本可行解开始，转移到另一个基本可行解，并且使目标函数值逐步得到改善，直到最后球场最优解或判定原问题无解。

五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当

于图解法可行域中的哪一个顶点。

六、用单纯形法求解下列线性规划问题：

七、用大M法求解下列线性规划问题。并指出问题的解属于哪一类。

八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10

X3 Xl —10 2 a Xl b C d X2 -1 O e X3 f 1 0 X4 g 1／5 1 (1)求表中a～g的值 (2)表中给出的解是否为最优解?

（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解

第三部分 线性规划的对偶理论

一、填空题

1．线性规划问题具有对偶性，即对于任何一个求最大值的线性规划问题，都有一个求最小值/极小值的

线性规划问题与之对应，反之亦然。

2．在一对对偶问题中，原问题的约束条件的右端常数是对偶问题的目标函数系数。 3．如果原问题的某个变量无约束，则对偶问题中对应的约束条件应为等式_。 4．对偶问题的对偶问题是原问题_。

5．若原问题可行，但目标函数无界，则对偶问题不可行。

6．若某种资源的影子价格等于k。在其他条件不变的情况下(假设原问题的最佳基不变)，当该种资源增加3个单位时。相应的目标函数值将增加3k 。

﹡－

7．线性规划问题的最优基为B，基变量的目标系数为CB，则其对偶问题的最优解Y= CBB1。

﹡﹡﹡﹡

8．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX= Yb。 9．若X、Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的可行解，则有CX≤Yb。

﹡﹡﹡

10．若X和Y分别是线性规划的原问题和对偶问题的最优解，则有CX=Y*b。

11．设线性规划的原问题为maxZ=CX，Ax≤b，X≥0，则其对偶问题为min=Yb YA≥c Y≥0_。 12．影子价格实际上是与原问题各约束条件相联系的对偶变量的数量表现。

13．线性规划的原问题的约束条件系数矩阵为A，则其对偶问题的约束条件系数矩阵为AT 。 14．在对偶单纯形法迭代中，若某bi<0，且所有的aij≥0(j=1，2，?n)，则原问题_无解。 二、单选题 1．线性规划原问题的目标函数为求极小值型，若其某个变量小于等于0，则其对偶问题约束条件为A形式。

A．“≥” B．“≤” C，“>” D．“=” 2．设X、Y分别是标准形式的原问题与对偶问题的可行解,则 C 。

3．对偶单纯形法的迭代是从_ A_开始的。

A．正则解 B．最优解 C．可行解 D．基本解

﹡

4．如果z。是某标准型线性规划问题的最优目标函数值，则其对偶问题的最优目标函数值wA。

﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡ ﹡﹡

A．W=ZB．W≠ZC．W≤ZD．W≥Z 5．如果某种资源的影子价格大于其市场价格，则说明_ B

A．该资源过剩B．该资源稀缺 C．企业应尽快处理该资源D．企业应充分利用该资源，开僻新的生产途径 三、多选题

1．在一对对偶问题中，可能存在的情况是ABC。

A．一个问题有可行解，另一个问题无可行解 B．两个问题都有可行解

C．两个问题都无可行解 D．一个问题无界，另一个问题可行 2．下列说法错误的是B 。

A．任何线性规划问题都有一个与之对应的对偶问题B．对偶问题无可行解时，其原问题的目标函数无界。C．若原问题为maxZ=CX，AX≤b，X≥0，则对偶问题为minW=Yb，YA≥C，Y≥0。D．若原问题有可行解，但目标函数无界，其对偶问题无可行解。

3．如线性规划的原问题为求极大值型，则下列关于原问题与对偶问题的关系中正确的是BCDE。

A原问题的约束条件“≥”，对应的对偶变量“≥0” B原问题的约束条件为“=”，对应的对偶变量为自由变量 C．原问题的变量“≥0”，对应的对偶约束“≥” D．原问题的变量“≤O”对应的对偶约束“≤”E．原问题的变量无符号限制，对应的对偶约束“=” 4．一对互为对偶的问题存在最优解，则在其最优点处有BD

A．若某个变量取值为0，则对应的对偶约束为严格的不等式B．若某个变量取值为正，则相应的对偶约束必为等式C．若某个约束为等式，则相应的对偶变取值为正D．若某个约束为严格的不等式，则相应的对偶变量取值为0 E．若某个约束为等式，则相应的对偶变量取值为0 5．下列有关对偶单纯形法的说法正确的是ABCD。

A．在迭代过程中应先选出基变量，再选进基变量B．当迭代中得到的解满足原始可行性条件时，即得到最优解 C．初始单纯形表中填列的是一个正则解D．初始解不需要满足可行性 E．初始解必须是可行的。 6．根据对偶理论，在求解线性规划的原问题时，可以得到以下结论ACD。

A． 对偶问题的解B．市场上的稀缺情况 C．影子价格D．资源的购销决策E．资源的市场价格

7．在下列线性规划问题中，CE采用求其对偶问题的方法，单纯形迭代的步骤一般会减少。

四、名词、简答题

1、对偶可行基：凡满足条件δ=C-CBBA≤0的基B称为对偶可行基。 2、.对称的对偶问题：设原始线性规划问题为maxZ=CX s.t AX≤b X ≥0 称线性规划问题minW=Yb s.t YA≥C

Y≥0 为其对偶问题。又称它们为一对对称的对偶问题。 3、影子价格：对偶变量Yi表示与原问题的第i个约束条件相对应的资源的影子价格，在数量上表现为，当该约束条件的右端常数增加一个单位时（假设原问题的最优解不变），原问题目标函数最优值增加的数量。 4．影子价格在经济管理中的作用。（1）指出企业内部挖潜的方向；（2）为资源的购销决策提供依据；（3）分析现有产品价格变动时资源紧缺情况的影响；（4）分析资源节约所带来的收益；（5）决定某项新产品是否应投产。

5．线性规划对偶问题可以采用哪些方法求解？（1）用单纯形法解对偶问题；（2）由原问题的最优单纯形表得到；（3）由原问题的最优解利用互补松弛定理求得；（4）由Y*=CBB-1求得，其中B为原问题的最优基

6、一对对偶问题可能出现的情形：1.原问题和对偶问题都有最优解，且二者相等；2.一个问题具有无界解，则另一个问题具有无可行解；3.原问题和对偶问题都无可行解。 五、写出下列线性规划问题的对偶问题

1．minZ=2x1+2x2+4x3

-1

六、已知线性规划问题

应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25

七、已知线性规划问题 maxZ=2x1+x2+5x3+6x4

﹡

其对偶问题的最优解为Y=4，Y2=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。

﹡l

七、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题：

八、已知线性规划问题

T

(1) 写出其对偶问题 (2)已知原问题最优解为X﹡=(2，2，4，0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题

的最优解。

W* = 16

第四部分 线性规划的灵敏度分析

一、填空题

1、灵敏度分析研究的是线性规划模型的原始、最优解数据变化对产生的影响。 2、在线性规划的灵敏度分析中，我们主要用到的性质是_可行性，正则性。

3．在灵敏度分析中，某个非基变量的目标系数的改变，将引起该非基变量自身的检验数的变化。 4．如果某基变量的目标系数的变化范围超过其灵敏度分析容许的变化范围，则此基变量应出基。 5．约束常数b；的变化，不会引起解的正则性的变化。

6．在某线性规划问题中，已知某资源的影子价格为Y1，相应的约束常数b1，在灵敏度容许变动范围内发生Δb1的变化，则新的最优解对应的最优目标函数值是Z*+yi△b (设原最优目标函数值为Z﹡)

7．若某约束常数bi的变化超过其容许变动范围，为求得新的最优解，需在原最优单纯形表的基础上运用对偶单纯形法求解。

8．已知线性规划问题，最优基为B，目标系数为CB，若新增变量xt，目标系数为ct，系数列向量为Pt，则

－

当Ct≤CBB1Pt时，xt不能进入基底。

9．如果线性规划的原问题增加一个约束条件，相当于其对偶问题增加一个变量。

10、若某线性规划问题增加一个新的约束条件，在其最优单纯形表中将表现为增加一行，一列。 11．线性规划灵敏度分析应在最优单纯形表的基础上，分析系数变化对最优解产生的影响

12．在某生产规划问题的线性规划模型中，变量xj的目标系数Cj代表该变量所对应的产品的利润，则当某

一非基变量的目标系数发生增大变化时，其有可能进入基底。 二、单选题

1．若线性规划问题最优基中某个基变量的目标系数发生变化，则C。

A．该基变量的检验数发生变化B．其他基变量的检验数发生变化C．所有非基变量的检验数发生变化D．所有变量的检验数都发生变化

2．线性规划灵敏度分析的主要功能是分析线性规划参数变化对D的影响。

A．正则性B．可行性C．可行解D．最优解

3．在线性规划的各项敏感性分析中，一定会引起最优目标函数值发生变化的是B。 A．目标系数cj的变化B．约束常数项bi变化C．增加新的变量 D．增加新约束 4．在线性规划问题的各种灵敏度分析中，B_的变化不能引起最优解的正则性变化。

A．目标系数B．约束常数C．技术系数D．增加新的变量E．增加新的约束条件 5．对于标准型的线性规划问题，下列说法错误的是C

A．在新增变量的灵敏度分析中，若新变量可以进入基底，则目标函数将会得到进一步改善。B．在增加新约束条件的灵敏度分析中，新的最优目标函数值不可能增加。C．当某个约束常数bk增加时，目标函数值一定增加。D．某基变量的目标系数增大，目标函数值将得到改善 6.灵敏度分析研究的是线性规划模型中最优解和 C 之间的变化和影响。

A 基 B 松弛变量 C原始数据 D 条件系数 三、多选题

1．如果线性规划中的cj、bi同时发生变化，可能对原最优解产生的影响是_ ABCD.

A．正则性不满足，可行性满足B．正则性满足，可行性不满足C．正则性与可行性都满足D．正则性与可行性都不满足E．可行性和正则性中只可能有一个受影响

2．在灵敏度分析中，我们可以直接从最优单纯形表中获得的有效信息有ABCE。

-1

A．最优基B的逆B B．最优解与最优目标函数值C．各变量的检验数D．对偶问题的解E．各列向量 3．线性规划问题的各项系数发生变化，下列不能引起最优解的可行性变化的是ABC_。

A．非基变量的目标系数变化 B．基变量的目标系数变化C．增加新的变量D，增加新的约束条件 4．下列说法错误的是ACD

-1

A．若最优解的可行性满足B b≥0，则最优解不发生变化B．目标系数cj发生变化时，解的正则性将受到影响C．某个变量xj的目标系数cj发生变化，只会影响到该变量的检验数的变化D．某个变量xj的目标系数cj发生变化，会影响到所有变量的检验数发生变化。 四、名词、简答题

1.灵敏度分析：研究线性规划模型的原始数据变化对最优解产生的影响 2．线性规划问题灵敏度分析的意义。（1）预先确定保持现有生产规划条件下，单位产品利润的可变范围；（2）当资源限制量发生变化时，确定新的生产方案；（3）确定某种新产品的投产在经济上是否有利；（4）考察建模时忽略的约束对问题的影响程度；（5）当产品的设计工艺改变时，原最优方案是否需要调整。 四、某工厂在计划期内要安排生产I、Ⅱ两种产品。已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原料的消耗如表所示： I Ⅱ 设备 原材料A 原材料B 1 4 0 2 0 4 8台时 16kg 12kg 该工厂每生产一件产品I可获利2百元，每生产一件产品Ⅱ可获利3百元。 (1)单纯形迭代的初始表及最终表分别如下表I、Ⅱ所示：

x1 x2 x3 x4 x5

xB X3 X4 X5 Xl X5 X2 -Z 0 2 3 O 0 0 8 1 2 1 O 0 16 4 0 0 1 0 12 0 4 0 0 1 14 0 0 -3/2 -1/8 0 4 4 2 1 0 0 1/4 0 0 0 -2 1/2 1 0 1 1/2 -1/8 0 说明使工厂获利最多的产品混合生产方案。 (2)如该厂从别处抽出4台时的设备用于生产I、Ⅱ，求这时该厂生产产品I、Ⅱ的最优方案。 (3)确定原最优解不变条件下，产品Ⅱ的单位利润可变范围。 (4)该厂预备引进一种新产品Ⅲ，已知生产每件产品Ⅲ，需消耗原材料A、B分别为6kg，3kg使用设备2台时，可获利5百元，问该厂是否应生产该产品及生产多少?

(1)使工厂获利最多的产品混合生产方案：生产I产品4件，生产II产品2件，设备台时与原材料A全部用完，原材料B剩余4kg，此时，获利14百元。 (2)X*=(4，3,2，0，o)Tz*=17 (3)0≤C2≤4 (4)应生产产品Ⅲ，产量为2。

五、给出线性规划问题

用单纯形表求解得单纯形表如下，试分析下列各种条件变化下最优解(基)的变化：

xB xl x2 xl x2 x3 x4 x5 -Z -8 0 0 -3 -5 -1 1 2 1 0 -1 4 -1 0 1 2 -1 1 (1)分别确定目标函数中变量X1和X2的系数C1，c2在什么范围内变动时最优解不变； (2)目标函数中变量X3的系数变为6； (3)增添新的约束X1+2x2+x3≤4

解：(1)3/4≤C1≤3 2≤C2≤8 (2)X*=(2，0，1，0，0，0)T Z*=10 (3)X*=(2，1，0，0，1，0)T Z*=7 (4)X*=(0，2，0，0，0，1/3)T Z*=25/3

第五部分 运输问题

一、填空题

1． 物资调运问题中，有m个供应地，Al，A2?，Am，Aj的供应量为ai(i=1，2?，m)，n个需求地B1，B2，?Bn，

B的需求量为bj(j=1，2，?，n)，则供需平衡条件为

bi ?a=?j?1ii?1mn2．物资调运方案的最优性判别准则是：当全部检验数非负时，当前的方案一定是最优方案。

3．可以作为表上作业法的初始调运方案的填有数字的方格数应为m+n－1个(设问题中含有m个供应地和n个需求地)

4．若调运方案中的某一空格的检验数为1，则在该空格的闭回路上调整单位运置而使运费增加1。 5．调运方案的调整是要在检验数出现负值的点为顶点所对应的闭回路内进行运量的调整。 6．按照表上作业法给出的初始调运方案，从每一空格出发可以找到且仅能找到_1条闭回路 7．在运输问题中，单位运价为Cij位势分别用ui，Vj表示，则在基变量处有cij Cij=ui+Vj 。

mnnm8、供大于求的、供不应求的不平衡运输问题，分别是指?ai_＞?bi的运输问题、?ai_＜?bi的运输

i?1i?1j?1j?1问题。

10．在表上作业法所得到的调运方案中，从某空格出发的闭回路的转角点所对应的变量必为基变量。 11．在某运输问题的调运方案中，点(2，2)的检验数为负值，(调运方案为表所示)则相应的调整量应为300_。

A B C I 300 Ⅱ 600 Ⅲ 100 400 Ⅳ 300 300 12.若某运输问题初始方案的检验数中只有一个负值：－2，则这个－2的含义是该检验数所在格单位调整量。 13.运输问题的初始方案中的基变量取值为正。 14表上作业法中，每一次调整1个“入基变量”。

15.在编制初始方案调运方案及调整中，如出现退化，则某一个或多个点处应填入数字0 16运输问题的模型中，含有的方程个数为n+M个。

17表上作业法中，每一次调整，“出基变量”的个数为1个。 18给出初始调运方案的方法共有三种。

19.运输问题中，每一行或列若有闭回路的顶点，则必有两个。 二、单选题

1、在运输问题中，可以作为表上作业法的初始基可行解的调运方案应满足的条件是D。

A．含有m+n—1个基变量B．基变量不构成闭回路

C．含有m+n一1个基变量且不构成闭回路D．含有m+n一1个非零的基变量且不构成闭回 2．若运输问题的单位运价表的某一行元素分别加上一个常数k，最优调运方案将B。

A．发生变化 B．不发生变化C．A、B都有可能

3．在表上作业法求解运输问题中，非基变量的检验数D。

A．大于0B．小于0C．等于0D．以上三种都可能

4.运输问题的初始方案中，没有分配运量的格所对应的变量为 B

A基变量 B 非基变量 C 松弛变量 D 剩余变量 5.表上作业法的基本思想和步骤与单纯形法类似，那么基变量所在格为 C

A 有单位运费格 B 无单位运费格 C 有分配数格 D 无分配数格 6.表上作业法中初始方案均为 A

A 可行解 B 非可行解 C 待改进解 D 最优解 7.闭回路是一条封闭折线，每一条边都是 D

A 水平 B 垂直 C水平＋垂直 D水平或垂直 8当供应量大于需求量，欲化为平衡问题，可虚设一需求点，并令其相应运价为 D

A 0 B 所有运价中最小值 C所有运价中最大值 D最大与最小运量之差 9.运输问题中分配运量的格所对应的变量为 A

A基变量 B 非基变量 C 松弛变量 D 剩余变量 10.所有物资调运问题，应用表上作业法最后均能找到一个 D

A 可行解 B 非可行解 C 待改进解 D 最优解 11.一般讲，在给出的初始调运方案中，最接近最优解的是 C

A 西北角法 B 最小元素法 C 差值法 D 位势法 12.在运输问题中，调整对象的确定应选择 C

A 检验数为负 B检验数为正 C检验数为负且绝对值最大 D检验数为负且绝对值最小 13.运输问题中，调运方案的调整应在检验数为 C 负值的点所在的闭回路内进行。

A 任意值 B最大值 C绝对值最大 D绝对值最小

14.表上作业法的基本思想和步骤与单纯形法类似，因而初始调运方案的给出就相当于找到一个 C A 基 B 可行解 C 初始基本可行解 D最优解 15平衡运输问题即是指m个供应地的总供应量 D n个需求地的总需求量。 A 大于 B 大于等于 C小于 D 等于 三、多选题

1．运输问题的求解结果中可能出现的是ABC _。

A、惟一最优解 B．无穷多最优解 C．退化解 D．无可行解 2．下列说法正确的是ABD。

A．表上作业法也是从寻找初始基可行解开始的 B．当一个调运方案的检验数全部为正值时，当前方案一定是最佳方案C．最小元素法所求得的运输的运量是最小的 D．表上作业法中一张供需平衡表对应一个基可行解

3．对于供过于求的不平衡运输问题，下列说法正确的是ABC。

A．仍然可以应用表上作业法求解B．在应用表上作业法之前，应将其转化为平衡的运输问题C．可以虚设一个需求地点，令其需求量为供应量与需求量之差。D．令虚设的需求地点与各供应地之间运价为M(M为极大的正数)

4．下列关于运输问题模型特点的说法正确的是 ABD

A． 约束方程矩阵具有稀疏结构 B．基变量的个数是m+n-1个 C．基变量中不能有零 D．基

变量不构成闭回路

5.对于供过于求的不平衡运输问题，下列说法正确的是 ABC A．仍然可以应用表上作业法求解 B．在应用表上作业法之前，应将其转化为平衡的运输问题 C．可以虚设一个需求地点，令其需求量为供应量与需求量之差。

D．令虚设的需求地点与各供应地之间运价为M(M为极大的正数) E. 可以虚设一个库存，令其库存量为0

三、判断表(a)(b)(c)中给出的调运方案能否作为表上作业法求解时的初始解，为什么?

(a) Bl B2 B3 B4 B5 B6 产量 Al 20 10 30 A2 30 20 50 A3 10 10 50 5 75 A4 20 20 销量 20 40 30 10 50 25 (b) (c) Bl B2 B3 B4 B5 B6 产量 Bl B2 B3 B4 Al 30 30 Al 6 5 A2 20 30 50 A2 5 4 2 A3 10 30 10 25 75 A3 5 3 A4 20 20 销量

5

9

9

7

销量 20 40 30 10 50 25 (a)可作为初始方案； (b)中填有数字的方格数少于9(产地数+销地数－1)，不能作为初始方案；

(c)中存在以非零元素为顶点的闭回路，不能作为初始方案

四、已知某运输问题的产销平衡表。单位运价表及给出的一个调运方案分别见表(a)和(b)，判断给出的调运方案是否为最优?如是说明理由；如否。也说明理由。

表(a)产销平衡表及某一调运方案 单位运价表 销地 产地 Bl B2 B3 B4 B5 B6 产量 产量11 11 8

l 30 30 20 30 50 10 10 20 40 40 10 20 30 11 11 50 40 60 31 A2 A3 A4 销量

五、给出如下运输问题

运价 产 Al A2 A3 销量 5 1 20 30 3 6 10 50 10 9 5 80 4 6 7 40 90 40 70 200 销 B1 B2 B3 B4 产量 (1)应用最小元素法求其初始方案；(2)应用位势法求初始方案的检验数，并检验该方案是否为最优方案

六、用表上作业法求给出的运输问题的最优解

甲 乙 丙 丁 产量 1 10 6 7 12 4 2 16 0 5 9 9 3 5 4 10 10 4 销量 5 2 4 6

1 2 3 销量 甲 1 4 5 乙 2 2 丙 1 3 4 丁 6 6 产量 4 9 4 在最优调运方案下的运输费用最小为118。

七、名词

1、 平衡运输问题：m个供应地的供应量等于n个需求地的总需求量，这样的运输问题称平衡运输问题。 2、不平衡运输问题：m个供应地的供应量不等于n个需求地的总需求量，这样的运输问题称不平衡运输问题。

第六部分 整数规划

一、填空题 1．用分枝定界法求极大化的整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界。 2．在分枝定界法中，若选Xr=4／3进行分支，则构造的约束条件应为X1≤1，X1≥2。

3．已知整数规划问题P0，其相应的松驰问题记为P0’，若问题P0’无可行解，则问题P。无可行解。 4．在0 - 1整数规划中变量的取值可能是_0或1。

5．对于一个有n项任务需要有n个人去完成的分配问题，其 解中取值为1的变量数为n个。 6．分枝定界法和割平面法的基础都是用_线性规划方法求解整数规划。

7．若在对某整数规划问题的松驰问题进行求解时，得到最优单纯形表中，由X。所在行得X1+1／7x3+2

612／7x5=13／7，则以X1行为源行的割平面方程为_－X3－X5≤0_。

7778．在用割平面法求解整数规划问题时，要求全部变量必须都为整数。

9．用割平面法求解整数规划问题时，若某个约束条件中有不为整数的系数，则需在该约束两端扩大适当倍数，将全部系数化为整数。

10．求解纯整数规划的方法是割平面法。求解混合整数规划的方法是分枝定界法_。 11．求解0—1整数规划的方法是隐枚举法。求解分配问题的专门方法是匈牙利法。 12．在应用匈牙利法求解分配问题时，最终求得的分配元应是独立零元素_。 13.分枝定界法一般每次分枝数量为2个. 二、单选题

1．整数规划问题中，变量的取值可能是D。

A．整数B．0或1C．大于零的非整数D．以上三种都可能

2．在下列整数规划问题中，分枝定界法和割平面法都可以采用的是A 。

A．纯整数规划B．混合整数规划C．0—1规划D．线性规划 3．下列方法中用于求解分配问题的是D_。

A．单纯形表B．分枝定界法C．表上作业法D．匈牙利法 三、多项选择

1．下列说明不正确的是ABC。

A．求解整数规划可以采用求解其相应的松驰问题，然后对其非整数值的解四舍五入的方法得到整数解。B．用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题，当得到多于一个可行解时，通常任取其中一个作为下界。C．用割平面法求解整数规划时，构造的割平面可能割去一些不属于最优解的整数解。D．用割平面法求解整数规划问题时，必须首先将原问题的非整数的约束系数及右端常数化为整数。 2．在求解整数规划问题时，可能出现的是ABC。

A．唯一最优解B．无可行解 C．多重最佳解D．无穷多个最优解 3．关于分配问题的下列说法正确的是_ ABD。

A．分配问题是一个高度退化的运输问题B．可以用表上作业法求解分配问题 C．从分配问题的效益矩阵中逐行取其最小元素，可得到最优分配方案D．匈牙利法所能求解的分配问题，要求规定一个人只能完成一件工作，同时一件工作也只给一个人做。 4.整数规划类型包括（ CDE ）

A 线性规划 B 非线性规划 C 纯整数规划 D 混合整数规划 E 0—1规划 5.对于某一整数规划可能涉及到的解题内容为（ ABCDE ）

A 求其松弛问题 B 在其松弛问题中增加一个约束方程 C 应用单形或图解法D 割去部分非整数解 E多次切割 三、名词

1、纯整数规划：如果要求所有的决策变量都取整数，这样的问题成为纯整数规划问题。

2、0—1规划问题：在线性规划问题中，如果要求所有的决策变量只能取0或1，这样的问题称为0—1规划。

3、混合整数规划：在线性规划问题中，如果要求部分决策变量取整数，则称该问题为混合整数规划。 四、用分枝定界法求解下列整数规划问题：(提示:可采用图解法) maxZ=40x1+90x2

五、用割平面法求解

六、下列整数规划问题

说明能否用先求解相应的线性规划问题然后四舍五入的办法来求得该整数规划的一个可行解。

答：不考虑整数约束，求解相应线性规划得最优解为 x1=10/3，x2=x3=0，用四舍五人法时，令x1=3，x2=x3=0，其中第2个约束无法满足，故不可行。

七、若某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油。使总的钻探费用为最小。若10个井位的代号为S1,S2．?，S10相应的钻探费用为C1 ,C2 ,? C10，并且井位选择要满足下列限制条件：

(1)在s1，s2，S4中至多只能选择两个； (2)在S5，s6中至少选择一个；(3)在s3，s6，S7，S8中至少选

择两个； 试建立这个问题的整数规划模型

八、有四项工作要甲、乙、丙、丁四个人去完成．每项工作只允许一人去完成。每个人只完成其中一项工作，已知每个人完成各项工作的时间如下表。问应指派每个人完成哪项工作，使总的消耗时间最少?

工作 人 甲 乙 丙 丁 15 19 6 19 18 23 7 21 2l 22 16 23 24 18 19 17 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ

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